数学建模国家一等奖优秀论文---艾滋病疗法的评价及疗效的预测2
数学建模竞赛-艾滋病疗法评价及疗效预测模型
二、 基本假设
1、题中所给出的数据真实，能反映现实情况； 2、最佳治疗终止时间是指：CD4 的浓度(个 / l )达到某值 的初始时间； 3、治疗有效果是指：HIV 的数量降低，同时产生更多的 CD4 细胞，至少能有效地降 低 CD4 减少的速度； 4、问题 2 中疗法的优劣评价，仅以 CD4 为标准； 5、在疗法 1 中，以日用量 600mg zidovudine 或 400mg didanosine 按每月交替服用， 1 个月按 30 天计算，且在第 1 月中，每日服用 600mg zidovudine ； 6、在测试过程中，忽略病人年龄的变化； 7、处于同一年龄段的病人，生理状况一致。
y 0.0003x3 0.0201x2 0.4414 x 0.7203
相关系数的平方：rsquare=0.9839 残差平方和 ：S= 0.1540 由此认为拟合比较好 散点图、拟合曲线及置信区间如下图：
3
图 1：CD4 比值的曲线拟合图 同样由于 numHIV(i)<20 的数据不具有统计意义，因此只画出 numHIV(i)>=20 时对 应 meanHIV(i)的散点图，根据散点图确定用负指数函数来拟合。 拟合曲线方程 y k1g e k 2gx k 3 用 Matlab 求得：k1=3.4668,k2=0.4673,k3=2.8365
CD 4i 。 CD 40
meanCD4(i)
sumCD4(i 1) sumCD4(i) sumCD4(i 1) numCD4(i 1) numCD4(i) numCD4(i 1)
用 meanCD4(i) 的值代替 sumCD4(i) 。 统计第 i 周 HIV 的测得值总和 sumHIV(i)与测试人数 numHIV(i)， 用三项移动平均法 的思想，令
艾滋病疗法的评价及疗效的预测论文 全国一等奖
结果可知常数项通过检验，关系显著。 由以上分析可知回归方程 I 的中 y1 对 x 拟合程度较好。 使用 SPSS 再对回归方程 II 进行检验，可知回归方程 II 也有较高的拟合度。 5.1.3 预测最佳停止时间 分析题目可知，最佳停止时间是 HIV 浓度最小和 CD4 浓度最大的时间。 将 HIV/CD4 定义为疗效的直接体现，首先对其进行归一化处理： y1 min( y1 ) y2 min( y2 ) y1' ， y2 ' max( y1 ) min(y1 ) max( y2 ) min(y 2 )
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》 （以下简称为 “竞赛章程和参赛规则” ， 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国数学建模竞赛06艾滋问题研究
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本题是一个根据ACTG所公布的数据对艾滋病的疗法进行评价，并对其疗效进行预测的问题。
在解决过程中，我们建立了四个数学模型，并给出了具体的数值结果。
针对问题一，我们建立了两个数学模型，从附件一中筛选了部分数据，从不同的角度解决了问题。
模型一运用了二元线性回归预测方法以最小二乘法为工具得到了二元经验线性回归方程及相应数值结果。
模型二为带有权重系数的Hammerstein模型，可视为模型一的推广。
在一般情况下，它是一个非线性的模型，因而我们用最速下降法给出了回归方程系数的数值解法。
问题二的解答利用了模型一、二中的相关结论，建立了一个多目标决策的数学模型。
该模型中，我们运用层次分析法得到了各评价因子的权重系数，并由此得出疗法的综合评价指数。
从附件二中筛选了部分数据，根据病情及年龄将其分为九类，对每一类患者选择了较优的疗法，并确定了最佳治疗终止时间。
在问题三的解决过程中，我们考虑了疗效和费用两因素，建立了模糊切比雪夫多目标决策模型，利用该模型我们得到了问题二的重新评价和预测结果。
问题一、二、三的具体数值结果如下：问题一：轻症患者最佳治疗终止时间为第76周，中症患者为第65周，重症患者为第54周。
问题二：对第1类病人第一种疗法的疗效较好，其最佳治疗终止时间为第78 周；对第3类病人第二种疗法较为有效，其最佳治疗终止时间为第20周；对第2类病人第三种疗法的治疗效果较好，其最佳治疗终止时间为第41周；对第4 8类病人第四种疗法较为有效，最佳治疗终止时间分别为第34,29,40,24,25周。
问题三：问题二中需要调整疗法的有:第3、第7、第8类病人，他们均可选用第三种疗法。
关键词：最小二乘法模糊切比雪夫多目标决策层次分析法一、问题的重述与分析1、问题的重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病疗法的评价及疗效的预测———全国大学生数学建模竞赛题目学生姓名：刘琰博（专升本051班）指导老师：张国志摘要：目前控制爱滋病的主要手段就是尽量减少爱滋病毒（HIV）在人体内的数量，所以本文根据美国爱滋病医疗机构所给的两组数据（附件1和附件2），运用Excel及Matlab软件对其进行处理，分别拟合出CD4和HIV的浓度随时间变化的函数关系式和问题中所给4种疗法中CD4的变化图象，然后利用Logistic模型，稳定性模型，最大曲边面积模型及层次分析法可分别得到同时服用3种药物的病人的最佳治疗终止时间是167.4117周；在4种疗法中疗法三对30岁以下的患者效果最好，疗法四对30岁以上的患者效果最好；考虑4种疗法的费用后，疗法一是最经济的．关键词：CD4细胞；HIV；最佳治疗时间；抑制率；相对增长率；对比图；预测目录1 问题的提出 (1)2 问题的解决 (2)2.1 问题的假设 (2)2.2 符号说明 (2)2.3 问题分析 (2)2.4 模型的建立与求解 (3)3 模型的评价与改进 (8)3.1 模型的评价 (8)3.2模型的改进 (9)参考文献 (10)The Evaluation of The Therapy of AIDS and Prediction of ItsCurative Effect——The topic of china undergraduate mathematics contest in modelingStudent：Liu Yan-bo (Class 051)Instructor：Zhang Guo-zhiAbstract：Currently，the main means which controls AIDS is to decreas as much as possible the amount of HIV in the human body．So the article is relate to two sets of data from the AIDS medical treatment organization of the United States (accessory 1 and accessory 2)，then using the Excel and Matlab software to deal with them，and respectively get the function which responses a change about the density of CD4 ad HIV going along with time，and the picture on a change about 4 kinds of therapies in the problem．Then make use of Logistic model，stability model，the biggest area model of covering with the curve，and the method of analysis in layers can get the best treatment＇s terminate time for the patient who take 3 kinds of medicine at the same time is 167.4116 weeks；Among the 4 kinds of therapies，the third one is the best one for the patient under the age of 30 and the forth one is the best one for the patient over the age of 30；when considering the expenses of the 4 kinds of therapies，the first one is the most profitable．Key words：CD4 cell；HIV；The best treatment time；Repress rate；Opposite growth rate；Contrast diagram；Estimate1 问题的提出艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，它的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的．这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命．人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作．艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力．迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高．许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法．现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据． ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）．193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）．4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）．请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）．（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间．（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元．如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变．2 问题的解决2.1 问题的假设1.在适合的条件下，HIV独立生存是以指数规律增长．2.在适合的条件下，CD4细胞独立生存是以二分裂的形式增长．3.CD4细胞均无记忆性．4.病人服用药物后直接作用于CD4细胞，增加CD4细胞的数量来抑制HIV．。
全国数学建模竞赛艾滋问题研究
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本题是一个根据ACTG所公布的数据对艾滋病的疗法进行评价，并对其疗效进行预测的问题。
在解决过程中，我们建立了四个数学模型，并给出了具体的数值结果。
针对问题一，我们建立了两个数学模型，从附件一中筛选了部分数据，从不同的角度解决了问题。
模型一运用了二元线性回归预测方法以最小二乘法为工具得到了二元经验线性回归方程及相应数值结果。
模型二为带有权重系数的Hammerstein模型，可视为模型一的推广。
在一般情况下，它是一个非线性的模型，因而我们用最速下降法给出了回归方程系数的数值解法。
问题二的解答利用了模型一、二中的相关结论，建立了一个多目标决策的数学模型。
该模型中，我们运用层次分析法得到了各评价因子的权重系数，并由此得出疗法的综合评价指数。
从附件二中筛选了部分数据，根据病情及年龄将其分为九类，对每一类患者选择了较优的疗法，并确定了最佳治疗终止时间。
在问题三的解决过程中，我们考虑了疗效和费用两因素，建立了模糊切比雪夫多目标决策模型，利用该模型我们得到了问题二的重新评价和预测结果。
问题一、二、三的具体数值结果如下：问题一：轻症患者最佳治疗终止时间为第76周，中症患者为第65周，重症患者为第54周。
问题二：对第1类病人第一种疗法的疗效较好，其最佳治疗终止时间为第78 周；对第3类病人第二种疗法较为有效，其最佳治疗终止时间为第20周；对第2类病人第三种疗法的治疗效果较好，其最佳治疗终止时间为第41周；对第48类病人第四种疗法较为有效，最佳治疗终止时间分别为第34,29,40,24,25周。
问题三：问题二中需要调整疗法的有:第3、第7、第8类病人，他们均可选用第三种疗法。
关键词：最小二乘法模糊切比雪夫多目标决策层次分析法一、问题的重述与分析1、问题的重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
2006年全国数学建模B题题目及优秀论文赏析
为了叙述的方便，我们把题目中所用的变量用下列参数来代替： Y1 ：问题一中的 CD4 细胞计数；（个/ul）
Y2 ：问题一中的 HIV 浓度：（单位不详） X ：问题一中的周次数： Z1 ：问题二中的按疗法一治疗的患者的 CD4 细胞计数；（个/ul）
Z 2 ：问题二中的按疗法二治疗的患者的 CD4 细胞计数；（个/ul）
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320（见附件 1）是同时服用 zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚地那韦） 3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血液里的数量）。 193A（见附件 2）是将 1300 多名病人随机地分为 4 组，每组按下述 4 种疗法中的一种 服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很高）。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷），这两种药 按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine （奈韦拉平）。
继续使用的疗效。由于这些数据是在随机分组的人群中获得的，所以我们假设这
些样本是独立的，这样我们就可以采用统计学中的多个独立样本的非参数检验
法，利用SPSS11.5软件中的多个独立样本比较秩和检验功能完成，运用
Kruskal-Wallis H Test和中位数检验法在统计学意义上给出每种疗法的相对疗
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要我们从数据和机理两个角度研究了第一问的预测问题。
模型一根据附件数据，在对病人分类的基础上，综合考虑HIV和CD4两项指标，提取病情发展的动态特征，构造了动态等级转移矩阵，按类分别进行了预测。
不仅得到了每个人的预测结果，同时总结出每类人的普遍状况：对于持续好转类病人，全部继续用药；对于持续恶化型病人停止用药；波动型因各人具体情况有些需要继续用药，有些应终止。
模型二从机理的角度，充分考虑到HIV和CD4之间的相互作用和药物对这两者的影响，在考虑药物对病情的影响时，引入了药物失效率的概念，并据此对整体治疗效果做出了预测。
为对四种疗法进行评价和预测，先对193A的数据结果进行了全方位的统计分析，充分挖掘各种疗法每一疗程的信息，提取与评价有关的特征，归结为期望，较优疗效比例，通用程度三个方面，分别用三个定量指标Borda值，门限指标值和通用度值代表。
再将其加权处理得到综合评价标准来衡量治疗效果，对四种疗法的优劣进行了排序，从优到劣依次为：疗法4，疗法3，疗法2，疗法1。
利用问题一中的预测模型对较优的疗法3和4进行了预测。
在考虑了费用的情况下，分析出病人治疗的根本目的是在有限的金钱条件下尽最大可能延长生命。
则与该目的相匹配的评价标准为金钱利用率。
以193A的整体治疗时间为考查时间范围，以四个疗法的金钱利用率为标准，重新进行了评价。
从优到劣依次为：疗法3，疗法4，疗法1，疗法2。
对预测问题，借鉴了经济学边际成本和边际效益的相关理论，考虑病人经济状况的变化带来边际成本增加。
定义边际收益率为边际效益和边际成本的比值，确定一个门限值作为病人可以接受的边际收益率底线，超过该底线，认为要终止治疗。
预测的终止时间要比第二问的预测结果有显著提前。
关键字：艾滋病疗效药物失效率Borda排序等级转移矩阵引言艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
数模优秀论文---艾滋病疗法评价及疗效预测的优化模型二等奖
艾滋病疗法评价及疗效预测的优化模型作者：喻伟陶煜常晴（2006年“高教”杯全国赛B题国家二等奖）摘要本题是一个爱滋病疗法评价和疗效预测的优化问题。
首先我们对附录中的大量数据进行统计分析，发现了CD4浓度、HIV浓度随时间变化的规律，并给出了反映该规律的二项式拟合曲线。
问题一，通过建立比例函数模型，拟合出比例函数二次曲线，并利用微分求导，我们得出了最佳治疗终止时间；问题二，通过建立微分模型，横向比较四种疗法的CD4浓度-t曲线，我们确定了最优疗法（疗法4）并对其进行了评价和疗效的预测；问题三，通过建立概率模型，我们引入了一个机率因子，在问题二的基础上综合考虑了机率因子和药效对病人决策（选择何种疗法）的影响。
在探讨概率模型时，我们利用关联分析法构造了反映病人决策的综合决策函数22()2.()()()ixi i iMAX value p x f t x f tμσ--=∙=从而确定了最优疗法（疗法3）并对其进行了评价和疗效的预测。
最后我们得到如下表随后我们建立了包括三个定理的模型规划理论体系，并在此体系基础上建立了其它的组合用药数学模型，如“水闸门”模型、总分法模型和聚类—矩阵和模型。
最后我们利用SPSS软件对数据进行了误差分析，考量了问题一模型的灵敏度、稳定性，提出了此后的研究方向，并对模型进行了科学性分析，与实际情形进行了对比，此外还对模型进行了优缺点分析，给出了模型的使用说明。
关键词：疗效拟合曲线最佳治疗终止时间最优疗法概率模型一、问题的提出1.背景艾滋病(获得性免疫缺损综合症,英文简称AIDS)是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
它是由艾滋病毒（人体免疫缺损病毒,英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文主要运用了曲线拟合、KW检验、层次分析法对题目所提出的问题进行了分析。
并得出了较适合的模型和较好的结论。
对于问题一：预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间，即得到服药不再起作用应该停药的时间。
根据所给的数据画出了CD4的走势，并据此用3阶方程拟合得到了CD4浓度变化函数，找出了CD4浓度的最大值和达到最大值的时间。
即当37周后，即使继续服用药物CD4的浓度也会下降。
所以应该在第37周时停药。
对于问题二：利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
用专门用于处理纵向数据的Kruskal-Wallis测试检验出4组样本的均值和秩。
通过比较秩的大小，可以找出最好的疗法。
明显第四中疗法的秩最大。
所以第四种疗法最好。
对于问题三：如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。
用层次分析法对疗效和费用加权，从而得出最好的方法。
明显第四中疗法的权向量最大，所以考虑综合费用和疗效，第四种疗效最好关键词：层次分析法、Kruskal-Wallis测试一、问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测(潘晓青 呙永熠 翟朋)
★★★此文荣获2006年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛重庆市一等奖★★★艾滋病疗法的评价及疗效的预测潘晓青呙永熠翟朋摘要：艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
从数据附件1中约40多期测试中抽出样本数大于30的样本，对其共13期的平均测试值数据进行最小二乘法拟合，拟合曲线采用3次多项式，探求了全体病人的CD4、HIV 和CD4/HIV的变化规律。
其全体病人平均CD4值随时间变化的方程为：0.0047t3-0.389t2+10.4594t+93.6575.由于个体治疗差异的客观存在，我们认为评价继续治疗效果应该是单独预测每个病人的继续治疗效果，然后顺便评估该治疗方案对全体病人的继续治疗效果。
对每个病人而言，对附件一中提供的多期CD4和HIV测试值进行最小二乘法拟合，拟合曲线采用3次多项式，利用拟合后的3次多项式预测继续治疗后下一期（8周后）的CD4和HIV，再求出继续治疗期（八周）CD4和HIV的平均变化速度。
根据CDC于 2002年制定的《艾滋病诊断与治疗指导方案》试行版，制定继续治疗效果的评价准则。
以病人HIV值、CD4的浓度值和CD4浓度变化的平均速度，对于第一问中的疗法，将病人的继续治疗效果分为优秀、差和继续治疗观察三个等级，其中优秀的占20.1%，差的占36.7%，继续治疗观察的占43.2%。
总的来说，此种疗法继续治疗效果不佳。
人体免疫力随着年龄呈马鞍型变化且是不稳定的。
用正态分布（μ=28.5，σ=30）模拟人体免疫力随着年龄变化的概率，计算病人的免疫力因子。
利用免疫力因子修改继续治疗效果的评价准则。
用新的继续治疗效果评价准则，求出四种疗法的疗法继续治疗4，2，1；对保守型者，四种疗法最后的从优到劣的顺序为3，4，1，2。
疗效和费用一般是互相矛盾，将疗效和费用作为两个因素，采用多因素，层次分析法，针对更看中疗效，不重视费用的患者，四种疗法从优到劣的顺序为：3，2，4，1；针对更看中花费的患者，四种疗法最后的从优到劣的顺序为：1，3，2，4。
数学建模山大推荐国家队试卷2006艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘 要本文所要讨论问题的关键在于对所提供的统计数据的分类处理。
根据对CD4和HIV 在不同病重程度的人体内浓度的变化规律，使用神经网络模型中的径向基函数网络方法分别进行曲线拟合并近似预测，确定了继续治疗的效果，并应用模糊综合评价方法对不同疗法进行了近似预测。
对问题1，根据CD4细胞和HIV 病毒的浓度把病人按造病情不同分成4类。
先对病情相似的病人在不同时间段内的统计数据进行平均化处理，把处理结果看作是此类病人体内浓度变化的一般规律，然后对处理结果利用神经网络模型中的径向基函数网络方法进行曲线拟合，得出细胞和病毒浓度的近似变化规律，并做出对继续治疗效果的预测：B 类与D 类的继续治疗效果很好，推荐继续治疗；A 类较好，但应提前终止治疗；C 类较差，应提前终止治疗。
对问题2 ,为判定疗法的优劣，按疗法不同，病人共分为四类1E , 2E , 3E , 4E ，分别对应第1，2，3，4种疗法。
我们先忽略病人的初始病情的不同，由主成分分析法确定了三个影响疗法优劣的指标：CD4的产生量，CD4速度减小的程度a ，CD4浓度在人体内的稳定程度S(因为我们总希望CD4浓度在人体内越稳定越好)。
最后我们使用模糊综合评价模型，采用模糊评价的方法得到模糊评价矩阵P1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12.017.031.040.053.026.015.006.044.030.016.010.0,并根据主成分分析法和艾滋病的治疗目的确定出三个指标的权系数向量 τ =(0.5 0.4 0.1）,从而最终确定第4种方法最优，但继续治疗效果并不很好，应提前终止治疗。
对问题3，我们利用第2问已得结果，考虑到价格因素对不同收入水平的病人选择治疗方案的影响，仍然利用模糊综合方法评价模型，计算出价格的归一化向量η=（0.46，0.16, 0.23，0.15）,得到疗效和价格的模糊评价矩阵P2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15.023.016.046.0444.0271.0171.0114.0 ,进一步设出根据收入水平不同分成的四组的疗效和价格的权系数向量，得最终结果：高收入人群和中高收入人群趋于选择疗效好的治疗方法，适于选择第四种疗法；低收入人群和中低收入人群趋于选择低价位疗法，适于选择第一种疗法，但由于继续治疗效果不佳，我们建议提前终止治疗。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测(讲课论文)
艾滋病疗法评价及疗效预测问题评析1 问题的背景艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺陷综合症”(以下简称AIDS)，是人体感染了人类免疫缺陷型病毒(以F简称HIV)引起的，当HIV感染者的免疫功能受到病毒的严重破坏时，感染者便发展为AIDS病人。
随着免疫力的降低，人体会越来越频繁和严重地感染上各种致病微生物，最终会因各种复合感染而死亡：。
AIDS已成为当前人类社会最严重的瘟疫之一。
联合国艾滋病规划署和世界卫生组织发表的《2005年度全球艾滋病疫情报告》显示，HIV感染者总人数已达4030万，自1981年以来的死亡总人数为2500万。
我国HIV感染者也已有100万人，专家预测，如不采取积极有效的措施，到2010年HIV感染者将超过l000万人。
AIDS的预防及治疗已经成为全社会共同的责任。
在HIV感染过程中，病毒以活动、静止两种状态存在于宿主细胞里。
含有静止期病毒的细胞一旦被激活，整合到宿主细胞中的病毒DNA开始转录为RNA，在病毒结构蛋白及各种粒酶作用下，经装配病毒RNA核心颗粒，从细胞膜上获得包膜，成为成熟的HIV 病毒。
成熟的HIV再感染新的细胞。
随着病毒的复制繁殖，在机体免疫系统起重要作用的CD4细胞数量呈进行性减少。
HIV感染后出现的动态进展过程包含着不同的发展阶段，如图1所示。
对于HIV感染的治疗，现在以针对HIV的高效抗逆转录病毒疗法为主。
病毒载量是评估治疗方案效果的最重要指标，目前认为治疗有效的标志是在开始治疗8周后，血浆病毒载量降低1个log(10倍)，4至6个月降到低于检测下限(<500拷贝／mE)。
治疗过程中何时需要改变治疗方案?由于目前抗逆转录酶病毒药物数量有限，改变方案意味着感染者将来选择范围缩小了，所以要非常慎重。
临床上需要改变治疗方案的原因有：最新临床试验结果提示，感染者正在使用的不是最佳治疗方案；感染者虽然采用高效的治疗方案，但CD4细胞数量继续下降；患者有临床进展表现或严重的毒副作用，使之难以坚持治疗。
对于艾滋病治疗方法的效果预测以及优劣评价-全国一等奖论文
对于艾滋病治疗方法的效果预测以及优劣评价作者：王剑青，宋栋鸣，张寅杰；摘要：分别建立了短期与中长期疗效预测的模型，对于用药有效的患者预测了继续治疗的效果，并且给所有患者提供了用药指导意见。
建立了药效评估模型，评估了各种疗法的优劣，并且给出了在考虑费用的情况下新的结果。
整个求解流程如下图所示：先对原始数据进行筛选，并依据病理学的数值特征将之划分成对应于三个感染时期的三类。
对于问题1和问题2中的预测同时从下面两个方向出发建立模型：一方面使用回归分析来实现短期的定量预测。
在问题1中，给出了预测各个感染时期第55周以内疗效的3个方程；在问题2中，给出了在不同疗法下预测各个感染时期第55周以内疗效的12个方程。
根据这些方程可以推算出CD4浓度峰值抵达的时间。
另一方面建立微分方程模型并对其进行数值模拟，描述了中长期疗效的走势，并且得出对于用药有效的个体而言，在CD4峰值抵达时间以后的2倍时间内CD4浓度基本处于平稳状态，其后会有较大幅度的衰减；而HIV的浓度的上升起始时间早于CD4浓度开始有明显回落的时间。
最后结合上述预测模型的结论给患者提出了一系列的用药指导意见。
在疗效评价方面，对于问题2通过引入治疗后CD4细胞浓度的人均改变量等七项指标，建立了简单评估模型Ⅰ，得出了各个感染时期的最优疗法；然后在考虑相对优势程度的基础上建立了改进后的评估模型Ⅱ，得出了新的结论。
一致的结论是疗法4的疗效较优，而疗法1的疗效较差。
在问题3中引入了费用因素，首先建立了一般化的0-1规划模型，然后在此模型的指导下，通过选择不同的性价比衡量指标建立了两个模型并得出了相应的结论。
结合全文分析，我们可以得出如下结论：本文可以从统计角度定量地对短期疗效进行预测，同时从发病机理出发半定量地对中长期疗效进行预测。
而通过引入多项评估指标，可以合理地对4种疗法进行评价。
如果可以采集到治疗时间跨度更大的样本数据和游离的HIV在人体内的自然分解速率等参数，则能够进一步完善预测模型及提高评估准确度。
2006数学建模论文
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文利用题目所提供的美国艾滋病医疗试验机构ACTG 公布的两组数据，基于合理的假设，对不合理数据进行适当的处理，对问题展开分析。
问题一：由于不同人的CD4初始含量(Q)不同，服用药物以后对药物的反应也会不同，根据该初始值，将数据划分为三组：Q<75;75<Q<150;Q>150，然后算出各组不同检测周对应的HIV平均值（大致呈先减后增趋势），与时间曲线拟合二次函数，得到各段HIV含量与时间的函数模型，根据每个函数的变化趋问题二：针对问题二中被随机分组的1300多名被调查者分别服用不同的药物组合的跟随检测数据，对给出的不合理数据进行处理，考虑不同疗法对不同年龄的艾滋病患者有不同的疗效，将年龄分为四组来找出不同年龄段的最佳治疗方问题三：根据问题提供的疗法及价格，求出不同年龄段对应疗法的费用，由于是针对不发达国家，综合时间长短及费用的高低，最终确定对应的最优治疗方案（见表9）。
在经济相对发达的地区或城市，大多患者会首要考虑药物疗效，关键词艾滋病、非线性曲线拟合、最优疗法、最佳治疗时间、总费用一、问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981 年发现以来的20 多年间，它已经吞噬了近3000 万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4 细胞在抵御HIV 的入侵中起着重要作用，当CD4 被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致AIDS 发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV 的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS 的疗法，目前的一些AIDS 疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】艾滋病疗法的评价及疗效的预测2
学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学年级： 2 0 0 5 级姓名：程为民学号： 222005*********艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文通过对大量艾滋病患者用药情况调查数据的分析处理，建立了数据的统计分析及推断模型，对不同数据按照实际情况进行合理分类。
根据建立的模型比较艾滋病各种不同疗法的优劣，并通过多项式拟合的方法做出药物治疗的拟合曲线以预测其治疗的最佳终止时间以及疗效。
最后综合病人自身经济条件，利用图像选择出一种疗效佳、成本又低的疗法，实际可行性很高！接着还对模型的稳定性、误差作了深入的分析，评价，并且做出细致的灵敏度分析，还有对模型优缺点的分析讨论也十分客观、实际，据此做出的改进使模型的预测、评价结果更准确，更科学！本文还适当利用图形进行比较，增强问题分析解说的力度和真实准确性！关键词多项式拟合统计分析分类处理一问题的提出当前人类社会最严重的瘟疫之一（艾滋病）。
全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（英文简称HIV）引起的。
破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
如何有效防治及治疗艾滋病已经成为社会关注的焦点。
首先让我们了解一下治疗机理：人类免疫系统的CD4细胞担任着“门卫”的工作。
在抵御HIV的入侵中有重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，CD4数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS 发作。
因此艾滋病的治疗方向：是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
人类很需要寻找一个疗效佳、成本低的AIDS疗法。
在寻找疗法的过程中，我们需要根据收集到的数据统计分析来预测继续治疗的效果及确定最佳治疗终止时间。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要：本文利用灰色预测模型预测了艾滋病继续治疗的效果，并确定了最佳治疗终止时间．对问题中的各种疗法，按年龄进行分类，对每一类人群评价了4种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，确定最佳治疗终止时间．最后考虑每一种疗法的费用，用层次分析法对各种疗法再一次进行评价，得到病人最满意的疗法．关键词:灰色预测模型 层次分析法 HIV 的浓度 CD4的值 残差检验1 问题重述（略）2 模型假设1）对于题中附件1里的数据我们假设如下：将其按测试的时间排序，其中在同一时间段测试结果数量少于30个的数据，我们忽略不计（例如，对于第六周测试时只有11个人，我们将把这十一个数据忽略）；2）假设题中附件2里同一时间里的数据过少时，我们在计算时也将这些数据忽略不计； 3）假设影响病人治疗的只有费用和疗效两个因素，不考虑其它因素；3 符号说明1、(0)X 为原始序列2、(1)X 为生成累加序列3、Φ为相对残差序列4、Φ为平均相对残差5、a 称为发展系数6、u 称为灰色作用量7、(1)ˆ(1)x k +为时间响应序列8、ˆα为待估参数向量 9、Δ(0)为绝对残差序列10、CD4（Date ）为测试CD4的时刻（周） 11、Log(CD4 count+1) 为测得的CD4浓度12、max λ为最大特征值13、CI 为检验判断矩阵一致性的指标 14、CR 为一致性比例 15、RI 为修正系数16、i A 和j A 为本层次的要素i A 和j A （i,j=1,2…,n ） 17、k C 为上一层次要素4 问题分析问题1是依据同时服用zidovudine ，lamivudine 和indinavir 这3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV 的浓度，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.我们运用灰色预测模型GM （1，1）模型来进行假设，需要对数据进行分析，通过灰色模型和相应的计算来预测未来时间里CD4和HIV 的浓度及相关数据.问题2是将1300多名病人分为4组，每组按4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试一次CD4的浓度.最后评价4种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.我们运用灰色预测模型，来预测4种疗法的治疗效果，即我们要通过数据找到规律，通过相应的计算（运用EXCEL 软件）来预测未来时间里4种疗法在不同年龄段CD4的浓度及相关数据，找到哪一种疗法疗效较好，与问题1的方法相同，运用灰色模型预测出继续治疗的效果.问题3中病人需要考虑4种疗法的费用，因个人经济状况的不同，这4种疗法费用的多少可能会影响到病人选择哪一种疗法，对于此问题，我们需要将这4种疗法预测的治疗效果和其所需费用综合考虑，运用层次分析法进行分析，决定采取何种疗法.5 模型的建立与求解1、 问题1：首先，我们通过对题中所给的附件1里的数据进行分类排序分析.对CD4和HIV 的数据按照时间（周）从小到大进行排序，生成有较强规律性的数据序列，对于每个时间点CD4的数据，我们分别求其平均值，并对于人数较多的时间对应的CD4的值，从中挑出来，作成图形图1（CD4浓度随时间的变化图形） 图2（HIV 浓度随时间的变化图形）ＣＤ４0501001502002500204060ＣＤ４ＨＩＶ01234560204060ＨＩＶ对于这两个图，我们取它们的异常值，即对于图1我们取其极大值，对于图2我们取极小值.首先，用GM （1，1）模型对检测CD4的极大值点进行建模预测，分别得到第3周，第9周，第23周，第39周的原始数据，其相应的(0)X和(1)X如下：表1K 1 2 3 4 CD4 （Date ）周 3 9 23 39 原始数据(0)X 39 23 39 累加后数据(1)X 3123547根据表1，可知(0)X={3，9，23，39}， 构造累加生成数列(1)(1)dX aX u dk+=={3，12，35，74}，构造数据矩阵B 和数据向量Y(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]12 -7.5000 111[(2)(3)] -23.5000 12-54.5000 11[(3)(4)]12x x x x B x x ⎛⎫-+ ⎪⎪⎡⎤ ⎪-+⎢⎥⎪==⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭(0)(0)(0)(2)]9(3)]2339(4)]x Y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 计算 由Matlab 计算得 1ˆ()T T a B B B Y u α-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦-0.60446.7361⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a=-0.6217 ;u=5.9478，然后计算得 u/a= -9.5670 将数据代入（2）式，得[](1)0.6044ˆ(1)311.145111.1451k xk e +=+-对于CD4的预测，我们代入数据分析：当 k=4时[](1)0.6217*4ˆ(41)39.56709.5670141.5228xe +=+-=(0)(1)ˆˆ(41)(41)77147.54747770.5474xx +=+-=-= 67.5228-39（39周的序号）= 28.5228即，从开始用药到第28.5228+40=68.5228周时停止用药最好. 另外取CD4的极小值点和CD4的稳定点，对它们分别进行类似于对CD4的极大值的处理方法，可以得到：CD4出现极小值点在测试用药的40周后的第23.850周及出现稳定点在在测试用药的40周后的第44.55周.接下来，用GM （1，1）模型对检测HIV 的极小值点进行建模预测，分别得到第3周，第9周，第25周，第40周的原始数据，其相应的(0)X 和(1)X 如下：表4K1 2 3 4 HIV （Date ）周 3 9 25 40 原始数据(0)X 3 9 25 40 累加后数据(1)X3123777根据上表4，按照GM(1,1) 求解过程得到a=-0.6044 ;u=6.7361，计算得 u/a= -11.1451 将数据代入，得[](1)0.6044ˆ(1)311.145111.1451k xk e +=+-对于HIV 的预测，我们代入数据分析：当 k=4时[](1)0.6044*4ˆ(41)311.145111.1451147.5474xe +=+-=(0)(1)ˆˆ(41)(41)77147.54747770.5474xx +=+-=-= 70.5474-40（40周的序号）=30.5474ˆα即，从开始用药到第30.5474+40=70.5474周时停止用药最好.取HIV 的极大值点和HIV 的稳定点，对它们进行类似于对HIV 的极小值的处理方法，可以得到：HIV 出现极大值点在测试用药的40周后的第23周及出现稳定点在测试用药的40周后的第20周.综合上面对问题一CD4和HIV 的预测，我们得出结论：在测试用药的40周后的大约第28周时停止用药. 2、 问题二：对于附录二的数据，我们先对其按疗法排序，再在每种疗法中按年龄排序，分别把各疗法的数据分成三个阶段：青年（15岁—30岁），中年（30岁—50岁），老年（50岁—70岁）；首先绘出青年（15岁—30岁）的各种疗法效果的曲线图；图3（疗法1中CD4的曲线图） 图4（疗法2中CD4的曲线图）cd4（疗法１）00.511.522.533.5010203040cd4（疗法１）cd4（疗法２）00.511.522.5301020304050cd4（疗法２）图5（疗法3中CD4的曲线图） 图6（疗法4中CD4的曲线图）cd4（疗法３）0.511.522.533.5401020304050cd4（疗法３）cd4（疗法４）0.511.522.533.5401020304050cd4（疗法４）对于15岁到30岁，我们可由图看出疗法效果由好到差排序为：4，3，2，1仿照上面相同的办法同样得到中年（30岁—50岁）各种疗法效果的曲线图，通过比较 这些曲线图，可以看出疗法效果由好到差排序为：4，3，2，1同样对于50岁到70岁，我们也可由图看出疗法效果由好到差排序为：4，3，2，1； 综上，我们评价如下，不论在任何年龄段，4种疗法总体疗效由好到差依次为：4，3，2，1，即第4种疗法最优．下面，我们确定其最佳治疗终止时间.对疗法4的数据不分年龄，按照时间进行排序，对各个时间点对应的CD4的数据求平均值，如果该时间点所对应的数据较多，把该时间点和所对应的CD4的值取出来得到下表及所对应的图形：表8（疗法4中Log(CD4 count+1)的均值） 时间 Log(CD4count+1) cd400.511.522.533.5401020304050cd40 2.835649 7 3.028823 8 3.248837 9 3.317596 15 3.301195 16 3.299549 17 3.360405 23 3.024497 24 3.064096 26 3.194985 30 3.176694 31 2.893515 32 3.0544 33 2.919191 34 2.783876 39 2.736491 402.957543用GM （1，1）模型对检测CD4的浓度进行建模预测，分别得到第9周，第17周，第24周，第32周的原始数据，其相应的(0)X和(1)X如下：表9K 1 2 3 4 CD4（Date ）周 9 17 24 32 原始数据X （0） 9 17 24 32 累加后数据X （1） 9265082根据上表9，可知(0)X={9，17，24，32}， 构造累加生成数列(1)X={9，26，50，82}，构造数据矩阵B2和数据向量Y2(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]12 -17.5000 112[(2)(3)]1 -38 12 -66 11[(3)(4)]12x x B x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪=-+=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎪-+ ⎪⎝⎭(0)(0)(0)(2)172(3)2432(4)x Y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 计算 ˆα 由Matlab 软件，计算得：maxλ=0.307911.8639-⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a=-0.3079 ;u=11.8639，计算得 u/a= -38.5317将数据代入（1）式，得[](1)0.3079*4ˆ(41)938.531738.5317124.3456xe +=+-= 通过分析，我们得出疗法4最优.对于CD4的预测，我们代入数据分析：当 k=4时 [](1)0.3079*4ˆ(41)938.531738.5317124.3456xe +=+-= (0)(1)ˆˆ(41)(41)77124.34568242.3456xx +=+-=-= 42.3456-32= 10.3456即，从开始用药到第10.3456+40=50.3456周时出现极大值点.用同样的方法，我们由本文的附录5和附录6得出极小值点和稳定点出现时的时间，预测在从用药开始的第39+12.6145周=51.6145周出现极小值点，预测在从用药开始的第40+11.5219周=51.5219周出现稳定点.综上可得，病人在第52周时停止用药最好 3、 问题三：对于该问题我们运用层次分析法，层次分析模型如图所示： 图15求本层要素相对于上一层要素的权重.方法是将本层的要素i A 和j A （i,j=1,…,n ）相对于上一层要素k C （k=1,…,m ）按重要程度进行两两比较，得判断矩阵()ij n n a ⨯.美国运筹学家Saaty 给出了要素两两比较时，确定ij a 值的9级标度，见文献[4]; （1）、对4种疗法相互做比较，将4种疗法相对费用因素（1C ）比较时，其ij a 值见表10：表101C疗法1 疗法2 疗法3 疗法4 疗法1 1 8 5 9 疗法2 1/8 1 1/4 2 疗法31/5415疗法4 1/9 1/2 1/5 1 合计 517/36027/2129/2017注意表中主对角线数字ii a =1，且有ji a =1/ ij a .求判断矩阵的特征向量1(,...,)T n w w ，该向量标志要素1A ，…, n A 相应于上层要素k c 的重要程度的排序.求特征向量可应用线性代数中的方法，但一般可应用近似算法进行.先对判断矩阵的每列求和得1nijj a=∑，令ij b =ij a /1nijj a=∑，并计算得到i w =1nijj b=∑/n ，其中各列数字和见表10最下面一行，ij b 和0.50140.08320.23520.1802⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭数字见表11.表11C1 疗法1 疗法2 疗法3 疗法4 wi 疗法1 360/517 8/(27/2) 5/(129/20) 9/17 0.6484 疗法2 1/8/(517/360) 1/(27/2) 1/4/(129/20) 2/17 0.0794 疗法3 1/5/(517/360) 4/(27/2) 20/129 5/17 0.2212 疗法41/9/(517/360)1/2/(27/2)1/5/(129/20)1/170.0510下面我们计算最大特征值max λ，对判断矩阵进行一致性检验.上述计算得到的i w 能否作为下层要素对上层某一要素排序的依据呢？需要检验判断矩阵中的ij a 值之间是否具有一致性，即∀i ,j=1, ,n,有ij a =i w /j w ，因而判断矩阵可写为111n ij n nn 1n n w /w w /w (a )w /w w /w A ⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 1122n n w w W A w n w nW w w A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这里n 为特征值.当判断矩阵完全一致时有max λ=n ，而当判断矩阵在一致性上存在误差时有max λ>n,误差越大，（max λ-n ）的值就越大.其中我们运用Matlab 软件中的函数eig(A)计算出max λ.层次分析法中用CI 作为检验判断矩阵一致性的指标，其中max n CI=n 1λ--因判断矩阵的阶数n 越大时，一致性越差，为消除阶数对一致性检验的影响，引进修正系数RI ，并最终用一致性比例CR 的值作为判断矩阵是否具有一致性的检验标准.其中 CI CR=RI，当计算得到CR 值小于0.1时，认为判断矩阵具有一致性. 代入数据1.0000 8.16622.9313 12.7137 0.1225 1.0000 0.3590 1.5569A 0.3411 2.7859 1.0000 4.3373 0.0787 0.6423 0.2306 1.0000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2.59360.3176AW10.88480.2040⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 0.64840.0794W10.22120.0510⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n=4 max λ=4.0003 CI=(4.0003-4)/(4-1)=0.0001 CR=CI RI =0.00010.89=0.0001.1236<0.1 所以判断矩阵通过一致性检验由该判断矩阵计算得到的权重向量W1可作为疗法1，2，3，4相对于费用因素的重要度比较.（2）、用相同的方法可列出4种疗法相对于另一个因素的判断矩阵如下：表122C疗法1 疗法2 疗法3 疗法4 疗法1 1 1/2 1/5 1/7 疗法2 2 1 1/4 1/6 疗法3 5 4 1 1/3 疗法4 7 6 3 1 合计1523/289/2023/14用Matlab 软件中的函数eig(A)计算出max λ.max λ=4=n;判断矩阵完全一致；（3）、计算得到相应的权重向量，连同对1C 的权重向量列于表13：表131C2C疗法1 0.0605 0.6484 疗法2 0.0945 0.0794 疗法3 0.2772 0.2212 疗法40.56780.0510以上判断矩阵均通过了一致性检验.最后列出1C ，2C 两个准则相对于目标的判断矩阵，并算出权重向量分为如下：1.0000 0.33333.0000 1.0000⎛⎫ ⎪⎝⎭W=0.25000.7500⎛⎫ ⎪⎝⎭接下来，综合计算结果并对方案排序优选；记s1,s2,s3,s4为4种疗法相对于用一种适合自己的疗法的总目标的得分s1s2s3s4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=0.0605 0.64840.0945 0.07940.2772 0.22120.5678 0.0510⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭*0.25000.7500⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.50140.08320.23520.1802⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭按排序结果，接受疗法1是病人最满意的疗法6 模型的检验1、 对问题一： 进行残差检验.首先，对CD4进行检验：① 对于CD4,根据预测公式,计算 , 得(1)ˆ{3,13.8339,34.0076,71.5729}X =② 累减生成(0)ˆX序列为 (0)ˆX={3,10.8339 ,20.1737, 37.5653}而原始序列为 (0)X={3,9,23,39}③ 计算绝对残差和相对残差序列： 绝对残差序列：Δ(0) ＝｛0,1.8339, 2.8263, 1.4347｝由Φ={i ϕ，i=1, 2, …, n} 其中由)()()0()0(i x i i ∆=ϕ 知相对残差序列：Φ=｛0,0.2038,0.1229,0.0368｝并计算平均相对残差∑==Φni i n 11ϕ平均相对残差Φ= 0.0909<0而φ6 = 0.0368 < 0.05 , 故可得出所建立的模型合格.(见附录4)用同样的方法对HIV 进行检验得到平均相对残差 Φ= 0.06355575 < 0.1, 而φ6 = 0.016715 < 0.05,我们可得此模型合格,接近优秀，模型精确度较高.（见附录4） 2、 对问题二：用和问题一同样的过程检验极大值点得到，平均相对残差 Φ= 0.0113 < 0.05, 模型合格，而φ6 =0.0086<0.01．模型精确度最高.同理，我们将此检验方法运用于极小值点，平均相对残差 Φ= 0.0252<0.05, 模型合(0)X格,而φ6=0.0035<0.01,模型精确度高. 运用于稳定值点时，模型也合格.3、对问题三：根据问题三模型的求解过程，我们已经检验过，判断矩阵通过一致性检验，在此不再祥述.7 模型的评价对于问题一，首先我们对从题中所给的大量数据利用Excel软件按照时间分别对CD4的浓度和HIV的值进行升序排列，然后忽略人群较少CD4的浓度和HIV，并且对相同时间点求均值. 我们会因此得到比较符合实际的一组时间与CD4的浓度的列表和时间与HIV值的列表，并得到相应的图形.然后利用灰色模型预测出很准确的结果.在对筛选过的数据进行处理的过程中，有很多数据的处理工作量很大，有进一步合理改进会大大提高效率.对于问题二，首先我们利用Excel软件按方案归类，在每个方案中对年龄按实际情况合理分为的三个年龄段，即青年，中年，老年.在每个年龄段中，按时间筛选出比较符合实际的一组CD4浓度的数据，并得到其与时间对应的图形，进行比较符合实际的分析，得到最优方案，并对四个方案进行由好到坏的排序.在此过程中也有很多数据的处理工作量很大，进一步合理改进会大大提高效率.对于问题三，我们首先考虑到费用和疗效两个因素对方案的影响，正确合理地选择了层次分析法.在运用此方法的过程中，应用Matlab软件，得到的数据比较准确，而且检验模型时效果趋近最优，从而得到病人比较满意的疗法.它的适用范围非常广泛，可应用到其他类似的问题中.参考文献[1]、灰色理论在干旱预测中的应用/luenwen/shuili/200504/11102.html,2006年9月16日[2]、吴红斌,灰色预测法 [PPT]/course/tjyc/multimedia/10.ppt ,2006年9月16日[3]、胡运权等编著运筹学基础及应用（第四版）高等教育出版社 2004年4月第4版第308页层次分析法[4]、姜启源等编著数学模型，高等教育出版社（第三版），2003。
全国数学建模竞赛获奖论文设计-艾滋病疗法地评价与衡量及疗效地预测(06年 全国一等奖)
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛(B题)艾滋病疗法的评价及疗效的预测江西财经大学建模参赛队队员: 余磊黄芳媛宋兴达指导老师: 江西财经大学数学建组2006年9月15~18日艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文是关于艾滋病治疗疗效的评价与疗效预测的问题，目的是通过对大量调查样本数据的分析与处理，找到某种治疗方案的效果以及给出最佳停止治疗时间。
我们主要通过病人体内HIV数量的变化和CD4数量的变化来判断某种治疗方案是否有效。
对于附件1中的样本数据，由于每一个病人的测试时间点不一致，由此给分析带来困难，我们首先应用Lagrange线性插值法来统一每一个病人的测试时间点，使每一个病人的测试时间点均为第0周、第4周、第8周、第24周和第40周。
然后计算出每一位病人的CD4浓度和HIV浓度在时间段[0，4]，[4，8]，[8，24]，[24，40]的变化量，再计算所有样本的平均变化量，依据这个变化量，可以判断某种方案的治疗效果。
因此，我们得到如下结论：结论1：一般而言，病人同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的爱滋病治疗方式在半年内有效。
治疗时间超过半年，病情出现反复，从而最佳治疗终止时间为第20周左右。
对于第二个问题，同时评价4种治疗方案的效果。
我们首先将附件2中的数据按4个方案进行分割，然后计算出每一种方案第一个8周、第二个8周、第三个8周、第四个8周、第五个8周所有病人CD4的平均变化量，以此来判断方案的优劣。
我们得到的结论是：结论2：若仅以CD4浓度为判断指标，则第四个方案的治疗效果为最佳。
通过建立第四个方案CD4变化量与时间因素的半对数回归方程，我们求出当CD4变化量为0，即治疗效果不明显或治疗效果消失时的时间。
结论3：对于最佳方案4，其最佳治疗终止时间为第8周左右。
当病人需要考虑四种疗法的费用时，我们求出每一种疗法的单位CD4绝对变化量的平均费用，从而以最小平均费用来判定最佳治疗方案。
19314-数学建模-B甲1907
3 模型假设
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
孙寒冰，蒋波，陆兵焱 指导教师：数模组
（海军航空工程学院，烟台，264001） 摘 要：艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内 HIV 的浓度，同时产生更多的 CD4， 至少要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。在问题一中，我们对同一 种疗法下的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血液里的浓度） 进行分析，预测出继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。在数据处理过程中， 我们对病人在不同时刻测试的人次数进行了统计，取出人次数较大的第 0，4，8，24， 40 时刻作为参照点，同时引入“时间点集合”的概念，把各参照点附近的几个时刻并入 各自的参照点中，以提高数据利用率。为保证数据分析的正确性，我们对 CD4、HIV 的 数据进行了“归一化处理”，消除其量纲使其具有可比性。建立线性最小二乘拟合模型、 灰色预测模型以及 logistic 模型并分别对其进行评价预测，我们得出以下结论：病人 应该在测试终止后继续服药。对于问题二，考虑到不同年龄段的患者可能对同一疗法的 反应差异较大，我们把患者分为年轻人（ age ≤ 30 ）；中年人（ 30 < age < 50 ）；老年人 （ age ≥ 50 ）三组。利用与问题一相同的方法对三组人的数据进行处理后，分别建立每 组人在四种不同疗法下 CD4 浓度变化的 logistic 回归方程，并作图进行分析。我们得 出以下结论：不论对哪种年龄段的患者，疗法 1 与疗法 2 是不可取的；对于年轻人和中 年人疗法 4 更优，应该继续服药，以期 CD4 浓度可以稳定在一个理想的水平上；对于 老年人，疗法 3 更优，长期服用可使 CD4 水平稳步提高。对于问题三，在考虑费用的 情况下，我们引进单位费用对 CD4 浓度变化的影响的“判别函数 D ”。通过对“判别函 数 D ”的分析我们可以得出结论：在考虑费用的情况下，对于年轻人及中年人来说，疗 法 3 要优于疗法 4；对于老年人来说，疗法 4 要优于疗法 3 。 关键字：时间点集合，二次拟合，灰色预测，logistic 模型
数学建模真题 艾滋病2
艾滋病疗法的评价及疗效的预测———全国大学生数学建模竞赛题目学生姓名：刘琰博（专升本051班）指导老师：张国志摘要：目前控制爱滋病的主要手段就是尽量减少爱滋病毒（HIV）在人体内的数量，所以本文根据美国爱滋病医疗机构所给的两组数据（附件1和附件2），运用Excel及Matlab软件对其进行处理，分别拟合出CD4和HIV的浓度随时间变化的函数关系式和问题中所给4种疗法中CD4的变化图象，然后利用Logistic模型，稳定性模型，最大曲边面积模型及层次分析法可分别得到同时服用3种药物的病人的最佳治疗终止时间是167.4117周；在4种疗法中疗法三对30岁以下的患者效果最好，疗法四对30岁以上的患者效果最好；考虑4种疗法的费用后，疗法一是最经济的．关键词：CD4细胞；HIV；最佳治疗时间；抑制率；相对增长率；对比图；预测目录1 问题的提出 (1)2 问题的解决 (2)2.1 问题的假设 (2)2.2 符号说明 (2)2.3 问题分析 (2)2.4 模型的建立与求解 (3)3 模型的评价与改进 (8)3.1 模型的评价 (8)3.2模型的改进 (9)参考文献 (10)The Evaluation of The Therapy of AIDS and Prediction of ItsCurative Effect——The topic of china undergraduate mathematics contest in modelingStudent：Liu Y an-bo (Class 051)Instructor：Zhang Guo-zhiAbstract：Currently，the main means which controls AIDS is to decreas as much as possible the amount of HIV in the human body．So the article is relate to two sets of data from the AIDS medical treatment organization of the United States (accessory 1 and accessory 2)，then using the Excel and Matlab software to deal with them，and respectively get the function which responses a change about the density of CD4 ad HIV going along with time，and the picture on a change about 4 kinds of therapies in the problem．Then make use of Logistic model，stability model，the biggest area model of covering with the curve，and the method of analysis in layers can get the best treatment＇s terminate time for the patient who take 3 kinds of medicine at the same time is 167.4116 weeks；Among the 4 kinds of therapies，the third one is the best one for the patient under the age of 30 and the forth one is the best one for the patient over the age of 30；when considering the expenses of the 4 kinds of therapies，the first one is the most profitable．Key words：CD4 cell；HIV；The best treatment time；Repress rate；Opposite growth rate；Contrast diagram；Estimate1 问题的提出艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，它的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的．这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命．人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作．艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力．迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高．许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法．现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据． ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）．193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）．4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）．请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）．（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间．（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元．如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变．2 问题的解决2.1 问题的假设1.在适合的条件下，HIV独立生存是以指数规律增长．2.在适合的条件下，CD4细胞独立生存是以二分裂的形式增长．3.CD4细胞均无记忆性．4.病人服用药物后直接作用于CD4细胞，增加CD4细胞的数量来抑制HIV．5.人群的年龄最大可以达到70岁．6.四个星期为一个月，一个月为30天． 2.2 符号说明x(t)：t 时刻HIV 的数量． y(t)：t 时刻CD4细胞的数量． a ：HIV 的相对增长率（为常量）． b ：CD4细胞的固有增长率（为常量）．h：病人服用问题（1）中所提到的药物进入人体后人体内CD4细胞数量的增长率．1σ：每周每个CD4细胞对HIV 的抑制数量与HIV 数量的比例系数,即抑制率（为常量）．2σ：每周每个单位的HIV 对CD4细胞的感染和裂解的数量与CD4细胞数量的比例系数（为常量）．i p ：第i （=i 1，2，3，4）种药物的费用． i Q ：第j （=j 1，2，3，4）种疗法的费用．2.3 问题分析问题（1）的分析：因为问题（1）是要预测继续治疗的效果，或者确定最佳的治疗终止时间．同时由已知条件中可知在人类免疫系统中CD4细胞在抵御HIV 的入侵中起着重要的作用，即是说CD4细胞对HIV 有着一定的抵制作用，在一定程度上可以控制HIV 的增长，而HIV 又会对CD4细胞感染裂解，根据这些关系列出模型，同时可以从数据中分析得到CD4细胞及HIV 与时间变化的关系，从而可确定出最佳治疗时间就是要确定什么时间的时候CD4细胞的数量和HIV 的数量保持平衡，即在此时CD4细胞不在减少且HIV 的数量不再增加．问题（2）的分析：在附件2中给出了年龄这个变量，以及CD4的log(cd4 count+1)的值，可以预测到结果当中应该是不同疗法的疗效与年龄这个变量有关．对于给出的大量数据，要求解出哪种疗法具有更好的疗效，我们可以通过对大量的数据进行整理，从而找出CD4与测量时间的对应关系，拟合出图象，对图象进行分析，预测在该年龄阶段哪种疗法更好，并预测该疗法继续治疗的效果．问题（3）的分析：可以认为问题（3）是对问题（2）的补充，需要进一步考虑费用问题，可以考虑引 用层次分析模型来解决该问题． 2.4 模型的建立和求解模型I因为CD4细胞与HIV 在病人体内的增加与减少都是相互制约的，所以该模型是一种相互作用的模型，它是对Logistic 规律的推广应用，从而对于HIV 规模()t x 的变化情况的方程就为)()()(1t y t x t ax dtdx σ-=，同时对CD4细胞数量()t y 就满足下面的方程)()()()(2t y t x t y h b dtdy σ-+=，这样便可以得到CD4细胞与HIV 相互作用的数学模型()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=,,21t y t x t y h b dtdy t y t x t ax dtdxσσ 这是一个非线形微分方程组,对此进行讨论:令()⎩⎨⎧=-+=-,0,021xy y h b xy ax σσ解得系统的两个平衡位置为O (0，0)，M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12,σσa h b ，作变换:-x =()2σh b x +-，1σay y -=,将坐标系平移，系统化为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+-=.,212121y x x a dt yd y x y h b dt x d σσσσσσ 在所作变换下，M 点变为O (0，0)，它是上式所对应线形系统的中心点．系统的解()t x x =，()t y y =都是周期解．尽管CD4细胞和HIV 的规模在周期时间内的平均值却分别保持常数，而且正好分别等于平衡位置M 处CD4细胞和HIV 的规模，即()21σhb dt t x TT+=⎰，()11σadt t y TT=⎰，其中T 为周期解()t x x =，()t y y =的周期，这里的周期T 即为所求．因为CD4细胞增长是属于两分裂的，所以它在单位时间内自身的固有增长率b ＝1． 根据附件1中所给的数据，剔除掉一些数量残缺的数据后对剩余数据中有规律的数 据通过Matlab 程序进行六维拟合得到CD4细胞数量及HIV 数量与时间的关系的图象及函数表达式如下：图2-1 CD4细胞数量与时间的关系()9631.623830.407480.76642.00290.00001.02345-+-+-=t t t t t t Y ，图2-2 HIV 的数量与时间的关系()7211.53441.12395.00181.00007.0234+-+-=t t t t t X ，然后将()t x ，()t y 的表达式带入到上面的非线形微分方程组的数学模型中取三组数：()0x =5.7211， ()=0y 2.9631； ()=4x 3.1792， ()=4y 127.168；()=8x 3.4017， ()=8y 134.9535；则可计算出各未知系数的值：h =0.7103，=a 0.0230，5404.00013.021==σσ，．代入由周期式1)(1σadt t y TT=⎰，得周期（即最佳终止用药时间）T=167.4116周． 模型II利用Excel 软件对附件2中的大量数据统计出每种疗法中患者的数量，这样就将全部患者按疗法分成四组，分别对每组数据按年龄进行排序，便于研究我们将年龄分成0－30，30－40岁，40－50岁，50－70岁四个阶段．然后按比例随机抽取不同年龄的患者，分析他们体内CD4细胞的数量，从而也就可以拟合出每个固定的测量时刻CD4细胞数量与年龄的变化曲线关系，也即分别作出在t=0，t=8，t=16，t=24，t=32，t=40（单位：周）时刻时的图形．图形如下：图2-1 图2-2图2-3 图2-4图2-5 图2-6对六个图形进行数据的分析，我们利用曲线的面积模型，各种疗法在以上六幅图中各个不同的年龄段曲线所覆盖的面积，所得的面积就是该年龄段所测量的时刻患者体内CD4细胞的总数量，然后得到每种疗法在我们所取的各个年龄段中，患者体内CD4细胞的总数量与时间的关系（见表2，其中每个表格第一行表示测量时刻，以下的数据表示所得的面积值）．表2-1 三十岁以下表2-2 三十岁-四十岁年龄段表2-3 四十岁-五十岁年龄段表2-4 五十岁-七十岁年龄段利用Matlab软件绘出图形，可以得出在四个不同的年龄段患者体内的CD4细胞与时间的关系，具体图形如下：图2-7 图2-8图2-9 图2-10通过对图2-7到图2-10的分析，年龄为三十是一个疗效的分界点.三十岁以下疗法三的效果最佳，三十岁以上疗法四的效果最佳．而对于疗法二而言，CD4的数量处于一个相对较低的状态，并且他的波动急剧．疗法二的疗效最差．同时分析以上的四幅图像，可以得出疗法与年龄的变化无关系．从整体来看疗法四的治疗效果相对稳定，疗法一与疗法三次之．本文对四种疗法评价的标准有两个：整体的CD4数量相对较高，它的波动相对较小，亦即方差较小．模型III由问题（2）中的条件可得各疗法的费用分别为：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯++=⨯+=⨯+=+=,2,2,2,3214213312211t p p p Q t p p Q t p p Q t p t p Q其中=1p 1.60，=2p 0.85，=3p 1.85，=4p 1.20（单位：美元），设t=30(单位：天)， 则=1Q 102.3，=2Q 207，=3Q 147，=4Q 219（单位：美元）．根据该条件，使用层次分析，设目标层为选择疗法，准则层为最经济，方案层为1Q ，2Q ，3Q ，4Q ，则可得成对比较阵（正互反阵）为=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12355.0133.0233.03152.05.02.01， 由归一法可得该模型的权向量矩阵w=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛491.0149.0288.0605.0，和它的最大特征根072.4=λ，从矩阵中可以看出疗法一所占的权重最大，所以疗法一是最经济的疗法．所以当病人考虑上四种疗法的费用后，对问题（2）中的评价和预测发生了变化，因为经济原因，患者可选择疗法一来治疗．3 模型的评价与改进3.1 模型的评价模型的优点：(1) 采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高．(2) 建立的数学模型都有相应的专用软件支持，算法简便，编程实现简单，推广容易．(3) 利用数学工具，通过Matlab,Excel的方法，严格地对模型求解，具有科学性．(4) 在曲线的拟合中采取多维拟合，从而使所得函数关系更接近于实际状况，使结果更准确．(5) 问题（2）中将年龄分段进行分析，更具推广意义．模型的缺点：(1) 在问题（1）的建模过程中，没有考虑到血液中主要有两类CD4细胞：幼稚细胞记忆细胞．HIV对它们的分解和感染的能力是不同的，但这两种细胞的比例关系是很难确定的，以及每个人免疫力是不同的，且对药物的吸收也是不同的，影响它们的因素太多，不容易确定其比例关系，所以只能将其影响降到最低．(2) 所给数据太多，只能对其中一部分进行分析，所以可能在数据的抽取时略掉一些重要的变化点．3.2 模型的改进问题（1）中模型应考虑到CD4细胞中幼稚细胞及记忆细胞的比例关系，因为HIV 感染以后首先出现幼稚细胞的减少，使用喊蛋白酶抑制剂的三联药物治疗后，CD4细胞数的反弹可以分成三个阶段：首先是CD4细胞在淋巴组织中的再分布；然后是CD4记忆细胞的大量流入，同时T细胞活性降低，对记忆抗原的反应增强；第三个阶段是HAART 治疗至少12周以后出现幼稚细胞的增加．所以如果能将他们具体对HIV的影响加入模型中，更能贴近实际；另外再加入对药物的吸收率，则问题更加完善，更具推广性．问题（2）中对待数据的处理上，很难做到对数据的全面处理．若能用数学软件对这些数据进行编程，所输出结果更加接近真实值．从而使数学模型更具有科学性，合理性．参考文献：[1] ［美］约翰 G.．，巴特利特，乔尔．爱滋病病毒感染的诊断与治疗［M］．北京：北京科学出版社，2002．[2] 吴建国．数学建模案例精编［M］．北京：中国水利水电出版社，2005．[3] 姜启源．数学建模［M］．北京：高等教育出版社，2003．[4] 马知恩．种群生态学的建模与研究［M］．合肥：安徽教育出版社，1996．。
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三 模型基本假设及说明
1.我们假设采集的数据科学合理，有代表性，不受地域等因素影响或者说这种影响 所造成的误差可以忽略不计！
2．数据处理时，排除掉了极个别的不完全数据，由于原始数据的随机性，因此并 不影响用于计算的数据的合理性。
3．在预测药物疗效的过程中，只以 CD4 或 HIV 的浓度为标准，而不考虑其它因 素的影响。
学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2 0 0 5 级 姓 名： 程 为 民 学 号： 222005070101092
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
摘 要 本文通过对大量艾滋病患者用药情况调查数据的分析处理，建立了数据的统
计分析及推断模型，对不同数据按照实际情况进行合理分类。根据建立的模型比较艾 滋病各种不同疗法的优劣，并通过多项式拟合的方法做出药物治疗的拟合曲线以预测 其治疗的最佳终止时间以及疗效。最后综合病人自身经济条件，利用图像选择出一种 疗效佳、成本又低的疗法，实际可行性很高！接着还对模型的稳定性、误差作了深入 的分析，评价，并且做出细致的灵敏度分析，还有对模型优缺点的分析讨论也十分客 观、实际，据此做出的改进使模型的预测、评价结果更准确，更科学！
记这组数据)。数据为：
时间（周） CD4 增量平均值 HIV 增量平均值
0
0
0
3
43.24528302
1.898
4
49.74672489
1.8343
1.929787234
7
64.98360656
1.984745763
8
68.61538462
2.114720812
9
76.37846154
本文还适当利用图形进行比较，增强问题分析解说的力度和真实准确性！
关键词 多项式拟合 统计分析 分类处理
一 问题的提出
当前人类社会最严重的瘟疫之一（艾滋病）。全名为“获得性免疫缺损综合症”， 英文简称 AIDS，它是由艾滋病毒（英文简称 HIV）引起的。破坏人的免疫系统，使人 体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。从 1981 年发现以来的 20 多年 间，它已经吞噬了近 3000 万人的生命。如何有效防治及治疗艾滋病已经成为社会关注 的焦点。
首先让我们了解一下治疗机理： 人类免疫系统的 CD4 细胞担任着“门卫”的工作。在抵御 HIV 的入侵中有重要作 用，当 CD4 被 HIV 感染而裂解时，CD4 数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致 AIDS 发作。 因此艾滋病的治疗方向：是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多 的 CD4，至少要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。 迄今还没有找到能根治 AIDS 的疗法，目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体有副作用， 而且成本也很高。人类很需要寻找一个疗效佳、成本低的 AIDS 疗法。在寻找疗法的 过程中，我们需要根据收集到的数据统计分析来预测继续治疗的效果及确定最佳治疗 终止时间。并对目前常用的几种疗法进行比较分析、评价优劣，并得出成本与疗效兼 优的疗法。
2.374698795
41
100.7941176
1.795454545
考虑到 CD4 增量平均值比相应的 HIV 增量大很多倍，作出图形后不便于观察两者
的关系，故做出如下处理：
将每个 CD4 增量平均值分别除以其增量平均值的最大值，记为 A，（用同样的方
法处理 HIV 增量平均值，记为 B），得到相应的表格：
时间（周）
四 模型的建立及求解
问题一：
将附表 1 中的不全数据去除，统计出在 0 周和 3 周都有数据的病人，用这些病人
在第 3 周的 CD4 的平均值减去在第 0 周的值，得出 CD4 平均增量 Z3，用其在第 0 周
的 HIV 平均值减去在第 3 周的平均值，得出 HIV 的平均减少量 J3。再统计出在第 0 周
二 问题分析
该问题是一个通过实验数据，预测 AIDS 疗法治疗效果和寻找最佳治疗终止时间 的问题。在对数据进行分析后，考虑到数据量大，我们决定采用平均值为基本数据进 行拟合。
对附件一的数据进行处理：去除其中的不完全数据，计算出在各周 CD4 和 HIV 浓 度的平均增量，从而得到两组数据，进而用 Matlab 软件进行多项式拟合处理，根据得 到的拟合曲线进行预测和分析，继而确定最佳治疗终止时间。
4．在比较四种疗法，评价优劣，对附件二进行数据处理时，将第 8n 周及其前后 相差一周左右所测得的数据统一看作是在第 8n 周测得的。（n=0、1、2、3、4）
5．附件二中，同一年龄段病人的身体素质视为在同一水平线。 6.考虑药品价格时，不考虑由于不同地区的运输而造成的价格差异和改变。
7.治疗过程中，不考虑病人因别的原因服用其它药物是否会影响测试结果。
对附件二的数据进行处理：有些病人的测量只有初始数据，因而看不出疗效，对于 这类数据我们予以排除，这样可以避免造成较大的误差。然后再对四种疗法分别按照 不同年龄段（30 岁以下，30—40，40 岁以上）进行分类统计处理，计算出各组病人在 各测试周体内 CD4 的平均增量，得到 12 组数据，对其按年龄段分为三组，运用 Matlab 软件进行多项式拟合处理，根据得到的拟合曲线比较各种疗法疗效的优劣，并 对较优的疗法预测继续治疗的效果，确定最佳治疗终止时间。
和第 4 周都有数据的病人，用这些病人在第 4 周的 CD4 的平均值减去其在第 0 周的平
均值，得出平均增量 Z4，用其在第 0 周 HIV 的平均值减去在第 4 周的平均值，得到
HIV 平均减少量 J4…这样重复下去,便得到两组数据:Z3，Z4，Z5…Z42 和
J3，J4，J5…J42.(若某组病人数量少于 10 人，则不
2.259615385
22
83
1.8
23
110.96875
2.249180328
24
96.38405797
2.26
25
84.59322034
2.483636364
26
56.53846154
1.385
38
82.6
2.064285714
39
130.3461538
2.225531915
40
113.6276596