自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案
自动控制原理第8章
图8.10 相平面图
Байду номын сангаас
自动控制原理
20
如果以相变量和 x1 为x2 坐标构成平面，称为相平
面，则系统在某一时刻t1的状态就成为相平面上
的( x一,个x)点以(x时1(t间), x为2 (t参))。变在量相构平成面的上曲，线由，(称x1为, x相2 )轨或
迹。图8.9(b)对应图8.9(a)绘出了相应的相轨迹。 相轨迹上的箭头表示时间参量的增大方向。若以
8.3.1 相平面的基本概念 8.3.2 相平面图的绘制方法 8.3.3 奇点和极限环 8.3.4 相平面分析举例
自动控制原理
18
8.3.1相平面的基本概念
考虑二阶线性系统
x 2n x n2x 0
(8-2)
式中 与n 是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。
个设变系量统，仅由初和xx始21 条来件x描,激述xn2励2x。1。若这x2令一，系n则x统方2 的程状(8态-2可)可以((8化8用--34为)两)
点6的另一个跳跃，也伴有振幅和相位的改变。在
这个跳跃之后，振幅A随着频率 的减小 一起减
小，并且沿着曲线从点6趋向点1。
自动控制原理
16
因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增
加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移 动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实 验中是观测不到的。
则由式(8-8)确定的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且 仅有一条，这样的点称为普通点。在相平面上，同时满足
x 0 和 f(x, x) 0 的点，由于
f(x, x
x)
f(x, x
x)
0 0
相轨迹的斜率不是一个确定的值，说明通过该点的相轨迹 曲线有一条以上，这样的点称为奇点，显然奇点只分布在 相平面的x轴上。
自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析
k ( x b) y c k ( x b)
当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
式中， b 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。
间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动 态、稳态特性都不利。
虚线可用动态非线性微分方程来描述 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态 误差加大；
死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提 高抗干扰能力。
2. 饱和特性
可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大。 实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中 心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微 分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法
2）描述函数法
2) 非线性系统的分类
非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建 立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。 此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器 的设计。
8-3 相平面法
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第八部分非线性控制系统分析
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
在一个控制系统中,包含有一个以上的非线性元件，
就构成了非线性系统。 控制系统中的典型非线性特性有：
8.2.1 饱和特性 饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
xa ka y kx x a ka x a
对系统的影响：
y
上的斜率应大小相等，符号相同。
( x , x )
x
图8-15
相轨迹对称于原点
f ( x, x ) f ( x, x )
(8-14)
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程
x dx dx f ( x, x) 可知,相上的
点
只要不同时满足x 0, f ( x, x ) 0 ( x, x )
例8-1.设系统的微分方程为：
x
x x 0 x
其相平面图如右图所示 （绘制方法在下节介绍）
D
0
E
C
图中的箭头表示系统的 状态沿相轨迹的移动方向。
1 A B
x
p
图8-9 例8-1的相平面图
18
由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说 明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。
f ( x, x )
x(t), 也可以写成以t为参变量的形式，用 这个 来表示。
x f (x )
x(t)
x
x
t 图8-8 方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作为平面的直角坐标，则 x 系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当 t 变化时， ( x, x ) 这一 点 x x 平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。 在 它描述系统的运动过程。 2.相平面: x 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 x 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。 若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。
自动控制原理第8章
f(x, x) f(x, x) 或 f(x, x) f(x, x)
即 f(x, x)是关于 xx
x
自动控制原理
9
(2)相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x)，只要不同时满足 x 0和 f(x, x) 0 ， 则该点的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条， 这样的点称为普通点。
中心点
jω
vortex or center
σ
x
x
中心点
鞍点
jω
x
saddle point
σ
鞍点
x
自动控制原理
21
j λ2 λ1 0
节点 node
j 0
j
0 λ1 λ2
不稳定节点 unstable node
j
0
稳定焦点 stable focus
j
不稳定焦点 unstable focus
j
0
λ1 0 λ2
此系统将具有振荡发散状态。
终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。
自动控制原理
25
例8-3 x 0.5x 2x x2 0
解： x dx 0.5x 2x x2 0 dx
试分析稳定性。
则：
dx dx
0.5x 2x x
x2
0 0
有:
0.5x 2x x2 0
x 0
-2
x
0x
奇点位置：
如果把相变量x视为位移，于是 x 和 x 可以理解为速度和
加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因
此奇点就是系统的平衡点equilibrium point 。
自动控制原理
20
系统奇点的分类
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
精品课件-自动控制原理-第8章
f
t,
dn dt
y
n
,,
dy dt
,
y
g t ,
dmr dt m
,,
dr dt
,
r
(8.1)
其中, f(·)和g(·)为非线性函数。
第八章 非线性控制系统分析
8.1.1 非线性特性的分类 非线性特性种类很多, 且对非线性系统尚不存在统一的
分析方法, 所以将非线性特性分类, 然后根据各个非线性的类型 进行分析得到具体的结论, 才能用于实际。
6. 计算机仿真
利用计算机模拟, 可以满意地解决实际工程中相当多 的非线性系统问题。这是研究非线性系统的一种非常有效的方 法, 但它只能给出数值解, 无法得到解析解, 因此缺乏对一般 非线性系统的指导意义。
第八章 非线性控制系统分析 8.2 相平面分析法
相平面法是求解一阶或二阶线性或非线性系统的一种图 解方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统运动的直 观图像。它可以看作状态空间法在一阶和二阶情况下的应用。所 以, 它属于时间域的分析方法。
表 示相轨迹曲线方程。相平面法的主要工作是作相轨迹, 有了相
平面图, 系统的性能也就表示出来了。
第八章 非线性控制系统分析 8.2.1 相平面图的绘制方法
1. 解析法
解析法适用于由较简单的微分方程描述的系统。
【例 8-1 】 单位质量的自由落体运动。
解 以地面为参考零点, 向上为正, 则当忽略大气影响 时, 单位质量的自由落体运动为
第八章 非线性控制系统分析
一般的二阶系统均可以表示为
上式可改写为
x f (x, x) 0
(8.4)
dx dx
dx / dt dx / dt
自动控制原理 第8章非线性控制理论系统
第8章 非线性控制系统分析
3
典型非线性特性
饱和非线性可以由磁饱和、放大器输出饱和、功率限制等引起。一般情况下， 系统因存在饱和特性的元件，当输入信号超过线性区时，系统的开环增益会有大 幅度地减小，从而导致系统过渡过程时间的增加和稳态误差的加大。但在某些自 动控制系统中饱和特性能够起到抑制系统振荡的作用。因为在暂态过程中，当偏 差信号增大进入饱和区时，系统的开环放大系数下降，从而抑制了系统振荡。在 自动调速系统中，常人为地引入饱和特性，以限制电动机的最大电流。
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
9
典型非线性特性
图8.4 继电器非线
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
10
8.1.2 非线性系统的特点
非线性元件系统与线性控制系统相比，有如下特点：
1. 叠加原理不适用于非线性控制系统。即几个输入信号作用于非线性控制系 统所引起的输出，不再等于每一个输入信号所引起的输出之总和。
同时满足 x 2 0，f(x1,x 2 ) 0 的特殊点，由于该点相轨迹的斜率为0/0，是一
图8.6 相平面图
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
16
8.2.2 相轨迹的性质
在相平面的分析中，相轨迹可以通过解析法作出，也可以通过图解法或实验
法作出。相轨迹一般具有如下几个重要性质：
间 之 向，是t 1在的x.相1相推的轨平移减迹面，小运下系方动半统向方平状，向面态即的上沿向确，相左定由轨运于迹在动x的相。2<运平0动，面方表的向示上是随半x着平1的时面增间上t大，的方由推向于移x，2，即>0相向，轨右表迹运示的动随运。着动反时方
自动控制原理
第8章 非线性控制系统分析
自动控制原理
山东理工大学教案第34 次课教学课型：理论课√实验课□习题课□实践课□技能课□其它□主要教学内容（注明：* 重点# 难点）：①§8－5 相平面法（下）（*）（＃）D、奇点与奇线E、由相轨迹求取时间间隔②§8－6 非线性系统的相平面分析③第8章小结教学目的要求：①正确理解奇点的概念与类型，并能作出判断；②正确理解极限环的概念与类型；③掌握相轨迹求取时间间隔的方法；④正确理解非线性系统的相平面分析方法。
教学方法和教学手段：教学方法：讲授教学手段：板书与多媒体结合讨论、思考题、作业：课后习题：P343 8－16、8－20。
参考资料：①《自动控制原理》高国燊主编华南理工大学出版社②《自动控制理论》文锋主编中国电力出版社③《自动控制理论》夏德钤主编机械工业出版社④《自动控制理论》邹伯敏主编机械工业出版社注：教师讲稿附后§8-5 相平面法四、奇点与奇线绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性。
由于系统平衡点有无穷多条相轨迹离开或到达，所以平衡点附近的相轨迹最能反映系统的运动特性。
因此平衡点是非常重要的特征点，很有必要加以讨论和研究。
另外，系统的自激振荡状态也是人们非常关心的问题。
前者叫奇点，后者为极限环（奇线最常见的形式） 1、奇点：①定义：以微方),(x x f x &&&=表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为x x x f dx x d &&&),(=，若在某点处x xx f &&和),(同时为0，的不定形式即有00=dx xd &，则称该点为相平面的奇点。
②性质：⑴相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点。
因此在奇点处多条相轨迹相交。
⑵在相轨迹的非奇点（称为普通点）处，不同时满足0),(0==x x f x &&和，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。
《自动控制原理》课件第八章
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
图8-1 饱和非线性特性
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间
关系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无
0≤t＜1 1≤t＜2
0， 2≤t＜π
式中，1＝arcsin(h/A)，2＝π－arcsin(mh/A)。因为死区滞
环继电特性是多值函数，它在正弦信号x(t)＝A sinωt的作用
4． 摩擦特性 通常执行机构由静止状态开始运动时，必须克服机构中 的静摩擦力矩(或静摩擦力)。运动后，又要克服机构中的动 摩擦力矩(或动摩擦力)。一般情况下，静摩擦力矩大于动摩 擦力矩，摩擦非线性特性如图8-4所示。其中M1为静摩擦力 矩，动摩擦力矩M2可表示为
y M2signx， x 0
图8-4 摩擦非线性特性
cos td
t
,
B1 =
1 π
2π
0
y
t
sin
td
t
Y1= A12 +B12 ,
1
arctan
A1 B1
仿照线性环节频率特性的概念，非线性环节的描述函
数N(A)定义为非线性环节输出的基波分量与正弦输入的复
数比，即
N A
y1 t xt
Y1 e j1 A
B1
jA1 A
一般地，N(A)是输入信号的幅值A和频率ω的函数，但是， 如果在非线性元件中不包含储能元件，那么N(A)只是输入信号 幅值的函数。
t
+ 2 1 k A bsintd t+ 2 π k Asint+bsintd t
8. 《自动控制原理》胡寿松主编 第五版 电子课件——第八章
第八章 非线性控制系统分析§8－1 非线性控制系统的基本概念§ §8 8－－2 典型非线性环节及其对系统的影响 §8－4 用描述函数法分析非线性系统§8－3 描述函数法主要内容1． 非线性系统的基本概念2． 典型非线性环节及其对系统的影响 3． 描述函数的基本概念及应用前提 4． 典型非线性特性的描述函数5. 用描述函数分析非线性系统的稳定性和自激振荡6、 非线性系统的简化重 点 与 难 点1．非线性系统的性质特点2．用描述函数分析非线性系统的稳定性3. 基于描述函数法计算系统自振参数4. 非线性系统的简化系统自振参数的计算与非线性与非线性系统的简化 重 点难 点点本章引言前述均为线性系统。
严格说来，任何一 个实际 控制系统，其元部件都或多或少的带有非线性，理想 的线性系统实际上不存在。
当能够采用小偏差法将非 线性系统线性化时，称为非本质性非线性，可以应用 线性理论；但还有一些元部件的特性不能采用小偏差 法进行线性化，则称为本质性非线性，如饱和特性、 继电特性等等。
这时不能采用线性理论进行研究，所 以只运用线性理论在工程上是不够的，还需研究分析 非线性理论。
本章引言（续）饱和特性 继电特性§ §8 8－－1 非线性控制系统的基本概念 若系统含有一个或一个以上的非线性部件或 环节，则此系统为非线性系统。
线性系统用传递函 数、频率特性、根轨迹等概念，线性系统的运动特 性与输入幅值、系统初始状态无关，故常在典型输 入信号下和零初始条件下进行分析研究。
而由于非 线性系统的数学模型是非线性微分方程，故不能采 用线性系统的分析方法。
用线性系统的分析方法。
k例如：对于线性系统， 时， 当 22 1 1 x a x a x + = ； 2 2 1 1 y a y a y + = 但对于非线性系统，例如饱和 特性： 单独作用时， ， 1 1 kx y = ； 2 2 kx y = ， 若 cx x x > + = 2 1 ， 则 B y = 而不等于 21 kx kx + cx c x < < 2 1 ， 设 ； ) ( kc B y = = ∴非线性系统不能用迭加原理，而且在稳定性、运动形式等方面具有独特的特点。
自动控制原理-第8章非线性控制系统教案
自动控制原理-第8章非线性控制系统教案8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
自动控制原理：第八章 非线性控制系统
以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
－f (x, x. ) x.
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
或
f (x, x. ) = － f (-x, x. )
即f(x, x. )是关于x的奇函数。
的相平面图
解：系统方程改写为
x
dx dx
w
2x
0
积分得相轨迹方程
x 2
w2
x2
A2
x.
x0
0
x
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
❖ 图解法是通过逐步作图的方法，不必 解出微分方程，而把结果直接描绘在相平 面上。
❖常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。
❖ 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相 轨迹曲线。
(四)频率响应
系统微分方程：
K 非线性 弹簧
M 重物
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x
5
K ′ <0
§8.2 相平面图
自动控制第八章课件
在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构 和参数有关，而与外作用及初始条件无关。 非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数 有关外，还与外作用及初始条件有关。 2．时域响应 线性系统的时域响应曲线形状与输入信号的大 小及初始条件无关。 非线性系统的时域响应曲线形状与输入信号的 大小及初始条件有直接关系。
x 0 A x dx 1 x x x dx A
2．等倾线法 等倾斜线法是一种通过图解方法求相轨迹的方法。
dx x ) x f ( x, x 由 dx
可得出
) dx f ( x, x dx x
dx 表示相平面上相轨迹的斜率。若取 式中， dx 斜率为常数，则上式可改写成 ) f ( x, x
③等倾线上所绘的短线段均平行，但它们不一定与等 倾线垂直，而且短线段长度是无意义的。 ④等倾线本身有自己的斜率，其斜率与 有关，但并 非 ，形状由系统决定。
绘制相轨迹的步骤： ①根据等倾线方程取 为不同值，在相平面上做一簇 等倾线； ②根据初始条件确定相轨迹的起始点A； ③从初始点A出发，按照A点所处的等倾线 i ，即知A 点相轨迹的斜率为 i ，于是自A点延伸短线段与相邻 的一条等倾线 i 1 相交于B点，线段AB即为所求的一 段相轨迹，以此类推，如此继续绘制下去，最后将折 线光滑处理，即为相轨迹。
自动控制原理第8章 非线性系统分析
一、 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x1 x, x2 x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
x1 x2
x2
f
(
x1,
x2
)
dx2 f ( x1, x2 )
dx1
x2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x1 为横坐标，x2 为纵坐标的平面称为相平面， 相应的分析法称为相平面法；
x1 x2
x x
x1 x2
x2
f ( x1, x2 )
一般形式为
x1
f1( x1, x2 )
x2 f2 ( x1, x2 )
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx2 f2 ( x1, x2 ) dx1 f1( x1, x2 )
求解可得相轨迹方程，即
奇点为坐标原点,称 为不稳定焦点。
图8-4 -1＜＜0
时的相轨迹
(b) ＜-1时，特征根 是两个正实根，响应为 单调发散，相轨迹是一 族从原点出发向外单调 发散的抛物线，如图所 示。奇点为坐标原 点，称为不稳定节点。
图 8-5 ＜-1时的相轨迹
(c)对图所示的正反馈二阶系统
r(t)
n2 x1
相轨迹的斜率方程为:
dx2 2n x2 n2x1
dx1
x2
系统的奇点(平衡点)满足
dx2 0 dx1 0
解得 x1 0, x2 0 为系统的奇点。
系统的特征根为
1，2 -n n 2-1
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
8.1.1.1饱和非线性控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。
如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。
许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。
有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。
图8-2 饱和非线性8.1.1.2不灵敏区(死区)非线性控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。
例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。
如图8-3所示，其特性是输入信号在∆<<∆-x 区间时，输出信号为零。
超出此区间时，呈线性特性。
这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域∆<<∆-x叫做不灵敏区或死区。
a∆图8-3 不灵敏区非线性特性图8-4 具有不灵敏区的饱和特性死区特性给系统带来稳态误差和低速运动不稳定影响。
但死区特性会减弱振荡、过滤输入端小幅度干扰，提高系统抗干扰能力。
8.1.1.3 具有不灵敏区的饱和非线性特性在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。
如电枢电压控制的直流电动机的控制特性就具有这种特性。
具有不灵敏区的饱和非线性特性如图8-4所示。
8.1.1.4 继电器非线性实际继电器的特性如图8-5所示，输入和输出之间的关系不完全是单值的。
由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电流是不相同的。
因此，继电器的特性有一个滞环。
这种特性称为具有滞环的三位置继电特性。
当1-=m 时，可得到纯滞环的两位置继电特性，如图8-6所示。
当1=m 时，可得到具有三位置的理想继电非线性特性，如图8-7所示。
图8-5 具有滞环的三位置继电非线性特性 图8-6 具有滞环的两位置继电非线性特性8.1.1.5 间隙非线性间隙非线性形成的原因是由于滞后作用，如磁性材料的滞后现象，机械传动中的干摩擦与传动间隙。
间隙非线性也称滞环非线性。
间隙非线性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量的变化超出一定数值(间隙)后，输出量才跟着变化。
齿轮传动中的间隙是最明显的例子。
间隙非线性如图8-8所示。
图78-7 具有三位置的理想继电非线性特性图8-8 间隙非线性特性8.1.2非线性控制系统的特殊性非线性系统与线性系统相比，有许多独有的特点：（1）线性系统的稳定性由系统的闭环极点决定，也就是说一旦系统确定，其稳定性也随即确定，与初始条件和输入信号无关。
而非线性系统的稳定性除了与系统的闭环极点相关外，还与初始条件和输入信号相关。
对于某一个确定的非线性系统，在一种初始条件下是稳定的，而在另一种初始条件下则可能是不稳定的，或者在一种输入信号作用下是稳定，而在另一种输入信号作用下却是不稳定的。
（2）线性系统的运动状态不是收敛与平衡状态，就是发散。
理论上说，当系统处于临界时，会出现等幅振荡。
但是在实际情况下，这种状态不可能维持，外界环境或系统参数稍有变化，系统就会趋于平衡状态或发散状态。
而非线性系统的运动状态除了收敛和发散以外，还有等幅振荡的状态。
这种振荡状态在没有外界作用的情况下，也会存在，而且保持一定的幅度和频率，称为自持振荡、自振荡或自激振荡。
自持振荡由系统结构和参数决定，是非线性系统独有的现象。
（3）线性系统在输入某一频率的正弦信号时，输出的稳态分量是同频率的正弦信，系统只会改变输入信号的幅度和相位。
而在非线性系统中，当输入信号是某一频率的正弦信号时，输出信号不仅含有同频率的正弦分量，还含有高次谐波分量。
因此，在分析线性系统时采用的频率特性、传递函数等方法不能应用于非线性系统的分析。
（4）线性系统满足叠加原理。
而非线性系统不满足叠加原理。
对非线性系统的分析，重点是系统的稳定性，系统是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度是多少，如何减小和消除自持振荡等。
8.1.3 非线性控制系统的分析方法目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。
虽然有一些针对特定非线性问题的系统分析与设计方法，但其适用范围有限。
因此分析非线性系统要根据其不同特点，选用有针对性不同方法。
（1）相平面分析法非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。
相平面上的轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳定性和系统的时间响应特性。
（2）描述函数法描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。
应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。
描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线性系统中的推广。
用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析、设计复杂非线性系统的有效方法。
随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手段。
本章重点讨论非线性系统的描述函数分析方法。
8.2 描述函数法描述函数法是一种基于谐波线性化概念，将分析线性系统的频率响应法移植到分析非线性系统中的一种工程近似方法。
其基本思想是：当系统满足某种条件时，系统中非线性环节的输出信号中的高次谐波分量可以忽略，用基波近似输出信号，由此导出非线性环节的近似频率特性，即描述函数。
此时的非线性系统就近似为一个线性系统，可以用线性系统分析方法中的频率响应法对其进行分析。
描述函数法主要用于分析非线性系统的稳定性，是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度，消除和减弱自持振荡的方法等。
8.2.1 描述函数的基本概念8.2.1.1继电特性引例理想继电特性如图8-9（a ）所示，当输入正弦信号t Xsin x ω=时，其输出y(t)是一个与输入正弦函数同频率的周期方波。
()b图8-9 理想继电特性及输入、输出波形与输出波形输出周期函数可展开成傅里叶级数 ）⋅⋅⋅⋅+++=ωωωπ5sin 513sin 31(sin 4My(t)t t =∑∞=++012)12sin(M4n n tn ωπ(8-1)由式（8-1）可以看出，方波函数可以看做是无数个正弦信号分量的叠加。
这些分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，称为基波分量（或一次谐波分量），其幅值最大。
其他分量的频率均为输入信号频率的奇数倍，统称为高次谐波。
频率愈高的分量，振幅愈小，各谐波分量的振幅与频率的关系称为该方波的频谱，如图8-9（b ）所示。
8.2.1.2 谐波线性化对于任意非线性特性，设输入的正弦信号为t x ωsin X =，输出波形为y(t)。
输出y(t)有傅氏形式：)sin(])sin(cos [)(1010n n n n n n t n Y A t n B t n A A t y ϕωωω++=++=∑∑∞=∞=）（式中 ⎰=πωπ200)()(21A t d t y)()cos()(120t d t n t y A n ωωππ⎰=（8-2） )()sin()(120t d t n t y B n ωωππ⎰=（8-3）22nn nB A Y +=，nnn B A arctan=ϕ 对于本章所讨论的几种典型非线性特性，均属于奇对称函数，y(t)是对称的，则A 0=0；若为单位奇对称函数，则A 0=A 1=0。
谐波线性化的基本思想或处理方法是略去输出高次谐波分量，用输出y(t)的基波分量y 1(t)近似地代替整个输出。
即)sin(sin cos )(y(t)11111ϕωωω+=+=≈t Y t B t A t y （8-4）式中 21211B A Y +=； 111arctan B A =ϕ⎰=πωωπ201)(cos )(1A t d t t y （8-4a ）⎰=πωωπ201)(sin )(1t d t t y B (8-4b)因此，对于一个非线性元件，我们可以用输入t Xsin x ω=和输出)sin((t)y 111ϕω+=t Y 近似描述其基本性质。
非线性元件的输出是一个与其输入同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。
这与线性元件在正弦输入下的输出在形式上十分相似，故有些学者（特别是苏联学者）也称上述近似处理为谐波线性化。
8.2.1.3 描述函数非线性特性在进行谐波线性化之后，可以仿照幅相频率特性的定义，建立非线性特性的等效幅相特性，即描述函数。
非线性元件的描述函数是由输出的基波分量y 1(t)对输入x 的复数比来定义的，即11212111arctan B A XB A XYN ∠+=∠=ϕ （8-5） 式中 N ——非线性元件的描述函数； X ——正弦输入的幅值；Y 1——输出信号一次谐波的幅值；φ1——输出信号一次基波与输入信号的相位差。