吉林大学线性代数-线性代数12课xm3-1

0 6
3 x 2 3 x 3 4 x 4 3
(2 )*1 /2 (3 ) 5 (2 )
(4 ) 3( 2 )
x1 x2 2 x3 x4 4
x2 x3 x4 0 2 x4 6
x4 3
(3 ) (4 )
(4 ) 2 ( 3 )
x1 x2 2 x3 x4 4
x2 x3 x4 0 2 x4 6
00
x x
1 2
x3 x3
4 3
x 4 3
x3 c
x1 c 4
x
x
2
c
3
x x
3 4
c
3
1 4
x
c
1
3
1 0
0
3
方程组是三种变换
❖ 交换次序
(A) ( i) ( j)(B),(B) ( j) (i)(A),
ri
(
1 k
),
ri
k
ri ( k ) r j , ri k r j
矩阵等价
❖ A经过有限次行变换变成B，就称A、B行等价 ❖ A经过有限次列变换变成B，就称A、B列等价 ❖ A经过有限次初等变换变成B，就称A、B等价
A ~r B A ~c B
A~B
1
3
2 4
~r
3 1
4
2
1
0
0
0
0
0
x1 x2
x3 x3
4 3
x 4 3
x1 c 4 1 4
x
x
2
c
3
c
1
3
x3
x4
c
3
1 0
0
3
化简之后的矩阵
❖ 行阶梯（只做行变换）
1 1 2 1 4
0
1
1
1
0
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
1 0 1 0 4
行最简 ❖
（行变换下最简单形式）
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
❖ 标准型（行列变换皆可）
1 0 0 0 0
F
0
0
1 0
0 1
0 0
0 0
Er O
O
O
0 0 0 0 0
定理一
❖ A、B都是m行n列矩阵，则
❖ （i）A、B行等价的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P PAB
❖ （ii）A、B列等价的充分必要条件是：存在n阶可逆矩阵Q
2 x1 x2 x3 x4 2 2 x1 3 x2 x3 x4 2
3 x 1 6 x 2 9 x 3 7 x 4 9
(2 ) (3 ) (3 ) 2 (1 )
(4 ) 3( 1 )
x1 x2 2 x3 x4 4
2 5
x x
2 2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
第三章 第一节
矩阵初等变换
解方程组
2 x1 x2 x3 x4 2
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4
4
3 x 1 6 x 2 9 x 3 7 x 4 9
(1 ) ( 2 )
(3 ) / 2
x1 x2 2 x3 x4 4
6
4
5
6
5 7 8 9 3 5 4 0 4 5
将第i行或列乘以k倍
1 2 31
1 2 15
4
5
6
7 8 9
1
4
5
3
0
5 7 8 4 5
初等矩阵之三
1
E (ij(k ))
1
k
1
1
1 2 3 1 2 3
1
1
0
4
5
6
74
85
9
6
1 7 8 9 7 8 9
❖ 数乘
(A)( i)k (B),(B)( i)/k (A), (A) ( i)k ( j) (B),(B) ( i)k ( j) (A),
❖ 一个方程加上另一个方程k倍
❖ （以上三种变换都是可逆的）
2 1 1 1 2 B (A,b) 1 1 2 1 4
4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
初等行变换
1
一行（列）的k倍 加在另一行（列）
1 2 31
1 2 23
4
5
6
1
10
4
5
5
6
7 8 9
1 7 8 8 9
初等变换矩阵 性质1
❖ A是m行n列矩阵 ❖ 对A实施一次初等行变换，等于A左边乘以一
个m阶初等矩阵。 ❖ 对A实施一次初等列变换，等于A右边乘以一
个n阶初等矩阵。 ❖ 初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵
~
2
1 1
1
2
2 3 1 1 2
3
6
9
7
9
1 1 2 1 4
~
0
2
2
2
0
0 5 5 3 6
0
3
3
4
3
1 1 2 1 4
~
0
1
1
1
0
0 0 0 2 6
0
0
0
1
3
1 1 2 1 4
~
0
1
1
1
0
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
1 0 1 0 4
B
~
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
E ( i ,j ) 1 E ( i ,j ) ,E ( i ( k ) ) 1 E ( i ( 1 ) ) , E ( i j ( k ) ) 1 E ( i j ( k ) ) k
初等变换矩阵 性质2
❖ 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等 矩阵 P1,P2, ,Pl
3
2 4
~r
5 3
10
4
1
3
2 4
~r
31 3
42
4
等价关系的性质
❖ 反身性 ❖ 对称性 ❖ 传递性
A~ A A ~ B, B ~ A A ~ B, B ~ C, A ~ C
初等行变换 解方程组
2 1 1 1 2
B
1
1
2
1
4
4 6 2 2 4
3
6
9
7
9
1 1 2 1 4
AQ B
❖ （iii）A、B等价的充分必要条件：存在m可逆矩阵P以及n阶 可逆矩阵Q
PAQ B
初等矩阵之一
1 E (i, j)
1 0 1
1
a11 a12
E m (i,
j) A
a j1
a j2
a i1
a i2
a m 1 a m 2
1
1
0
1
1
a1n
❖ 对调两行 ❖ 非零的数乘某一行 ❖ 某一行k倍加在另一行上
ri r j k 0 , ri k ri k r j
❖ 类似的可以定义 “初等列变换” ❖ 统称为“初等变换”
逆变换
❖ 初等行（列）变换的逆变换 还是初等行（列）变换
ri r j k 0 , ri k ri k r j
ri r j
a
jn
对换i，j行
a in
a m n
1
1 2 3 1 2 3
Hale Waihona Puke Baidu
1
4
5
6
7
8
9
1 7 8 9 4 5 6
1 2 31
1 3 2
4
5
6
7 8 9
1
4
6
5
1 7 9 8
初等矩阵之二
1
1
E
(i(k
))
k
1
1
1
1 2 3 1 2 3
1
4
5