高中数学全套讲义 选修1-2 数系扩充难 学生版

目录

目录 (1)

考点一虚数单位i、复数 (2)

考点二复数的代数表示法及其几何意义 (3)

课后综合巩固练习 (4)

考点一 虚数单位i 、复数

1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为

2.负数的运算

1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．

2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．

形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数．

2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．

3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．

4、复数的模：

→

OZ

的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=

⎷ a 2+b 2

1．（2019•湖北模拟）若复数232019|34|134i z i i i i i

-=++++⋯+++，则复数z 对应的点在第( )象限

A ．一

B ．二

C ．三

D ．四

2．（2018秋•泉州月考）若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于( )

A ．3-

B ．0

C ．1

D ．2

3．（2019春•龙凤区校级月考）若ABC ∆是锐角三角形，则复数⎷ a 2+b 2

(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4．（2018秋•兴庆区校级月考）若复数cos sin z i θθ=+且221z z +=，则2sin (θ= )

A ．12

B ．14

C ．34

D ．1

4

- 5．（2018春•内江期末）下面是关于复数1(z i i =+为虚数单位）的四个命题： ①z 对应的点在第一象限；②||2z =；③2z 是纯虚数；④z z >．其中真命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 6．（2018春•武清区期中）i 是虚数单位，2501i i i +++⋯+等于( )

A ．0

B ．i

C ．1i +

D ．2i +

考点二 复数的代数表示法及其几何意义

1、复数的代数表示法

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ．

2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：

（1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ；

（2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．

7．（2019春•安庆期末）复数2(1)21z m i i m i =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围( )

A ．(,1)-∞-

B ．(1,1)-

C ．(1,2)-

D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞

8．（2019春•松江区期末）已知复数1cos 2()z x f x i =+，2cos )z x x i =++，x R ∈，在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为( )

A ．1

4- B ．14 C ．1

2- D ．12

9．（2019春•河南期中）设复数z 的共轭复数是z ，且||1z =，又(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()|(1)()|f z z z i =+-取最大值时在复平面上以z ，A ，B 三点为顶点的图形是( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形

10．（2019•安徽二模）已知i 为虚数单位，在复平面内，复数22i i

+的共轭复数对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

11．（2019•河南三模）已知z 的共轭复数是z ，且||12(z z i i =+-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

12．（2019春•东湖区校级月考）设复数()a i z a R a i -=

∈+在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围是( )

A ．1a <-

B ．0a <

C ．0a >

D ．1a > 课后综合巩固练习

13．（2019春•扬州期末）设a R ∈，若复数(2)(2)i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =-上，则a = ．

14．（2019春•诸暨市校级期中）已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足|1|z x -=，那么z 在复平面上对应的点(,)x y 的轨迹方程为 ；||min z = ．

15．（2019春•青浦区期末）若复数z 满足||2z =，则|3||3|z z ++-的取值范围是 ．

16．（2018春•南康区校级月考）已知m R ∈，复数2(2)(1)(12)z i m m i i =+---+（其中i 为