北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：圆锥曲线(含答案)

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：圆锥曲
线
一、选择题
1 ．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线221x m y -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （ ）
A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．4
2 ．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则
||||
P F P A 的最
小值是
（ ）
A ．1
2 B ．2 C ．2
D ．3
3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线)0,0(12
22
2>>=-b a b
y a
x 的离心率为2，一个焦点与抛物线
x y 162
=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为
（ ）
A ．x y 2
3±= B ．x y 2
3±
= C ．x y 3
3±= D ．x y 3±=
4 ．（2013届东城区一模理科）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：
222
2
1x y a
b
-
=(0,0)a b >>的两个焦点，
双曲线1C 和圆2C ：2
2
2
x y c +=的一个交点为P ，且12212P F F P F F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为 （ ）
A 2
B C ．2
D 1
5 ．（2013届门头沟区一模理科）已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且
y x
的取值范围为
33
(,)44
-
，则该双曲线方程是 A ．
221916x y -=
B ．
221916y
x
-
=
C ．
22
1169
x y -
= D ．
22
1169
y x -
=
6 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线2
2y p x =的焦点F 与双曲线
2
2
17
9
x
y
-
=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||A K A F =，则△
A F K 的面积为 （ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
7 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）方程2
x xy x +=的曲线是 （ ）
A ．一个点
B ．一条直线
C ．两条直线
D ．一个点和一条直线
8 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>，过其右焦
点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若O M O N ⊥，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．
12
-+
B ．
12+ C ．
12
-+
D ．
12
+
9 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛
物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是
（ ）
A ．5
B ．2
C ．115
D ．3
10．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为
)0,5(1-
F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是 （ ）
A ．
14
2
2
=-y
x
B ．14
2
2
=-
y
x C ．
13
2
2
2
=-
y
x
D ．
12
3
2
2
=-
y
x
11．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆222
2
:1(0)
x y C a b a
b
+
=>>的左右焦点分
别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是
（ ）
A ．12
(,)33
B ．1(,1)
2 C ．2(,1)
3
D ．111(,)(,1)
32
2
二、填空题
12．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xO y 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛
物线2
4y x =上，且直线A P 与B P 的斜率之积等于2，则0x =______．
13．（2013届房山区一模理科数学）已知双曲线222
2
:
1(0,0)x y C a b a
b
-
=>>的焦距为4，且过点(2,3)，则它的渐近
线方程为 .
14．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）若双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>
与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 .
15．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知直线
:1(R )l y a x a a =+-∈，若存在实数a
使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线
段的长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①21
y x =--；
②2
2
(1)(1)1
x
y -+-=；③2
2
34
x y +=．其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）
如图，16．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）
1F 和2F 分别是双曲线
222
2
1(00)x y a b a
b
-
=>>，的两个焦
点，A
和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为 .
17．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆
2
2
14
2
x
y
+
=的两个焦点是1F ，2F ，点P
在该椭圆上．若12||||2P F P F -=，则△12P F F 的面积是______．
18．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42
=的
焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足.如果直线AF 的倾斜角为 120,那么
=PF _______.
19．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以双曲线
2
2
19
16
x
y
-
=的右焦点为圆心，并与其渐近
线相切的圆的标准方程是 _____.
20．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线
方程为______.
21．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲
线
2
2
14
12
x
y
-
=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则P F P A +的最小值为 ．
三、解答题
22．（2013届北京大兴区一模理科）已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14
-
，点P 的轨迹为曲
线C 。

(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。

求证，A 、D 、N 三点共线。

23．（2013届北京丰台区一模理科）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2)，直线l ：
y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

24．（2013届北京海滨一模理科）已知圆M ：2
2
2
(x y r
-
+=（0r >）.若椭圆C ：
222
2
1x y a
b
+
=（0a b >>）
的右顶点为圆M 2
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段A B 上，且A G B H =，求圆M 半径r 的取值范围.
25．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知动点),(y x P 与一定点)0,1(F 的距离和它到一定直线4:=x l 的距离
之比为
2
1.
(Ⅰ) 求动点),(y x P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）已知直线:l '1+=my x 交轨迹C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作直线4:=x l 的垂线，垂足依次为点D 、E .连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.
26．（2013届北京西城区一模理科）如图，椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，
B 两点．当直线A B 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒
．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段A B 的中点为G ，A B 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△G F D 的面积为1S ，△O E D （O 为原点）的面积为2S ，求12
S S 的取值范围．
27．（2013届东城区一模理科）已知椭圆222
2
:
1x y C a
b
+
=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为
12
，过
1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△2M N F 的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线A B 的距离为定值，并求出这个定值．
28．（2013届房山区一模理科数学）已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A B
,
两点，直线A O B O ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.
29．（2013届门头沟区一模理科）在平面直角坐标系xOy 中， 动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F 的距离
倍．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP 与（Ⅰ）中曲线交于点Q ，与l 交于点A ，分别过点P 和Q 作l 的垂线，垂足为,M N ，问：是否存在点P 使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
30．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分14分) 已
知平面内一动点P 到点)1,0(F 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点
,D E ，求EB AD ⋅的最小值．
31．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的离心率为
.3
6
（I ）若原点到直线0=-+b y x 的距离为,2求椭圆的方程； （II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为︒45的直线和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=
AB ，求b 的值；
（ii ）对于椭圆上任一点M ，若OB OA OM μλ+=，求实数μλ,满足的关系式.
32．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在平面直角坐标系xO y中，动点P
到两点(0)
，
0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点(1,0)
E-且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△A O B面积的最大值，若存在，求出△A O B的面积；若不存在，说明理由.
33．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知椭圆C：)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
，左焦点)0,3
(-
F，且离心率
2
3
=
e
(Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线)0
(
:≠
+
=k
m
kx
y
l与椭圆C交于不同的两点N
M,（N
M,不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A. 求证：直线l过定点,并求出定点的坐标.
34．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线24
y x
=的焦点为F．过点(2,0)
P
的直线交抛物线于
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y两点，直线A F，B F分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求
12
y y的值；
（Ⅱ）记直线M N的斜率为
1
k，直线A B的斜率为
2
k.证明：1
2
k
k
为定值．
35．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆()11:
2
2
2>=+a y
a
x C 的上顶点为A ,
左焦点为F ,直线AF 与圆0726:2
2=+-++y x y x M 相切.过点⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两点.
(I)求椭圆C 的方程;
(II)当APQ ∆的面积达到最大时,求直线的方程.
36．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右
焦点()2,0F F 作直线，交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形A O B C 恰好为平行四边形，求直线的斜率．
37．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相
等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．
（Ⅰ）当m= 2
， 54
A C =
时，求椭圆12,C C 的方程；
（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围．
38．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴,
离心率为
2
且抛物线2
y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,O A O B 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．
39．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点A 是椭圆()2
2
:
109
x
y C t t
+
=>的左
顶点，直线:1()l x m y m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△A E F 的面积为
163
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线A E ，A F 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以M N 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由.
40．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知()2,2E 是抛物线2:2C y p x =上一点，
经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,E A E B 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O 为原点，求证：M O N ∠为定值.
41．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，
2
，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线M A M B
、的斜率互为相反数．
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：圆锥曲线参考答案
一、选择题 1. D 2. B 3. D 4. D 5. C
6. 【答案】D
解：双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2
p ，所以42
p =，即8p =。

所以抛物线方程为2
16y x =，
焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -,设2
(
,)16
y
A y , 过A 做A M
垂直于准线于M,由抛物线的定义可知A M A F =,所以A K F M =
=,即A M M K =,所以
2
(4)16
y
y
--=，整理得
2
16640y y -+
=，即2
(8)
0y -=，所以8y =，所以
1188322
2
A F K S K F y ∆=
=⨯⨯=,选D.
7. 【答案】C
【解析】由2
x xy x +=得(1)0x x y +-=，即010x x y =+-=或，为两条直线，选C.
8. 【答案】D
【解析】由题意知三角形O M N 为等腰直角三角形，所以M F O F c ==，所以点(,)M c c ，代入双曲线
方程222
2
1c c a
b
-
=，当x c =时，
222
2
1c y a
b
-
=，得2
b
y a
=
，所以由2
b
y c a
=
=，的2
b a
c =，即
2222
,0
c a ac c ac a -=--=，所以2
10
e e --=，解得离心率12
e +=
，选 D.
9. ,【答案】B
【 解析】因为抛物线的方程为2
4y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

所以设P 到准线的距
离为P B ,则P B P F =。

P 到直线1:4360l x y -+=的距离为P A ，
所以P A P B P A
P F +
=
+≥,其中F D 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以
1025
F D =
=
=，所以距离之和最小值是2，选B.
10. 【答案】B
解：由双曲线的焦点可知c =
，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2P F x ⊥，且
24P F =，点P 在双曲线右支上。

所以16P F =
=
=，所以126422P F P F a -=-==，
所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为14
2
2
=-
y
x ，选B.
11. 【答案】D
解：当点P 位于椭圆的两个短轴端点时，12F F P ∆为等腰三角形，此时有2个。

,若点
不在短轴的端点时，要使12F F P ∆为等腰三角形，则有1122P F F F c ==或
2P F F F c ==。

此时222P F a c =-。

所以有1122P F F F P F +>，即2222c c a c +>-，所以3c a >，即
13
c a >，又当点P 不在
短轴上，所以11P F B F ≠，即2c a ≠，所以
12
c a
≠。

所以椭圆的离心率满足
113
e <<且12
e ≠，即
111
(
,)(,1)322 ，所以选
D.
二、填空题
12. 1+
13. y =± 14. (1,2]
15. ②③
16. 1
17.
解：由椭圆的方程可知2,a c ==
，且12||||24P F P F a +==，所以解得12||3,||1P F P F ==，又
12||2F F c ==2
2
2
1212
||||P F P F F F =+，即三角形21P F F 为直角三角形，所以△12P F F 的面
积1221112
2S F F P F ∆=
=
⨯=
18.答案4抛物线的焦点坐标为(1,0)F ,准线方程为1x =-.因为直线AF 的倾斜角为 120,所以0
60A F O ∠=,
又tan 601(1)
A y =
--
,所以A y =.因为l PA ⊥,所以P A y y ==,代入x y 42
=,得3A x =,所以
3(1)4P F P A ==--=.
19. 【答案】22
(5)16x y -+=
解：双曲线的渐近线为43
y x =±
，不妨取43
y x =
，即430x y -=。

双曲线的右焦点为(5,0)，圆心到直
线430x y -=
的距离为4d =
=，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为22
(5)16x y -+=。

20. 【答案】
2
2
14
4
x
y
-
=
解：因为双曲线经过点(2,0)，所以双曲线的焦点在x 轴，且2a =，又双曲线的渐近线为y x =±，所以双
曲线为等轴双曲线，即2b a ==，所以双曲线的方程为
2
2
14
4
x
y
-
=。

21. 【答案】9
解：由双曲线的方程可知2a =，设右焦点为1F ，则1(4,0)F 。

124P F P F a -==，即14P F P F =+，所以1144P F P A P F P A A F +=++≥+，当且仅当1,,A P F
三点共线时取等号，此
时
15A F =
=
=，所以149P F P A A F +≥+=，即P F P A +的最小值为9.
三、解答题
22.解：（I ）设P 点坐标(,)x y ，则2A P
y k x =
+（2
x
≠-），2
B P
y k x =
-（2
x
≠），
由已知
12
2
4y y x x ⋅
=-
+-，化简得：
2
2
1
4
x
y +=.
所求曲线C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+=（2
x
≠±）。

（II ）由已知直线AQ 的斜率存在， 且不等于0，设方程为(2)
y
k x =+，
由22
44
(2)
x y y k x ⎧+=⎨
=+⎩，消去y 得：
2
2
2
2
(14)161640k x k x k +++-=⋅⋅⋅（1）.
因为2-，Q x 是方程（1）的两个根， 所以2
2164214Q k x k
--⨯=
+，得22
2814Q
k x k
-=
+， 又22
2
284(2)(
2)1414Q
Q k k
y k x k k
k
-=+=+=
++，所以22
2
284(
,
)
1414k k Q k
k
-++。

当4
x
=，得6M
y k
=，即(4,6)
M
k 。

又直线BQ 的斜率为14k
-，方程为1(2)
4y x k
=-
-，当4
x
=时，得12N
y k
=-
，即1(4,)
2N k
-。

直线BM 的斜率为3k ，方程为3(2)
y
k x =-。

由22
443(2)
x y y k x ⎧+=⎨
=-⎩，消去y 得：
2
2
2
2
(136)14414440k x k x k +-+-=⋅⋅⋅（2）.
因为2，D x 是方程（2）的两个根，所以
2
2
1444
2136D k
x k -⋅=
+，
得2
2
722
136D
k
x k
-=
+，又2
123(2)136D
D k y k x k
=-=-
+，即2
2
2
72212(
,)
136136k k D k k
--
++。

由上述计算：(2,0)A -，2
2
2
72212(,)
136136k k D k
k
--
++，1(4,)
2N k -。

因为112A D
k k
=-
，112A N
k k
=-
，所以A D
A N
k k =。

所以A 、D 、N 三点共线。

23.解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为222
2
1x y a
b
+
=()0a b >>，由题意
22
22442
1
a b a
b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2
8a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22
184x y +=. …………5分 （Ⅱ）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3），
设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0),
由2
2
184x y
y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222
(12)4280k x m kx m +++-=, …………………6分 222222164(12)(28)648320m k k m k m ∆=-+-=-+>，所以22
840k m -+>,…7分 122
412m k x x k
+=-+,
∴12
02
22
12x x m k x k
+=
=-
+，002
12m y kx m k
=+=
+, ……………8分
线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3），
A
B
G
H ∴1N Q k k ⋅=-，即00
31y k x -⋅=-，∴2
36m k -=+，…………10分
0∆> ，
整理得42
362850k k ++<，显然矛盾∴不存在满足题意的k 的值。

………13分
24.解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，
因为a =
，
2
c a
=
，所以1c =，所以1b =.
所以椭圆C ：
2
2
12
x
y
+=………………4分
（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )
由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22
220
y k x
x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22
(12)20k x +-= ，则120x x +=，122
212x x k
=-
+………………6分
所以A B =
=
7分
点M
，0）到直线l
的距离d =
则G H =9分
显然，若点H 也在线段A B 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，
所以要使A G B H =，只要A B G H =
所以
2
22
22
8(1)24()121k k
r k k
+=-
++
22
42
4
2
2
2
4
2
4
2
22(1)2(331)2(1)112231
231
k
k k k k
r k
k
k k k k +++=
+
=
=+
++++++………………11分
当0k =
时，r =12分
当0k ≠时，
2
4
2
112(1)2(1)3
132
2
r k
k
=+
<+=+
+
又显然
2
4
2
12(1)2132
r k
k
=+
>+
+, <r ≤<14分
25.解：(Ⅰ)由题意得
2
1|
4|)1(2
2=
-+-x y x ，化简并整理，得
13
4
2
2
=+
y
x
.
所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆
134
2
2
=+
y
x
. ………3分
（Ⅱ）当0=m 时，)2
3,1(A 、)2
3,1(-B ，)2
3,4(D 、)2
3,4(-E
直线AE 的方程为：0522=-+y x ，直线BD 的方程为：0522=--y x ， 方程联立解得0,25
==
y x ，直线AE 、BD 相交于一点)0,2
5
(. 假设直线AE 、BD 相交于一定点N )0,2
5(. ………5分 证明：设),1(11y my A +，),1(22y my B +，则),4(1y D ，),4(2y E ，
由⎪
⎩⎪⎨⎧=++=134
1
22y x my x 消去x 并整理得096)43(22=-++my y m ，显然0>∆，
由韦达定理得4
362
21+-=+m m y y ，4
392
21+-=
m y y . ………7分
因为),23
(11y my NA -
=，),2
3
(2y NE =， 所以2
3)2
3(121⨯
-⨯-y y my )(2
32121y y y my +-
=
4
392
+-=
m m 2
3-
4
362
+-⨯
m m 0= ………11分
所以，NE NA //，所以A 、N 、E 三点共线， ………12分 同理可证B 、N 、D 三点共线，所以直线AE 、BD 相交于一定点N )0,25
(.14分
26. （Ⅰ）解：依题意，当直线A B 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒
． ……1分
则
tan 60b c
︒
==
………………2分
将
b = 代入 2
2
2
a b c =+，
解得 2a c =． ………………3分 所以椭圆的离心率为 12
c e a =
=． …………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为
222
2
143x
y
c
c
+
=． ……5分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线A B 不能与,x y 轴垂直，故设直线A B 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222
(43)84120k x ck x k c c +++-=．……………7分
则 2
122
843
ck
x x k -+=
+，12122
6(2)43
ck y y k x x c k +=++=
+，2
2
2
43(
,
)4343
ck
ck
G k k -++．8分
因为 G D A B ⊥，所以 2
22
3431443
D
ck
k k ck x k +⨯=---+，2
2
43
D ck x k -=+． ………9分 因为 △G F D ∽△O
E D ，
所以
2
2
2
2
22
2
2
12
2
22
2
43()(
)
||43
43
43
||
()43
ck
ck
ck S G D k k k ck S O D k ---
++++=
=
-+ …11分
2
22
24
2
2
2
2
2
4
2
(3)(3)
99999()ck ck c k c k
ck c k
k
++=
=
=+
>．……13分
所以12
S S 的取值范围是(9,)+∞． …………14分
27.解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．
因为12
e =
所以22
2
2
2
2314
b a
c e a
a
-==-=
，
所以2
3b =．
所以椭圆C 的方程为
2
2
14
3
x
y
+
=．
（II ）由题意,当直线A B 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -. 又A ，B 两点在椭圆C 上， 所以
2
2
0014
3
x x +
=，2
0127
x =
．
所以点O 到直线A B
的距离7
d =
=
．
当直线A B 的斜率存在时，设直线A B 的方程为y kx m =+．
由22,14
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩消去y 得
222
(34)84120k x km x m +++-=．
由已知0∆>．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ．
所以122
834km x x k
+=-+，2
122
41234m x x k
-=
+．
因为O A O B ⊥， 所以12120x x y y +=．
所以1212()()0x x kx m kx m +++=． 即2
2
1212(1)()0k x x km x x m ++++=．
所以2
2222
2
2
4128(1)
03434m k m k m
k
k
-+-
+=++．
整理得)1(1272
2
+=k
m
，满足0∆>．
所以点O 到直线A B 的距离
7
d =
=
=
为定值．
28. （Ⅰ）由焦点坐标为(1,0) 可知12
p =
所以2=p
所以抛物线C 的方程为x y
42
=…………………………………4分
（Ⅱ）
当直线l 垂直于x 轴时，ABO ∆与MNO ∆相似， 所以
2
1(
)2
4
A B O M N O
O F S S ∆∆==
…………………………………….…6分
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-………………………7分 设)y 2,(M -M ，)y 2,(N -N ，),(11y x A ，),(22y x B ， 解
2
(x 1)
4y k y x =-⎧⎨=⎩
整理得 2222(42)0k x k x k -++=，
所以121=⋅x x …………………………………………………………….9分
121
sin 12
12
2
4
sin 2
A B O M N O
A O
B O A O B
S x x A O B O S M O
N O
M O N O M O N
∆∆⋅⋅⋅∠∴==
⋅
=
⋅
=
⋅⋅⋅∠…………………….14分
综上
14
A B O M N O
S S ∆∆=
29. （Ⅰ）解：设点P 的坐标为(,)x y ．
2x =- ……………………………3分 化简得 2222x y +=
所以动点P 的轨迹方程为 2222x y += ……………………………5分 （Ⅱ）设直线FP 的方程为1x ty =+，点1122(,),(,)P x y Q x y 因为AQN ∆∽APM ∆，所以有3PM QN =，由已知得3PF QF =，
所以有123y y =-（1） ……………………………7分
由22
122
x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得22(2)210t y ty ++-=，0∆> 122
22
t y y t +=-
+（2），122
12
y y t ⋅=-
+（3） ……………………………10分
由（1）（2）（3）得1211,1,3
t y y =-==-或1211,1,3
t y y ==-=
所以 存在点P 为(0,1)± ……………………………13分
30.解析：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意得
1
)
1(2
2
=--+y y x
……………2分
化简得y
y x
222
+=
当0≥y 时y x 42
=；当0<y 时0=x
所以动点P 的轨迹C 的方程为y x 42
=和0=x （0<y ） ………………………5分
（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为 1+=kx y ．
由 044x 41
2
2
=-⎩
⎨⎧-=+=kx y x kx y 得 设1122(,),(,),A x y B x y 则
4,42121-==+x x k x x ，1,24212
21=+=+y y k y y …………………………7分
因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k
-
．设),(),,(4433y x E y x D ，则同理可得 4,44343-=-
=+x x k
x x ，
1,24432
43=+=
+y y k
y y …………………………8分
)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=∙y y y y FB AF EF FD FB FD FB AF EF FD EF AF FB EF FD AF EB AD
1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分
16
248)1(484482
2
2
2
=⨯+≥+
+=+
+=k
k k
k
……………………………13分
当且仅当2
2
1
k k
=
即1k =±时，A D E B ∙
取最小值16．
…………………………14分
31.解：（I ）222
=∴==
b b d 3
23
62
2=
∴=
=
a
c a
c e
22
2
223
24a a c
b a =
-∴=- 解得.4,122
2
==b a
椭圆的方程为
.14
12
2
2
=+
y
x
…………………………4分
（II ）（i ）∵e .23
2,3,3
62
2
2
2
22
b a
c b a
c ==
=∴=
椭圆的方程可化为：
2
2
2
33b y x =+ ①
易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：b x y 2-= ② 由①，②有：032642
2=+-b bx x ③ 设),(),,(2211y x B y x A ，
334
2424
4872)
11()
()(||2
2
2
2
22
2
122
12=
=⋅
=-+=-+-=
b b b
b y y x x AB
1=∴b ………………………8分
（2）（ii ）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等OB OA OM μλ+=成立. 设M （x ，y ），
,,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=
又点M 在椭圆上，2
2212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④
由③有：4
3,2
232
2121b x x b x x =
=
+
则22121212121216)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y x x ++-=--+=+
06932
2
2
=+-b b b ⑤
又A ，B 在椭圆上，故有2
22222212133,33b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑥，⑤代入④可得：.12
2
=+μλ ……………………14分
32.解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭
圆．……………………………………………………………………………3分 故曲线C 的方程为
2
2
14
x
y +=． …………………………………………………5分
（Ⅱ）存在△A O B 面积的最大值. …………………………………………………6分 因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x m y =-或0y =（舍）．
则2
2
1,4 1.x y x m y ⎧+=⎪
⎨⎪=-⎩
整理得 22
(4)230m y m y +--=．…………………………………7分 由22
(2)12(4)0m m ∆=++>． 设1122()()A x y B x y ，，，．
解得
14
y m =+
24
y m =
+
则
21|
|4y y m -=
+． 因为12
12
A O B
S O E y y ∆=⋅-
2
4
m ==
+． ………………………10分
设1()g t t t
=+
，t =
t ≥
．
则()g t
在区间)+∞上为增函数．
所以()3g t ≥．
所以2
A O
B S ∆≤0m =
时取等号，即m ax ()2
A O
B S ∆=
．
所以A O B S ∆
的最大值为
2
．………………………………………………………………13分
33.解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧+====222233c b a a c e c ……1分
解得 1,2==b a ………2分
所以椭圆的方程为：
14
2
2
=+y
x
……3分
（II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 142
2
0448)k 412
22=-+++m kmx x 得（…4分
0)44)(41(4)8(2
2
2
>-+-=∆m
k km
整理得01422>+-m k ………..5分 设),(),,(2221y x N x x M
则2
2
212
21414
4,418k
m
x x k
km x x +-=
+-=+ …….6分
由已知，AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A ………7分
0)2)(2(2121=+--∴y y x x ……… 8分 2
21212
2121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
即04))(2()1(2
21212=+++-++m x x km x x k 也即04418)2(414
4))1(2
2
2
2
2
=+++-∙
-++-∙
+m
k
km km k
m
k …… 10分
整理得：0121652
2=++k mk m ……11分
解得5
62k m k m -=-=或均满足0142
2>+-m k ……12分
当
k m 2-=时，直线的l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分
当5
6k m -=时，直线的l 方程为)5
6(-
=x k y ,过定点)0,5
6(
故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,5
6( …….14分
34. （Ⅰ）解：依题意，设直线A B 的方程为2x m y =+． ………………1分
将其代入24y x =，消去x ，整理得 2
480y m y --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分
（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．
则
2
2
1
2
3434112122
2
2
34
12
312
34
4444
4
y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=
⨯
=
⨯
=
---+-
． ………………7分
设直线A M 的方程为1x ny =+，将其代入2
4y x =，消去x ， 整理得 2
440y n y --=． ………………9分 所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故
11212122
34
1
2
444
k y y y y y y k y y y y ++==
=
--+-+
． ………………13分
由（Ⅰ）得 12
2k k =，为定值． ………………14分
35.解:(I)将圆M 的一般方程07262
2
=+-++y x y x 化为标准方程()()3132
2=-++y x ,则圆M 的圆心
()1,3-M ,半径3=r .由()()(
)
10,,1,02
-=
-a c c F A 得直线AF 的方程为0=+-c cy x .
由直线AF 与圆M 相切,得
3132
=++--c
c c ,
所以2=c 或2-=c (舍去). 当2=
c 时,312
2
=+=c a ,
故椭圆C 的方程为
13
2
2
=+y
x
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为k , 则直线的方程为2
1-
=kx y .
因为点⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
21,0在椭圆内, 所以对任意R ∈k ,直线都与椭圆C 交于不同的两点
.
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=1
3
,2122y x kx y 得()04933122=--+kx x k .
设点Q P ,的坐标分别为()()2211,,,y x y x ,则
(
)
2
212
2122113149,313,2
1,2
1k
x x k
k x x kx y kx y +-
=+=
+-
=-
=,
所以()()2
12212
y y x x PQ -+-=
()()[]
212
21
2
41x x x x
k -++=
()()
2
2
2
314113
k
k k +++=
.
又因为点()1,0A 到直线2
1-
=kx y 的距离1
232
+=
k d ,
所以APQ ∆的面积为(
)
2
2
3144192
1k k d PQ S ++=
⋅=
设2
311k
t +=,则10≤<t 且3
1312-=
t
k ,
()3
423
14
93
3
44
93
1344
92
2
+--
=
-
=-⋅
=
t t
t t
t S .
因为10≤<t ,
所以当1=t 时,APQ ∆的面积S 达到最大, 此时
13112
=+k
,即0=k .
故当APQ ∆的面积达到最大时,直线的方程为2
1-
=y
36.解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222
2
10x y a b a
b
+
=>>，……………………
1分
则 a =2c =．
…………………………………………2分
所以
b === …………………………………3分
所以 椭圆方程为
2
2
110
6
x
y
+
=． …………………………………………4分
（Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以
直
线
与
x
轴不垂
直． …………………………………………6分
于是，设直线的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分
则()2
2
1,106
2,x y
y k x ⎧+=⎪
⎨⎪=-⎩
整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 2122
2035k
x x k
+=
+， ………………………………………… 9分
所以 122
1235k y y k
+=-
+． ……………………………………… 10分
因为 四边形A O B C 为平行四边形，
所以 O A O B O C +=
， ……………………………………… 11分 所以 点C 的坐标为2
222012,3535k k k
k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分 所以 2
2
2
2220123535110
6
k k k k ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭
⎝⎭
+
=， ……………………………13分
解得2
1k =，
所以1k =±． ………………………………14分
37.解：（Ⅰ）设C 1的方程为
22
2
1x y a
+=,C 2的方程为
22
2
1x y b
+=,其中1,01a b ><<．..2分
C 1 ,C 2的离心率相同，所以
2
2
2
11a b a
-=-,所以1a b =，……………………….…3分
∴C 2的方程为222
1a x y +=．
当
2
时，
A (2
2
a -
,C 1(
22
a
． .………………………………………….5分
又 54
A C =
,所以，
1522
4
a a
+
=
，解得a=2或a=
12
(舍)， ………….…………..6分
∴C 1 ,C 2的方程分别为
2
2
14
x
y +=，22
41x y +=．………………………………….7分
（Ⅱ）
A(-,m),
,m) ． …………………………………………9分
OB ∥AN,∴O B A N k k =,
∴1m m +=
-
∴2
11
m a =
- ． …………………………………….11分
2
2
2
1a e a
-=
，∴2
2
11a e
=
-，∴2
2
1e m e -=
． ………………………………………12分
01m <<，∴2
2
101e e
-<
<，
12
e <<．........................................................13分
38.解：（I ）由已知抛物线的焦点
为0),故设椭圆方程为
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>，
则
2
,2, 2.2
c e a b ==
==由得所以椭圆M 的方程为
2
2
1.4
2
x
y
+
=……5分
（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，
则由22
,
1.42
y kx m x y
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222
(12)4240k x km x m +++-=， …………………6分
2
2
2
2
2
2
164(12)(24)8(24)0
k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分
设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、
、，则： 012012122
2
42,()21212km m x x x y y y k x x m k
k
=+=-=+=++=
++，
…………8分 由于点P 在椭圆M 上，所以
2
2
0014
2
x y +
=
. ……… 9分
从而
222
2222
42
1
(12)(12)
k m m
k k
+=
++
，化简得22
212
m k
=+，经检验满足①式.
………10分
又点O到直线l的距离为：
2
d===≥=
………11分当且仅当0
k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而点P的坐标为(2,0)(2,0)
-或，直线l的方程为1
x=±，所以点O到直线l的距离为1 .
所以点O到直线l
的距离最小值为
2
. ………13分39.解：（Ⅰ）当0
m=时，直线l的方程为1
x=，设点E在x轴上方，
由
22
1,
9
1
x y
t
x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=
⎩
解得(1,
33
E F-,
所以
3
E F=.
因为△A E F
的面积为
116
4
233
⨯⨯=，解得2
t=.
所以椭圆C的方程为
22
1
92
x y
+=. …………………………………………………4分（Ⅱ）由
22
1,
92
1
x y
x m y
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
得22
(29)4160
m y m y
++-=，显然m∈R.…………………5分
设
1122
(,),(,)
E x y
F x y,
则
1212
22
416
,
2929
m
y y y y
m m
--
+==
++
，………………………………………………6分11
1
x m y
=+,
22
1
x m y
=+.
又直线A E 的方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪
+⎨⎪=⎩解得116(3,
)3y M x +， 同理得2
26(3,
)3
y N x +.所以12
1266(2,),(2,)33y y B M B N x x ==++ ,……………………9分 又因为12
1266(2,
)(2,)33
y y B M B N x x ⋅=⋅++ 12
12
1212363644(3)(3)
(4)(4)
y y y y x x m y m y =+=+++++
12122
12124(4)(4)364()16
m y m y y y m y y m y y +++=
+++
2
2
2
22
16(436)164164(29)
3216(29)
m m m m m -+-⨯+⨯+=
-++
2
2
2
6457664128576
9
m m m ---++=0=.…………………………13分
所以B M B N ⊥
,所以以M N 为直径的圆过点B . …………………………………14分
40.解：（Ⅰ）将()2,2E 代入2
2y p x =，得1p =
所以抛物线方程为2
2y x =，焦点坐标为1(
,0)2
………………3分
（Ⅱ）设2
11(
,)2
y A y ，2
22(
,)2
y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，
法一：
因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-
与抛物线方程联立得到 2(2)
2y k x y x
=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：
2
240ky y k --=
则由韦达定理得：
121224,y y y y k
=-+=
………………6分 直线A E 的方程为：()12
122222
y y x y --=
--，即()12222
y
x y =
-++，
令
2
x =-，得
11242
M y y y -=
+ …………
……9分 同
理可得：
22242
N y y y -=
+ ……
…………10分
又 4
(2,),(2,)m m
O M y O N y -=-=- ， 所以12122424
4422
M N y y O M O N y y y y --⋅=+=+⋅++
121212124[2()4]4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++
44(44)
444(44)
k
k
--+=+
-+
+
0= ………………13分
所以O M O N ⊥，即M O N ∠为定值π
2
………………14分
法二：
设直线l 方程为2x m y =+
与抛物线方程联立得到 22
2x m y y x
=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：
2
240y m y --=
则由韦达定理得：
12124,2y y y y m
=-+=
………………6分 直线A E 的方程为：()12
122222
y y x y --=
--，即()12222
y
x y =
-++，
令
2
x =-，得
11242
M y y y -=
+ …………
……9分 同
理可得：
22242
N y y y -=
+ ……
…………10分
又 4
(2,),(2,)m m
O M y O N y -=-=- ， 12124(2)(2)44(2)(2)
M N y y O M O N y y y y --⋅=+=+++
121212124[2()4]4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++
4(424)44(424)
m m --+=+
-++
0= ………
………12分
所以O M O N ⊥，即M O N ∠为定值π
2 ………………13分
41. （Ⅰ）设椭圆的方程为
222
2
1x y a
b
+=
，因为2
e =
，所以22
4a b =，
又因为(4,1)M ，所以
2
2
1611a
b
+
=，解得2
2
5,20b a ==，
故椭圆方程为
2
2
120
5
x
y
+
=． …………………4分
（Ⅱ）将y x m =+代入
2
2
120
5
x
y
+
=并整理得22
584200x m x m ++-=，
22
=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分。