复变函数复数与复变函数
复数与复变函数
6. 乘方与开方 乘方 z r (cos i sin )
z r (cos 2 i sin 2 )
2 2
z r (cos n i sin n )
n n
开方为乘方的逆运算
n 1 n
设wn = z , 令w =r(cosy+isiny)
2kπ 2kπ z r cos( ) i sin( ) n n
ppΒιβλιοθήκη 5 i cosp
5
显然 r z 1,
p p 3p sin cos - cos , 5 2 5 10
3p p p cos sin - sin , 10 5 2 5
3p 3p 故 z cos 10 i sin 10
p
e
3 pi 10
8
9p 9p w1 2 cos i sin , 16 16
8
17p 17p w2 2 cos i sin , 16 16
8
25p 25p w3 2 cos i sin . 16 16
8
w1
w2
y
w0
这四个根是内接于中 心在原点半径为 8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
5 相等的概念 1 z乘方公式
w - 1 cos i sin - 1 因为 z w 1 cos i sin 1
2 sin - sin i cos 2 2 2 i tan , 2 2 cos cos i sin 2 2 2
x > 0,
x = 0, y ≠ 0,
argz =
y arctan π x < 0, y ≥ 0, x y arctan - π x < 0, y < 0, x π y π (其中 - arctan ) 2 x 2
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复数与复变函数(修定)
05
复变函数的积分公式与全 纯函数
柯西积分公式与解析函数的性质
柯西积分公式
对于复平面上的封闭曲线C，如果f(z)在C的 内部是解析的，那么f(z)在C上的积分可以 用f(z)在C上的四个点处的函数值来表示。
解析函数的性质
如果f(z)是解析函数，那么它在复平面上处 处可导，且满足Cauchy-Riemann方程。
02
03
电气工程
在电气工程中，交流电的电压、电流 等参数通常用复数表示，方便进行计 算和分析。
在数学其他分支中的应用
01
代数
复数可以作为代数方程的根进行 求解，扩展了代数方程的解的范 围。
02
03
几何
分析学
复数域可以视为二维平面上的点 集，为几何学的研究提供了新的 视角和方法。
复变函数是分析学的一个重要分 支，为实数域上的函数分析提供 了更广泛的应用和理论基础。
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是 虚数单位，满足 i^2 = -1。
几何定义
复数可以视为平面上的点或向量，实部是 x 坐标，虚部是 y 坐标。
复数的几何表示
1 2
平面坐标系
每个复数 z = a + bi 可以表示为平面上的一个点 (a, b)。
极坐标系
每个复数 z = r(cosθ + i sinθ) 可以表示为从原 点出发的一个向量，其模长为 r，幅角为 θ。
THANKS
感础 • 复变函数概念 • 复变函数的导数与积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 复变函数的积分公式与全纯函数 • 复变函数的应用
01
复数基础
复数的定义
形式定义
复变函数与场论简明教程：复数与复变函数
n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］ 求 解 因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数 ［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
复变函数1 复数与复变函数
2 . 乘方与开方运算 1）乘方 z
n
=r e
n inθ
= r ( cos nθ + i sin nθ )
n
n
De Moivre 公式： ( cosθ + i sin θ ) = cos nθ + i sin nθ
z=z1+t(z2−z1). (0≤t≤1)
z1 + z2 z= 2
的中点为
例4 求下列方程所表示的曲线:
1) 2) 3)
| z + i |= 2; | z − 2i |=| z + 2 |; Im(i + z ) = 4.
解：
1)
| z + i |= 2
y x −i
设 z = x + i y , 方程变为
⇔
他们的实部和虚部都相等
复数的表示法 1.代数形式 : z = x + iy
1)点表示 虚轴
复数z = x + iy ↔ 平面XOY 上的点 z ( x, y )
y y r
θ
z(x,y)
复平面
0
x
实轴
x
2) 向量表示
y
r 复数z=x+iy ↔ 矢径z
y
r = | |z
r z z=x+iy
| x |≤| z |,| y |≤| z | | z |≤| x | + | y |, zz =| z | =| z | x
4
即
π π⎞ ⎛ w0 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 ⎠ ⎝ 16 9π ⎞ ⎛ 9π 8 w1 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ , 16 16 ⎠ ⎝
《复变函数》第一章 复数与复变函数
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复数与复变函数基础
第一章㊀复数与复变函数复变函数的定义域和值域均取自复数域．因此,在展开主要内容之前,有必要系统地学习复数的概念及相关性质．第一节㊀复数及其代数运算㊀㊀一㊁复数的概念定义１．１㊀形如z ＝x ＋i y 或z ＝x ＋y i 的数称为复数,其中x ,y 为两个实数,分别称为复数z 的实部和虚部,并记为x ＝R e (z ),y ＝I m (z )．i 称为虚数单位,满足i ２＝－１显然,当虚部y ＝０时,复数z 就是实数;当实部x ＝０且虚部y ʂ０时,复数z ＝i y 称为纯虚数;两个复数z １＝x １＋i y １与z ２＝x ２＋i y ２相等,当且仅当z １,z ２实部㊁虚部分别对应相等,即x１＝x ２,y １＝y ２;称复数x －i y 为复数x ＋i y 的共轭,记为．㊀㊀二㊁复数的四则运算记z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则两个复数的和、差与乘积的定义如下z １ʃz ２＝(x １ʃx ２)＋i (y １ʃy ２)㊀㊀㊀(１１)z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)(１２)当z ２ʂ０时,可以定义除法z １z ２＝x １＋i y １x ２＋i y ２＝x １x ２＋y １y ２x ２２＋y ２２＋i x ２y １－x １y ２x ２２＋y ２２(１３)㊀㊀三㊁复数的运算性质由复数四则运算的定义,不难验证以下的复数的运算性质:(１)封闭性,即复数的四则运算的结果仍是一个复数;(２)加法交换律,即z １＋z ２＝z ２＋z １;(３)加法结合律,即(z １＋z ２)＋z ３＝z １＋(z ２＋z ３);(４)乘法对加法的分配律,即z １(z ２＋z ３)＝z １z ２＋z １z ３;(５)乘法交换律与结合律,即z １z ２＝z ２z １及(z １z ２)z ３＝z １(z ２z ３)．(６)共轭运算的性质z １ʃz ２＝１ʃ２z １z ２＝１２z １z ２æèçöø÷＝１２()＝z z ＋＝２xz－＝２yi (读者自行证明)例１ １㊀设z １,z ２是两个复数,证明:如果z １＋z ２及z １z ２都是实数,那么z １,z ２或者都是实数,或者是共轭复数．证㊀设z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则z １＋z ２＝(x １＋x ２)＋i (y １＋y ２),㊀z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)由题设知y １＋y ２＝０㊀及㊀x １y ２＋x ２y １＝０(１)当y １＝０时,y ２＝０,这时z １,z ２为实数;(２)当y １ʂ０时,y １＝－y ２,从而由第二式得x １＝x ２,这时z １和z ２为共轭复数．㊀证毕．注㊀当z １＝２时,z １z ２＝x ２１＋y ２１．例１ ２㊀设z ＝１－２i ３＋４i ,求及z ．解㊀z ＝(１－２i )(３－４i )(３＋４i )(３－４i )＝－５－１０i ２５＝－１５－２５i所以＝－１５＋２５i ,㊀z ＝－１５æèçöø÷２＋－２５æèçöø÷２＝１５第二节㊀复数的几何表示㊀㊀一、复平面一个复数x ＋i y 可完全由一对有序数组(x ,y )所确定．因此,我们在平面上可 ２ 复变函数与积分变换(第二版)图１１建立直角坐标系,使得复数x ＋i y 与平面上的点(x ,y )一一对应(图１１)．由于实数x (y ＝０)对应于横坐标轴上的点,纯虚数i y (x ＝０,y ʂ０)对应于纵坐标轴上的点,故将平面直角坐标系中的横坐标轴改称实轴,纵坐标轴改称虚轴,并称这个平面为复平面,或z 平面．㊀㊀二㊁复数的点表示引入复平面后,复数与平面之间建立了一一对应,从而复数的许多结果得到了几何直观的解释．为方便起见,复数z 和复平面上的点z 可等同叙述,如{z |I m z ＞０}㊀与㊀{z |０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１}分别表示上半平面和以０,１,１＋i ,i 为顶点的正方形．图１２㊀I m z ＞０㊀㊀㊀㊀图１３㊀０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１图１４㊀㊀三㊁复数的向量表示如果把复数z ＝x ＋i y 的实部和虚部作为平面向量在两坐标轴上的投影,则复数z ＝x ＋i y 可用平面向量O z ң＝{x ,y }表示(图１４)．向量O z ң的模称为复数z 的模,记为|z |＝r ＝x ２＋y ２(１４)它是点z 到原点的距离,即向量O z ң的长度．由模的定义易得|x |ɤ|z |,㊀|y |ɤ|z |,㊀|z |ɤ|x |＋|y |,㊀z z ＝|z |２(１５)定义１．２㊀当z ʂ０时,以实轴正向为始边,以复数z 对应的向量O z ң为终边的角称为复数z 的辐角,记为A r g z ．令A r g z ＝θ,则由向量的性质可得x ＝|z |c o s θ,㊀y ＝|z |s i n θ,㊀t a n θ＝y x (１６) ３ 第一章㊀复数与复变函数需要指出的是,任何一个不为０的复数均有无穷多个辐角,若θ１为z 的一个辐角,则A r g z ＝θ１＋２k π㊀(k ɪZ )(１７)都是z 的辐角．在复数z (ʂ０)的辐角中,满足－π＜θ０ɤπ的辐角θ０称为复数z 的辐角主值,记为θ０＝ar g z ．当z ＝０时,O z ң表示零向量,其辐角不定．非零复数z ＝x ＋i y 的辐角主值ar g z 可以由下式确定a r g z ＝a r c t a n y x ,当x ＞０π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＞０－π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＜０π当x ＜０,y ＝０π２当x ＝０,y ＞０－π２当x ＝０,y ＜０ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１８)将复数视为向量时,复数的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则(图１５)．㊀图１５从三角形法则,可以得到以下的三角不等式|z １＋z ２|ɤ|z １|＋|z ２|㊀(１９)|z １－z ２|ȡ||z １|－|z ２||(１１０)㊀㊀四、复数的乘方与开方设z 为一个复数,由(１４)和(１６)式可知,z 可以表示为４ 复变函数与积分变换(第二版)z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)(１１１)其中r 表示复数z 的模,θ为复数z 的辐角,(１１１)式称为复数z 的三角表达式．利用欧拉公式e i θ＝c o s θ＋i s i n θ(１１２)我们可以把复数z 表示为z ＝r e iθ(１１３)这称为复数的指数表达式,易知此时＝re －i θ．利用复数的指数表达式,我们很容易计算出复数z 的乘除法公式和乘方公式:设z １＝r １(c o s θ１＋i s i n θ１),z ２＝r ２(c o s θ２＋i s i n θ２),则㊀z １z ２＝r １r ２[c o s (θ１＋θ２)＋i s i n (θ１＋θ２)]㊀或㊀z １z ２＝r １r ２e i (θ１＋θ２)(１１４)z ２z １＝r ２r １[c o s (θ２－θ１)＋i s i n (θ２－θ１)]㊀或㊀z １z ２＝r ２r １e i (θ２－θ１)(r １ʂ０)(１１５)z n ＝z z ︸n 个＝r e i θ r e i θ r e i θ n 个＝r n e i nθ(１１６)或z n ＝r n (c o s n θ＋i s i n n θ)(１１７)如果定义z －n ＝１z n ,那么当n 为复整数时,(１１６)和(１１７)式也是成立的．由(１１１)和(１１７)式,当r ＝１时可以导出著名的棣莫弗公式(c o s θ＋i s i n θ)n ＝c o s n θ＋i s i n n θ(１１８)将此式的左端展开,再分为实部和虚部,就可以得到n 倍角公式．例如,令n ＝３,由于㊀(c o s θ＋i s i n θ)３＝[c o s ２θ－s i n ２θ＋i (c o s θs i n θ＋c o s θs i n θ)](c o s θ＋i s i n θ)＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θ＋i (３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ)所以有c o s ３θ＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θs i n ３θ＝３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ再来考虑开方运算．对于一个复数z １,如果有另一个复数z ２及一个正整数n,使得z n ２＝z １,则z ２称为z １的一个n 次方根．下面给出求z １的n 次方根公式．设已知５ 第一章㊀复数与复变函数z １＝r (co s θ＋i s i n θ)其n 次方根z ２＝ρ(c o s φ＋i s i n φ),下面来计算ρ和φ．由于z n ２＝z １,所以有[ρ(c o s φ＋i s i n φ)]n ＝r (c o s θ＋i s i n θ)即得ρn (c o s n φ＋i s i n n φ)＝r (c o s θ＋i s i n θ)所以ρ＝r １n ,㊀n φ＝θ＋２k π(k ɪZ )故知z ２＝r １n c o s θ＋２k πn ＋i s i n θ＋２k πn æèçöø÷(１１９)注意到当k 取连续的n 个整数,例如１,２, ,n 时,可以得到φ的n 个值,其中任意两个值相差不超过２π．因此,z ２至少可以取n 个值．当k 的取值超过n 个时,必有φ的两个值,其差为２π的整数倍．因此,z ２至多取n 个值．因此,当z １ʂ０时,z２可以恰好取n 个值,且z ２＝|z １|１n c o s a r g z １＋２k πn ＋i s i n a r g z １＋２k πn æèçöø÷(k ＝０,１, ,n －１)(１２０)例１ ３㊀设z １＝１＋i ,z ２＝１＋３i ,求A r g z １z ２æèçöø÷．解㊀z １＝１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷＝２e π４i z ２＝１＋３i ＝２c o s π３＋i s i n π３æèçöø÷＝２e π３i 所以A r g z １z ２æèçöø÷＝A r g ２e π４i ２e π３i æèçöø÷＝A r g ２２e －π１２i æèçöø÷＝－π１２＋２k π㊀(k ɪZ )例１ ４㊀求:(１)４－１;㊀㊀㊀㊀㊀(２)５１＋i ．解㊀(１)因为－１＝c o s π＋i s i n π,所以４－１＝c o s π＋２k π４＋i s i n π＋２k π４㊀(k ＝０,１,２,３) ６ 复变函数与积分变换(第二版)即４－１有４个不同的值,分别为ω０＝co s π４＋i s i n π４＝２２(１＋i )ω１＝co s π＋２π４＋i s i n π＋２π４＝２２(－１＋i )ω２＝co s π＋４π４＋i s i n π＋４π４＝２２(－１－i )ω３＝c o s π＋６π４＋i s i n π＋６π４＝２２(１－i )(２)因为１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷,所以５１＋i ＝１０２æèççc o s π４＋２k π５＋i s i n π４＋２k π５öø÷÷㊀(k ＝０,１,２,３,４)即５１＋i 有５个不同的值,分别为ω０＝１０２c o s π２０＋i s i n π２０æèçöø÷ω１＝１０２c o s ９π２０＋i s i n ９π２０æèçöø÷ω２＝１０２c o s １７π２０＋i s i n １７π２０æèçöø÷ω３＝１０２c o s ２５π２０＋i s i n ２５π２０æèçöø÷ω４＝１０２c o s ３３２０π＋i s i n ３３２０πæèçöø÷它们是内接于以原点为中心㊁１０２为半径的圆的内接正五边形的５个顶点．注意:在复数范围内,方程z ３－１＝０有３个不同的根,分别为１,㊀－１２＋３２i ,㊀－１２－３２i 第三节㊀无穷远点和复球面㊀㊀一、无穷远点为了使复数运算在许多情况下是可以进行的,我们不但要讨论有限复数,还要７ 第一章㊀复数与复变函数讨论一个特殊的 复数 无穷大,记为ɕ,它是由下式ɕ＝１０来定义的,它和有限数的四则运算定义如下:a ＋ɕ＝ɕ＋a ＝ɕ㊀㊀㊀㊀㊀(a ʂɕ)ɕ－a ＝ɕ,㊀a －ɕ＝ɕ(a ʂɕ)a ɕ＝ɕ a ＝ɕ㊀(a ʂ０)a ɕ＝０,㊀ɕa ＝ɕ㊀(a ʂɕ)a ０＝ɕ㊀(a ʂ０)为避免矛盾,对于ɕʃɕ,０ ɕ,ɕɕ,００均无规定．对于复数ɕ,其实部㊁虚部及辐角均无意义,其模规定为＋ɕ．对于其他的每个复数z ,都有|z |＜＋ɕ．在复平面上,没有一个确定的点与ɕ相对应,但可以设想复平面上有一个理想点与它对应,此点称为无穷远点．我们规定复平面上只有一个无穷远点．复平面加上无穷远点称为扩充复平面,也称闭平面．扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点．为了使无穷远点的存在得到直观解释,黎曼特别创造了复数的球面表示法．图１６㊀㊀二、复球面以复平面的原点为球心,作半径为１的球．从原点引垂直于复平面的直线为z 轴,交球面于N 和S ,分别称为北极和南极,如图１６所示．对复平面上的任一点z ,从起点N 引过z 的射线,交球面于P ;反之,由起点N 出发,过球面上任一点P 的射线交复平面于一点,记为z ．这样,我们就建立了球面上的点(除N 外)与复平面上点的一一对应,从而可以用球面上的点(除N 外)来表示复数．应当注意到,以这样的方式建立的一一对应中,复平面内并无一个点与球面上的N 点对应．由于当z 的模|z |无限变大时,P 就无限接近N ,为使复平面上的点与球面上的点都能一一对应,我们在复平面上增加 无穷远点 ,使之与球面上的N 点对应．这样,扩充复平面就与球面之间建立了一一对应,这个球面称为复球面,其上 ８ 复变函数与积分变换(第二版)的N 点就是 无穷远点 ．第四节㊀复平面上的点集㊀㊀一㊁邻域㊁开集复平面上以z ０为圆心㊁r 为半径的圆面(不包括圆周)称为z ０的r 邻域,记为U (z ０,r ),则U (z ０,r )＝{z ||z －z ０|＜r }称U .(z ０,r )＝{z |０＜|z －z ０|＜r }为z ０的去心r 邻域．设D 为复平面上的点集．㊀如果存在z ０的某个邻域U (z ０,r )使得U (z ０,r )⊂D ,则称z ０为D 的一个内点．D 的所有内点构成D 的内部,记为i n t D ．如果z ０的任一邻域中,既有D 中点也有D 的余集中的点,则称z ０为D 的一个边界点．D 的所有边界点构成D 的边界,记为ƏD ．如果D ＝i n t D ,则称D 为一个开集;如果ƏD ⊂D ,则称D 为一个闭集．例如:|z －i |＜２为开集,|z －i |ɤ２为闭集．㊀㊀二㊁区域定义１．３㊀设D 为复平面上的点集,如果D 满足:(１)D 是一个开集;(２)D 中任何两点都可以用完全包含于D 内的一条折线连接起来(这个性质称为D 的连通性)则称D 为复平面上的一个区域．D ɣƏD 称为闭区域,记为D ．如果区域D 可以包含在一个圆周之中,则称该区域为有界区域,否则称为无界区域．例１ ５㊀复平面上,满足r １＜|z －z ０|＜r ２(r １＜r ２)的所有点构成一个有界区域(图１７),其边界为圆周|z －z ０|＝r １和|z －z ０|＝r ２称这样的区域为圆环域．例１ ６㊀复平面上满足R e (z )ȡ１的所有点构成一个无界的闭区域(图１８)．９ 第一章㊀复数与复变函数图１７㊀㊀㊀图１８㊀㊀三、平面曲线的复值函数形式我们知道,一个参数方程x＝x(t)y＝y(t){㊀(tɪ[α,β])在几何上表示一条平面曲线,而复值函数z＝x(t)＋i y(t)㊀(tɪ[α,β])(１２１)在复平面上表示的也是这条平面曲线．例如z＝R(c o s t＋i s i n t)(R＞０,０ɤtɤ２π)表示以原点为圆心㊁R为半径的圆,而z＝t＋i t２(－１ɤtɤ１)则表示一段抛物线．若在(１１７)中,x,y均为t的连续函数,则称平面曲线z＝x(t)＋i y(t)为连续曲线;若xᶄ(t),yᶄ(t)在tɪ[α,β]上都连续,且xᶄ２(t)＋yᶄ２(t)ʂ０,tɪ[α,β],则称平面曲线为光滑的;光滑曲线上每点皆有切线,且切线是连续变化的;若曲线由若干段光滑曲线连接而成,则称曲线为分段光滑的．设C:z＝z(t)(αɤtɤβ)为一条连续曲线,z(α)与z(β)分别称为C的起点和终点．对于满足α＜t１＜β,αɤt２ɤβ的t１,t２,当t１ʂt２且有z(t１)＝z(t２)时, z(t１)称为曲线C的重点．没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若当曲线．如果简单曲线的起点和终点重合,即z(α)＝z(β),则称曲线C为简单闭曲线．由此即知,简单曲线自身不会相交．如图１９所示．图１９０１ 复变函数与积分变换(第二版)。
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
复数与复变函数
复数与复变函数复数和复变函数是数学中重要的概念，它们在许多学科领域都有广泛的应用。
本文将从复数的定义入手，介绍复数的运算法则以及复变函数的概念和性质。
一、复数的定义和运算法则复数是由一个实数和一个虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
下面分别介绍这些运算法则。
加法：两个复数相加的结果是实部相加，虚部相加。
例如，(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i。
减法：两个复数相减的结果是实部相减，虚部相减。
例如，(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i。
乘法：两个复数相乘的结果是实部的乘积减去虚部的乘积，并加上实部和虚部的乘积。
例如，(a+bi)×(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
除法：两个复数相除的结果是将被除数乘以除数的共轭，再除以除数的模的平方。
例如，(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
二、复变函数的概念和性质复变函数是指定义在复数域上的函数，即其自变量和函数值都是复数。
复变函数有许多特殊性质，下面介绍其中的几个重要性质。
1. 解析性：复变函数在其定义域上处处可导，并满足柯西-黎曼方程。
2. 互补性：如果复变函数的实部和虚部是某个函数的共轭，那么该函数是解析函数。
3. 幂级数展开：复变函数可以用幂级数展开表示，这为研究复变函数提供了便利。
4. 含有极点：复变函数的定义域上可能存在极点，即函数在某些点上无穷大。
5. 解析延拓：如果复变函数在某个定义域上是解析的，那么可以通过解析延拓将其定义域扩展到更广的范围。
三、复数与复变函数的应用复数和复变函数在许多科学和工程领域都有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用领域。
1. 电工电子学：复数可以用来描述交流电的电压和电流，复变函数可以用来分析电路的性能和响应。
复数与复变函数
复数与复变函数
复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍复数的基本概念、复变函数的定义以及它们在数学中的应用。
复数的基本概念
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。
复数的加法、减法、乘法和除法运算遵循一定的规则，例如：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
复变函数的定义
复变函数是一种将复数映射到复数的函数，可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)的形式，其中u和v是实值函数，x和y分别是复数z的实部和虚部。
复变函数具有连续性、可导性和解析性等性质，例如：
- 如果一个复变函数在某一点连续，则它在该点的邻域内也连续；
- 如果一个复变函数在某一点可导，则它在该点附近也一定可导；
- 如果一个复变函数在某一点解析，则它在该点附近也一定解析。
复数和复变函数的应用
复数和复变函数在许多领域都有广泛的应用，例如：
- 在物理学中，复数被用来描述波动现象、电磁场等物理量；
- 在工程学中，复数被用来分析电路、信号处理等问题；
- 在计算机科学中，复数被用来设计算法、加密通信等技术；
- 在数学中，复变函数被用来研究微分方程、积分方程等问题。
总之，复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
通过学习和掌握这些概念，我们可以更好地理解和应用数学知识来解决实际问题。
第一章 复数和复变函数
ei1 ei2 (cos1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ei (1 2 ) ,
可得
z1z 2 r1r2ei (1 2 ) .
于是有如下等式
（1.13）
| z1 z2 || z1 || z2 |, Arg ( z1z 2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z 2 ).
（1.14）
式(1.14)表明： 两个复数乘积的模等于它们模的乘积， 两个复数乘积的辐角等于它们辐角的 和。值得注意的是，由于辐角的多值性，式(1.14)的第二式应理解为对于左端 Arg ( z1 z2 ) 的
上海交通大学数学系 王健
任一值， 必有由右端 Argz1 与 Argz2 的各一值相加得出的 和与之对应；反之亦然。以后，凡遇到多值等式时，都 按此约定理解。 由式(1.14)可得复数乘法的几何意义，即： z1 z2 所 对应的向量是把 z1 所对应的向量伸缩 r2 | z2 | 倍， 然后再 旋转一个角度 2 argz 2 所得(见图 1.2)。
a 2 b 2 ( a b)( a b), a3 b3 ( a b)(a 2 ab b 2 ),
等等仍然成立。实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实例。 由于一个复数与平面上的一个向量所对应， 因此， 复数的加法运算与平面上向量加法运 算一致,从而以下两个不等式成立。
z2 x2 iy2 相等，是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等， 即 x1 iy1 x2 iy2
当且仅当 x1 x2 , y1 y2 。 1.1.2 复数的表示 1.1.2.1 代数表示 由式(1.1)所给出的即为复数的代数表示。 1.1.2.2 几何表示 由复数的定义可知，复数 z x iy 与有序数对 ( x, y ) 建立了一一对应关系。在平面上建立直角坐标 系 xOy ，用 xOy 平面上的点 P ( x , y ) 表示复数 z ，这 样复数与平面上的点一一对应，称这样的平面为复平 面。若用向量 OP 表示复数 z ，如图 1.1 所示。该向
复数与复变函数的性质与变换
复数与复变函数的性质与变换介绍：复数与复变函数是数学中的重要概念，在多个领域中有广泛的应用。
本文将探讨复数的基本性质，复变函数的定义和性质，以及复变函数在平面变换中的应用。
一、复数的基本性质1. 定义：复数由实部和虚部组成，通常表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数运算：复数加法、减法、乘法和除法的计算规则与实数运算类似，但要注意虚部的处理。
3. 共轭复数：对于复数z=a+bi，其共轭复数表示为z*=a-bi，即实部相同而虚部正负相反。
二、复变函数的定义和性质1. 复变函数的定义：复变函数是将复数集合映射到复数集合的函数。
常见的复变函数包括多项式函数、指数函数、三角函数等。
2. 复变函数的解析性：复变函数满足柯西-黎曼方程，即必须满足柯西-黎曼条件才能解析。
柯西-黎曼条件要求函数的实部和虚部满足偏导数的连续性。
3. 复变函数的调和性：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实部和虚部，若满足拉普拉斯方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0，则函数具有调和性。
4. 积分和保守场：复变函数的积分与实变函数类似，但存在一些特殊性质。
若复变函数f(z)在闭合曲线上的积分为零，则说明该函数是保守场。
三、复变函数的变换与应用1. 平移变换：将复变函数f(z)平移至f(z-a)的形式，其中a为实常数。
平移变换可用于调整函数在平面上的位置。
2. 缩放变换：将复变函数f(z)缩放至kf(z)的形式，其中k为实常数。
缩放变换可用于调整函数的尺度。
3. 旋转变换：将复变函数f(z)旋转θ角度至e^(iθ)f(z)的形式，其中θ为实常数。
旋转变换可用于调整函数的方向。
4. 映射：由复变函数所生成的函数族可以描述多种平面映射，如圆形映射、逆映射等。
这些映射在物理学、工程学和计算机图像处理中有重要应用。
总结：复数与复变函数是数学中重要的概念，具有多样的性质和应用。
复数与复变函数
复变函数
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0.1 导论
• 复数的概念起源于求方程的根，在二 次、三次代数方程的求根中就出现了负数开 平方的情况。在很长时间里，人们对这类数 不能理解。但随着数学的发展，这类数的重 要性就日益显现出来。复数的一般形式是： a+bi，其中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函 数，而与之相关的理论就是复变函数论。解 析函数是复变函数中一类具有解析性质的函 数，复变函数论主要就研究复数域上的解析 函数，因此通常也称复变函数论为解析函数 论。
欧拉公式： e i cos i sin
工程数学---------复变函数
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4. 复球面
S
z0
z xiy
N
P N
复球面
z （无穷远点）
扩充复平面
S O
P
的四则运算
( 0)
y
z
x
( 0) 0, ( )
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0.2 复变函数论的发展简况
• 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学 和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如 流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。 • 物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场 就是每点对应有物理量的一个区域，对它们 的计算就是通过复变函数来解决的。 • 俄国的茹柯夫斯基用复变函数论解决了飞 机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解 决流体力学和航空力学方面的问题上也做出 了贡献。
工程数学---------复变函数
y y
o
x x
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复变函数第1章 复数与复变函数
设 z1 r1(cos1 isin1) r1ei1 ,
z2 r2(cos2 isin2 ) r2ei2
则
z1z2 r1r 2 (cos1 isin1)(cos2 isin2 )
r1r 2[cos( 12 ) isin( 12 )] r1r 2 ei( 12 )
于是， z1z2 z1 z2 , Arg(z1z2 ) Arg(z1) Arg(z2 )
(7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(8h) Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.5分.1析6) 是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 导问题, 象18等22作年出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多.
1 i i
例1. 证明若z是实系数方程 an xn an-1xn1 a1x a0 0 的根,则z也是其根. (实系数方程的复根成对出现)
三、复平面及复数的几何表示y
设 z x iy P(x, y) OP x轴 实轴, y轴 虚轴
1. 模 、辐角 模：z r OP x2 y2 ; 则有
复 实数 ( y =0) 数 (C) 虚数 ( y 0)
纯虚数 ( x=0) 非纯虚数 (x 0 )
简单性质：
(1) 设 z1 x1iy1 , z2 x2 iy2,则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
(2) z x iy 0 x 0且y 0
注意：一般说来，. 任意两个复数不能比较大小！
第一章复数与复变函数
n 次幂，
cos i sin
n
cosn i sinn
此式称为棣莫佛(De Moivre)公式。
2、复数的开方 开方是乘方的逆运算，设 w z 则称复数 z的n次方根记作： n z . w w为复数
n
容易得
1 1 w z | z |[cos( 2k ) i sin( 2k )] n n
2 2 2 2
2
2
三、复数的表示方法
1. 点的表示法 2. 向量表示法
3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示法
复数z x iy 一对有序实数x, y), (
在平面直角坐标系中， 任 意 点 ( x , y ) 一 对 有 序 实 数x , y ) P ( z x iy 平 面 上 的 点 ( x , y ) P
则有 z1z2 | z1 || z2 | [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
于是得到：1z2 || z1 || z2 | |z
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2
后一个式子应理解为集合相等。
几何意义 ： 将复数 z 1 按逆时针方向旋转一个 角度2 ，再将其伸缩 z2 倍。
内接于该圆周的正 n 边形的 n 个顶点。
如 wk 4 1 i
2k 2k 8 2 (cos 4 i sin 4 ) ( k 0,1,2,3) 4 4
（见下图）
w1
y
1 i
2
28
w0
w2
o
w3
x
例5 求解方程 z 3 2 0
解：z 2
故得
1 3
复数与复变函数
第一章 复数与复变函数教学目的和要求：将数域范围扩展到复数域，在新数域下掌握对应的运算法则，熟练掌握复数的各种表示法及其运算，了解区域的概念，理解复变函数及映射的概念，掌握复变函数的极限和连续的概念，理解复球面和无穷远点的概念。
教学重点和难点： 复数的运算和各种表示法 教学内容： 1、复数域：每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的共轭定义为：iy x z -=；复数的四则运算定义为：)()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++11121221122222222222()()a ib a a b b a b a b ia ib a b a b ++-=++++复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2、复平面：C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面或w -平面等。
复数可以等同于平面中的向 量。
向量的长度称为复数iyx z +=的模，定义为：22||yx z +=；向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：πk z z 2arg A rg +=（Z k ∈），其中z arg 称为辐角主值，),(y x并且ππ≤<-z arg 。
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rre Simo(n10d)e Laplace 变换应用于控制问题.
(1749.3.23-18在27.控3.5制) 问题中，传递函数是输入量的Laplace 国数学家变和换天与文输学家出.量曾的经Laplace变换之比.
任过Napoleon的内政部长.
界的任何(1事1)情Z,变他换都应感用兴于趣.离散控制系统.
(1) 复数的和与差 z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2) 复数的乘积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 )
(3) 复数的商
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
z z z.
>> z=x+y*i; >> conj(z)
设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复an数s ,=如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2. x-i*y
注意 一般来说，复数不能比较大小.
1.1.2 复数的四则运算
复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除 运算定义如下：
例如,
3+0i=3R是e =实数,
x
4+5i,
-3i都
是虚数, 而-3i是纯虚数.
>> Im=imag(z)
Im =
共轭复数
复数 x-iy 称为复数 x+iy 的共轭复数 (其中x, y
均为实数), 并记做 z .
复数的共轭可用conj()来
显然, z=x+iy 是 x-iy 的共轭复>>数sy,m即s x y real;
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复平面点集 §1.3 扩充复平面及其球面表示
复变函数与积分变换及应用背景
M.Kline（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992) (《古今数学思想》(Mathematical Thought
froMm oArnrciiseKnltinteo(1M9o0d8e-r1n99T2i)m,e纽 s)的约作大者学,Co美ur国ant数学 数学研史究家所)的指教出授:. 从他技的术著观作点包来括看《,十数九学世: 确纪最定性的丧 独分特支失的 统》创 治等造 了. 是 十单九复世变纪函,几数乎的象理微论积.分这的个直新接的扩数展学 统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直 被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象 科学中最和谐的理论之一.
(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(h9) Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.分5.1析6)是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 问题, 象18等22年作出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多. 一种在数学物理问题中有普遍意
当复数的虚部为零和、im实a部g()不来实 为现零.(例即如y=0, x 0 )
>> syms x y real;
时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数>x>,而z=x虚+y部*i不; 为零(即
y 0)的复数称为虚数. 在虚数中>,>实Re部=r为eal零(z()即x=0,
y
0)的称为纯虚数.
主要内容
本章引入复数的概念及表示式、复数 的运算、平面点集的概念.
§1.1 复数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
力学》(1(71929)-1小82波5, 5分卷析本的)和应用领域十分广泛, 如信号分析和 2). 图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、
的星云假说. 以他的名字命
ace方程地有广质泛勘的探应与用地. 震预报等等. ；我们不(知13道)的复，变是函无限数的与. 积分变换的计算可以使用为科学和
工程计算设计的软件 MATLAB基础
x1 y2 y22
z1 z2
z2 z2
复数运算的性质
1. 交换律 z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1.
2. 结合律
(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ); z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) z3 .
(等3)问复题变的函研数究理. 论可在复以数域应必有n用个用R根.i于复em变法流an函国n体数数的函理学数平论家证.面(z他明)平在了0行1当, 8从流9x6=而年动1习时证应,,
17 17
(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,
定义的数称为虚数单位
i 1.
虚数单位为i=j=sqrt(-1), 其数
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中
x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复
数 x+iy (或 x+yi )的实部和虚部 , 并记做
x Re z, y 求 复Im变z量. 的实部和虚部可用命令
(1) 代数方程 x2 1 0 在实数范围内无解.
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数
的概念, 从而建立了复变函数理论. Gauss应用复变
函数理论证明了 代数基本定理 .
C
(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 (
数真的理积 之间分.的J最. H短ad路am程a复r是系d数znn通（次a代1zn数过阿1方 程复达an1(域z马1Ja8na.6）c05q.1u说青2e.s8:年H-实1a9时d6域a3代m.1中a0r.1d两7)和 异个物 常理 ,伟曾