时间序列分析-第四章 均值与自协方差函数的估计
均值、方差、自相关函数的估计
2
{x(t)
E[x(t)]}2
f
( )d
0
2
0 [sin(0t
)
0]2
1
2
d
1 2
(3)自相关函数
R(t1,t2 ) E[x(t1)x(t2 )]
2
0 [x(t1)x(t2 )] f
( )d
2
0 sin(0t1
) sin(0t1
)
1
n0
此估计均值为：
^
E[ x2 ]
E
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
E[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
x2
n0
x2
（2.3.6）
因为估计的均值等于真值，故为无偏估计
估计的方差为：
^
^
^
var(
2 x
)
E{[
2 x
E[x(n)x(m)] E[x(n)]E[x(m)] mx2
2 E[m x ]
1 N
mx2
N 1 N 1
[
m2x ]
n0 m0,mn
1 N
mx2
N N
1
m2
x
上式代入式（2.3.3），有
^
var(mx )
1 N
mx2
N N
1
m2
x
m2x
1 N
E(
2 x
)]2}
将式（2..6）代入上式，得
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式为了计算平稳过程的自协方差函数和自相关函数，我们首先需要了解平稳过程、协方差函数和自相关函数的定义和计算方法。
一、平稳过程的定义在时间序列分析中，平稳过程指的是具有稳定统计特性的随机过程。
简单来说，平稳过程是指整个时间序列的统计分布在不同时刻不发生明显变化的过程。
二、协方差函数的定义和计算公式协方差函数用来衡量两个随机变量之间的线性关系程度。
对于平稳过程，协方差函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
对于平稳过程{X(t)}，其协方差函数γ(k)定义为：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))其中，Cov表示协方差的计算，k表示时间间隔。
根据简单的平均值计算公式，协方差函数的计算公式为：γ(k) = E[(X(t)-μ)(X(t+k)-μ)]其中，E表示期望操作，μ表示随机变量X(t)的均值。
三、自相关函数的定义和计算公式自相关函数用来衡量一个随机过程在不同时刻的相关性。
对于平稳过程，自相关函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
自相关函数ρ(k)定义为：ρ(k) = Co v(X(t), X(t+k)) / Var(X(t))其中，Cov和Var分别表示协方差和方差。
根据协方差函数和方差的定义，自相关函数的计算公式为：ρ(k) = γ(k) / γ(0)其中，γ(k)表示协方差函数。
四、总结通过以上的论述，我们可以得出平稳过程的自协方差函数和自相关函数的计算公式：自协方差函数：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))自相关函数：ρ(k) = γ(k) / γ(0)需要注意的是，在实际计算中，协方差函数和自相关函数通常只计算一部分的值，比如只计算前几个滞后阶数的值，以节省计算时间和资源。
总而言之，平稳过程的自协方差函数和自相关函数提供了衡量序列内在关系的重要指标，对于分析时间序列的特征和预测未来数值具有重要作用。
正确理解和计算这些函数的公式是进行时间序列分析的基础。
时间序列分析第四章ARMA模型的特性王振龙第二版
一、自协方差函数
• 理论自协方差函数和自相关函数 对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数
k E Xt Xtk
自相关函数
k
k 0
• 样本自相关函数的计算
在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限
样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自
= 1.1
-4.0E+10 X
-6.0E+10
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
X
= -1.1
24
20
20
16 15
12
10
8
5
4
0
0
-5
-10 -4
25 50 75 100 125 150-15175 200 225 250
=1
X -20
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
第四章 ARMA模型的特性
4.1 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式 先回忆线性常系数微分方程及其解的结构：
y(t) a0 y(t) u(t)
可转化为 y(t 1) a0 y(t) u(t) 其中 a0 1 a0
将上述方程中的近似号改为等号，实数t改为自然数k，
MA(m)模型的可逆性条件为其特征方程
V m 1V m1 2V m2 ... m 0 的特征根Vk
满足 Vk 1
• ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系
在格林函数的表达式中，用 I j 代替 G，j 代替 ，
代替 ，即可得到相对应的逆函数。
第三节 自协方差函数
时间序列 秩序列的均值和方差
时间序列是指按照一定的时间顺序排列的一组数据或观测值，通常是在连续的时间点上进行收集的。
时间序列分析是研究这些时间序列数据的性质、规律和预测方法的统计学方法。
在时间序列分析中，序列的均值和方差是两个非常重要的统计量，它们可以帮助我们了解时间序列数据的集中趋势和离散程度。
1. 序列的均值序列的均值是一组数据的平均值，它是描述这组数据集中趋势的统计量。
在时间序列分析中，我们通常关心的是序列的期望值，也就是均值。
计算时间序列的均值可以帮助我们了解数据的总体水平，从而更好地理解数据的发展趋势。
对于给定的时间序列数据，计算其均值可以采用简单平均法，即将所有数据相加然后除以数据的个数。
另一种方法是加权平均法，通过为每个数据点分配一个权重来计算加权平均值，使得某些数据点对均值的贡献更大。
在时间序列分析中，均值可以帮助我们判断数据的总体水平是否发生了变化，从而帮助我们进行预测和决策。
如果时间序列数据的均值在一段时间内呈现上升趋势，我们可以认为数据整体的水平在上升。
反之，如果均值呈现下降趋势，我们可以认为数据整体的水平在下降。
2. 序列的方差序列的方差是一组数据的离散程度的度量，它可以告诉我们数据集中的数据点离均值的距离。
在时间序列分析中，方差通常用来衡量数据的波动性或不确定性。
方差越大，数据的波动性就越大，反之则波动性较小。
计算时间序列数据的方差需要先计算数据点与均值的偏差，然后将所有偏差的平方求和并除以数据的个数。
方差的计算过程中，偏差的平方使得距离均值较远的数据点对方差的贡献更大，从而更好地反映了数据的波动性。
在时间序列分析中，方差可以帮助我们了解数据的波动性以及不确定性。
如果时间序列数据的方差较大，我们可以认为数据的波动性较大，风险也较高。
相反，如果方差较小，数据的波动性和风险则相对较低。
3. 时间序列的均值和方差的应用时间序列的均值和方差在金融、经济、气象等领域有着广泛的应用。
在金融领域，股票价格的时间序列数据的均值和方差可以帮助投资者了解股票价格的总体水平和波动性，从而更好地决策。
时间序列分析-第四章 均值和自协方差函数的估计
^
一般情况下，无偏估计比有偏估计来得好，对 _ 于由(1.1)定义的 X N 。有
E XN
1 N
1 EX k N k 1
N
.
k 1
N
所以 X N 是均值 的无偏估计。
均值估计的相合性
好的估计量起码应是相合的。否则，估计量不 收敛到要估计的参数，它无助于实际问题的解 决。 对于平稳序列{X t } ，如果它的自协方差函数{ k }
样本自相关系数(ACF)估计为
k
(2.2)
k ,| k | N 1 0
(2.3)
自协方差函数估计公式
估计 k 一般不使用除了 N k 的估计形式： N k 1 (2.4) ( x j x N )( x j k x N )
N k
j 1
, a.s., , a.s.. lim k k lim k k
N N
定理2.1的证明
下面只对由(2.2)定义的样本自协方差函数证明 的证明是一样的。 定理2.1。对由(2.4)定义的 k 设 EX1. 则{Yt } {X t } 是零均值的平稳序列。 利用
因为： 我们不对大的k值计算 k 更重要的是只有除以N的估计式才是正定的。
样本自协方差的正定性
N 只要观测 x1 , x2 ,, xN 不全相同则 正定。 令 y j x j xN . 记
) ( k j k , j 1,2,, N
0 0 A y1
均值估计公式
设 x1 , x2 ,, xN 是平稳列 { X t }的观测。 EX t 的点估计为
时间序列分析
2.常数方差 2.常数方差
Var ( xt ) = Var ( µ + ε t − θ1ε t −1 − θ 2ε t −2 − L − θ qε t −q ) = (1 + θ12 + L + θ q2 )σ ε2
时间序列
时间序列的基础知识 时间序列模型构建步骤 时间序列的几个基本模型
2011.6
时间序列的基础知识
背景介绍
1927年，英国统计学家G.U.Yule提出了子回归模型 （AR），不久之后，英国数学家、天文学家G.T.Walker提 出了移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA） 模型。 1970年，美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家 G.M.Jenkins提出了求和自回归移动（ARIMA）模型。
MA模型的可逆性条件：MA（ MA模型的可逆性条件：MA（q）模型可以表示为 模型的可逆性条件
εt =
xt Θ( B )
Θ( B ) = 1 − θ1B − L − θ q B q为移动平均系数多项式. 为移动平均系数多项式.
移动平均系数多项式的根均在单位圆外时，可逆。 移动平均系数多项式的根均在单位圆外时，可逆。
2011.6
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平稳时间序列的性质
一 常数均值
EX t = µ
二 自相关函数和自协方差函数只依赖与时间的平移长 度而与时间的起始位置无关的
γ (t , s ) = γ ( k , k + s − t )
2011.6
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平稳性的检验 两种检验方法： 两种检验方法：
时间序列分析
时间序列分析》课程教学大纲课程编号:02200041课程名称：时间序列分析英文名称：Time Series Analysis课程类型:专业选修课总学时：72讲课学时：68习题课学时：4学分：4信息与计算科学专业（金融方向）本科四年级适用对象:先修课程：数学分析、线性代数、复变函数、概率论和数理统计、随机过程一、课程简介时间序列分析是随机数学的一个分支，主要运用随机数学的方法来研究随机序列的性质、理论和预测问题，并与经济、管理及工程技术领域联系密切，有着广泛的应用背景，在培养具有良好素养的数学应用人才方面起着重要的作用。
二、课程性质、目的和任务时间序列分析是信息与计算科学（金融方向）专业本科四年级学生的专业选修课，本课程以数学分析、线性代数、复变函数概率论和数理统计、随机过程等前期课程作为基础。
通过本课程的学习，使学生理解时间序列的时域分析和频域分析的基本理论和方法, 掌握时间序列的建模、预报的基本思路和方法, 用科学的思想与方法来分析、解决实际问题。
三、教学基本要求要求学生掌握各类平稳ARMA过程的基本概念及基本特征，理解时间序列的时域分析和频域分析的基本理论和基本方法，运用时域分析和频域分析的基本理论和方法，对获得的一组动态数据能进行分析研究，选择合适的模型，并对该模型进行参数估计，最终建立模型，达到预报目的。
四、教学内容及要求第一章时间序列§1.1时间序列的分解；§ 1.2平稳序列；§ 1.3线性平稳序列和线性滤波；§ 1.4正态时间序列和随机变量的收敛性；§ 1.5严平稳序列及其遍历性；§ 1.6 Hilbert空间中的平稳序列；§1.7平稳序列的谱函数教学要求：掌握时间序列分析分解的基本方法，平稳序列的定义及自协方差函数、自相关系数的基本性质，线性平稳序列和线性滤波的性质，正态时间序列的定义性质和随机变量的收敛性的定义，严平稳序列及其遍历性，平稳序列的谱函数。
自协方差函数范文
自协方差函数范文自协方差函数（autocovariance function）是时间序列分析中一个重要的概念。
它用于衡量同一时间序列中不同时间点的观测值之间的相关性。
在本文中，我们将详细介绍自协方差函数的定义、性质以及它在时间序列分析中的应用。
首先，让我们来定义自协方差函数。
假设有一个时间序列{X_t}，定义其自协方差函数为：\gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h})\]其中，h代表时间间隔。
自协方差函数衡量了时间序列在不同时刻观测值之间的相关性。
当h=0时，自协方差函数表示时间序列的方差，即：\gamma(0) = Cov(X_t, X_t) = Var(X_t)\]接下来，我们将介绍自协方差函数的一些重要性质。
1. 对于任意的时间间隔h，自协方差函数是一个实数。
由于自协方差函数是协方差的衡量，因此它满足协方差的所有性质，比如对称性：\(\gamma(h) = \gamma(-h)\)。
2.自协方差函数的取值范围为实数。
由于协方差的取值范围是[-1,1]，因此自协方差函数的取值范围也是实数。
3. 自协方差函数是非负的。
由于协方差的非负性，自协方差函数也是非负的：\(\gamma(h) \geq 0\)。
4. 自协方差函数的性质与时间平移无关。
假设{X_t}是一个平稳时间序列，那么它的自协方差函数与时间平移无关，即对于任意的h和t，有\(\gamma(h) = \gamma(h + t)\)。
这是平稳时间序列的一个重要特性。
1.平稳性检验：自协方差函数可以用于检验一个时间序列是否为平稳时间序列。
根据平稳时间序列的特性，它的自协方差函数在任意时间间隔h下应该是常数。
如果自协方差函数随着时间间隔的增长而变化较大，则说明该时间序列缺乏平稳性。
2.估计自回归模型：自协方差函数可以用于估计自回归（AR）模型的参数。
自协方差函数与自回归系数之间存在一对一的关系，通过对自协方差函数进行拟合，可以估计自回归模型的参数。
应用时间序列分析-何书元
2.随机项的估计
Rˆt xt Tˆt Sˆt ,t 1,2,,24.
1
-125
119
-64 61.9
14.7
-223.3 209.5 52.1 -136.8
-34.6 60
146.5 4.8
-121.1
87.6 -14.7
-38.3
4.8 -12.8 48 24.6
-30.5 -34.4
方法二：回归直线法
1790-1980年间每10年的美国人口总数
例4
1985至2000年广州月平均气温
例5
北京地区洪涝灾害数据
例5 虚线是成灾面积
图
一、时间序列的定义
时间序列:按时间次序排列的随机变量序列
X1, X 2,
(1.1)
n 个观测样本:随机序列的 n个有序观测值
x1, x2 ,, xn
(1.2)
《应用时间序列分析》
何书元 编著 北京大学出版社
广泛的应用领域：
金融经济 气象水文 信号处理 机械振动
………… 目的：描述、解释、预测、控制 本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的建模和预测 方法
Wolfer记录的300年的太阳黑子数
光大证券2009.09.18-
《应用时间序列分析》
目录
第一章 时间序列 第二章 自回归模型 第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 第四章 均值和自协方差函数的估计 第五章 时间序列的预报 第六章 ARMA模型的参数估计
3. 随机项估计即为 {Xt Tˆt Sˆt}
方法一：分段趋势法
一、分段趋势图(年平均)
趋势项估计为
Tˆ1 Tˆ2 Tˆ3 Tˆ4 5873.0 Tˆ5 Tˆ6 Tˆ7 Tˆ8 5875.0 Tˆ9 Tˆ10 Tˆ11 Tˆ12 5853.0 Tˆ13 Tˆ14 Tˆ15 Tˆ16 6073.7 Tˆ17 Tˆ18 Tˆ19 Tˆ20 6262.6 Tˆ21 Tˆ22 Tˆ23 Tˆ24 6384.5
协方差与自相关系数和均值关系推导
协方差与自相关系数和均值关系推导协方差和自相关系数是度量两个变量的关系强度的统计量，它们与均值之间也有着一定的关系，下面我们将详细介绍它们之间的联系。
1. 协方差协方差是两个随机变量之间关系强度的度量，它表示两个随机变量在同一方向上偏离其均值的程度是否一致。
设$X$和$Y$是两个随机变量，它们的期望值分别为$\mu_X$和$\mu_Y$，则$X$和$Y$的协方差定义为：$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$$协方差的符号可以表示变量之间的正相关、负相关或无相关。
当协方差大于0时，表示两个变量正相关；当协方差小于0时，表示两个变量负相关；当协方差等于0时，表示两个变量无关。
在实际应用中，常常需要对协方差进行归一化，以便对不同单位的随机变量进行比较。
对于两个变量$X$和$Y$的协方差为$\sigma_{XY}$，它们的标准差分别为$\sigma_X$和$\sigma_Y$，则它们的相关系数定义为：$$\rho_{XY}=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}$$相关系数是一个介于$-1$和$1$之间的值，可以用来度量两个变量之间的线性关系程度。
2. 自相关系数自相关系数是时间序列数据中相邻时间点之间的关系的度量，它表示时间序列数据自身过去和未来之间的联系。
设$X_t$表示第$t$个时间点的观测值，$\mu$表示时间序列的均值，其自相关系数$\rho_k$定义为：其中，$\sigma^2$是时间序列数据的方差。
自相关系数的绝对值越接近1，则表示时间序列中两个值之间的联系越紧密。
当自相关系数为0时，表示时间序列中两个值之间没有联系。
对于$n$个数$x_1,x_2,...,x_n$，它们的均值可以表示为：$$\bar{x}=\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$$则它们两两之间的协方差可以表示为：其中，$x_{ik}$表示第$i$个数的第$k$个观测值。
平稳时间序列的自协方差函数解析
平稳时间序列的自协方差函数解析平稳时间序列的自协方差函数解析1. 引言时间序列分析作为一种探索和预测时间相关数据的方法，在许多领域中都具有重要的应用价值。
其中，平稳时间序列是其中一种常见类型，具有稳定的统计特性，使得我们可以在时间维度上进行可靠的预测和分析。
本文将深入探讨平稳时间序列中的一个重要概念，即自协方差函数。
通过分析自协方差函数的属性和解析方法，我们可以更深入地理解平稳时间序列的性质和特征，为我们的实际应用提供更准确、可靠的分析结果。
2. 平稳时间序列的基本概念平稳时间序列是指在统计意义上具有恒定的统计特性，如均值和方差，并且与时间无关。
这使得平稳时间序列可以通过统计方法进行可靠的分析和预测，因为其统计属性在时间维度上保持不变。
3. 自协方差函数的定义自协方差函数是一种衡量时间序列内部相关性的函数。
对于平稳时间序列$(X_1, X_2, ... , X_n)$，其自协方差函数定义如下：$$Cov(X_t, X_{t+h}) = E[(X_t - \mu_t)(X_{t+h} - \mu_{t+h})]$$其中，$X_t$和$X_{t+h}$分别表示时间$t$和时间$t+h$的观测值，$\mu_t$和$\mu_{t+h}$分别表示时间$t$和时间$t+h$的均值。
自协方差函数衡量了同一时间序列在不同时间点之间的相关性。
当$h=0$时，自协方差函数就是方差；当$h>0$时，自协方差函数表示了时间序列在不同时间点之间的相关性。
4. 自协方差函数的性质自协方差函数具有以下几个重要的性质：4.1 对称性：自协方差函数是关于$h$的对称函数，即$Cov(X_t,X_{t+h}) = Cov(X_{t+h}, X_t)$。
这是因为对于平稳时间序列来说，时间维度的顺序并不影响其相关性。
4.2 正定性：对于任意固定的$h$，自协方差函数$Cov(X_t,X_{t+h})$始终大于等于0。
这意味着时间序列中不同时间点的观测值总是具有正相关性或无相关性，而不会出现负相关性。
时间序列自相关函数
时间序列自相关函数时间序列自相关函数是研究时间序列分析的核心方法之一，它用来描述时间序列在不同时刻之间的相关性。
自相关函数通常用r表示，r值的取值范围为-1到1，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示不相关。
时间序列自相关函数的计算基于时间序列的样本均值和样本方差，其计算公式如下：$$ r_k =\frac{\sum_{t=k+1}^{T}(y_t-\bar{y})(y_{t-k}-\bar{y})}{\sum_{t=1}^{T}(y_t-\bar{ y})^2} $$其中，$y_t$表示时间序列在第t个时刻的值，$T$表示时间序列的总长度，$k$表示时间序列之间的时间差，$\bar{y}$表示时间序列的样本均值。
时间序列自相关函数可以揭示时间序列的周期性、趋势性和随机性等特征。
当时间序列存在周期性时，自相关函数会呈现出周期性的波动。
当时间序列存在趋势性时，自相关函数会呈现出随时间间隔的增大而迅速减小的趋势。
当时间序列为纯随机过程时，自相关函数会在0周围随机波动。
自相关函数的图形通常用自相关函数图来表示。
在自相关函数图中，横轴表示时间的延迟，纵轴表示自相关系数，自相关系数值在范围[-1, 1]之间展示。
常用的自相关函数图包括: 直方图、散点图和线图等。
在实际应用中，时间序列自相关函数可用于建模和预测。
它可以帮助选择合适的时间窗口大小、确定滞后因素的个数和建立自回归模型等。
当自相关系数的绝对值大于0.5时，时间序列的自相关被认为是显著的。
在建立时间序列预测模型时，通常可以通过自相关函数来确定预测模型的滞后因素数量，同时保证选取的滞后因素的自相关系数具有显著性。
对于存在周期性的时间序列，自相关函数也可以帮助确定周期的长度，并为分析人员提供建立周期性模型的线索。
值得注意的是，自相关函数通常用于线性相关结构的时间序列，对于非线性时间序列，则需要使用更复杂的自相关函数方法。
此外，自相关函数仅可以刻画时间序列为平稳过程时的自相关性质，对于非平稳时间序列，则需使用更为复杂的时间序列分析方法才能刻画其自相关性质。
No.11-第4章-时间序列模型的参数估计与检验
所示，拟合AR(2)模型 t对 X t3 和 t对 t1 的散点图如图2、3所示。图1
有微弱的负相关趋势，说明AR(1)不是适应模型，而图2、3看不出有相关 趋势，说明AR(2)是适应模型。
图1
图2
图3
（2）估计相关系数法
1 j m
检验统计量
T
nm
ˆ j j a jj Q(~)
~ t(n m)
取检验水平 ，可得检验的拒绝域为
t t1 2 n m
小结：时间序列模型的检验
当我们对模型进行识别并估计出模型参数之后，所得到的时间序列模型 是否可用，还需要进行检验。
模型是否适用，可以检验残差序列是否为白噪声序列。 参数是否合适，可以构造统计量做假设检验，以使模型结构更为精简、 有效。 检验通过之后就可以利用所得到的模型进行预测和预报了。
(*)
令
Xt Xt ˆ1Xt1 ˆ2 Xt2 ˆp Xtp
于是(*)可以写成：
X~t t 1t1 2t2 qtq
构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到 1,2, ,q
以及
2
的估计值。
需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中， ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。
然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值 ˆ1,ˆ2,...,ˆp
ˆ1 ˆ0 ˆ1
ˆ2
ˆ1
ˆ0
ˆ
p
ˆ
p 1
ˆ p2
ˆ p1 1 ˆ1
ˆ
p
应用时间序列分析(知识点总结)
时间序列分析 知识点总结
本课程主要内容
(2)
γ
(t,
s)
=
σ 2 , 0,
t t
= ≠
s s
,
∀t ,
s
∈T
白噪声序列{at}记为: at ~ WN (0,σ 2 )
白噪声序列是一种典型的宽平稳序列
8
五. 随机游走(Random Walk)序列X tLeabharlann = ϕ1 X t−1 + at
ϕ 1
=
1
时的AR(1)模型：
二
.
一.差 分
时
∇2 Xt = ∇Xt − ∇Xt−1
依此类推，对 d 1 阶差分后序列再进行一 次1 阶差分运算称为 d 阶差分:
∇d X t = ∇d −1 X t − ∇ d −1 X t −1
13
二. 后移算子(Backshift Operator)
v后移算子类似于一个时间指针，当前序列值 乘以一个后移算子，就相当于把当前序列值 的时间向过去拨了一个时刻.
18
季节差 分
季节差分运算（S 为周期）
∇sXt = Xt − Xt−s.
三
. 一. AR(n)模型
平
二. MA(m)模型
稳
时
三. ARMA(n, m)模型
间
序
at : WN (0,σ 2 )
列
时间序列分析习题解答（2）：上课展示的典型题
时间序列分析习题解答（2）：上课展⽰的典型题由于本答案由少部分⼈完成，难免存在错误，如有不同意见欢迎在评论区提出。
第⼀题⼀、已知零均值平稳序列{X t}的⾃协⽅差函数为γ0=1,γ±1=ρ,γk=0,|k|≥2.计算{X t}的偏相关系数a1,1，a2,2。
计算最佳线性预测L(X3|X2)，L(X3|X2,X1)。
计算预测的均⽅误差E[X3−L(X3|X2)]2，E[X3−L(X3|X2,X1)]2。
证明：ρ应满⾜|ρ|≤1 2。
若ρ=0.4，计算{X t}的谱密度函数，给出{X t}所满⾜的模型。
解：(1)由Yule-Walker⽅程，a1,1=γ1/γ0=ρ，1ρρ1a2,1a2,2=ρ,解得a2,2=−ρ2 1−ρ2.(2)由预测⽅程，有L(X3|X2)=ρX2。
设L(X3|X2,X1)=a2X2+a1X1，则1ρρ1a1a2=ρ,a1=−ρ21−ρ2,a2=ρ1−ρ2.所以L(X3|X2,X1)=−ρ2X1+ρX21−ρ2.(3)预测的均⽅误差是E(X3−ρX2)2=(1+ρ2)γ0−2ργ1=1−ρ2,E X3−−ρ2X1+ρX21−ρ22=(1−ρ2)2+ρ4+ρ2(1−ρ2)2−2ρρ3+ρ(1−ρ2)(1−ρ2)2 =2ρ4−3ρ2+1(1−ρ2)2=1−2ρ21−ρ2.(4)由于{X t}的⾃协⽅差函数1后截尾，所以它是⼀个MA(1)模型，即存在b≤1，⽩噪声εt∼WN(0,σ2)使得X t=εt+bεt−1.于是γ0=(1+b2)σ2=1,γ1=bσ2=ρ,所以ρ(b)=b1+b2,在b∈[−1,1]上ρ(b)是单调的，所以−12≤ρ(−1)≤ρ≤ρ(1)=12.(5)由谱密度反演公式，容易得到[][][][][][]()[][]Processing math: 49%f(λ)=12π[1+0.8cosλ]=12π451+cosλ+14=(2/√5)22π1+12(e iλ)2.所以X t=εt+12εt−1,{εt}∼WN0,45.第⼆题⼆、设零均值平稳序列{X t}的⾃协⽅差函数满⾜γk=187×25|k|,k≠0,k∈Z.当γ0取何值时，该序列为AR(1)序列？说明理由并给出相应的模型。
自协方差函数及其估计
自协方差函数及其估计自协方差函数，也称自相关函数，是统计学中一种非常重要的工具，用于描述时间序列数据中自身成分之间的关系。
在时间序列分析中，自协方差函数是进行分析和建模的一个基础，它不仅可以帮助我们理解时间序列数据的这些成分之间的关系，还可以用于预测未来发展。
自协方差函数描述了时间序列中任意两个时间点之间的相关程度，也就是说，它测量了时间序列中一个时刻和另一个时刻的相关性。
自协方差函数通常用一个数值表示，这个数值反映了两个时间点之间相关性的强弱程度。
如果数值是正数，说明两个时间点相互之间存在正相关关系；如果数值是负数，说明两个时间点相互之间存在负相关关系；如果数值是0，说明两个时间点不存在相关关系。
自协方差函数的估计可以用最小二乘法，平稳时间序列估计，移动平均估计等多种方法进行。
其中，最常用的方法是平稳时间序列估计。
平稳时间序列是一种特殊的时间序列，它满足在任意时段内的统计性质是相同的，也就是说，无论是在哪个时段内进行观测，其统计性质都会保持不变。
这种平稳时间序列的均值和方差是固定的，随机变动的部分符合某种规律。
自协方差函数的估计结果可以用于预测未来时间点的值。
预测时间序列的方法有很多种，其中比较常见的是AR、MA、ARMA、ARIMA等方法。
这些方法的预测精度和时间性能都有很大关系，具体选用哪种方法需要依据实际情况灵活选择。
总之，自协方差函数是时间序列分析和处理中的一个重要步骤，它帮助我们了解了时间序列数据中不同成分之间的关系，也可以用于预测未来发展趋势。
在实际应用时，我们需要选择合适的方法对自协方差函数进行估计和预测，以达到更好的分析和预测效果。
自协方差与自相关函数的估计
∑
n →∞
2 lim Eγ n (k ) = 0
即
Eγˆ k =
1 n−k γ k + Eγ n ( k ) n t =1
∑
易见 在µ未知情况下 仍有 γˆ k 依均方收敛于 γ k
ˆ k 均方收敛于 ρ k 相应的有 ρ
三
根据样本自协方差函数与自相关函数对模型的初步分析
绘图法 设 {ε t } 为独立序列 且为白噪声序列 则由 ε 1 , ε 2 , L , ε n 计算出的自相关函数
若 {xt } 是均值不为零的平稳序列
γˆ k =
估计
1 n−k ( xt − x )( xt + k − x ) n t =1
∑
γ k = E ( x t − µ )( x t + k − µ )
在定理 3.1.1 条件下 可以证明
γˆ k =
且
1 n−k ( xt − µ )( xt + k − µ ) + γ n (k ) n t =1
3 平稳序列的自相关函数的遍历性 1 平稳序列遍历性概念 设平稳序列 {xt } 为遍历的 即对于 xt 的任意函数 f ( xt ) 其集平均 即概率均值有限
E | f ( xt ) |< +∞
则 f ( xt ) 的集平均 E | f ( xt ) | 与其时平均 < f ( xt ) > 相等 即
特别当 {ε t } 为正态序列时 µ 4 = 3σ 4 则上式为
cov(γˆ k , γˆ j ) =
2 渐近正态分布 定理 3.2.1 即
1 ∞ 1 (γ s − k γ s − j + γ s − k γ s + j ) + 0( ) n s = −∞ n
平稳时间序列的自协方差函数
平稳时间序列的自协方差函数1. 自协方差函数的定义在时间序列分析中，自协方差函数是一种用于描述时间序列内部各个观测值之间相互关系的函数。
自协方差函数衡量了时间序列中不同时间点的观测值之间的相关性，从而可以帮助我们分析时间序列的特征和预测未来的变化。
自协方差函数的一般形式为：Cov(X t,X t+ℎ)=E[(X t−μt)(X t+ℎ−μt+ℎ)]其中，X t和X t+ℎ分别表示时间序列在时间点t和时间点t+ℎ的观测值，μt和μt+ℎ分别表示这两个时间点上的均值。
2. 自协方差函数的用途自协方差函数在时间序列分析中具有以下几个重要的应用：2.1 时间序列特征分析自协方差函数可以反映时间序列内部的相关性，通过分析自协方差函数的图像可以判断时间序列的平稳性和相关性。
例如，当自协方差函数在ℎ=0时为常数，而在其他情况下为零，那么时间序列是一个纯随机序列；当自协方差函数在ℎ增加时逐渐减小到零，说明时间序列具有一定的相关性。
2.2 时间序列预测自协方差函数可以用来建立时间序列的模型，进而预测未来的观测值。
通过拟合自协方差函数的模型，可以得到时间序列的参数估计，然后利用这些参数来预测未来的观测值。
常见的时间序列模型，如AR、MA、ARMA、ARIMA等，都是基于自协方差函数的分析。
2.3 过程识别自协方差函数还可以用于识别时间序列的生成过程。
通过分析自协方差函数的特性，可以判断时间序列是由哪种随机过程生成的。
例如，当自协方差函数随着时间延迟的增大而指数衰减，可以判断时间序列是由AR过程生成的；当自协方差函数存在周期性特征，可以判断时间序列是由周期性过程生成的。
3. 自协方差函数的工作方式自协方差函数反映了时间序列内部观测值的相关性，它的工作方式主要包括以下几个步骤：3.1 计算均值首先需要计算时间序列在每个时间点上的均值μt和μt+ℎ。
均值可以通过计算样本均值或者理论均值得到。
3.2 计算偏差项然后，需要计算每个观测值与均值之间的偏差项(X t−μt)和(X t+ℎ−μt+ℎ)。
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除了个别情况，这个阶数一般不能再被改进。
收敛速度(2)
定理1.4 设 { t }是独立同分布的 WN (0, )。线 性平稳序列 { X t }由(1.5)定义。谱密度 f (0) 0 。 当以下的条件之一成立时： 1 当 k , |k| 以负指数阶收敛于0. 2 谱密度 f ( ) 在 0 连续。并且 E | t |r 对某个 r 2 成立。
可以据此计算 的 95% 置信区间。
[ X N 1.96 / N , X N 1.96 / N ].
(1.3)
其中的1.96也经常用2近似代替。
平稳列的均值估计的中心极限定 理
定理1.2 设 { t }是独立同分布的 WN (0, 2 )，线 性平稳序列 {X t } 由 X t k t k , t Z , (1.5) k 定义。其中{ k } 平方可和。如果 { X t } 的谱密度
k
k 0 成立，则
d N ( X N ) N (0, 2 f (0))
并且 2 f (0) 0 2 j .
j 1
(1.7)
收敛速度
相合的估计量渐进性质除了是否服从中心极限 定理外，还包括这个估计量的收敛速度。 收敛速度的描述方法之一是所谓的重对数律。 重对数律成立时，得到的收敛速度的阶数一般 是
2
XN
1 N
X
t 1
N
t
, N
1 N
t 1
N
t
AR(2)的均值计算(2)
估计收敛性的模拟
为了观察 N 时 X N 的收敛可以模拟L个值然 后观察 X N , N n0,n0 1, , L的变化。 为了研究固定N情况下 X N 的精度以至于抽样分 布。可以进行M次独立的随机模拟，得到M个X N 的观察值。这种方法对于难以得到估计量的理 论分布的情况是很有用的。
^
一般情况下，无偏估计比有偏估计来得好，对 _ 于由(1.1)定义的 X N 。有
E XN
1 N
1 EX k N k 1
N
.
k 1
N
所以 X N 是均值 的无偏估计。
均值估计的相合性
好的估计量起码应是相合的。否则，估计量不 收敛到要估计的参数，它无助于实际问题的解 决。 对于平稳序列{X t } ，如果它的自协方差函数{ k }
2
则有重对数律
limsup
N
N ( X N ) 2 ln ln N
2 f (0), a.s.
(1.8) (1.9)
liminf
N
N ( X N ) 2 f (0), a.s. 2 ln ln N
易见重对数律满足时
( X N ) o(1) 0( ln ln N N ), ( X n ) / o(1) 不收敛。 N 2ln ln N
均值估计公式
设 x1 , x2 , , xN 是平稳列 { X t }的观测。 EX t 的点估计为
xN
1 N
x
k 1
N
k
把观测样本看成随机样本时记作大写的
X1 , X 2 , , XN
相合性
设统计量 N 是 的估计，在统计学中有如下的 定义 ^ ^ 1 如果 E N ，则称 E N 是 的无偏估计。 ^ 2 如果当 N , E N . 则称 N 是 的渐 进无偏估计。 ^ ^ 3 如果 N 依概率收敛到 ，则称 N 是 的相 合估计。 ^ ^ 4如果 N a.s. 收敛到 ，则称 N 是 的强相合 估计。
2 f ( ) | k t k |, t Z , (1.6) 2 k 在 0 连续，并且 f (0) 0. 则当 N 时，
d N ( X N ) N (0, 2 f (0))
推论
f ( ) 连续。 当{ k } 绝对可和时， 推论1.3 如果 k | k | 和 当N 时
收敛到零，则：
利用切比雪夫不等式
Pr(| X N | )
E ( X N )2
Байду номын сангаас
得到 X N 依概率收敛到 。于是 X N 是 的相 合估计。
2
0.( 0)
均值估计的性质
定理1.1 设平稳序列 { X t } 有均值 和自协方差 函数{ k }。则 1 X N 是 的无偏估计。 2 如果 k 0, 则 X N 是 的相合估计。 3 如果{ X t }还是严平稳遍历序列，则 X N 是 的强相合估计。
AR(2)的均值计算
i i A ( z ) (1 e z )(1 e z) 令 考虑AR(2)模型 A(B ) X t t
X t 2 cos X t 1 X t 2 t 2 为模拟方便设 {t }iid N (0, ) 。
第三条结论利用1.5的遍历定理5.1可得。 一般地，任何强相合估计一定是相合估计。 线性平稳列的均值估计是相合估计。 ARMA模型的均值估计是相合估计。
独立同分布样本的中心极限定 理
若 X1, X 2 , , X N idd (, 2 ) 。则
N ( X N )dN (0, 2 )
第四章
均值和自协方差函数的估计
本章结构
均值的估计 自协方差函数的估计 白噪声检验
§4.1 均值的估计
相合性 中心极限定理 收敛速度 X 的模拟计算
均值、自协方差函数的作用
AR,MA,ARMA模型的参数可以由自协方差函数 唯一确定。 有了样本之后，可以先估计均值和自协方差函 数。 然后由均值和自协方差函数解出模型参数。 均值和自协方差可以用矩估计法求。 还要考虑相合性，渐进分布，收敛速度等问题。