抛物线中的直角三角形(安松)
抛物线与直角三角形说课稿
抛物线与直角三角形说课稿讲解抛物线三条围成的三角形（一般称为抛物线的外切三角形）与圆综合的几个的有趣而深刻的性质，以及四条切线围成的图形性质。
39 求证：FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’，40 △A’B’C’的外接圆是否经过某个定点？41 求△A’B’C’垂心H的轨迹。
42 证明斯坦纳定理：△ABC外接圆上任一点关于三边对称点与△ABC 垂心共线。
43 抛物线的四条切线，每两条切线交点与另两条切线交点连线中点共线（牛顿线定理）44 对于一般的四条直线，交成四个三角形，证明这四个三角的外接圆交于一点。
这四个三角形的垂心在同一条直线上。
39 求证：FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’，思路：这显然和性质27有关。
以上三式相乘并开方即得FA*FB*FC=FA’*FB’*FC’。
注：本题是性质27的推论，当然也可以直接计算证明。
40 △A’B’C’的外接圆是否经过某个定点？思路分析一：切线的关键是切点，所以可以设出三条切线的切点为A,B,C,求出切线的交点坐标，然后设出外接圆的一般方程，将坐标代入，求出系数的表达式。
最后让变量系数为0，即可求出定点坐标。
△A’B’C’的外接圆是否经过某个定点？解答一：思路分析二：如果此圆过定点，此定点一定关于抛物线对称，因此最可疑的就是焦点F了。
下面只需证明A’B’FC’共圆即可，只需利用到角公式算出一个角的正切值，对称得到另一个，说明其相等即可。
解答二：思路分析三：纯几何证明想到了前面性质9，从而得到∠FPB=∠FQC=∠FQA=90°,可以得到共圆，倒角即得结果。
解法三：由前面性质9得∠FPB=∠FQC=∠FQA=90°,故A'PQF共圆，则∠FA'P=∠FQR,同理∠FB'A=∠FQR,故∠FB'A=∠FA'P,故A'C'B'F共圆。
即△A’B’C’外接圆恒过抛物线焦点F。
抛物线与直角三角形结合的解题方法
抛物线与直角三角形结合的解题方法在数学中，抛物线和直角三角形是两个常见且重要的概念。
它们在解决实际问题和理论推导中都扮演着重要的角色。
本文将探讨如何将抛物线与直角三角形结合起来，以更全面地解决一些数学问题。
一、基本概念1. 抛物线抛物线是一种特殊的曲线，其定义可以是平面内到定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
抛物线在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个90度的直角。
直角三角形的性质和定理在几何学中具有重要意义，也是解决三角函数和特殊角度问题的基础。
二、抛物线与直角三角形的关系在实际问题中，抛物线与直角三角形常常会相互联系，特别是在物体的抛体运动和轨迹分析中。
当我们需要分析一个抛体运动的轨迹时，通常会涉及到抛物线的方程和直角三角形的性质。
当我们需要求解一个物体从抛出到落地的时间、速度和位置等问题时，我们可以通过解析几何的方法，将抛物线的轨迹和直角三角形的性质结合起来，从而得到更加全面和深入的解答。
三、抛物线与直角三角形结合的解题方法1. 利用抛物线方程构建直角三角形在解决与抛物线和直角三角形相关的问题时，可以先利用抛物线的方程构建出相关的直角三角形。
当我们需要分析抛体运动的轨迹时，可以通过抛物线的方程构建出相关的直角三角形，从而推导出物体的运动规律和轨迹特性。
2. 利用直角三角形的性质求解抛物线方程另一种常见的方法是利用直角三角形的性质来求解抛物线的方程。
在一些特殊的问题中，可以通过构建直角三角形、利用三角函数和三角恒等式等方法，从而简化抛物线方程的求解过程，使问题得到更加清晰和简化的解答。
四、个人观点和总结在数学问题的解决过程中，抛物线与直角三角形的结合是一种常见且有效的方法。
通过将抛物线的特性和方程与直角三角形的性质相结合，不仅可以更全面地理解和分析问题，也可以从不同角度和方法解决问题，使解题过程更灵活和丰富。
抛物线与直角三角形的结合在解决实际问题和理论推导中具有重要的意义。
抛物线内接直角三角形一个性质的研究及其应用
抛物线内接直角三角形一个性质的研究及其应用
抛物线内接直角三角形，是利用不少抛物线与直线的关系来求解出它具有特殊
形状的一种三角形，因其拥有独特的特性得以应用于诸多领域。
抛物线内接直角三角形在几何中的性质有：它的垂直两边等于顶点的轴对称的
抛物线的顶点，而两顶点的系数等于抛物线的系数，以及它的两边是抛物线的准线，外接圆的直径等于顶点的抛物线的终边，由此可以进一步推得外接圆的圆心在垂直边的中点。
这一性质分析为我们带来许多应用，其中之一是在古代建筑中常见的景观内部
形状重现。
古时候，建筑师通过将抛物线内接直角三角形重新建构在室内，象征着五行的和谐平衡，以及人与自然的和谐共存。
因此，抛物线内接直角三角形在中国建筑和社会景观中得以广泛使用。
此外，由于抛物线内接直角三角形对面积有着严格的规定，因此它也被用于判
断某个学科的扩张与缩减，以及分析出其形式变化面积，并将其应用于塑形设计、数学等多个领域。
综上所述，抛物线内接直角三角形是一个独特的数学几何形状，不仅在重塑景
观美学中发挥了重要作用，同时也能够提供定量的决策参考，无论是判断某个学科的扩张与缩减，还是应用于图形设计、数学等多个领域，抛物线内接直角三角形都是不可或缺的一环。
抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析
抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。
它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。
抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。
在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。
我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。
通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。
同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。
最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。
本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。
【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。
同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。
（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。
然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。
最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。
（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。
同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。
通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
2抛物线(二次函数)中的直角三角形
抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。
（2）AB 为直角边时，分两类讨论：①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）：②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
典型例题：例1、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝10。
（1）求抛物线的解析式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ ?（2009年成都）例2、如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；（III ）直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B 。
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)[例]已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．【解答】解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1.注：作铅垂线求S△ACD也是可以的（2）方法一：如解答图，过点D作DE⊥y轴于E在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=﹣2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．方法二：（K 值法）结论1：直线1111:l y k x b =+与直线2222:l y k x b =+垂直⇔121k k =-； 结论2：点11(,)A x y 、22(,)B x y （12x x ≠）分别是直线:l y kx b =+上两个不同的点，则2121y y k x x -=-.（证明：11y kx b =+……①22y kx b =+……②， ②－①得，2121()y y k x x -=-，2121y y k x x -=-） 解：90932(5)3AD a a k a ---===----，9(5)42202CD a a a k a ----===---， ∵∠ADC =90°，∴1AD CD k k =-，即23261a a a -⨯=-=-，12a a ==. ∴抛物线的解析式为：y =（x +5）（x ﹣1）=x 2+x ﹣． 练习.已知抛物线c bx x y ++-=221与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0），B （1，0）．（1）求抛物线的解析式； （2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。
抛物线阿基米德三角形常用结论
【题目】探索抛物线阿基米德三角形常用结论一、引言抛物线阿基米德三角形是数学中一个经典且重要的概念，其常用结论在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨抛物线阿基米德三角形的常用结论，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。
二、抛物线阿基米德三角形的定义和性质回顾抛物线阿基米德三角形是由一条抛物线和两条其切线所构成的三角形。
其性质包括边长关系、角度关系、面积计算等内容。
在具体的问题中，我们经常会用到抛物线阿基米德三角形的各种性质来解决实际问题。
三、抛物线阿基米德三角形的常用结论1. **关于边长的结论**针对抛物线阿基米德三角形，我们可以得出与边长相关的重要结论，例如三边关系、高度计算公式等。
这些结论在解题过程中起到至关重要的作用。
2. **关于角度的结论**抛物线阿基米德三角形中角度的关系也是我们经常需要用到的，例如两个对应角相等的性质等。
这些结论在解题过程中能够帮助我们更加深入地理解问题的本质。
3. **关于面积的结论**面积是解决问题中不可或缺的要素，抛物线阿基米德三角形的面积计算公式以及相关的性质是我们解题过程中的利器，通过这些结论我们可以更加方便地求解各种问题。
四、个人观点和理解抛物线阿基米德三角形的常用结论在数学和物理学中具有重要的地位，它们不仅能够帮助我们解决具体问题，还能够拓展我们的数学思维和逻辑推理能力。
在实际解题过程中，对于这些常用结论的灵活运用往往能够事半功倍。
五、总结通过本文的全面探讨，相信读者对抛物线阿基米德三角形的常用结论有了更深入的理解和认识。
在今后的学习和应用中，希望读者能够灵活运用这些结论，不断拓展自己的数学视野。
【结语】抛物线阿基米德三角形的常用结论是数学学习中的重要内容，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
也希望读者在学习过程中保持好奇心和求知欲，不断探索数学的奥秘。
以上是根据你提供的内容、主题或概念撰写的文章，希望能够满足你的需求。
如果需要进一步修改或添加其他内容，请随时告诉我。
抛物线内接直角三角形一个性质的研究及其应用
－
化简得 ｍ ｎ ＋ （ ｍ ＋ ｎ ） ｔ ＋ ｔ ＋ １ ＝ ０ ． 由命题 １ 知ｍ＋ ｎ ＝ ｋ ， ｍ ｎ ＝ 一 １ ． ￣ｋ ｔ ＋ ｔ ＝ ０ ． 由点Ｄ的坐标与ｋ 无关 ， 得ｔ ＝ ０ ． ￣ Ｐ Ｄ（ ０ ， ０ ） ． 比较命 题１ 、 ２ ， 我们可 以得 到结论 １ ． 结论 １ ： 对 于抛 物线ｙ 的内接直 角三 角形 ， 若 斜边 过定 点（ ０ ， １ ） ， 则直 角顶点 一定过 定点（ Ｏ ， ０ ） ． 反之亦然 ！
点任意 给定 ， 那 么它的斜边是否一定过定点 ？
（ ２ ） 对 于抛物 线 ＝ 似ｚ 的内接直 角三角形 ， 若斜 边过
一
名室荟
直 角边 与该抛物线交于Ａ、 曰 两点 ，孔明将三角板 绕点０
旋转任 意角度时惊奇地 发现 ， 交 ｈａ、 Ｂ 的连 线段总经过
一
定点， 那么直角顶点是否一定过一定点 ？ 下 面给出一 般性探讨． 如图２ ， 设直 线Ａ Ｂ 过定点 （ ｐ， ｇ ） ， 则其解析 式为Ｙ — ｇ ＝ （ ＾ ｐ ） ， 与抛物线ｙ ＝ ２ 联立 ， 消元得ａ ｘ ２ － ｋ ｘ ＋ ＠－ ｑ ＝ ０ ． 则ｍ ＋ ｎ ： 旦
，
个 固定 的点 ， 试说 明理 由并求 出该点 的坐标．
分析与解 ： 由题意知顶点 （ ０ ， ０ ） ， 即ｆ ＝ ０ ， 一 Ｉ
ｎ
ｎ‘
由此可知 ： 不论 ｋ 为何 值 ， 直线Ａ Ｂ 恒过点（ ０ ， １ ） ．
方法２ ： 运用面积法．
设点Ａ（ ｍ， ｍ ） 、 Ｂ （ ｎ ， ｎ ） ， 直线Ａ Ｂ 与Ｙ 轴 的交点为ｅ
抛物线中的三角形问题
抛物线中的三角形问题在数学中，抛物线是一种二次曲线，其形状类似于开口朝上的弧线。
抛物线与三角形之间有着紧密的联系，本文将探讨抛物线中的三角形问题。
一、抛物线的定义与性质抛物线是指平面上满足平方差关系的点的集合。
一般来说，抛物线可以由二次方程的图像表示，常见的抛物线方程形式包括标准型、顶点型等。
根据方程的不同形式，可以得到抛物线的不同性质，如焦点、顶点、对称轴等。
二、抛物线中的三角形问题抛物线与三角形之间存在着丰富的几何关系，其中一些经典问题如下：问题一：抛物线上的三点确定一个三角形，该三角形的面积如何计算？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，并选取抛物线上三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
根据三点确定一个三角形，可以利用三角形的高度与底边长度来计算面积。
首先，我们可以通过求解方程组得到顶点的坐标(xv, yv) = (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是抛物线的函数。
然后，利用向量的几何性质，求出三角形的高度h，再计算底边长度d，最后利用面积公式S = 0.5 * d * h计算出面积。
问题二：给定一个抛物线和一个点P，如何确定在抛物线上选择两个点形成的三角形，使其面积最大？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，设点P的坐标为(xp, yp)。
对于以点P为顶点的抛物线上的任意一条直线，其倾斜角为θ，直线的方程可以表示为y = tanθ * x + C，其中C是常数。
当直线与抛物线相交时，可将两个方程联立求解，得到交点的坐标(x1, y1)和(x2,y2)。
然后，利用这两个交点与点P形成的三角形面积公式S = 0.5 *|x1y2 - x2y1 - x1yp + xpy1 + x2yp - xpy2|，求解出最大的面积。
问题三：已知一个抛物线，如何确定两个定点，使其与抛物线上的另一个点形成的三角形周长最小？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它告诉我们：如果一个直角三角形的一个顶点在抛物线上，那么其它两个顶点的坐标也会在这个抛物线上。
本文将简要介绍抛物线内接直角三角形的定义、性质及其应用。
首先，抛物线内接直角三角形定义为：一个直角三角形，其中一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在抛物线上，且抛物线的准线和直角三角形的两条腰都相交。
因此，抛物线内接直角三角形的性质有以下三点：
1）直角三角形的一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在同一
条抛物线上；
2）抛物线的准线与直角三角形的腰相交；
3）抛物线内接直角三角形的面积小于等于抛物线面积的一半。
此外，抛物线内接直角三角形还有一些其它特性：抛物线内接直角三角形的高度等于抛物线的端点之间的距离；两点定理说明了任何一点到抛物线上的点的距离等于直角三角形的斜边的长度。
抛物线内接直角三角形有许多实际应用，其中最为重要的是在机械设计中，抛物线被用来设计螺旋形线路，使得机械运动更加均匀，减少了摩擦力，减少了损耗。
在建筑过程中，抛物线也被用来设计电梯的曲线，使其运行曲线十分柔和，降低了电梯的震动，减少了乘客的不适感受。
另外，抛物线内接直角三角形也被用于医学领域中的X 射线成像技术，使得X射线的扫描更加准确，精确诊断病症。
综上所述，抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它描述了三角形和抛物线之间的关系，它的定义、性质和应用在许多不同的领域中有广泛的应用，它能够减少摩擦力、降低震动，使X射线扫描更准确，为人类带来科学和技术上的进步。
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用
抛物线内接直角三角形是一个有趣而重要的数学概念。
抛物线内接直角三角形是指，一个抛物线顶点在抛物线上经过三个点，使得这三个点能够构成一个直角三角形。
抛物线内接直角三角形的一个重要特性是，其中一条线段的长度为二次方的平方根，而另外两条线段的长度等于二次方的平方根的复数。
抛物线内接直角三角形在很多实际应用中都有用武之地，例如船舶工程中，内接直角三角形被用作船船底，用以计算船舶性能。
对于这种型号的船舶比较高空中激情，而其用途则展现出抛物线内接直角三角形的重要性，参数也很容易确定。
此外，由于抛物线内接直角三角形的概念，还可以应用到天文研究、地形测量和地球物理学等等领域中。
另外，抛物线内接直角三角形还可以用于物理教学，比如在电磁场中，三个电荷或者三个磁铁按照抛物线内接直角三角形原理排列，可以得到一些有趣而有用的物理现象，从而方便学生们去理解这些概念。
从上面可以看出，抛物线内接直角三角形是一个有趣而且重要的数学概念，它在曲线计算、物理教学、船舶工程中都有着广泛的应用，大家有必要学会它的理解和使用。
抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案
年级九科目数学班型一对一学生第次课课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月20日8:00——10:00教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。
教学重点.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养教学难点能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题教学过程：一、课前小测：1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是2.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒；点Q在线段BC上向点C运动，速度是1单位每秒。
设运动时间为t〔秒〕，当t= 秒时，△BPQ是直角三角形。
二、新课学习：〔一〕经典模型模型再现：已知：定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M〔m, 0〕, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标。
两线一圆找直角模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下列图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。
具体有以下三种情况：比方：〔1〕当以点A为直角顶点时，过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；〔2〕当以点B为直角顶点时，过点B 作AB的垂线交x轴的点即为所求；〔3〕当以点M为直角顶点时，只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点〔一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点〕即为所求。
〔二〕解法：1.“K型相似”〔一线三直角〕提示：竖直型，上减下；水平型，右减左。
遇直角，构矩形，得相似，求结果。
2.勾股定理〔暴力法---两点间距离公式〕利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。
其基本解题思路是列点.列线.列式。
第一步，列出构建所求直角三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标；第二步，采用分类讨论思想，列出构建所求直角三角形的三个边，并分类讨论两两垂直的三种可能性；第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，利用勾股定理的逆定理列出等式求解。
抛物线与直角三角形结合的解题方法
抛物线与直角三角形结合的解题方法【最新版3篇】篇1 目录1.引言：抛物线与直角三角形的结合问题在数学题目中十分常见，本文将探讨如何利用抛物线的性质和直角三角形的特征来解题。
2.抛物线的基本性质：介绍抛物线的定义、标准方程和顶点坐标等基本概念。
3.直角三角形的特征：介绍直角三角形的定义、直角边和斜边的关系等特征。
4.抛物线与直角三角形结合的解题方法：通过实例分析，讲解如何利用抛物线和直角三角形的性质求解相关问题。
5.结论：总结抛物线与直角三角形结合的解题方法，并鼓励读者在实际解题中灵活运用。
篇1正文一、引言在数学题目中，抛物线与直角三角形的结合问题常常出现，这类问题不仅考验了学生的计算能力，还考验了他们的几何直观和逻辑思维能力。
为了更好地解决这类问题，本文将从抛物线的基本性质和直角三角形的特征出发，探讨如何利用它们来解题。
二、抛物线的基本性质抛物线是平面上到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。
它有以下基本性质：1.抛物线的定义：设焦点 F 和直线 l，满足到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线。
2.标准方程：抛物线的标准方程为 y^2=2px，其中 p 为焦点到准线的距离。
3.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为 (0, p)。
三、直角三角形的特征直角三角形是指有一个内角为 90 度的三角形，它有以下特征：1.定义：有一个内角为 90 度的三角形称为直角三角形。
2.直角边和斜边的关系：直角三角形的两条直角边的长度满足勾股定理，即 a^2 + b^2 = c^2，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。
四、抛物线与直角三角形结合的解题方法在解决抛物线与直角三角形结合的问题时，我们可以利用抛物线的性质和直角三角形的特征，通过以下几个步骤来求解：1.画图：首先画出抛物线和直角三角形，标出已知条件。
2.寻找关键点：观察图形，找到可能对解题有帮助的关键点，如抛物线的顶点、直角三角形的直角顶点等。
抛物线与直角三角形PPT教学课件
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
效能分析：通过变式练习，动点坐标问题可转化为方程问题，也可建立相似的直角 三角形模型，通过对图形的特征研究，形成转化思路，在巩固深化上述探究方法的 基础上，变式拓展，尽管问题的背景发生了变化，但解决问题的方法不变，反映了 动点问题“变化中不变”的规律。
© 司南朱云帆
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复习要点 激活问题图式，拓展延伸
问题 2 如图，二次函数 y 1 x2 3 x 2 的图像与直线 y 1 x 4 相交于点 A 、 B ，已知点
22
2
P 为 x 轴上的一个动点，且 PAB 为直角三角形时，求 P 点的坐标。
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复习要点 激活问题图式，拓展延伸
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复习要点 问题启智，形成图式
把一道典型题及解法作为图式，以此为根，从基本的问题着手讨论和研 究，形成合理的知识组块和问题图式。这里，归纳提炼形成问题图式的过程 属发现性思维，注重数学规律的揭示、解题策略的优化、合情推理与演绎推 理的融合，目的是利用图式启智，引导学生探索和发现解决抛物线和直角三 角形问题所选用的方法。
P(9 4
t,t
7) 4
，代入
y
1 2
x2
9 4
x
1 ，得出
13 P1( 4
422 ,11 84
422 ) 8
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复习要点 激活问题图式，拓展延伸
解法探究：
如图，过点 P 作 PD x 轴于 D ，当 BQ PB 时，RtBEQ ≌ RtPDB ，PD EB 7 ， 4
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复习要点 激活问题图式，拓展延伸
抛物线中的直角三角形存在性问题
P1 x
A
PC
y
P2
P3 A
P1 x
例2、（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）
和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物
线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若
中考压轴题分类专题 抛物线中的直角三角形
科目：初中数学
基本题型
已知线段AB，抛物线 y ax2 bx ca 0，点P在抛物线上（或坐标
轴上，或抛物线的对称轴上）,若 ABP 为直角三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论：
所需知识点
一、任意两点的斜率公式：
已知两点 P（x1, y1）, Q（x2 , y2）， 则直线PQ的斜率：
kPQ
y1 y2 x1 x2
二、（与坐标轴不垂直的）两直线垂直的斜率关系：
y1 k1x b1， y2 k2 x b2， 若y1 y1,则k1 k2 -1.
例1、（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交
于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为
c=﹣3，那么要求抛物线的解析式还缺少一个点的坐标，可根据OC=3，
以及∠BCO的余弦值在直角△BCO中运用勾股定理求出OB的长，也就
得出了B的坐标，进而可求出抛物线的解析式．
1 O1
（2）假设存在这样的点P，那么要分两种情况进行讨论： x ①当PN是另外一条直角边时，可先求出直线MC的函数解析式，再求出
初中数学综合复习二次函数的应用部分3
初中数学综合复习二次函数的应用部分3解答题11. 已知抛物线l ：c bx ax y ++=2（a ，b ，c 均不为0）的顶点为M ，与y 轴的交点为N 。
我们称以N 为顶点，对称轴是y 轴且过点M 的抛物线为抛物线l 的衍生抛物线，直线MN 为抛物线l 的衍生直线.(1)如图,抛物线y=x 2-2x -3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 (2) 若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y =-2x 2+1和y =-2x +1，求这条抛物线的解析式;(3)如图，设（1）中的抛物线y =x 2-2x -3的顶点为M ，与y 轴交点为N ，将它的衍生直线MN 先绕点N 旋转到与x 轴平行，再沿y 轴向上平移1个单位得到直线n ，P 是直线n 上的动点.是否存在点P ，使得△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标：若不存在，请说明理由吗.【答案】(1)抛物线y =x 2-2x -3的衍生抛物线的解析式是y =-x 2-3. 衍生直线的解析式是y =-x -3.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=12122x y x y 解得⎩⎨⎧==1011y x ⎩⎨⎧-==1122y x ∴抛物线与y 轴的交点M (0,1),抛物线的顶点为N (1,-1).∵设y =a (x -1)2-1,把M (0,1)代入得∴1=a -1,解得a =2 ∴这条抛物线的解析式y =2(x -1)2-1.(3) 抛物线y =x 2-2x -3将它的衍生直线MN 先绕点N 旋转到与x 轴平行时，为y =-3,再沿y 轴向上平移1个单位得到直线n 为y =-2，∵P 是直线n 上的动点,∴设P (m ,-2).∵O (0,0),M (1,-4)∴OM 2=17;OP 2=m 2+4;MP 2=(m -1)2+22=m 2-2m +1+4= m 2-2m +5当OM 2=OP 2+ MP 2时,即m 2+4+m 2-2m +1+4= 17.解得m =2171±-.P (2171+-,-2), (2171--,-2) 当OM 2+OP 2= MP 2时,即17+ m 2+4 = m 2-2m +5.解得m =-8. P (-8,-2) 当OP 2=OM 2+MP 2时,即m 2+4=17+ m 2-2m +5.解得m =9. P (9,-2)综上所述存在点P 使△POM 为直角三角形.P 的坐标为(-8,-2)或(9,-2)或 (2171+-,-2)或 (2171--,-2). 2. 如图，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ． （1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD +MC 的值最小，并求出点M 的坐标；（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解： （1）令y =0，则2333084x x --= 即：2280x x --=得：x 1=4，x 2=-2∴ A （4，0），D （-2，0） 令x =0，则y =-3，∴ C （0，-3）（2）∵ 点A 、点D 关于对称轴直线x =1对称， ∴ MA = MD∴ MD + MC = MA + MC∴ 当A 、M 、C 三点共线时，MD +MC 的值最小． 由A （4，0），C （0，-3），可得y AC = 334x -， 令x =1，得y =94-，∴ M （1，94-）（3）若以BC 为底边（如图1），则AP ∥BC ，BC=2，易得P 1（-2，0），此时AP =3，显然BC ≠AP ，则P 1（-2，0）符合； 若以AB 为底边（如图2），则CP ∥AB ，∴ k CP = k AB ，∵A（4，0），B（2 ，-3），∴k AB =32∴y CP =332x-，令332x-=233384x x--得：13()084x x-=∴x1=0，x2=6经检验，P2（6，6）符合题意；若以AC为底边（如图3），如上同理可得：y BP =339(2)3442x x--=-，令3942x-=233384x x--即2440x x-+=∴x1=x2=2，此时点P不存在；综上所述：P1（-2，0），P2（6，6）符合题意．3.如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0,23将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH.(1)若抛物线2:l y ax bx c=++经过G、O、E三点,则它的解析式为；(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标；(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设ΔPQH的面积为S,33S<时,确定点Q的横坐标的取值范围.（图1）（图2）（图3）【答案】解:(1)223y x =(2)∵30FOG ∠=o ∴点F 在y 轴上 作GS x ⊥轴于点S ∵点H 为FD 中点 ∴M 为FG 中点同理可得D 为SO 中点∴点D的坐标为((3)可求得GE的解析式为2y =+过点Q 作//QT y 轴交GE 于点T ,可设22(,)3Q x x ,则(,2)T x +∴2222(2)()233TQ x x x =+-=-+①当0x ≤22122(2)((2)233PQT HQT S S S x x x x =-=-++--+△△2=+②当0x <<时,221212(2)((2)(0)2323PQT HQT S S S x x x x =+=-++-+-△△2=综上可得2S x x =<S <由函数2S x =x <<又∵x <<∴322x-<<4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A、D的坐标分别为A(0，2)，D(2，2)，AB=22，连接AC。
在抛物线背景下直角三角形存在问题的解题技巧
在抛物线背景下直角三角形存在问题的解题技巧
石平
【期刊名称】《数理天地:初中版》
【年(卷),期】2022()2
【摘要】在抛物线背景下,直角三角形存在问题是动点坐标确定的基本方法在特殊背景下的运用.图形重组和重建能灵活的展现数学题解题方法美感,减少机械的数学推理和运算比例.通过分析绘图找到符合条件的点然后再在“互余三角形”或者“三垂直模型”中利用相似或者勾股定理得到相应的分式方程或者一元二次方程去进行模型构建.分类讨论思想和待定系数法是基本方法,运用尺规画图寻找符合条件的点是解题关键.
【总页数】2页(P2-3)
【作者】石平
【作者单位】山东省垦利实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.抛物线中的内接直角三角形问题初探
2.例谈二次函数背景下直角三角形存在性问题的方法比较
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4.抛物线背景下的三角形属性问题探究 --以三角形的周长和面积为例
5.巧用几何画板探究存在问题——以“二次函数背景下直角三角形存在性问题”为例
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解:存在点M,使得∠ADM=90°. 理由如下： 由抛物线y=X2+2x-3,得C(0,-3), ∵CD∥x轴, ∴D的纵坐标为-3, 把y=-3代入y=X2+2x-3，得
X2+2x-3=-3， 解得:x1=-2,x2=0, ∴D的坐标为(-2,-3),
设直线AD的解析式为y1=k1x+b1,则：
k1 b1 0 2k1 b1 3
解得：
b1k1
1 -1
∴直线AD的解析式为y1=x-1.
如图，过点D作直线DM⊥直线 DA交抛物线于点M,
设直线MD的解析式为
y2=-x+b2,
把D(-2,-3)代入y2=-x+b2,得
b2=-5，
∴直线MD的解析式为y1=-x-5.
1
10 39
10
F( 1 , 39) 10 10
综上所述，.....
B
C
范例学习
例题1:如图，抛物线y ＝x2-2x-3与x轴交 于A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于C(0，-3),且对称 轴为x＝1.设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动 点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．
分析：设P(3,m),先 用两点间的距离公式表示 出PC2,PB2及BC2,程 有实数根,则存在;否则不 存在．
当PF⊥PB时，
∵点P(1,4.5)、B(4,0),
∴设直线PB的解析式为 y=-1,5x+6,
∴设直线PF的解析式为
y = 2 x + b, 3
把P(1,4.5)代入y=2/3x+b,得
b = 23，
∴根据题意6得：y
y = -x = 2x
3
+ +
4 23
6
解得:
x y
= =
知识点
(1)在平面直角坐标系中，若直线y1=k1x+b1 与直线y2=k2x+b2垂直，则k1×k2=-1.
注意：此知识点在抛物线上求一点使三角形 是直角三角形比较简单。
(2)若△ABC是以点D为直角顶点的直角三角 形，则AB2+BC2=AC2.
A
注意：此知识点在对称轴 或者坐标轴上求一点使三角形 是直角三角形比较简单。
2
相交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C，顶点 为点P.动点M从点O同时出发,都以每秒1个单位长 度的速度分别在线段OB上向点B方向运动,过点M 作x轴的垂线交BC于点F.是否存在这样的点F,使 △PFB为直角三角 形?若存在,求出点 F的坐标;若不存在, 请说明理由。
解:存在, 由题可得，C(0,4),P(1,4.5),
当PF⊥BC时， ∵直线BC的解析式为 y=-x+4,
∴设直线PF的解析式为 y=x+b,
把P(1,4.5)代入y=x+b, 得b=3.5，
∴设直线PF的解析式为 y=x+3.5,
∵直线BC与直线PF交于F,
yy==x-x++3.45
解得:
x
y
=1 4
= 15
4
F( 1 , 15) 44
要使∠PCB＝90°，则直线PC 过点C，且与BC垂直，
如图，过点C作直线PC⊥直线BC
交对称轴于点P,
∵直线BC的解析式为y=x-3, ∴设直线PC的解析式为y=-x+b,
把C(0,-3)代入y=-x+b,得b=-3, ∴直线PC的解析式为y=-x-3,
当x=1时，y=-4，
∴P点坐标为(1,-4).
M
∵直线DA交抛物线于点M, 当x=-2时,y=2-5=-3;
∴-x-5=X2+2x-3 解得:x1=-1,x2=-2,
当x=-1时,y=1-5=-4;
此时，M与D重合;
综上所述存在点M(-1,-4), 使得∠ADM=90°．
此时，M(-1,-4);
针对练习
问题:如图,抛物线 y 1 x2 x 4 与x轴分别
例题2:如图,抛物线y=X2+2x-3交x轴于点A(1,0),交 y轴于点B(0,-1),C为y轴负半轴上一点,且BC=2OB,抛物 线交直线AB于点D,且CD∥x轴.在这条抛物线上是否存在 一点M使得∠ADM为直角?若存在,求出点M的坐标;若不 存在,请说明理由．
解析:由C(0,-3)、点D 在抛物线上,且CD∥x轴,可得 D的坐标,先由A、D的坐标 可求出直线AD的解析式,然 后设并求出直线DM的解析 式,最后结合抛物线的解析式 建立方程组即可求出M点的 坐标。
方法一:设P点坐标为(1,m),则
BC2＝32＋32=18,
PC2＝12＋(-3-m)2,
PB2＝22＋m2, ∵∠PCB＝90°, ∴△PBC是直角三角形,且PB为斜边, ∴PC2＋BC2＝PB2. 即[12＋(-3-m)2]＋18＝22＋m2,
解得:m=-4,
∴P点坐标为(1,-4).
方法二：