复变函数复数与复变函数

例如,
3+0i=3R是e =实数,
x
4+5i,
-3i都
是虚数, 而-3i是纯虚数.
>> Im=imag(z)
Im =
共轭复数
复数 x-iy 称为复数 x+iy 的共轭复数 (其中x, y
均为实数), 并记做 z .
复数的共轭可用conj()来
显然, z=x+iy 是 x-iy 的共轭复>>数sy,m即s x y real;
(1) 代数方程 x2 1 0 在实数范围内无解.
Hale Waihona Puke Baidu
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数
的概念, 从而建立了复变函数理论. Gauss应用复变
函数理论证明了 代数基本定理 .
C
(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 (
数真的理积 之间分.的J最. H短ad路am程a复r是系d数znn通（次a代1zn数过阿1方 程复达an1(域z马1Ja8na.6）c05q.1u说青2e.s8:年H-实1a9时d6域a3代m.1中a0r.1d两7)和 异个物 常理 ,伟曾
(等3)问复题变的函研数究理. 论可在复以数域应必有n用个用R根.i于复em变法流an函国n体数数的函理学数平论家证.面(z他明)平在了0行1当, 8从流9x6=而年动1习时证应,,
17 17
(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,
从而研究机翼的造型问题.
主要内容
本章引入复数的概念及表示式、复数 的运算、平面点集的概念.
§1.1 复数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式

x1 y2 y22

z1 z2
z2 z2
复数运算的性质
1. 交换律 z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1.
2. 结合律
(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ); z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) z3 .
rre Simo(n10d)e Laplace 变换应用于控制问题.
(1749.3.23-18在27.控3.5制) 问题中，传递函数是输入量的Laplace 国数学家变和换天与文输学家出.量曾的经Laplace变换之比.
任过Napoleon的内政部长.
界的任何(1事1)情Z,变他换都应感用兴于趣.离散控制系统.
(1) 复数的和与差 z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2) 复数的乘积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 )
(3) 复数的商
z1 z2

x1 x2 x22

y1 y2 y22

i
x2 y1 x22
z z z.
>> z=x+y*i; >> conj(z)
设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复an数s ,=如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2. x-i*y
注意 一般来说，复数不能比较大小.
1.1.2 复数的四则运算
复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除 运算定义如下：
(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(h9) Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.分5.1析6)是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 问题, 象18等22年作出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多. 一种在数学物理问题中有普遍意
当复数的虚部为零和、im实a部g()不来实 为现零.(例即如y=0, x 0 )
>> syms x y real;
时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数>x>,而z=x虚+y部*i不; 为零(即
y 0)的复数称为虚数. 在虚数中>,>实Re部=r为eal零(z()即x=0,
y

0)的称为纯虚数.
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
i 1.
虚数单位为i=j=sqrt(-1), 其数
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中
x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复
数 x+iy (或 x+yi )的实部和虚部 , 并记做
x Re z, y 求 复Im变z量. 的实部和虚部可用命令
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复平面点集 §1.3 扩充复平面及其球面表示
复变函数与积分变换及应用背景
M.Kline（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992) (《古今数学思想》(Mathematical Thought
froMm oArnrciiseKnltinteo(1M9o0d8e-r1n99T2i)m,e纽 s)的约作大者学,Co美ur国ant数学 数学研史究家所)的指教出授:. 从他技的术著观作点包来括看《,十数九学世: 确纪最定性的丧 独分特支失的 统》创 治等造 了. 是 十单九复世变纪函,几数乎的象理微论积.分这的个直新接的扩数展学 统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直 被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象 科学中最和谐的理论之一.
力学》(1(71929)-1小82波5, 5分卷析本的)和应用领域十分广泛, 如信号分析和 2). 图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、
的星云假说. 以他的名字命
ace方程地有广质泛勘的探应与用地. 震预报等等. ；我们不(知13道)的复，变是函无限数的与. 积分变换的计算可以使用为科学和
工程计算设计的软件 MATLAB基础