4 等离子体的流体描述

(4.34)
∇p(= −Fp )
(4.35)
根据动量方程，我们将 ∇p 放在动量偏导侧或者将 Fp 放入方程的作用 力侧，结果是相同的。 忽略碰撞，动量方程为： D (mn∆Vv) = [FEM + Fp ]∆V Dt 回忆 n∆V = ∆N ；
(4.36)
D (∆N ) = 0 ；因此 Dt
(4.37)
∂r
A ⋅ dS
(4.6)
‘流体描述’指简化的等离子体处理方法，而并不需要确切地知道 f 依赖 于 v 的关系。 1. 流体描述本质上是 3 维的。 2. 处理一些在速度空间平均的量（例如密度，平均速度等等） 。 3. 忽略一些重要的物理过程（但描述其他的） 。 4. 对问题提供容易处理的方法。 5. 我的讲座的大部分内容将针对这一问题。 流体方程可以通过取 Boltzman 方程的矩1来进行数学推导： 0 阶矩：
A δ T −δ V δn = =+ 2 T V n
因此
δp
p
=
δ n δT
n +
2 δn = (1 + ) , T A n
(4.53)
也就是说
pn
2 − (1+ ) A
= const
(4.54)
在一般的通过碰撞维系的气体中，能量迅速地分布在 3 个自由度。等 离子体经常处于很少碰撞的状态，因此在一维方向上的压缩经常被限制在 一个自由度上。有时热传输很快，所以等温近似是成立的。它取决于确切 的情况；因此，我们现在先不给 γ 一个确定的值。
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
4.2.1
拉格朗日和欧拉坐标系
存在两种坐标系。 1. 拉格朗日坐标系， 观察者位于一个流体单元上， 并随流体一起运动。
图 4.2 拉格朗日坐标系
2．欧拉坐标系，观察者位于空间的一个固定点，观察流过你所在的体积单
元的流体运动：单元内的流体持续变化。 ∂ 代表在固定点（欧拉坐标）的变化率。 ∂t D d ∂ ≡ ≡ + v ⋅∇ 代表运动点（拉格朗日坐标）的变化率。 Dt dt ∂t
4.3 动量方程的关键问题
我们应该怎样考虑压力 p 呢？ 从本质上讲 p = nT 由能量平衡决定，能量方程反映温度 T 的变化。我 们可以通过与动量方程相同的方式写出能量方程。然而，这将包含热流量 项，为未知量。一般来说， k th 矩方程方程包含一个 (k + 1)th 矩的项。 连续方程, 0th 方程包含 v ，决定于 动量方程， 1st 方程包含 p ，决定于 能量方程， 2nd 方程包含 Q ，决定于… 为了得到明确的结果，我们必须截断这一层次关系。为此可以对热流 量作一些假定。这将引出一个： 状态方程：
4.2.2
动量（守恒）方程
等离子体中的每个粒子都会受到洛仑兹力 q[E + u i × B] 的作用（ u i 为单 个粒子的速度） 。 因此，由于电磁场而作用到流体单元上的总力为：
∑ (q[E + u × B]) = ∆Nq(E + v × B)
i
i
(4.21)
（利用平均值： v = ∑ i u / ∆N ） 电磁力密度（单位体积）为：
FEM = n22)
体积单元的总动量为：
∑ mu
i
i
= m∆Nv = ∆Vmnv
(4.23)
因此动量密度为 mnv 。 假如没有其他的力作用， 则运动方程要求 mnv 对时间的偏导等于 FEM 。 由于我们希望保持粒子的一致性，因此我们在动量方程中希望得到 D / Dt 项，也就是对流导数（拉格朗日图） 。 一般来说还有额外力的作用，它们是（1）压力， （2）碰撞摩擦。
L.H .S . = mn∆V
Dv dt
因此，替换 F 项： 动量方程： ∂v Dv mn = mn( + v ⋅∇v) = qn(E + v × B) − ∇p Dt ∂t
(4.38)
4.2.4
动量方程：欧拉坐标系
在空间中将单元固定。等离子体从中流过。 1. 作用在单元上的电磁力（单位体积）
FEM = nq(E + v × B)
4 等离子体的流体描述
从前面我们可以知道，单个粒子的运动是十分复杂的。 由于我们不能分别跟踪各个粒子的运动，因此我们应采取统计学的方 法对等离子体进行描述。如果在速度空间粒子的分布函数是重要的，我们 首先应该了解 Boltzman 方程，它是粒子守恒方程的一种。
4.1 粒子守恒（3 维空间）
图 4.1 粒子守恒的单元体 单元 ∆x∆y∆z 内粒子数为体积 ∆V = ∆x∆y∆z 乘以密度 n 。粒子数量的变 化率等于单位时间内穿越边界的粒子数量，即流量(无源)。 ∂ − [∆x∆y∆zn] = 穿越边界的流出量 ∂t
v ⋅∇ =
dx ∂ dy ∂ dz ∂ 代表由于运动引起的变化。 + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z
图 4.3 欧拉坐标系 我们对连续方程的推导是欧拉型的。从拉格朗日坐标系来看： D d ∆N ∆N d 1 d ∆V n= (4.14) =− ∆V = − n 2 Dt dt ∆V ∆V dt ∆V dt 由于体积单元的总粒子数（ ∆N ）是常数（我们和体积单元一起运动） 。 （ ∆V = ∆x∆y∆z ）
2. 穿越边界的动量通量（单位体积）
(4.39)
= ∇ ⋅ ∫ m( v + w )( v + w ) f (w )d 3 w
3 = ∇ ⋅ {∫ m( vv + vw + wv
+ ww ) f (w )d w} 积分值为0
(4.40) (4.41) (4.42) (4.43)
= ∇ ⋅ {mnvv + p} = mn( v ⋅∇) v + mv[∇ ⋅ (nv)] + ∇p
(4.1)
取粒子速度为 v (r )（并不是随机速度，而是流动速度） ，单元中心流动 的流量密度记为： nv = J 流出量＝[ J z (0, 0, ∆z / 2) − J z (0, 0, −∆z / 2]∆x∆y + x + y 利用泰勒展开： (4.2)
J z (0, 0,η ) = J z (0) +
4.2.5
碰撞的影响
首先我们应注意到同种粒子间的碰撞不会改变总动量（所有同种粒子 被平均） 。 不同粒子之间的碰撞会改变组分之间的动量。 由于准中性的等离 子体包括至少两种不同的组分 （电子和离子） ， 因此我们必须考虑两种互相 穿插的流体之间的另外一种动量损失（获得）项。 组分 1 与组分 2 碰撞引起的动量密度损失率为：
pn − γ = const
(4.51)
γ 值的选取取决于热流量的假定以及能量分布的各向同性 （或相反） 。
例子： 1． 等温： T = const ： γ = 1 2． 绝热/各向同性：3 自由度： γ = 5 / 3 3．绝热/单自由度： γ = 3
4．绝热/2 自由度： γ = 2 一般来说， n(A / 2)δ T = − p (δ V / V ) （绝热 A 自由度） (4.52)
∫d
1 阶矩：
3
v
(4.7)
∫ vd v
3
(4.8)
2 阶矩：
∫ vvd v
3
(4.9)
这样就可以分别得到（0）粒子（1）动量和（2）能量守恒方程。 我们应该采取更直接的‘物理’方法。
1
因此它们有时被称作“矩方程”
4.2 流体运动
流体的运动可用矢量速度场 v (r ) 来描述（ v (r ) 为 r 处组成流体的所有 单个粒子的平均速度） ，当然也需要粒子密度 n(r ) 。我们这里讨论的是只有 一种粒子的流体的运动，这种粒子的质量、电荷比为 m / q ，因此电荷和质 量密度分别为 qn 和 mn 。 我们已经知道粒子守恒方程，它有时也称为‘连续方程’ 。 ∂ n + ∇ ⋅ (nv) = 0 ∂t 也可以将 ∇ ⋅ 展开而得到： ∂ n + ( v ⋅∇)n + n∇ ⋅ v = 0 ∂t 这里比较重要的是：前两项为 n 的“对流导数” ： D d ∂ ≡ ≡ + v ⋅∇ Dt dt ∂t 因此连续方程可以写成： D n = − n∇ ⋅ v Dt
沿分布函数积分得到总的动量交换率：
ds ⋅ ∫ mwwf (w )d 3 w
(4.29)
积分符内是一个张量，记为
p = ∫ mww f (w )d 3w（压力张量）
(4.30)
动量交换率为：
p ⋅ ds
(4.31)
实际上，假如 f (w ) 为各向同性（比如 Maxwell 分布） ，则
pxy = ∫ mwx wy f (w )d 3 w = 0
∂ J z ⋅η ∂z
(4.3)
因此
∂ (nvz )∆z ∆x∆y + x + y = ∆V ∇ ⋅ (nv) ∂z 因此可以得到粒子守恒方程： ∂ − n = ∇ ⋅ (nv) ∂t 注意我们已经从根本上证明了高斯定理的一种基本形式：
流出量
(4.4)
(4.5)
∫ ∇ ⋅ Ad r = ∫
3 v
等等
(4.32) (4.33)
2 pxx = ∫ mwx f (w )d 3 w ≡ nT (= p yy = pzz = ' p ')
因此动量交换率为 pds （标量压力） 。 在整个单元 ∆V 上沿 ds 积分，得到动量交换率的 x 分量： ∆x −∆x p( )∆y∆z − − p( )∆y∆z = ∆V (∇p ) x 2 2 因此，单位体积内由于穿越边界引起的的总动量损失率为
d d ∆x d ∆y d ∆z ∆V = ∆y ∆ z + ∆z ∆x + ∆y ∆x dt dt dt dt