(完整版)常用矢量公式
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解：固有两个变量 和 我们可求 和
而
（2）求 。
解： ， ，
§3. 高斯定理与矢量场的散度
一、矢量场的通量
1．矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
2． 通量： 称为 通过面元 的通量，记作 ，记作 ，有限面积 ，通量上 ，闭合曲面 ，通量上 ， 方向，由面内指向面外。
， ，
， 为法线上单位矢。
定义 为矢量场的旋度，它在 法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点 ，则 称为无旋场。
例：1.
解： 它的 分量为
，同理，
2.证明
证：
§5. 常用的运算公式
一、复合函数的“三度”运算公式
， ，
二、 积分变换公式
高斯公式：
斯托克斯公式：
二、标量场的梯度
在 两点全微分：
（ ， 方向上的单位矢量）
（ 为 与 之间的夹角）
在 点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即
,定义梯度
意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分
布特征。已知梯度即可求出 沿任一方向的方向导致。
等值面： 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度 等值面。
会用：
熟记：
复合函数公式：
; ;
有关位移矢量 的几个运算公式：
， ，
， ，
，
积分变换公式：（熟练使用）
几个定理： 1.
2.
3.
4.
5.
6. 唯一性定理内容。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1．直角坐标系：
2．柱坐标系：
3. 球坐标系：
§8. 函数及其性质
一、 函数定义
一维：
三维：
（ 在 内），导数 。
例如对于点电荷密度分布
∴
二、几个常用的性质
， 为连续函数。
三、 函数的几种具体形式
电动力学中一个重要的函数形式为：
证明：Hale Waihona Puke Baidu 即
（∵ ）
② ，显然
③
数学准备知识小结
矢量代数中的公式：
算符常用公式：
格林公式：
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
注：方程组若有解，则该解在上述条件下不必唯一，但该方程组是否有解与 和 有关，只有当它们满足下述条件时才有解存在，
由 及
得：
§7. “三度”在各种坐标系中得表示式
一、矢量微分算子（哈密顿算子）
直角坐标
柱坐标
球坐标
二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系
1. 柱坐标与直角坐标
2.球坐标与直角坐标
三、“三度”在三种坐标系中的表示形式
为单位并矢，张量的九个基。
矢量与张量的矩阵表示： 或
单位张量：
张量运算：
与矢量点乘：
与矢量叉乘：
两并矢点乘： (并矢)
两并矢二次点乘： 标量
与单位张量点乘：
课堂练习（15-20分钟）
1．计算
2．求证， 与矢量 垂直。（求 ）。
3．计算下列各式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
（0， ，－1，1）
4．证明下列各式：
⑴
⑵
证： 对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。
即 的 为 ，所以 与等值面垂直。
三、 矢量微分算子 （直角坐标系中的表示形式）
具有矢量性质，分量是微分符号。
， ，不能互换
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
四、举例
（1）求半径 的数值 的梯度。此例中 点均可变动。一般称 为源点（一后电场中电荷所在点）。 为场点（观测点）。
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
， 场线进入的少，穿出得多，称 面内有源。
， 场线进入的与穿出得同样多，称 面内无源。
， 场线进入的少，穿出得少，称 面内有负源。
意义： 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不
能反映空间一点的情况。
二、高斯定理
一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）
三、矢量场的散度
2. 求 ，
3. 求证： 。
证：
§4 斯托克斯公式与矢量场的旋度
一、矢量场的环量（环流）
矢量 沿任一闭合曲线 的积分
表明在区域内无涡旋状态，不闭合，
表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，
意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。
二、斯托克斯公式（定理）
（证明略）
三、矢量场的旋度
当 无限缩小，它用的面积化为 时，
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
即若 ，则 ， 称为无旋场 的标势函数。
4.无源场必可表示为某个矢量场的旋度。
即若 ，则 ， 称为无源场 的矢量势函数。
二、亥姆霍兹定理
任意的矢量场（ ）均可以分解为无旋场 和无源
场 之和，即 ， 。 又称为 的横场部分，可引入标势 ， 。 又称为 的纵场部分，可引入矢势 ， 。
三、一个矢量场被唯一确定的条件——唯一性定理
定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。
证明： 假定有两个矢量场 均满足上述条件
即
则
引入 ，
则
∵ ，引入 ， ，
（在 面上）。
根据格林第一公式（含 ）
得 （∵在 面上 ）
由于被积函数 ，故上式成立，必有 ，即 。
数学准备知识
§1 矢量代数
一．矢量定义
（单位矢量）
在坐标系中 直角系
方向余弦：
二．矢量运算
加法： 交换律
结合律
满足平行四边形法则
标量积：
交换律
分配律
矢量积：
分配律
不满足交换律
混合积：
双重矢积：
（点3乘2，点2乘3）
三．矢量微分
四．并矢与张量
并矢： (一般 )，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量
而
（2）求 。
解： ， ，
§3. 高斯定理与矢量场的散度
一、矢量场的通量
1．矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
2． 通量： 称为 通过面元 的通量，记作 ，记作 ，有限面积 ，通量上 ，闭合曲面 ，通量上 ， 方向，由面内指向面外。
， ，
， 为法线上单位矢。
定义 为矢量场的旋度，它在 法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点 ，则 称为无旋场。
例：1.
解： 它的 分量为
，同理，
2.证明
证：
§5. 常用的运算公式
一、复合函数的“三度”运算公式
， ，
二、 积分变换公式
高斯公式：
斯托克斯公式：
二、标量场的梯度
在 两点全微分：
（ ， 方向上的单位矢量）
（ 为 与 之间的夹角）
在 点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即
,定义梯度
意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分
布特征。已知梯度即可求出 沿任一方向的方向导致。
等值面： 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度 等值面。
会用：
熟记：
复合函数公式：
; ;
有关位移矢量 的几个运算公式：
， ，
， ，
，
积分变换公式：（熟练使用）
几个定理： 1.
2.
3.
4.
5.
6. 唯一性定理内容。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1．直角坐标系：
2．柱坐标系：
3. 球坐标系：
§8. 函数及其性质
一、 函数定义
一维：
三维：
（ 在 内），导数 。
例如对于点电荷密度分布
∴
二、几个常用的性质
， 为连续函数。
三、 函数的几种具体形式
电动力学中一个重要的函数形式为：
证明：Hale Waihona Puke Baidu 即
（∵ ）
② ，显然
③
数学准备知识小结
矢量代数中的公式：
算符常用公式：
格林公式：
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
注：方程组若有解，则该解在上述条件下不必唯一，但该方程组是否有解与 和 有关，只有当它们满足下述条件时才有解存在，
由 及
得：
§7. “三度”在各种坐标系中得表示式
一、矢量微分算子（哈密顿算子）
直角坐标
柱坐标
球坐标
二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系
1. 柱坐标与直角坐标
2.球坐标与直角坐标
三、“三度”在三种坐标系中的表示形式
为单位并矢，张量的九个基。
矢量与张量的矩阵表示： 或
单位张量：
张量运算：
与矢量点乘：
与矢量叉乘：
两并矢点乘： (并矢)
两并矢二次点乘： 标量
与单位张量点乘：
课堂练习（15-20分钟）
1．计算
2．求证， 与矢量 垂直。（求 ）。
3．计算下列各式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
（0， ，－1，1）
4．证明下列各式：
⑴
⑵
证： 对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。
即 的 为 ，所以 与等值面垂直。
三、 矢量微分算子 （直角坐标系中的表示形式）
具有矢量性质，分量是微分符号。
， ，不能互换
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
四、举例
（1）求半径 的数值 的梯度。此例中 点均可变动。一般称 为源点（一后电场中电荷所在点）。 为场点（观测点）。
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
， 场线进入的少，穿出得多，称 面内有源。
， 场线进入的与穿出得同样多，称 面内无源。
， 场线进入的少，穿出得少，称 面内有负源。
意义： 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不
能反映空间一点的情况。
二、高斯定理
一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）
三、矢量场的散度
2. 求 ，
3. 求证： 。
证：
§4 斯托克斯公式与矢量场的旋度
一、矢量场的环量（环流）
矢量 沿任一闭合曲线 的积分
表明在区域内无涡旋状态，不闭合，
表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，
意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。
二、斯托克斯公式（定理）
（证明略）
三、矢量场的旋度
当 无限缩小，它用的面积化为 时，
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
即若 ，则 ， 称为无旋场 的标势函数。
4.无源场必可表示为某个矢量场的旋度。
即若 ，则 ， 称为无源场 的矢量势函数。
二、亥姆霍兹定理
任意的矢量场（ ）均可以分解为无旋场 和无源
场 之和，即 ， 。 又称为 的横场部分，可引入标势 ， 。 又称为 的纵场部分，可引入矢势 ， 。
三、一个矢量场被唯一确定的条件——唯一性定理
定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。
证明： 假定有两个矢量场 均满足上述条件
即
则
引入 ，
则
∵ ，引入 ， ，
（在 面上）。
根据格林第一公式（含 ）
得 （∵在 面上 ）
由于被积函数 ，故上式成立，必有 ，即 。
数学准备知识
§1 矢量代数
一．矢量定义
（单位矢量）
在坐标系中 直角系
方向余弦：
二．矢量运算
加法： 交换律
结合律
满足平行四边形法则
标量积：
交换律
分配律
矢量积：
分配律
不满足交换律
混合积：
双重矢积：
（点3乘2，点2乘3）
三．矢量微分
四．并矢与张量
并矢： (一般 )，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量