浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法

数学与计算机科学学院数学与应用数学

105012011138 黄义瑜

【摘要】反证法一种间接的数学证明方法，也是一种重要的数学思想.他首先假设某命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.证明的一般步骤为反设、归谬、结论.虽然在中学数学的课本中所占篇目较少，但应用广泛，能锻炼学生的逆向思维.论文中将阐述反证法的概念、证明步骤、思维方式以及适用题型.深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力.

【关键词】反证法命题中学数学高考高等数学

有个著名的“道旁苦李”的故事：传说，王戎从小就非常聪明.有一天，他和小伙伴们出去游玩，发现路边有几株李树，树上结满了李子，而且看上去一个个都熟透了.小伙伴们一哄而上，摘了尝了之后才发现李子是苦的.只有王戎没动，王戎说：“如果李子不苦的话，早就被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这个故事中王戎从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法.

1 反证法的由来

反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种.法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用.欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法.

2 反证法的概念

反证法是一种反面的角度思考问题的证明方法，是数学中常用的间接证明方法之一，属于“间接证明”的一类.即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体来说就是，假设命题的结论不成立，在已知条件和“否定命题结论”的新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论矛盾或自相矛盾，从而断定命题结论的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法.

3 反证法的逻辑依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”.两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，所以我们得到原结论必为真.因此反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

4 反证法的一般步骤

4.1反设

假设命题所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立.反设是反证法的第一步，也是重要的一步.反设是否准确、全面，将会影响后续的推导.在反设时，主要要学会这两步：1、分清题设和结论.2、对结论实施准确、全面的否定.3、否定结论后，找出其对应的所有情况.在中学数学中，常用的有以下几

4.2归谬：

由命题的反设和命题的条件出发，引用论据进行推理，推导出与已知条件﹑公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.

4.3结论：

由所得的矛盾，判断产生矛盾的原因在于反设是假，从而说明反设的结论不成立，则原命题的结论成立.

4.3.1由反设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾 例1：已知：0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >. 求证：0a >,0b >,0c >.

证明:(1)反设: 假设a ，b ，c 不都是正数.

(2)归谬: 由0abc >可知，这三个数中必有两个为负数,一个为正数. 不妨设：0a >,0b >,0c >.则由0a b c ++>,可得()c a b >-+. 又0a b +>,()()()c a b a b a b ∴+<-++. ()()()ab c a b a b a b ab ++<-+++. 即22ab bc ca a ab b ++<---.

20a >,0ab >,20b >.

2222()0a ab b a ab b ∴---=-++<. 0ab bc ca ∴++<.

这与已知0ab bc ca ++>矛盾.

(3)结论：所以假设不成立，因此0a >,0b >,0c >.成立． 4.3.2由反设或已知推出的结果与已学公理相矛盾

例2:在同一平面内，若1l ,2l 是垂直于直线l 的两条不同的直线，则直线若1l ,2l 不相交. 证明:（1）反设:假设1l ,2l 相交

（2)归谬:因为1l ,2l 相交，所以从直线l 外一点（1l ,2l 交点）引两条直线1l ,2l 与 l 垂 直，

又由平面几何知识可知，从直线l 外一点不可能引两条不同直线1l ,2l 与l 垂直， 这显然与公理相矛盾.

(3)结论:假设不成立.因此若直线1l 与直线2l 同时垂直于直线l ，则1l ,2l 不相交. 4.3.3由反设或已知推出的结果与已学定理相矛盾

例3：已知:如图1，设点A 、B 、C 在同一直线上，求证：过A 、B 、C 三点不能作圆. 证明：（1）反设：假设过A 、B 、C 三点能作圆.

（2）归谬:设此圆圆心为O ，则A 、B 、C 三点中连任意两点的线段是圆O 的弦， 由垂径定理：O 既在AB 的中垂线OM 上，又在BC 的中垂线ON 上，从而 过点O 有两条直线OM 与ON 均与AC 垂直.

与定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. （3）结论:假设不成立.故过同一直线上A 、B 、C 三点不能作圆.