空间向量及其加减数乘运算
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③与 a(a 0) 同向的单位向量为： a ； a
分配律 (a b) a b 2.运算律：
结合律 （ a) ( )a
例 1.设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心． 求证：A→G＝31(A→B＋A→C＋A→D)．
证明 连接 BG，延长后交 CD 于点 E，由 G 为△BCD 的重心，知B→G＝23B→E.
减向量终点指向 被减向量终点
3.向量加法运算满足：交换律、结合律
①ab ba
② (a b) c a (b c)
O
a
A
b
向量加法结合律：
O
a
b +c
CA
C
B
c
b
(空间向量)
Bc
推广: （1）首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1A2 A2 A3 An1An A1An
跟踪训练 2.化简： (1)源自文库A→B－C→D)－(A→C－B→D)； (2)(A→B＋C→D)－(A→C＋B→D)．
3.1.2 空间向量的数乘运算
1.向量的数乘运算： a (其中 R )
①模： a a ； ②方向： 0 ， a 的方向与 a 相同；
0 ， a 的方向与 a 相反； 0，a 0.
例 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，F 在对 角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C. 求证：E，F，B 三点共线．
4.共线向量定理的推论: 若点 A, B 直线 l , a 为 l 的方向向量 则 点 P l OP OA ta
当 x y z 1 时, P 为 ABC 的重心 3
问题.已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O， 确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？ (1)O→B＋O→M＝3O→P－O→A；(2)O→P＝4O→A－O→B－O→M.
例 3 如图所示，已知平行四边形 ABCD， 过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB， OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F， G，H，并且使OOEA＝OOFB＝OOGC＝OOHD＝k， 求证：E，F，G，H 四点共面．
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
五.空间向量的加减运算
1.加法运算： ①三角形法则(首尾相连)
②平行四边形法则(起点相同)
2.减法运算：三角形法则(起点相同)
b
a
向量加法的三角形法则
b ab a
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
三.特殊向量:
1.零向量： 0 ，即 0 =0 ； 规定:零向量的方向是任意的.
2.单位向量：模为1个单位长度的向量.
四.向量间的关系:
1.相等向量:方向相同且模相等的向量.
2.相反向量:与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量. 记作: a
3.共线向量(平行向量):表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 记作： a // b 规定： 0 // a (其中 a 为任一向量)
4.共面向量: 空间中任何两个向量都是共面向量.
例 1.给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a，b ，满足 a b ，则 a b ； ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m, n, p ，满足 m n, n p ，则 m p ；
当 x y 1 时, P 为 A, B 的中点 2
6.空间向量基本定理:若向量 a,b, c 不共面,则对于空间任意向量 p ,存在有序
实数组{x, y, z},使得 p xa yb zc .
或：空间四点 O, A, B,C 不共面,则对于空间任意一点 P ,存在有序实数组
{x, y, z},使得 OP xOA yOB zOC . 特别地: 当 x y z 1时, P, A, B,C 四点共面
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1A2 A2 A3 An1An An A1 0
例 2.如图,已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 (底面是平行四边形的四棱柱)， 化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量． (1) AA1 CB ； (2) AA1 AB B1C1 ； (3) DC AD AA1 .
由题意知 E 为 CD 的中点， ∴B→E＝12B→C＋12B→D. A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E ＝A→B＋13(B→C＋B→D) ＝A→B＋13[(A→C－A→B)＋(A→D－A→B)] ＝13(A→B＋A→C＋A→D)．
3.共线向量定理: a // b a b (其中 b 0 )
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
(类比学习法:类比平面向量学习空间向量)
3.1.1 空间向量及其加减运算
一.定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(向量的大小叫做向量的长度或模.如: a )
二.向量的表示:
1.几何表示：空间向量也用有向线段表示
2.字母表示： AB , a
OP OA t AB (其中 t R )
这两个等式都称为空间直线的向量表示式.
5.平面向量基本定理: 若向量 a，b 不共线
则 p 与 a, b 共面 p xa yb (其中实数 x, y 存在且唯一) 或:若 A, B,C 为不共线三点
则 P, A, B,C 四点共面 CP xCA yCB (其中实数 x, y 存在且唯一) 特别地: 当 x y 1时, P, A, B 三点共线
分配律 (a b) a b 2.运算律：
结合律 （ a) ( )a
例 1.设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心． 求证：A→G＝31(A→B＋A→C＋A→D)．
证明 连接 BG，延长后交 CD 于点 E，由 G 为△BCD 的重心，知B→G＝23B→E.
减向量终点指向 被减向量终点
3.向量加法运算满足：交换律、结合律
①ab ba
② (a b) c a (b c)
O
a
A
b
向量加法结合律：
O
a
b +c
CA
C
B
c
b
(空间向量)
Bc
推广: （1）首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1A2 A2 A3 An1An A1An
跟踪训练 2.化简： (1)源自文库A→B－C→D)－(A→C－B→D)； (2)(A→B＋C→D)－(A→C＋B→D)．
3.1.2 空间向量的数乘运算
1.向量的数乘运算： a (其中 R )
①模： a a ； ②方向： 0 ， a 的方向与 a 相同；
0 ， a 的方向与 a 相反； 0，a 0.
例 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，F 在对 角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C. 求证：E，F，B 三点共线．
4.共线向量定理的推论: 若点 A, B 直线 l , a 为 l 的方向向量 则 点 P l OP OA ta
当 x y z 1 时, P 为 ABC 的重心 3
问题.已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O， 确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？ (1)O→B＋O→M＝3O→P－O→A；(2)O→P＝4O→A－O→B－O→M.
例 3 如图所示，已知平行四边形 ABCD， 过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB， OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F， G，H，并且使OOEA＝OOFB＝OOGC＝OOHD＝k， 求证：E，F，G，H 四点共面．
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
五.空间向量的加减运算
1.加法运算： ①三角形法则(首尾相连)
②平行四边形法则(起点相同)
2.减法运算：三角形法则(起点相同)
b
a
向量加法的三角形法则
b ab a
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
三.特殊向量:
1.零向量： 0 ，即 0 =0 ； 规定:零向量的方向是任意的.
2.单位向量：模为1个单位长度的向量.
四.向量间的关系:
1.相等向量:方向相同且模相等的向量.
2.相反向量:与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量. 记作: a
3.共线向量(平行向量):表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 记作： a // b 规定： 0 // a (其中 a 为任一向量)
4.共面向量: 空间中任何两个向量都是共面向量.
例 1.给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a，b ，满足 a b ，则 a b ； ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m, n, p ，满足 m n, n p ，则 m p ；
当 x y 1 时, P 为 A, B 的中点 2
6.空间向量基本定理:若向量 a,b, c 不共面,则对于空间任意向量 p ,存在有序
实数组{x, y, z},使得 p xa yb zc .
或：空间四点 O, A, B,C 不共面,则对于空间任意一点 P ,存在有序实数组
{x, y, z},使得 OP xOA yOB zOC . 特别地: 当 x y z 1时, P, A, B,C 四点共面
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1A2 A2 A3 An1An An A1 0
例 2.如图,已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 (底面是平行四边形的四棱柱)， 化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量． (1) AA1 CB ； (2) AA1 AB B1C1 ； (3) DC AD AA1 .
由题意知 E 为 CD 的中点， ∴B→E＝12B→C＋12B→D. A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E ＝A→B＋13(B→C＋B→D) ＝A→B＋13[(A→C－A→B)＋(A→D－A→B)] ＝13(A→B＋A→C＋A→D)．
3.共线向量定理: a // b a b (其中 b 0 )
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
(类比学习法:类比平面向量学习空间向量)
3.1.1 空间向量及其加减运算
一.定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(向量的大小叫做向量的长度或模.如: a )
二.向量的表示:
1.几何表示：空间向量也用有向线段表示
2.字母表示： AB , a
OP OA t AB (其中 t R )
这两个等式都称为空间直线的向量表示式.
5.平面向量基本定理: 若向量 a，b 不共线
则 p 与 a, b 共面 p xa yb (其中实数 x, y 存在且唯一) 或:若 A, B,C 为不共线三点
则 P, A, B,C 四点共面 CP xCA yCB (其中实数 x, y 存在且唯一) 特别地: 当 x y 1时, P, A, B 三点共线