大学物理学理论力学—欧拉角

对于欧拉角的认识
[摘要]基于欧拉角的学习，加深认识关于欧拉角的相关知识点。

定点运动的刚休可由欧拉角来描写出发，通过计算刚体上任意一点的速度来引入刚体的角速度。

从欧拉角的理解中做到熟练掌握欧拉角、欧拉角的矩阵形式的表示、明确欧勒角的含义和它为什么完整的描述了定点转动刚体的运动状态，以及欧拉角在刚体力学中的具体应用，从而更好的理解欧拉角。

[关键词]欧拉角的定义；角速度；角加速度；刚体定点转动的应用 1：欧拉角的定义
虽然当刚体作定点转动时，我们可选这个定点作为坐标系的原点，而用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕该轴线所转过的角度。

刚体转动可以表示为空间坐标系到本体坐标系的一个正交变换，变换矩阵由9个方向余弦决定，但它们中只有3个是独立的，使用起来不方便。

最好能用有明确几何意义的3个变量来描述刚体的位置，前面已证明，可以给出刚体上的一个轴的方向，和刚体绕这个轴的转角来描述刚体定点运动的位置，因此我们可以用类似球坐标中的极角θ和方位角φ来给出轴的取向，再加上绕这个轴旋转的角度φ，三个角度来描述刚体的定点转动，它们合称为欧拉角
我们要把本体坐标系和空间坐标系间的正交变换用欧拉角表示出来。

如上图所示，向由θ和φ决定，而φ是刚体绕该轴的转角。

从坐标变换的角度看，本体坐标转到图(c)的状态，可以分解为从图(a)经过(b)，通过相继三次2D 旋转得到的(假定开始时本体坐标系x x y z '''-与空间坐标系o xyz -重合)：
⑴o xyz o εηζ-→-本体坐标系绕z 轴在xy 平面上旋φ角：
cos sin 0sin cos 0001x y z εφφ
ηφφζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪
=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
⑵o εηζ
εηζ'''-→，本体坐标系绕ε
轴在ηζ平面转过θ角：
1
000cos sin 0sin cos εεηθθηζθθζ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪'= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⑶x y z εηζ'
'''''→本体坐标绕ζ'轴在ηε''平面(阴影)转过ψ角：
cos sin 0sin cos 000
1x y z ψψψψ'⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪'=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝
⎭
变换矩阵就是三个2D 变换矩阵之积：
cos sin 01
00cos sin 0sin cos 00cos sin sin cos 00010sin cos 001x x ψψφφψψθθφφθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪'=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
它们由3个欧拉角决定。

2：欧拉角的角速度
在图4.3.7(c)的状态，考虑刚体有一无穷小转动，3个欧拉角相应有无穷小变化，刚体绕瞬时轴转动的角速度是刚体绕z 轴的角速度ϕ，绕zo 轴的角速度
ψ，和绕ON 轴的角速度θ的矢量和，即:
N ωφψθ=++
其中N 是ON 轴的单位矢量，注意z 轴在阴影面的投影是OM ，从图(c)容易看到：
sin sin sin cos cos ,cos sin z x y z x z e e e e N e e θψθψθψψ'''''=++=-
因此ω在本体坐标系的分量在空间坐标中
sin sin sin cos cos ,cos sin z x y z x z e e e e N e e θφθφθψφ'''''=-+=+
注意若0ϕ
=则zo 轴在xoy 平面的投影就在y -方向，0ϕ=时该投影转
过了φ角，因此角速度在空间坐标系的分量为：
cos sin sin sin sin cos cos x y z ωθφψθφωθφψθφωψθφ
⎧=+⎪
=-⎨⎪
=+⎩ 3：欧拉角方程
定点转动的动力学方程是角动量定理：
M
dt l
d
= 刚体定点转动的角动量
j
x y x z x y m i
z x y x z y m r r r m r r m m r L i i z i
i
y i i i
x i i i z i i y i
i
i
x i i i i i i i i
i i i i i
i
])([])([)]
([)]([)(22222ωωωωωωωωωυ-++-+--+=∙-=⨯⨯=⨯=∑∑∑∑∑k
L j L i L k
I I I j
I I I i I I I k
y x y z x z m z y x z y x z y x z y x i
i
z i i y i i x i
i
++=+--+-+-+--=++--+∑)()()()]([33323123222113121122ωωωωωωωωωωωω
2211222222
33122113312332()()()i i i i i i i i i i i i
i i i
i i i i
i
i i i
i I m y z I m z x I m x y I I m x y I I m x z I I m y z ⎧=+⎪⎪=+⎪⎪=+⎪⎪⎨
==⎪⎪
⎪==⎪⎪
==⎪⎩∑∑∑∑∑∑其中221122222233122113312332()()()I y z dm
I z x dm I x y dm I I xydm I I xzdm I I yzdm ⎧=+⎪
⎪=+⎪⎪=+⎪⎪⎨⎪==⎪⎪==⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或111213212223313233x x y z y x y z z x y z L I I I L I I I L I I I ωωωωωωωωω⎧=--⎪=-+-⎨⎪=--+⎩或 4：欧拉角的应用
⑴刚体力学中的欧拉角
为了描述刚体的位形，通常取两个坐标系：以固定点o 为原点固定在空间(静止坐标系)000ox y z ；固定在刚体上并随刚体运动(动坐标系)cxyz ,
取t=0时两坐标系的坐标轴重合，则刚体的运动可用坐标坐标系cxyz 相对于000ox y z 来表示，如图(e)所示。

图中:ON-固定坐标平面00x oy 与动坐标平面
xoy 的交线(节线)。

0ox ϕ-轴与ON 间的夹角，描述了oz '轴(刚体自转轴）绕0oz 转动（进动角）。

oz θ-轴与oz 轴间的夹角是刚体自转轴oz 绕ON 转动角(章动角)
ψ-节线ON 与OX 轴间的夹角，刚体绕oz '轴的转动角(自转角)
上述,,φθψ三个角坐标称为欧拉角，确定了定点转动刚体在空间的位置，其变化范围为
πψπθπϕ20,
0,20≤≤≤≤≤≤
⑵欧拉陀螺
若刚体所受的外力的合力通过固定点（即外力矩为零），则刚体因惯性自由转动，如分子的转动、地球的自转等，称为欧拉陀螺。

以地球自转为例。

如图(f)地球是个扁平的均匀球体，若不考虑太阳、月球及其他行星的引力，则地球是对称的欧拉陀螺(12I I =),其运动方程为：
1131313()0()00
x y z y z x z I I I I I I I ωωωωωωω--=⎧⎪
--=⎨⎪
=⎩①
由上式中的第三式：
z ω=常数②
将①代入②的第一、二式
311
311x
z y y y z x x I I n I I I n I ωωωωωωωω-⎧=-=-⎪⎪⎨
-⎪=-=-⎪⎩
③ 31
1
z I I n I ω-=
=其中常数④由③式，得 2
2
x x
y y
n n ωωωω⎧=-⎪⎨=-⎪⎩积分，可得 00cos()
sin()x y
nt nt ωωεωωε=+⎧⎪⎨
=+⎪⎩⑤ 则地球自转角速度的大
常数
=+=++=220222z z y x ωωωωωω
其中ω
的方向：绕对称轴oz 以等角速度n 转动， 如图(g)所示。

为了找出三个欧拉角的运动规律， 取L
（=常数）方向为oz 方向，如图(h)所示有
)cos cos sin sin (sin k j i L L
θψθψθ++=
123x y z L I i I j I k ωωω=++又
将④和⑤代入上式：
k I j nt I i nt I L z
ωεωεω30101)sin()cos(++++=
比较以上二式，可
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=230101cos )sin(sin sin )cos(sin sin ω
θεωψθεωψθI L nt I L nt I L
解上式，可得三个欧拉角的运动情况：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧-=-=+===21310sec )(cos 0ωψθωϕθθI I I n n z 常数
可见：陀螺无章动，只有自转和进动—规则进动。

[参考文献]
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王美山,李文亮,杨传路,王德华,徐强,任廷琦绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角的新求解公式[C] [5] 吉林大学理论力学课件[N] [6]。