吉林大学线性代数-线性代数12课xm3-1
线性代数习题课吉林大学术洪亮
行标按自然排列，列标排列旳逆序数为
J（1 3 2 4）= 1 J（1 3 4 2）= 2
a11a23a32a44旳项带负号,a11a23a34a42
旳项前带正号。
具有因子 a11a23 旳项为 - a11a23a32a44
a11a23 a34 a42
A44=4
(-1)(-2)+0×4 + 2 ×(- a)+4 ×4=0
a=9
例7：计算行列式
2 4 1 D1 3 6 3
5 10 4
解： D1 2 (6) 4 3101 (4) 3 (5)
1 (6)(5) (4) 3 4 310 2
48 30 60 30 48 60 0
p1 p2 pn
ann
1．行列式与它旳转置行列式相等；
2．互换行列式旳两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子能够提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）旳全部元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式旳和； 5．行列式某行（列）旳K倍后加到另一行（列）代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式旳概念和某些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
旳
定 义
an1
an 2
a1n
a2n
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
1 0
4
0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
吉林大学《线性代数》线性 习题2.ppt
an
an1
解矩阵方程
2 5 4 6
1
3
X
2
1
2
5
1
4
6
X
1
3
2
1
3 1
5 4
2
2
6
1
2 0
23
8
解矩阵方程
1 1
1 4 3
1
1
X
1
1
2 1
0 2
01
1 1 1 4 3 1
1
X
1
2
0
1
1 1 2 0
1
2
2
1
验证：A
1
1
2
此题书后答案有误
矩阵方程
AB A 2B (A 2E)B A B ( A 2E)1 A
AB E A2 B ( A E)B A2 E ( A E)(A E) B AE
矩阵方程
A*BA 2BA 8E
( A* 2E)BA 8E
B 8( A* 2E)1 A1
A*
5
2
2
1
A1
|
1 A|
A*
5
2
2
1
求逆矩阵
cos
sin
1
sin
cos
cos( ) sin( )
sin( )
cos( )
cos sin
sin
cos
AT A1 (正定矩阵)
旋转的逆变换 =顺时针旋转变换
求逆矩阵
对角矩阵的逆
a1
a2
1
a11
a21
习题2
矩阵
计算乘积
4 3 1 7 35
吉林大学《线性代数》线性代数22课xm5-1
长度
x y | x || y | cos
(x1, x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3
|| x || 1，单位向量
长度性质
(i)x 0 || x || 0; x 0 || x || 0
(ii) || x ||| | || x ||
正交矩阵的性质
( A1 )T ( AT )1 ( A1 )1 AT A E | AT | | A | 1 | A |2 1 | A | 1 AT A1 , BT B1 ( AB)T BT AT B1 A1 ( AB)1
正不改变长度，常见的反射和旋转变换都是正交变换
夹角与正交
[x, y] 1 || x || || y ||
x 0, y 0
arccos [x, y]
|| x || || y || [x, y] 0，正交 x 0，与所有向量正交。
正交向量组
❖ 两两正交的向量组称为正交向量组
证明：设有1, 2 ,L r 使得1a1 2a2 L rar 0
a1T a2T
1 1
1 2
1 1
Ax 0
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
A
~
1 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1
0
x1 x3 x2 0
1 1
基础解系
0
,
a3
0
1
1
规范正交基
规范正交基便于计算坐标
a 1e1 2e2 L rer
[b1 , b1 ]
b2
a2
[a2 [b1
, ,
b1 b1
吉林大学《线性代数》线性代数06课xm2-2第二章
ABCD ( AB)(CD) A(BC)D ACBD ( A B)( A B) AA AB BA BB ( A B)( A B) AA BA AB BB (3A 4B)( A 2B) 3AA 4BA 6AB 8BB
A
1
3
2 1
0
1
1 3
AT
2
1
0 1
转置的性质
(i) ( AT )T A (ii) ( A B)T AT BT
(iii) ( A)T AT
(iv) ( AB)T BT AT
( AB)T BT AT
3 4 5
1
2
1 2
1 2
3 3Biblioteka 4 45 5 9 18
12 24
1 3 1
| 10A | 1000 | A |
第二章 第二节
矩阵的运算
矩阵的加法
❖ 定义2：两个 m n 矩阵A,B
A (aij )
B (bij )
a11 b11
A
B
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1 bm1 am2 bm2 L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn bmn
加法运算规律
cos k
sin
sin
cos
cos k cos sin k cos
sin cos
k k
sin sin
cos k sin sin k cos
sin
k
sin
cos
k
cos
cos(k sin(k
线性代数课后习题答案(共10篇)(共6页)
线性代数课后习题答案(共10篇)[模版仅供参考，切勿通篇使用]感恩作文线性代数课后习题答案（一）:高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实,这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）:求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）:线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么?如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值;求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了?再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么?所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）:线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则A不能满足的结论是（）.^T=A ^T=A^-1 ^T=E ^2=A只会证A对,不要用排除法.A²=E由A,知A^T=AAA^T=A²=(E-a^Ta)(E-a^Ta)=E-a^Ta-a^Ta+a^Taa^Ta=E-2a^Ta+a^T(aa^T)a=E-2a^Ta+a^Ta==E-a^Ta=A所以C错. 线性代数课后习题答案（八）:线性代数,对称矩阵的证明题如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵答案是这样的,有点不懂的地方：因为A^3=En所以A的特征值一定是x^3=1的实根（1.是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0?）所以λ1=λ2=λ3=1A相似于单位矩阵必有A=En（2.我觉得因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P"*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,λ只是一个特征值,那么就能相似于En吗?相似的对角阵不是应该也是n阶吗,应该有n个特征值啊!）第一问：因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵PP"AP=∧∧是A的特征值构成的对角阵A=P∧P"A^3=P∧^3P"=E所以∧^3=E所以λ1^3.λn^3都等于1所以λ1=λ2=..=λn=1第二问：因为有n个特征值,且实对称阵必能相似于对角阵(书上的定理)所以A相似于这n个特征值构成的对角阵P"*A*P=E所以 A=PEP"=PP"=E刚才看错题目了,如果还有什么不明白可以发信给我,给你详细讲解线性代数课后习题答案（九）:线性代数线性方程组问题公共解和同解方程组大题,遇到过不少次了答案的作法让人晕作法1：分别求出基础解析方程组1的 k1（）+k2（）方程组2的：k3（）+k4（）然后对比,综合得出一个k（）方法2：先求出方程组1的解,然后代入方程组2..方法3：做一个联合的系数矩阵,很大的,然后说求出来的解就是它们的. 我的问题在于：上面的方法我自己能想到1 2,但是不清楚所谓的公共解和同解的区别在哪里?另外,为什么很错题,这几个方法不论求公共解还是同解都能通用?什么时候用哪个方法啊?两个方程组的公共解,可用方法3.若是两个方程组同解,方法3就不灵了公共解是两个方程组解的交集,包含在两个方程组的解集中同解方程组,两个方程组的解集一样,即基础解系等价(可互相线性表示)这类题目一般综合性强,需根据具体情况来分析使用哪个方法比如:一个方程组可得出明显的基础解系,那么代入另一方程组就方便一些.你可以看看此类的题目,先自己做做看,用什么方法,再与解答比较,最后总结一下,大有好处若有看不透的题目,就拿来问一下,我帮你分析线性代数课后习题答案（十）:一道线性代数的题目题目是判断正误若α1,α2,……αs线性相关,则其中每一个向量都是其余向量的线性组合.我知道答案是错误但是请问反例怎么举拿0和一个非零的放到一起,线性相关,0可以写成非零的那个的线性组合,非零的那个不能写成0的线性组合。
吉林大学 陈殿友,术洪亮--线性代数 习题课
0 0
0 0
n 1 n 1
0 0 1
证：当n=1时，
2 2 D1 结论成立.
当n=2时， 2 2 2 D2 ( ) 1
假设当n≤k时结论成立，证n=k+1时亦成立。
下面我们通过例题演示 来进一步巩固所学内容， 并更好地掌握解题方法 与技巧，本章常见题型 有填空题、计算题、证 明题。
例1：问当i、j如何取值时，排列 2 1 i 3 7 6 j 9 5为偶排列？
解：令i=4，j=8，得排列为
2 1 4 3 7 6 8 9 5
214376895 为奇排列与题矛盾。 应取i=8，j=4 此时排列 218376495
a 4
1 1
0 1
例5： 1 a 0
0
的充分必要条件？
2 解： 展开即有 a -1>0的充分必要条件是
a >1
2
已知四阶行列式D的第2行 例6： 元素分别为： -1，0，2，4； 第四行元素 的余子式依次为：
2, 4, a, 4; 求a ?
由行列式某行元素与另一行元素的代数余 解：
子式乘积之和为零， 而A41= -2 A42=4 A43= -
1
1
1
1 1 0
1 1 2 1 0
c1+（-1）c3
1 0
1 0
1 1
1 1 1
0 0 0 1
0
0
1 1 1 0 0 (1 ) 0
0 0 1
所以当λ 、μ 满足λ =1或μ =0时，
方程组有非零解。
线性代数_课后答案(戴天时_陈殿友_著)_吉林大学数学学院
第一周作业解答 习题1.1(A)2. 设甲省两个城市a 1,a 2和乙省三个城市b 1,b 2,b 3的交通路线如图1,3. 乙省三个城市b 1,b 2,b 3和丙省两个城市c 1,c 2,的交通路线如图2,4. 其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数.试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息.解 用a ij 表示联结a i 与b j 的不同道路的总数,则甲乙两 省的通路信息可用矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛301213表示;用b ij 表示联结b i 与c j 的不同道路的总数,则乙丙两省 的通路信息可用矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛214312表示.习题1.2(A)1. 计算下列矩阵的乘积:;20411122013143110412)2⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-;11 )5⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a ba mb mab a解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10520876204131********110412 )2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛000011 )5b a b a mb mab a2. 设矩阵,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ,15421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求3AB -2A 及A T B.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=092650850 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2222222220276181502415023A AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111TB A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--15421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503. 已知A =PQ ,其中()2,1,2,121-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P求 A 及A 100.解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2124242122,1,2121PQ A()()21212,1,2=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Qp QP Q p Q QP P PQ A)2()2()()(999999100100====A PQ 99992)(2==.212424212299⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 第十八周习题解答习题6.4(A)2.判断下列实二次型是否正定32212322213212432),,()1x x x x x x x x x x f ++-+= 32212322213212435),,()2x x x x x x x x x x f --++= 322123222132144543),,()3x x x x x x x x x x f -+++=解: 1)二次型ƒ的矩阵,310122021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A ,0222212<-==A故二次型ƒ非正定.2)二次型ƒ的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++++10002000310002202511013202512122323r r c c r r c c A 故二次型ƒ正定.3)二次型ƒ的矩阵,520242023⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ,084223,0321>==>=A A,0245224223>=--=A故二次型ƒ正定.3.设有实二次型3221232221321482),,(x x x ax x x x x x x f ++++=, 试确定实数a 的取值范围,使相应的二次型ƒ正定.解: 二次型ƒ的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=820222/02/1a a A,04222/2/1,01221>-==>=aa a A A ,22<a,021282222/02/12>-==a a a A ,6<a故当6<a时, 二次型ƒ正定.第二周作业解答 习题1.3(A)3. 设矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22020*********A求A 4.解⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22020000340043220200003400432A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4804000025000025⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=480400002500002548040000250000254A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=816401600006250000625习题1.4(A)3. 设A 为反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A 2是对称阵； (2) AB -BA 是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .证 (1) ,)()()(222T 2A A A A T =-== ∴ A 2是对称阵.(2)TT T )()()(BA AB BA AB -=-TT T T BA AB -=BA AB )()(---=BAAB -=∴ AB -BA 是对称阵. (3)BAA B A B AB -=-==)()(TT T若AB 是反称阵，则AB AB -=T)(，有AB =BA若AB =BA ，则AB AB -=T)(，AB 是反称阵，∴AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .第三周习题解答 习题1.4(A)3. 设A 为反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A 2是对称阵； (2) AB -BA 是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .证 (1),)()()(222T 2A A A A T =-==∴ A 2是对称阵.(2)TTT)()()(BA AB BA AB -=-TT T T BA AB -=BA AB )()(---=BAAB -=∴ AB -BA 是对称阵. (3)BAA B A B AB -=-==)()(TTT若AB 是反称阵，则AB AB -=T)(，有AB =BA若AB =BA ，则AB AB -=T)(，AB 是反称阵，∴AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .习题1.5(A)1.把下列矩阵化为行最简形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-14313021201)1 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-34313021201−−→−+-+-312132r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---62031001201 −−→−-⨯)1(2r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---62031001201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−++-000031005001321222r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------12433023221221134311)3 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+-+-+-810566300221003431112433023221221134311 41312132r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−→−-⨯8105663002210034311 )1(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−+++-200000002210032011 4232125 3 3r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−↔⨯00000100002210032011 34421r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−+-+00100000210002011 231323 r r r r 第五周习题解答 习题2.1(A)1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式381141102 )1(---解)1()1(03)4(2381141102-⨯-⨯+⨯-⨯=--- 8)1(2310)1()4(1811⨯-⨯-⨯⨯--⨯-⨯-⨯⨯+=-43. 求i 出j 与，使817i 25j 49成为奇排列。
吉林师范大学线性代数课后练习题答案
练习1.21.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+321111512211213102B A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-705313512211213102B A⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=-191128375122113213102232B A2.解：由XB A X-=-2，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=+=2222211202202121A B X 4.解（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1764134251211123（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛005030200011（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000113020（4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321321321（5）()14321321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛（6）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---223451873031740215217335216104（7）()()15212315212103110021211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7.解（1）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d cb aX ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a b ad c b a AX 1101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d c b b a d c b a XA 1101由XA AX=得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=dd b d c c a ba a ⎩⎨⎧==⇒d a b 0 故与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c a X 0 （c a ,为任意）（2）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222111c b a c b a c b aX ，则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222212121111222111100110011c b a c c b b a a c c b b a a c b a c b a c b a AX ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222211111222111100110011c b b a a c b b a a c b b a ac b a c b a c b a XA 由XA AX =可得⎪⎩⎪⎨⎧======bc c b a b a a 1212210故与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a c b a 000（a ，b ，c 为任意常数）8.证明：由已知有A B AB 11=，A B AB 22=则A B B A B A B AB AB B B A )()(21212121+=+=+=+，故A 与21B B +也可交换。
吉林大学《线性代数》线性代数23课xm
.
6
相似矩阵，多项式计算
A PBP 1 A k PB k P 1 ( A) P (B )P 1
P 1 AP A k P k P 1 ( A) P ( )P 1
1
k
k
2k
(1 )
,
(
)
n k
(2 )
(
n
)
.
7
特征多项式的一个结论
f () | A E |，求证f (A) O
证明：
假设P1AP diag(1, 2 , n )
所有特征值i ,都有f (i ) 0, A PP1
f (1)
f (A) Pf (1 O
f
(n
)
.
8
7
2
15 3
4
1
6
2
2
3
1
7
2
15 4
5 2
1
什
么
值
时
能
对
角
化
？
1 0 0
0 1
| A E | 1 1
x (1 )
1 ( 1)2 ( 1)
1
1 0
1 1,必 然 有 特 征 向 量 ， 不 用 计 算 。 2 3 1， 仔 细 计 算 ( A E )x 0， 解 特 征 向 量
解 集 秩 ＝ 2 R(A E) 1
特征多项式相同特征值相同。
.
3
P
1
2
3
5
P
1
5
2
3
1
1
A
2
B P 1 A P
5 3 1 1 3
2
1
2
2
5
吉林大学《线性代数》线性代数第二课xmxydluu1-4
a11 a12 L a1i L a1n a11 a12 L a '1i L a1n
D a21 a22 L a2i L a2n a21 a22 L a '2i L a2n
MM
M
M MM
M
M
an1 an2 L ani L ann an1 an2 L a 'ni L ann
1 81 4 1 80 4 1 1 4 2 46 1 2 40 1 2 6 1 3 29 2 3 20 2 3 9 2
ax b y a by x by a b a y x b x y
cz dw c dw z dw c d c w z d z w
1 3 1 2 1 3 1 2
1 3 1 2
1 D
0
5 2
3 1
4 r2 r1 0 8 1 r4 5r1 0 2
4 1
6 1
r2 r3
0 2 1 1
0 8 4 6
5 1 3 3 0 16 2 7
总结行列式变换方式
❖ 换行（列）
12
34
3 4 r1r2 1 2
❖ 提取公因子
12
11
3 4 c2 2 2 3 2
❖ 行列消元
12 1 0 3 4 3 c2 2c1 2
6 11 3 1
11 1 3
1111
r2 r1
r3 r1
0200
r4 r1 6
48
0020
0002
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
ab c
吉林大学线性代数-线性代数12课xm3-1
a
jn
对换i，j行
a in
a m n
1
1 2 3 1 2 3
1
4
5
6
7
8
9
1 7 8 9 4 5 6
1 2 31
1 3 2
4
5
6
7 8 9
1
4
6
5
1 7 9 8
初等矩阵之二
1
1
E
(i(k
))
k
1
1
1
1 2 3 1 2 3
1
4
5
❖ 数乘
(A)( i)k (B),(B)( i)/k (A), (A) ( i)k ( j) (B),(B) ( i)k ( j) (A),
❖ 一个方程加上另一个方程k倍
❖ （以上三种变换都是可逆的）
2 1 1 1 2 B (A,b) 1 1 2 1 4
4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
初等行变换
1
一行（列）的k倍 加在另一行（列）
1 2 31
1 2 23
4
5
6
1
10
4
5
5
6
7 8 9
1 7 8 8 9
初等变换矩阵 性质1
❖ A是m行n列矩阵 ❖ 对A实施一次初等行变换，等于A左边乘以一
个m阶初等矩阵。 ❖ 对A实施一次初等列变换，等于A右边乘以一
个n阶初等矩阵。 ❖ 初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵
0 6
3 x 2 3 x 3 4 x 4 3
(2 )*1 /2 (3 ) 5 (2 )
(4 ) 3( 2 )
x1 x2 2 x3 x4 4
x2 x3 x4 0 2 x4 6
新编文档-线性代数习题课吉林大学术洪亮-精品文档
2．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
展开定理 计算 应用
483060304860 0
0 1 1 2 1 1 0 2 D2 1 2 1 0 2 1 10
0 1 1 2
r3 r2
1 1 0 2 r4 ( 2 ) r2 0 1 1 2
0 3 1 4
0 1 1 2
r3 r1 1 1 0 2
r4 3 r1
0 0
0 0
2 4 2 2
r1 r2
1
0 0
1 1 0
0 1 2
2
2 r4 (1)r3
4
1 0 0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
4
0 0 2 2
0 0 0 2
xa
a
例8： D n a x
a
aa
x
解：第2列、第3列直到第n列，
依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：
x (n 1)a a a
1a
a
x (n 1)a x a
1x
a
Dn
线性代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
的
定 义
an1
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ri
(
1 k
),
ri
k
ri ( k ) r j , ri k r j
矩阵等价
❖ A经过有限次行变换变成B，就称A、B行等价 ❖ A经过有限次列变换变成B，就称A、B列等价 ❖ A经过有限次初等变换变成B，就称A、B等价
A ~r B A ~c B
A~B
1
3
2 4
~r
3 1
4
2
1
❖ 数乘
(A)( i)k (B),(B)( i)/k (A), (A) ( i)k ( j) (B),(B) ( i)k ( j) (A),
❖ 一个方程加上另一个方程k倍
❖ （以上三种变换都是可逆的）
2 1 1 1 2 B (A,b) 1 1 2 1 4
4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
初等行变换
0
0
0
0
0
x1 x2
x3 x3
4 3
x 4 3
x1 c 4 1 4
x
x
2
c
3
c
1
3
x3
x4
c
3
1 0
0
3
化简之后的矩阵
❖ 行阶梯（只做行变换）
1 1 2 1 4
0
1
1
1
0
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
1 0 1 0 4
1
一行（列）的k倍 加在另一行（列）
1 2 31
1 2 23
4
5
6
1
10
4
5
5
6
7 8 9
1 7 8 8 9
初等变换矩阵 性质1
❖ A是m行n列矩阵 ❖ 对A实施一次初等行变换，等于A左边乘以一
个m阶初等矩阵。 ❖ 对A实施一次初等列变换，等于A右边乘以一
个n阶初等矩阵。 ❖ 初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵
2 x1 x2 x3 x4 2 2 x1 3 x2 x3 x4 2
3 x 1 6 x 2 9 x 3 7 x 4 9
(2 ) (3 ) (3 ) 2 (1 )
(4 ) 3( 1 )
x1 x2 2 x3 x4 4
2 5
x x
2 2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
a
jn
对换i，j行
a in
a m n
1
1 2 3 1 2 3
1
4
5
6
7
8
9
1 7 8 9 4 5 6
1 2 31
1 3 2
4
5
6
7 8 9
1
4
6
5
1 7 9 8
初等矩阵之二
1
1
E
(i(k
))
k
1
1
1
1 2 3 1 2 3
1
4
5
3
2 4
~r
5 3
10
4
1
3
2 4
~r
31 3
42
4
等价关系的性质
❖ 反身性 ❖ 对称性 ❖ 传递性
A~ A A ~ B, B ~ A A ~ B, B ~ C, A ~ C
初等行变换 解方程组
2 1 1 1 2
B
1
1
2
1
4
4 6 2 2 4
3
6
9
7
9
1 1 2 1 4
E ( i ,j ) 1 E ( i ,j ) ,E ( i ( k ) ) 1 E ( i ( 1 ) ) , E ( i j ( k ) ) 1 E ( i j ( k ) ) k
初等变换矩阵 性质2
❖ 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等 矩阵 P1,P2, ,Pl
~
2
1 1
1
2
2 3 1 1 2
3
6
9
7
9
1 1 2 1 4
~
0
2
2
2
0
0 5 5 3 6
0
3
3
4
3
1 1 2 1 4
~
0
1
1
1
0
0 0 0 2 6
0
0
0
1
3
1 1 2 1 4
~
0
1
1
1
0
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
1 0 1 0 4
B
~
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
x2 x3 x4 0 2 x4 6
00
x x
1 2
x3 x3
4 3
x 4 3
x3 c
x1 c 4
x
x
2
c
3
x x
3 4
c
3
1 4
x
c
1
3
1 0
0
3
方程组是三种变换
❖ 交换次序
(A) ( i) ( j)(B),(B) ( j) (i)(A),
第三章 第一节
矩阵初等变换
解方程组
2 x1 x2 x3 x4 2
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4
4
3 x 1 6 x 2 9 x 3 7 x 4 9
(1 ) ( 2 )
(3 ) / 2
x1 x2 2 x3 x4 4
AQ B
❖ （iii）A、B等价的充分必要条件：存在m可逆矩阵P以及n阶 可逆矩阵Q
PAQ B
初等矩阵之一
1 E (i, j)
1 0 1
1
a11 a12
E m (i,
j) A
a j1
a j2
a i1
a i2
a m 1 a m 2
1
1
0
1
1
a1n
❖ 对调两行 ❖ 非零的数乘某一行 ❖ 某一行k倍加在另一行上
ri r j k 0 , ri k ri k r j
❖ 类似的可以定义 “初等列变换” ❖ 统称为“初等变换”
逆变换
❖ 初等行（列）变换的逆变换 还是初等行（列）变换
ri r j k 0 , ri k ri k r j
ri r j
0 6
3 x 2 3 x 3 4 x 4 3
(2 )*1 /2 (3 ) 5 (2 )
(4 ) 3( 2 )
x1 x2 2 x3 x4 4
x2 x3 x4 0 2 x4 6
x4 3
(3 ) (4 )
(4 ) 2 ( 3 )
x1 x2 2 x3 x4 4
6
4
5
6
5 7 8 9 3 5 4 0 4 5
将第i行或列乘以k倍
1 2 31
1 2 15
4
5
6
7 8 9
1
4
5
3
0
5 7 8 4 5
初等矩阵之三
1
E (ij(k ))
1
k
1
1
1 2 3 1 2 3
1
1
0
4
5
6
74
85
9
6
1 7 8 9 7 8 9
行最简 ❖
（行变换下最简单形式）
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
❖ 标准型（行列变换皆可）
1 0 0 0 0
F
0
0
1 0
0 1
0 0
0 0
Er O
O
O
0 0 0 0 0
定理一
❖ A、B都是m行n列矩阵，则
❖ （i）A、B行等价的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P PAB
❖ （ii）A、B列等价的充分必要条件是：存在n阶可逆矩阵Q