自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案

8 非线性控制系统

前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。

8.1非线性控制系统概述

在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图8-1 伺服电动机特性

8.1.1控制系统中的典型非线性特性

组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。

实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。

8.1.1.1饱和非线性

控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特

性以限制过载。

图8-2 饱和非线性

8.1.1.2不灵敏区(死区)非线性

控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。如图8-3所示，其特性是输入信号在∆<<∆-x 区间时，输出信号为零。超出此区间时，呈线性特性。这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域∆<<∆-x

叫做不灵敏区或死区。

a

∆

图8-3 不灵敏区非线性特性

图8-4 具有不灵敏区的饱和特性

死区特性给系统带来稳态误差和低速运动不稳定影响。但死区特性会减弱振荡、过滤输入端小幅度干扰，提高系统抗干扰能力。

8.1.1.3 具有不灵敏区的饱和非线性特性

在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。如电枢电压控制的直流电动机的控制特性就具有这种特性。具有不灵敏区的饱和非线性特性如图8-4所示。

8.1.1.4 继电器非线性

实际继电器的特性如图8-5所示，输入和输出之间的关系不完全是单值的。由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电流是不相同的。因此，继电器的特性有一个滞环。这种特性称为具有滞环的三位置继电特性。当1-=m 时，可得到纯滞环的两位置继电特性，如图8-6所示。当1=m 时，可得到具有三位置的理想继电非线性特性，如图8-7所示。

图8-5 具有滞环的三位置继电非线性特性 图8-6 具有滞环的两位置继电非线性特性

8.1.1.5 间隙非线性

间隙非线性形成的原因是由于滞后作用，如磁性材料的滞后现象，机械传动中的干摩擦与传动间隙。间隙非线性也称滞环非线性。间隙非线性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量的变化超出一定数值(间隙)后，输出量才跟着变化。齿轮传动中的间隙是最明显的例子。间隙非线性如图8-8所示。

图78-7 具有三位置的理想继电非线性特性图8-8 间隙非线性特性

8.1.2非线性控制系统的特殊性

非线性系统与线性系统相比，有许多独有的特点：

（1）线性系统的稳定性由系统的闭环极点决定，也就是说一旦系统确定，其稳定性也随即确定，与初始条件和输入信号无关。而非线性系统的稳定性除了与系统的闭环极点相关外，还与初始条件和输入信号相关。对于某一个确定的非线性系统，在一种初始条件下是稳定的，而在另一种初始条件下则可能是不稳定的，或者在一种输入信号作用下是稳定，而在另一种输入信号作用下却是不稳定的。

（2）线性系统的运动状态不是收敛与平衡状态，就是发散。理论上说，当系统处于临界时，会出现等幅振荡。但是在实际情况下，这种状态不可能维持，外界环境或系统参数稍有变化，系统就会趋于平衡状态或发散状态。而非线性系统的运动状态除了收敛和发散以外，还有等幅振荡的状态。这种振荡状态在没有外界作用的情况下，也会存在，而且保持一定的幅度和频率，称为自持振荡、自振荡或自激振荡。自持振荡由系统结构和参数决定，是非线性系统独有的现象。

（3）线性系统在输入某一频率的正弦信号时，输出的稳态分量是同频率的正弦信，系统只会改变输入信号的幅度和相位。而在非线性系统中，当输入信号是某一频率的正弦信号时，输出信号不仅含有同频率的正弦分量，还含有高次谐波分量。因此，在分析线性系统时采用的频率特性、传递函数等方法不能应用于非线性系统的分析。

（4）线性系统满足叠加原理。而非线性系统不满足叠加原理。对非线性系统的分析，重点是系统的稳定性，系统是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度是多少，如何减小和消除自持振荡等。

8.1.3 非线性控制系统的分析方法

目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。虽然有一些针对特定非线性问题的系统分析与设计方法，但其适用范围有限。因此分析非线性系统要根据其不同特点，选用有针对性不同方法。

（1）相平面分析法非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。相平面上的轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳定性和系统的时间响应特性。

（2）描述函数法描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线性系统中的推广。