大学物理学理论力学—欧拉角

对于欧拉角的认识

[摘要]基于欧拉角的学习，加深认识关于欧拉角的相关知识点。定点运动的刚休可由欧拉角来描写出发，通过计算刚体上任意一点的速度来引入刚体的角速度。从欧拉角的理解中做到熟练掌握欧拉角、欧拉角的矩阵形式的表示、明确欧勒角的含义和它为什么完整的描述了定点转动刚体的运动状态，以及欧拉角在刚体力学中的具体应用，从而更好的理解欧拉角。

[关键词]欧拉角的定义；角速度；角加速度；刚体定点转动的应用 1：欧拉角的定义

虽然当刚体作定点转动时，我们可选这个定点作为坐标系的原点，而用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕该轴线所转过的角度。刚体转动可以表示为空间坐标系到本体坐标系的一个正交变换，变换矩阵由9个方向余弦决定，但它们中只有3个是独立的，使用起来不方便。最好能用有明确几何意义的3个变量来描述刚体的位置，前面已证明，可以给出刚体上的一个轴的方向，和刚体绕这个轴的转角来描述刚体定点运动的位置，因此我们可以用类似球坐标中的极角θ和方位角φ来给出轴的取向，再加上绕这个轴旋转的角度φ，三个角度来描述刚体的定点转动，它们合称为欧拉角

我们要把本体坐标系和空间坐标系间的正交变换用欧拉角表示出来。如上图所示，向由θ和φ决定，而φ是刚体绕该轴的转角。从坐标变换的角度看，本体坐标转到图(c)的状态，可以分解为从图(a)经过(b)，通过相继三次2D 旋转得到的(假定开始时本体坐标系x x y z '''-与空间坐标系o xyz -重合)：

⑴o xyz o εηζ-→-本体坐标系绕z 轴在xy 平面上旋φ角：

cos sin 0sin cos 0001x y z εφφ

ηφφζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪⎪

=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭

⑵o εηζ

εηζ'''-→，本体坐标系绕ε

轴在ηζ平面转过θ角：

1

000cos sin 0sin cos εεηθθηζθθζ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪'= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⑶x y z εηζ'

'''''→本体坐标绕ζ'轴在ηε''平面(阴影)转过ψ角：

cos sin 0sin cos 000

1x y z ψψψψ'⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪'=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝

⎭

变换矩阵就是三个2D 变换矩阵之积：

cos sin 01

00cos sin 0sin cos 00cos sin sin cos 00010sin cos 001x x ψψφφψψθθφφθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪'=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

它们由3个欧拉角决定。 2：欧拉角的角速度

在图4.3.7(c)的状态，考虑刚体有一无穷小转动，3个欧拉角相应有无穷小变化，刚体绕瞬时轴转动的角速度是刚体绕z 轴的角速度ϕ，绕zo 轴的角速度

ψ，和绕ON 轴的角速度θ的矢量和，即:

N ωφψθ=++

其中N 是ON 轴的单位矢量，注意z 轴在阴影面的投影是OM ，从图(c)容易看到：

sin sin sin cos cos ,cos sin z x y z x z e e e e N e e θψθψθψψ'''''=++=-

因此ω在本体坐标系的分量在空间坐标中

sin sin sin cos cos ,cos sin z x y z x z e e e e N e e θφθφθψφ'''''=-+=+

注意若0ϕ

=则zo 轴在xoy 平面的投影就在y -方向，0ϕ=时该投影转

过了φ角，因此角速度在空间坐标系的分量为：

cos sin sin sin sin cos cos x y z ωθφψθφωθφψθφωψθφ

⎧=+⎪

=-⎨⎪

=+⎩ 3：欧拉角方程

定点转动的动力学方程是角动量定理：

M

dt l

d

= 刚体定点转动的角动量

j

x y x z x y m i

z x y x z y m r r r m r r m m r L i i z i

i

y i i i

x i i i z i i y i

i

i

x i i i i i i i i

i i i i i

i

])([])([)]

([)]([)(22222ωωωωωωωωωυ-++-+--+=∙-=⨯⨯=⨯=∑∑∑∑∑k

L j L i L k

I I I j

I I I i I I I k

y x y z x z m z y x z y x z y x z y x i

i

z i i y i i x i

i

++=+--+-+-+--=++--+∑)()()()]([33323123222113121122ωωωωωωωωωωωω

2211222222

33122113312332()()()i i i i i i i i i i i i

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i

i i i

i I m y z I m z x I m x y I I m x y I I m x z I I m y z ⎧=+⎪⎪=+⎪⎪=+⎪⎪⎨

==⎪⎪

⎪==⎪⎪

==⎪⎩∑∑∑∑∑∑其中221122222233122113312332()()()I y z dm

I z x dm I x y dm I I xydm I I xzdm I I yzdm ⎧=+⎪

⎪=+⎪⎪=+⎪⎪⎨⎪==⎪⎪==⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或111213212223313233x x y z y x y z z x y z L I I I L I I I L I I I ωωωωωωωωω⎧=--⎪=-+-⎨⎪=--+⎩或 4：欧拉角的应用