纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
纳维斯托克斯方程研究现状
纳维斯托克斯方程研究现状纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是描述流体运动的偏微分方程，在流体力学中有重要地位。
目前，纳维-斯托克斯方程的研究现状主要表现在以下几个方面：1. 数学上的挑战：尽管纳维-斯托克斯方程在理论上很重要，但在数学上却一直无法找到它的精确解。
这是因为该方程是高度非线性和非凸的，导致其解存在许多复杂的动力学行为，如湍流等现象。
这为数学家和流体力学家带来了很大的挑战。
2. 计算方法的改进：由于直接求解纳维-斯托克斯方程非常困难，研究者们一直在寻找更有效的数值计算方法。
近年来，随着计算机技术的不断发展，人们已经开发出了许多高效的数值计算方法，如有限元方法、有限体积方法和谱方法等。
这些方法在模拟流体运动方面取得了很大的进展，尤其是在处理复杂的湍流现象方面。
3. 应用领域的拓展：纳维-斯托克斯方程最初被应用于牛顿流体的运动，但随着研究的深入，其应用领域已经得到了拓展。
如今，纳维-斯托克斯方程被广泛应用于描述各种复杂流体的运动，如非牛顿流体、液晶和软物质等。
这些领域的深入研究将有助于更好地理解自然界中的流体运动现象，并为工程应用提供更准确的模型和算法。
4. 物理机制的揭示：尽管纳维-斯托克斯方程能够描述流体运动的许多现象，但对其物理机制的完全揭示仍然是一个挑战。
近年来，随着实验技术的发展和先进数值计算方法的出现，研究者们开始更深入地研究流体运动的细节和机制。
例如，对湍流现象的研究已经深入到了微观尺度，对其产生和维持机制有了更深入的理解。
总的来说，纳维-斯托克斯方程的研究现状是富有挑战性和机遇性的。
虽然该方程的数学解仍是一个未解之谜，但随着计算方法和实验技术的不断进步，我们有望更深入地了解流体运动的本质，并为其在工程和科学中的应用提供更准确的模型和算法。
纳维-斯托克斯方程构造海水模型
纳维-斯托克斯方程构造海水模型纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，它采用了质量守恒、动量守恒和能量守恒三个方面的基本原理。
在海水的模拟中，纳维-斯托克斯方程可以用来描述海水的流动。
海水是一种自然的、复杂的流体，它受到多种因素的影响，包括风力、地球自转、潮汐、大气压力等。
因此，构造海水模型时需要考虑这些影响因素，将它们纳入到方程中。
纳维-斯托克斯方程可以从动量守恒方程推导得到。
动量守恒方程可以表示为：ρ(Du/Dt) = -∇P + ρg + μ∇^2u其中，ρ为海水的密度，u为海水速度矢量，P为海水的压力，g为重力加速度，μ为海水的粘性系数，∇为向量的梯度运算符，∇^2为向量的拉普拉斯运算符。
在海水模型中，通常会简化方程并进行假设。
例如，假设海水是不可压缩的，即密度不随时间和位置的变化而变化。
这样，动量守恒方程可以进一步简化为：(Du/Dt) = -∇P + g + μ∇^2u这个方程描述了海水速度的变化，其中∇P表示压力梯度对流体产生的影响；g表示重力加速度对流体产生的影响；μ∇^2u表示粘性系数对流体产生的影响。
海水模型还需要考虑边界条件和初始条件。
边界条件可以是固定边界条件，例如海岸线；或周期性边界条件，例如周期性潮汐。
初始条件可以是静止状态，也可以是给定的初始速度场。
为了求解纳维-斯托克斯方程，需要采用数值方法进行离散化。
常用的方法有有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法将海水模型离散化为网格，然后通过迭代求解离散化后的方程组，得到海水流动的数值解。
海水模型的构建还需要考虑其他与海水运动相关的参数，例如海水的温度、盐度、溶解氧等。
这些参数可以通过方程的源项来表示，例如热量传递、盐度传递和氧气传递等。
总之，纳维-斯托克斯方程是构造海水模型的基本方程之一。
通过对方程进行适当的简化和离散化，可以模拟海水的流动行为，并进一步研究海洋的物理和化学过程。
血液的纳维-斯托克斯方程
血液的纳维-斯托克斯方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：血液是人体内流动的液体，在维持生命活动的过程中发挥着至关重要的作用。
血液的纳维-斯托克斯方程是描述血液流动的基本数学模型之一，它以法国数学家毕恩特·纳维-斯托克斯（Jean Louis Marie Poiseuille）和英国物理学家乔治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）的名字命名，旨在揭示血液在血管内的流动特性及规律。
这一方程广泛应用于生物医学工程领域，对研究心血管系统等疾病具有重要意义。
血液的纳维-斯托克斯方程可以表达为：σ(∂v/∂t + v∇v) = -∇P + ηΔv + fv为流体速度矢量，t为时间，P为压力，σ为单位体积内的化学势，η为黏度系数，f为外力矢量。
该方程描述了血液在血管内的流动过程，反映了血液受到的压力、黏度和外力等因素的综合作用。
血液经过心脏的泵动将被输送到全身各个器官和组织，起着输送氧气、营养物质和代谢产物的重要作用。
在血管内，血液会受到血管的阻力和黏滞力的影响，使得血液呈现出不同的流动特性。
纳维-斯托克斯方程正是用来描述这种流动过程的数学模型。
在该方程中，首先考虑的是流体的加速度与速度梯度的关系，即流体内部的运动状态。
其次考虑的是外力对流体的作用，比如心脏的泵力、血管壁对血液的作用等。
则考虑到流体的黏性特性，即流体内部的摩擦阻力。
这些因素综合作用，决定了血液在血管内的运动特性。
在医学领域，纳维-斯托克斯方程被广泛应用于心血管系统等领域的研究中。
通过建立数学模型，可以模拟血液在血管内的流动情况，进一步探讨心血管疾病的病理机制以及预防、治疗方法。
通过模拟血流动力学，在动脉粥样硬化等疾病的研究中可以更好地理解病变部位的血流情况，为临床治疗提供依据。
值得注意的是，纳维-斯托克斯方程只是描述了血液流动的基本规律，实际生物体内的血液流动受到诸多因素的影响，比如心脏的泵动、血管的弹性、血液粘稠度等。
volume force field 纳维-斯托克斯方程
volume force field 纳维-斯托克斯方程
体积力场纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一。
它是将流体运动和流体力学的基本规律表达为数学方程形式的一种方式。
该方程式可以用以下形式来表示：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
ρ[(∂v/∂t)+ (v·∇)v] = -∇p + f
其中，ρ表示流体的密度，v是速度矢量，p是压强，f是体积力场，如重力和电磁力等。
具体来讲，第一项表示质量守恒，即流体密度的变化率等于体积流量的发散。
第二项表示动量守恒，即流体的加速度受到内部和外部力的影响。
该方程式在流体力学研究和工程实践中得到广泛应用，如工业过程控制、地下水流动模拟、天气和气候模拟等。
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
湍流模型方程
湍流模型方程
湍流模型方程是用来描述湍流流动的数学方程。
其中最经典的湍流模型方程是雷诺平均纳维-斯托克斯方程，也称为RANS方程。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程是对流体流动进行平均处理后得到的方程，可以描述湍流的运动规律。
其方程形式如下：
∂(ρu_i)/∂t + ∂(ρu_iu_j)/∂x_j = - ∂p/∂x_i + ∂(τ_ij)/∂x_j + ρg_i + F_i
其中，ρ是流体的密度，u_i是速度分量，t是时间，x_i是空间坐标，p是压力，τ_ij是应力张量，g_i是重力分量，F_i是外力分量。
这个方程描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
湍流模型方程还包括了湍流模型，用来描述湍流的统计性质。
最常用的湍流模型是k-ε模型，它基于湍流运动的能量和湍流耗散率进行描述。
k-ε模型的方程如下：
∂(ρk)/∂t + ∂(ρku_i)/∂x_i = ∂(μ+μ_t)∂x_j ∂u_i/∂x_j - ρε + ρg_i + F_i
∂(ρε)/∂t + ∂(ρεu_i)/∂x_i = C_1εk/μ (∂(μ+μ_t)∂x_i ∂u_i/∂x_j) - C_2ρε^2/k + ρg_iu_i + F_i
其中，k是湍流能量，ε是湍流耗散率，μ是动力粘度，μ_t是湍流粘度，C_1和C_2是经验常数。
这个模型方程描述了湍流能量和湍流耗散率的传输过程，可以用来计算湍流流动的各种统计量。
ns方程对流项
NS方程，即纳维-斯托克斯方程，是描述流体运动的基本方程。
在NS方程中，对流项是由拉格朗日描述法转为欧拉法而衍生出来的项，即从material derivative到spatial derivative的转变。
这一转变代表着从质量守恒的研究角度转为体积守恒的研究角度，或者可以看做是从粒子的角度向场的角度转变。
从物理的角度讲，对流项通俗来说就是速度运输速度自己，其具体作用为加大速度梯度。
对流项的存在是由于流体中不同部分的速度差异导致的，这种速度差异会使得流体中产生一种内部力，从而影响流体的运动状态。
在NS方程中，对流项和其他项（如压力项、粘性项等）一起描述了流体的运动状态。
需要注意的是，NS方程是一个复杂的非线性偏微分方程，其解的存在性和唯一性等问题一直是数学和物理学领域的研究热点。
以上信息仅供参考，如需了解更多关于NS方程对流项的信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
ns方程的谱形式
纳维-斯托克斯方程（NS方程）是一组描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
在谱形式下，NS方程通常采用傅里叶级数或类似的方法展开，将物理量表示为频率或波数的函数。
这种形式允许我们分析流体的频率和波数特性，从而更好地理解流体运动的本质。
在谱形式下，NS方程可以表示为：
1. 连续性方程：ρ(u·∇)u = 0
2. 动量方程：ρ(u·∇)u + ∇p = μ∇²u
其中，ρ是流体密度，u是速度矢量，p是压力，μ是动力粘度。
在谱形式下，这些方程的解可以通过傅里叶分析或类似的方法找到。
值得注意的是，NS方程的谱形式求解非常复杂，通常需要高性能计算资源和数值方法。
在实际应用中，通常采用离散化方法，如有限差分法、有限元法等，将连续的物理量离散化后进行求解。
这些离散化方法可以在计算机上实现高效的数值模拟和计算。
不可压缩流体的纳维斯托克斯方程
纳维斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，它适用于不可压缩流体。
在工程、地球科学和大气科学等领域中，不可压缩流体的运动是一个重要的研究课题。
在本文中，我将按照深度和广度的要求，探讨不可压缩流体的纳维斯托克斯方程，以更好地理解该领域的知识。
一、不可压缩流体的概念不可压缩流体是指在流体运动过程中密度基本保持不变的流体。
在实际的流体运动中，许多流体可以近似地看作是不可压缩的。
不可压缩流体的性质在实际应用中具有重要意义，因此研究不可压缩流体的运动规律尤为重要。
二、纳维斯托克斯方程的推导纳维斯托克斯方程是描述不可压缩流体运动的基本方程之一。
它由质量守恒方程和动量守恒方程组成，可以用来描述流体的速度场和压力场随时间和空间的变化规律。
1. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体的密度随时间和空间的变化规律。
对于不可压缩流体来说，密度可以近似地看作是常数，因此质量守恒方程可以简化为一个关于速度场的方程。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体的速度场随时间和空间的变化规律。
通过施加牛顿第二定律和流体静压力的概念，可以推导出不可压缩流体的纳维斯托克斯方程。
三、纳维斯托克斯方程的数学性质纳维斯托克斯方程是一个非常复杂的偏微分方程组，它描述了流体的速度场和压力场之间的复杂关系。
在数学上，纳维斯托克斯方程往往需要借助数值方法或者解析方法来求解，因此它具有一定的数学难度。
四、个人观点和理解不可压缩流体的纳维斯托克斯方程是描述流体运动的重要方程之一，它在工程和科学领域具有广泛的应用。
通过学习和研究纳维斯托克斯方程，我们可以更好地理解不可压缩流体的运动规律，从而为工程和科学领域的实际问题提供有效的解决方案。
总结回顾本文从不可压缩流体的概念出发，对纳维斯托克斯方程进行了深入的探讨。
通过对质量守恒方程和动量守恒方程的推导，我们可以更好地理解不可压缩流体的运动规律。
纳维斯托克斯方程的数学性质也给我们在实际应用中提出了挑战，需要我们进一步深入研究。
navier-stokes方程数学基础
navier-stokes方程数学基础下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by the editor. I hope that after you download them, they can help yousolve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts,other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!导言纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，广泛应用于工程、物理学和气象学等领域。
-斯托克斯方程
-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），简称N-S方程。
N-S方程是用于描述流体运动的方程，可以看作是流体运动的牛顿第二定律。
对于可压缩的牛顿流体，可以得到
其中，u是流体速度，p是流体压力，ρ是流体密度，μ是流体动力黏度。
式中各项分别对应于惯性力（1）、压力（2）、黏性力（3），以及作用在流体上的外力（4）。
纳维-斯托克斯方程是由纳维、泊松、圣维南和斯托克斯于1827年到1845年之间推导出来的。
这些方程总是要与连续性方程同时进行求解：
纳维-斯托克斯方程表示动量守恒，而连续性方程则表示质量守恒。
纳维一斯托克斯方程
纳维一斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，它是由
欧拉方程引申而来。
纳维-斯托克斯方程可以写成以下形式：
∂u/∂t + u · ∇u = -1/ρ ∇p + v ∇²u + f
其中：
- u是速度矢量（u = (u, v, w)表示流体在x、y和z轴方向上的
速度分量）
- t是时间
- p是压力
- ρ是流体的密度
- v是流体的动力黏度
- f是外力的矢量（例如重力）
纳维-斯托克斯方程描述了流体的加速度（∂u/∂t + u · ∇u），
即速度的变化率，与压力、黏度和外力之间的关系。
通过求解这个方程，可以预测流体在给定边界条件下的运动情况。
纳维-斯托克斯方程在流体力学、气象学、工程学等领域有广
泛的应用。
它是研究流体运动和流体力学现象的重要理论基础。
纳维-斯托克斯方程
牛顿流体： zx
v x z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和
z
x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为
PB
PA
P x
dx
PA
P
A
PA PB x dx
y
P dx dy dz x
ax
2vx x 2
2vx y2
2vx z 2
P x
gx
ay
2vy x 2
2vy y2
2vy z 2
P y
gy
az
2vz x 2
2vz y2
2vz z 2
P z
gz
惯
压重
性 力
黏性力
力力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式 动量形式
根据牛顿第二定律：
F ma mdv d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据 牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
Y
纳维-斯托克斯方程
纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
纳维斯托克斯方程各项的物理意义
纳维斯托克斯方程各项的物理意义
马尔科夫-纳维斯托克斯方程是用来描述物质流动和物体
运动的重要方程之
一。
它是由俄国物理学家马尔科夫-纳维斯托克斯提出的，他在1900年发表于《苏联科学院报告》上。
这个方程是物理
学中最重要的方程之
一，因为它描述了物质在空间和时间上的运动。
马尔科夫-纳维斯托克斯方程的主要内容是：它用了七个
符号来描述物质的变化，分别为物质的流动强度（U）、物质
的压强（ρ）、物质的速度（V）、物质的温度（T）、物质的
湿度（H）、物质的磁场强度（B）和物质的热导率（K）。
总体来说，马尔科夫-纳维斯托克斯方程是一个用来描述
物质的运动和变化的重要方程，它可以用来表示物质的流动强度、压力、速度、温度、湿度、磁场强度和热导率的变化。
它的准确性和实用性，使它在物理学、化学和工程等领域得到了广泛的应用。
浅谈纳维-斯托克斯方程
材料工程基础系别：专业：姓名：学号：班级：浅谈纳维-斯托克斯方程在我们所学习的《材料工程基础》的书中流体力学基础中提到动量平衡是流体运动的遵循的另一普遍规律，其含义是：对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。
其数学表达式即为运动方程。
=我们所学习的《材料工程基础》中的推导来看一下n-s 方程的具体细节： 设τ时刻控制体内的动量为ρu dxdydz ，则在ττ∆+时刻控制体内的动量为τρρ∂∂+）（u d x d y d z u d x d y d z τ∆。
于是，控制体内的动量变化率为τρ∂∂dxdydz u ）（。
至于动量通量的净变化率，是经过六个控制面微元迁移动量的总和。
在ABCD 面上，τ∆时间内流入的动量为u u x ρdydz τ∆。
在EFGH 面上，τ∆时间内流出的动量为u d y d z u x ρτ∆+(x ∂∂udydz u x ρτ∆）dx 。
于是，τ∆时间内经此两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u xx ρ(∂∂τ∆）。
同理，经AEHD 、BFGC 两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u x x ρ(∂∂τ∆），经AEFB 、DHGC 两相对面微元的动量净流出量为dxdydz u u zz )ρ∂∂τ∆。
于是，经全部控制面的恒定流动通量的净变化率：dxdydz zu u y u u x u u z u u y u u x u u dxdydz u u z u u y u u x z y x z y x z y x ])()(()()()([)])()∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ρρρρρρρρρ将微元体中的动量增量速率和动量流出的净通量结合起来得到的方程右端的数学形式为dxdydz u u u ])([∇+∂∂τρ 下面计算作用的微元六面体上的力。
作用于微元六面体上的力包含质量力和表面力。
设A 点单位质量上的质量力为F ，则微元体上的质量力为Fdxdydz ρ最后计算表面力， 面元ABCD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dydz k P j P i P x xz xy xx |)(++-面元AEHD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dzdx k P j P i P y yz yy yx |)(++-面元AEFB 左侧流体作用于微元体内流体的力为dxdy k P j P i P z zz zy zx |)(++-面元EFGH 、BFGC 、DHGC 外侧流体对微元体内流体施加的力分别为dydz dx k P j P i P xk P j P i P xz xy xx x xz XY X ])(|)[(++∂∂+++ dzdx dy k P j P i P y k P j P i P yz yy yz y xz yy yx ])(|)[(++∂∂+++ dxdy dz k P j P i P z k P j P i P zz zy zx z zz zy zx ])(|)[(++∂∂+++ 以上三项恰是矢量（dxdydz zP y P x P z y x ∂∂+∂∂+∂∂）dxdydzx 在x 、y 、z 轴上的三个投影。
血液的纳维-斯托克斯方程
血液的纳维-斯托克斯方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：血液的纳维-斯托克斯方程是描述血液流动行为的数学模型。
在生物医学领域，研究人员通常使用这种方程来分析血液在血管内的流动特性，了解血液在动脉和静脉内的运动规律。
纳维-斯托克斯方程是流体动力学中的基本方程之一，描述了流体的运动状态。
在血液流动的情况下，纳维-斯托克斯方程可以表示为：∂v/∂t + (v·∇)v = -∇p + μΔv + f其中v是速度矢量，p是压力，μ是黏性系数，f是体积力。
在血管内部，血液在压力的作用下流动，因此压力梯度是血液流动的驱动力。
黏性系数μ表示了血液的黏性，它会影响血液流动的速度和方向。
体积力f可以考虑重力和心脏收缩等因素对血液流动的影响。
在这个方程中，第一项∂v/∂t表示速度随时间的变化率，第二项(v·∇)v表示速度矢量v在流动方向上的加速度。
第三项-∇p表示压力梯度对流速的影响，当管道内部的血液在不同的区域受到不同的压力作用时，就会产生流动。
第四项μΔv表示了黏性系数对速度梯度的影响，当血液受到摩擦力时，会减缓速度。
最后一项f表示了外部力对血液流动的影响，例如心脏的跳动和身体运动。
纳维-斯托克斯方程可以通过数值模拟和实验研究来验证。
研究人员可以通过计算机模拟的方法，输入不同的参数和初始化条件，模拟血液在不同情况下的流动行为，从而揭示血液流动的规律。
实验研究通过观察血管内的血液流动情况，测量流速和压力等参数，来验证数学模型的准确性。
血液的纳维-斯托克斯方程对于研究心血管疾病和血液病理生理学等方面具有重要意义。
通过建立血液流动的数学模型，可以更好地理解心血管系统的功能和异常，为相关疾病的诊断和治疗提供更有效的方法。
今后的研究工作可以进一步深入探讨血液流动的机理和调控机制，为生物医学领域的发展做出更大的贡献。
第二篇示例：血液是人体内不可或缺的液体之一，其流动性质对人体的健康起着至关重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
目录• 1 基本假设o 1.1 随体导数o 1.2 守恒定律▪ 1.2.1 连续性方程▪ 1.2.2 动量守恒• 2 方程组o 2.1 一般形式▪ 2.1.1 方程组的形式▪ 2.1.2 闭合问题• 3 特殊形式o 3.1 牛顿流体o 3.2 宾汉（Bingham）流体o 3.3 幂律流体o 3.4 不可压缩流体• 4 参看• 5 参考文献• 6 外部链接基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，我们必须首先对流体的性质作几个假设。
第一个假设是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为，而其表面记为。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。
随体导数运动流体的属性的变化，譬如大气中的风速的变化，可以有两种不同的方法来测量。
可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量。
显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而第二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。
同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。
因此，当作微分时必须区分两种情况。
第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。
第二种情况称为实质或拉格朗日导数。
例子请参看随体导数条目。
随体导数定义为算子（operator）：其中是流体的速度。
方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在静止参照系中的导数）而第二项表示由于流体的运动带来的变化。
这个效应称为移流（advection）。
L的守恒定律在一个控制体积上的积分形式是：因为Ω是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。
因为这个表达式对于所有成立，它可以简化为：对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），给出了正确的共动时间导数。
守恒定律主条目：守恒定律NS方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用状态定律来闭合。
在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒：•质量•能量•动量•角动量连续性方程质量的守恒写作：其中是流体的密度。
在不可压缩流体的情况不是时间或空间的函数。
方程简化为：动量守恒动量守恒写作：注意是一个张量，代表张量积。
我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为：我们可以认出这就是通常的F=m a。
方程组一般形式方程组的形式纳维-斯托克斯方程的一般形式是：关于动量守恒。
张量代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。
除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，是一个对称张量。
一般来讲，我们有如下形式：其中是法向约束，而是切向约束。
迹在流体处于平衡态时为0。
这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。
我们再加上连续性方程：对于处于平衡的液体，的迹是3p。
其中p是压强最后，我们得到：其中是的非对角线部分。
闭合问题这些方程是不完整的。
要对它们进行完备化，必须对的形式作一些假设。
例如在理想流体的情况分量为0。
用于完备方程组的方程是状态方程。
再如，压强可以主要是密度和温度的函数。
要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。
流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。
这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。
解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。
的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。
它们代表垂直和剪切约束。
是对称的，除非存在非零的自旋密度。
所谓非牛顿流体是就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体特殊形式这些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。
牛顿流体主条目：牛顿流体在牛顿流体中，如下假设成立:其中是液体的粘滞度。
其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。
不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：动量守恒：质量守恒：因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。
能量守恒：其中：假设一个理想气体：上面是一个６个方程６个未知数的系统。
（u， v， w， T， e 以及）。
宾汉（Bingham）流体主条目：宾汉流体在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。
牙膏是一个例子。
幂律流体主条目：幂律流体这是一种理想化的流体，其剪切应力，，由下式给出不可压缩流体主条目：不可压缩流体其纳维－斯托克斯方程(Navier-Stoke equation)为动量守恒和质量守恒。
其中，对不可压缩牛顿流体来说，只有对流项(convective terms)为非线性形式。
对流加速度(convective acceleration)来自于流体流动随空间之变化所产生的速度改变，例如：当流体通过一个渐缩喷嘴(convergent nozzle)时，流体产生加速之情况。
由于此项的存在，对于暂态运动中的流体来说，其流场速度变化不再单是时间的函数，亦与空间有关。
另外一个重要的观察重点，在于黏滞力(viscosity)在流场中的以流体速度作拉普拉斯运算来表现。
这暗示了在牛顿流体中，黏滞力为动量扩散(diffusion of momentum)，与热扩散方程非常类似。
;是散度，是克罗内克记号。
若在整个流体上均匀，动量方程简化为（若这个方程称为欧拉方程；那里的重点是可压缩流和冲击波）。
如果现在再有为常数，我们得到如下系统：连续性方程（假设不可压缩性）：N-S方程的简化版本。
采用《不可压缩流》，Ronald Panton所著第二版注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。
依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。
但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。
参看•雷诺数•马赫数•雷诺平均纳维－斯托克斯方程参考文献•Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR.•Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A., Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8.外部链接•克雷数学研究院纳维-斯托克斯方程大奖o该问题的正式命题•纳维-斯托克斯方程的一个推导•纳维-斯托克斯方程的推导•NASA关于纳维-斯托克斯方程的网页•纳维-斯托克斯方程（一些精确解），位于EqWorld:数学方程的世界______________________________________________________________________________________________________________Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料。