中考专题复习课件 -- 一元二次方程 (22张)
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小结与反思：(1)配方法解一元二次方程必须将二次项系数 化为 1，然后两边加一次项系数一半的平方．
(2)公式法解一元二次方程必须首先将方程化为一般式确
定各项系数，然后计算并判断 b2－4ac 的符号最后套入公式． (3)因式分解法解一元二次方程需将方程化为 ab＝0 的形式 再降次求解．
1．方程 x2＝16 的解是( A )
解：(1)∵30 000÷ 000＝6，∴能租出 24 间． 5 (2)设每间商铺的年租金增加 x 万元，则
x x x 30－ ×(10＋x)－30－ ×1－ 0.5 0.5 0.5×0.5
＝275，2x2－11x＋5＝0，∴ x＝5 或 0.5. ∴ 每间商铺的年租金定为 10.5 万元或 15 万元.
重难点突破 1．熟记并理解求根公式是解一元二次方程的关键．
2．熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
3．用一元二次方程根与系数的关系解题，必须首先将方程 b c 化为一般式，确定各项系数，然后用 x1＋x2＝－a，x1·2＝a. x
4．列方程解应用题的关键是审题一定要抓住数量关系的关
键词，找出已知量、未知量以及它们的相等关系．
[加分锦囊]根与系数关系式是以一元二次方程有两个实数
根(Δ≥0)为前提的，因此，运用根与系数关系式求得方程中的
待定系数必须解Δ≥0.
∵k 为整数，∴k 的值为－1 和 0.
小结与反思：运用一元二次方程根与系数的关系解题时，
必须首先将方程化为一般式确定各项系数，再用公式，求未知
数的系数必须保证Δ＝b2－4ac≥0 且 a≠0.
5．(2011 年福建泉州)已知一元二次方程 x2－4x＋3＝0 两根 为 x1、x2, 则 x1·2＝( B ) x A．4
4ac.
有两个不相等的 (1)当Δ>0 时，原方程_______________实数根． (2)当______时，原方程有两个相等的实数根． Δ＝0
Δ<0 (3)当______时，原方程没有实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为 x1、x2，则 b －a (1)x1＋x2＝_____. c a (2)x1·2＝_____. x
A．x＝±4 C．x＝－4
B．x＝4
D．x＝16
2．(2011 年甘肃兰州)用配方法解方程 x2－2x－5＝0 时，原 方程应变形为( C ) A．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
3．(2011 年四川南充)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1 的解是( D ) A．2 C．－1,2 B．3 D．－1,3
B. 3
C．－4
D．－3
6．(2011 年四川成都)已知关于 x 的一元二次方程 mx2＋nx
＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式 n2－4mk 的判 断正确的是( D )
A．n2－4mk<0
C．n2－4mk>0
B．n2－4mk＝0
D．n2－4mk≥0
7．(2011 年江西)已知 x＝1 是方程 x2＋bx－2＝0 的一个根，
10．如图 2－1－1，东梅中学要在教学楼后面的空地上用
40 米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教 学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为 x，面积为 y.
(1)求 y 与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围；
(2)生物园的面积能否达到 210 平方米？说明理由．
图 2－1－1
解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝22－4(k＋1)≥0， 解得 k≤0，∴k 的取值范围是 k≤0. (2)根据一元二次方程根与系数的关系， 得 x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1， x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)，
由已知，得－2－(k＋1)＜－1，解得 k＞－2. 又由(1)k≤0，∴－2＜k≤0，
知识点
分值(分)
列方程应用题、解方程 7＋9＝16 列方程
4
1.一元二次方程 2 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____ 的整式方程．
ax2＋bx＋c＝0(a≠0) (2)一般形式：_______________________． c a 其中___叫做二次项系数，___叫做一次项系数，___叫做常 b
的增长率( 减少率)x 增长( 或减少) ，则经过 n 次后的量便是
a(1+x)n或 a(1－x)n.
9．某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测， 当每间的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每
增加 5 000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间
每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益 (收益＝租金－各种费用)为 275 万元？
数项．
2．一元二次方程的解法 (1)直接开方法． 配方 (2)________法．
因式分解 (3)__________法．
(4)公式法．
注意：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
－b± b2－4ac 2a x＝________________.
3．根的判别式 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为Δ＝b2－
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x，则 6 000(1－x)2＝4 860， 解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)． ∴平均每次下调的百分率为 10%. (2)方案①可优惠：4 860×100×(1－0.98)＝9 720(元)，
方案②可优惠：100×80＝8 000(元)．
∴方案①更优惠． 小结与反思：当问题涉及增长率问题时，解答的关键是正 确理解增长率的含义.一般地，若某种量原来是 a，每次一相同
一元二次方程的解法
例1：(2011 年江苏南京)解方程 x2－4x＋1＝0.
解法一：移项，得 x2－4x＝－1. 配方，得 x2－4x＋4＝－1＋4， (x－2)2＝3， 由此可得 x－2＝± 3， x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
解法二：a＝1，b＝－4，c＝1. b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12>0， 4± 12 x＝ 2 ＝2± 3. x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
解：(1)依题意得 y＝(40－2x)x， ∴y＝－2x2＋40x，x 的取值范围是 0<x<20. (2)当 y＝210 时，由(1)可得，－2x2＋40x＝210， 即 x2－20x＋105＝0，
∵a＝1，b＝－20，c＝105，
∴Δ＝(－20)2－4×1×105<0.
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到 210 平方米．
6 000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台
后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价 格经过两次下调后，决定以每平方米 4 860 元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开 发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打 9.8 折销售；②不 打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？
则方程的另一个根是( A．1 C ) C．－2 D．－1
B．2
8．(2011 年重庆江津)已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2
－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( C )
A．a<2 C．a<2 且 a≠1 B．a>2 D．a<－2
一元二次方程的应用
例 3：(2011 年四川广安)广安市某楼盘准备以每平方米
★考点误区★ 易错题：已知关于 x 的方程(m2－1)x2＋2(m＋1)x＋1＝0 的
两个实数根为 x1、x2，且 x1x2 ＝1，求 m 的值．
正解：[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，解得 m≥－1， 1 ∵x1x2＝1，∴x1x2＝ 2 ＝1. m －1 ∴m2＝2，m＝± 2.∴m＝ 2.
第3课时 一元二次方程
来自百度文库
1．能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．
2．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单
的数字系数的一元二次方程． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2009－2011 年广东省中考题型及分值分布
年份
2009 2010 2011
试题类型 解答题 填空题
4．(2011 年浙江嘉兴)一元二次方程 x(x－1)＝0 的解是( C)
A．x＝0
C．x＝0 或 x＝1
B．x＝1
D．x＝0 或 x＝－1
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 例 2：(2011 年四川南充)关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋k ＋1＝0 的实数解是 x1 和 x2. (1)求 k 的取值范围； (2)如果 x1＋x2－x1x2＜－1 且 k 为整数，求 k 的值．
(2)公式法解一元二次方程必须首先将方程化为一般式确
定各项系数，然后计算并判断 b2－4ac 的符号最后套入公式． (3)因式分解法解一元二次方程需将方程化为 ab＝0 的形式 再降次求解．
1．方程 x2＝16 的解是( A )
解：(1)∵30 000÷ 000＝6，∴能租出 24 间． 5 (2)设每间商铺的年租金增加 x 万元，则
x x x 30－ ×(10＋x)－30－ ×1－ 0.5 0.5 0.5×0.5
＝275，2x2－11x＋5＝0，∴ x＝5 或 0.5. ∴ 每间商铺的年租金定为 10.5 万元或 15 万元.
重难点突破 1．熟记并理解求根公式是解一元二次方程的关键．
2．熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
3．用一元二次方程根与系数的关系解题，必须首先将方程 b c 化为一般式，确定各项系数，然后用 x1＋x2＝－a，x1·2＝a. x
4．列方程解应用题的关键是审题一定要抓住数量关系的关
键词，找出已知量、未知量以及它们的相等关系．
[加分锦囊]根与系数关系式是以一元二次方程有两个实数
根(Δ≥0)为前提的，因此，运用根与系数关系式求得方程中的
待定系数必须解Δ≥0.
∵k 为整数，∴k 的值为－1 和 0.
小结与反思：运用一元二次方程根与系数的关系解题时，
必须首先将方程化为一般式确定各项系数，再用公式，求未知
数的系数必须保证Δ＝b2－4ac≥0 且 a≠0.
5．(2011 年福建泉州)已知一元二次方程 x2－4x＋3＝0 两根 为 x1、x2, 则 x1·2＝( B ) x A．4
4ac.
有两个不相等的 (1)当Δ>0 时，原方程_______________实数根． (2)当______时，原方程有两个相等的实数根． Δ＝0
Δ<0 (3)当______时，原方程没有实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为 x1、x2，则 b －a (1)x1＋x2＝_____. c a (2)x1·2＝_____. x
A．x＝±4 C．x＝－4
B．x＝4
D．x＝16
2．(2011 年甘肃兰州)用配方法解方程 x2－2x－5＝0 时，原 方程应变形为( C ) A．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
3．(2011 年四川南充)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1 的解是( D ) A．2 C．－1,2 B．3 D．－1,3
B. 3
C．－4
D．－3
6．(2011 年四川成都)已知关于 x 的一元二次方程 mx2＋nx
＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式 n2－4mk 的判 断正确的是( D )
A．n2－4mk<0
C．n2－4mk>0
B．n2－4mk＝0
D．n2－4mk≥0
7．(2011 年江西)已知 x＝1 是方程 x2＋bx－2＝0 的一个根，
10．如图 2－1－1，东梅中学要在教学楼后面的空地上用
40 米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教 学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为 x，面积为 y.
(1)求 y 与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围；
(2)生物园的面积能否达到 210 平方米？说明理由．
图 2－1－1
解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝22－4(k＋1)≥0， 解得 k≤0，∴k 的取值范围是 k≤0. (2)根据一元二次方程根与系数的关系， 得 x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1， x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)，
由已知，得－2－(k＋1)＜－1，解得 k＞－2. 又由(1)k≤0，∴－2＜k≤0，
知识点
分值(分)
列方程应用题、解方程 7＋9＝16 列方程
4
1.一元二次方程 2 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____ 的整式方程．
ax2＋bx＋c＝0(a≠0) (2)一般形式：_______________________． c a 其中___叫做二次项系数，___叫做一次项系数，___叫做常 b
的增长率( 减少率)x 增长( 或减少) ，则经过 n 次后的量便是
a(1+x)n或 a(1－x)n.
9．某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测， 当每间的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每
增加 5 000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间
每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益 (收益＝租金－各种费用)为 275 万元？
数项．
2．一元二次方程的解法 (1)直接开方法． 配方 (2)________法．
因式分解 (3)__________法．
(4)公式法．
注意：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
－b± b2－4ac 2a x＝________________.
3．根的判别式 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为Δ＝b2－
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x，则 6 000(1－x)2＝4 860， 解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)． ∴平均每次下调的百分率为 10%. (2)方案①可优惠：4 860×100×(1－0.98)＝9 720(元)，
方案②可优惠：100×80＝8 000(元)．
∴方案①更优惠． 小结与反思：当问题涉及增长率问题时，解答的关键是正 确理解增长率的含义.一般地，若某种量原来是 a，每次一相同
一元二次方程的解法
例1：(2011 年江苏南京)解方程 x2－4x＋1＝0.
解法一：移项，得 x2－4x＝－1. 配方，得 x2－4x＋4＝－1＋4， (x－2)2＝3， 由此可得 x－2＝± 3， x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
解法二：a＝1，b＝－4，c＝1. b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12>0， 4± 12 x＝ 2 ＝2± 3. x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
解：(1)依题意得 y＝(40－2x)x， ∴y＝－2x2＋40x，x 的取值范围是 0<x<20. (2)当 y＝210 时，由(1)可得，－2x2＋40x＝210， 即 x2－20x＋105＝0，
∵a＝1，b＝－20，c＝105，
∴Δ＝(－20)2－4×1×105<0.
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到 210 平方米．
6 000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台
后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价 格经过两次下调后，决定以每平方米 4 860 元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开 发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打 9.8 折销售；②不 打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？
则方程的另一个根是( A．1 C ) C．－2 D．－1
B．2
8．(2011 年重庆江津)已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2
－2x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( C )
A．a<2 C．a<2 且 a≠1 B．a>2 D．a<－2
一元二次方程的应用
例 3：(2011 年四川广安)广安市某楼盘准备以每平方米
★考点误区★ 易错题：已知关于 x 的方程(m2－1)x2＋2(m＋1)x＋1＝0 的
两个实数根为 x1、x2，且 x1x2 ＝1，求 m 的值．
正解：[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，解得 m≥－1， 1 ∵x1x2＝1，∴x1x2＝ 2 ＝1. m －1 ∴m2＝2，m＝± 2.∴m＝ 2.
第3课时 一元二次方程
来自百度文库
1．能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．
2．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单
的数字系数的一元二次方程． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2009－2011 年广东省中考题型及分值分布
年份
2009 2010 2011
试题类型 解答题 填空题
4．(2011 年浙江嘉兴)一元二次方程 x(x－1)＝0 的解是( C)
A．x＝0
C．x＝0 或 x＝1
B．x＝1
D．x＝0 或 x＝－1
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 例 2：(2011 年四川南充)关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋k ＋1＝0 的实数解是 x1 和 x2. (1)求 k 的取值范围； (2)如果 x1＋x2－x1x2＜－1 且 k 为整数，求 k 的值．