离散时间系统状态方程的解

方程解：
x (k ) = G k x (0) + ∑ G k j1Hu ( j)
j= 0
k 1
(k = 1,2,3, L j = 1,2,3, L)
Gkx(0)－表示初始状态x(0)的组合，零输入响应 ∑ －表示输入作用u(j)的组合，输入作用响应 讨论：参照齐次解x(t)= Φ(t)x(0) x(k)=Gkx(0)， 状态转移阵 Φ（k)=Gk 且满足Φ(k+1)=GΦ(k) Φ(0)=I
例2.4已知离散时间系统的状态方程
x ( k + 1 ) = Gx ( k ) + Hu ( k ) 1 0 1 G = ; H = 1 0 . 16 1
1 试求当初始状态x(0) = 1
，控制作用为u(k)=1
1 1
k
时，此系统Φ(k)和x(k) 解：根据定义
φ ( k ) = G k = 00. 16
该式右边第二项
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5 4 k 1 k 1 ~ ~ 3 1 3 1[1] ∑ Φ( j )T Hu (k j 1) =∑ Φ( j ) 1 5 1 j =0 j =0 3 3
k 1
(0.2) j 0 3 k 1 3(0.2) j = ∑ = ∑ j j 0 (0.8) 2 j =0 2(0.8) j =0 3[1 + (0.2) + (0.2) 2 + L + (0.2) k 1 ] = 2 k 1 2[1 + (0.8) + (0.8) + L + (0.8) ] 5 1 17 k k 1 (0.2) k 0.4 [1 (0.2) ] 6 (0.2) + 2 ∴ ~ (k ) = x + = 22 k 3 4(0.8) 1 [1 (0.8) k ] (0.8) k 10 9 0.9 9
2.5 离散时间系统状态方程的解 离散系统
x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ), x(k ) k =0 = x(0) y (k ) = Cx(k ) + Du (k )
一、递推法（迭代法） 在方程中依次令k=0,1,2, …T=1秒
x(1) = Gx(0) + Hu(0) x(2) = Gx(1) + Hu(1) = G 2 x(0) + GHu(0) + Hu(1) x(3) = Gx(2) + Hu(2) = G3 x(0) + G 2 Hu(0) + GHu(1) + Hu(2) L
5 17 k 1 1 6 (0.2) + 2 ~ (k ) = ∴ x ( k ) = Tx 0.2 0.8 22 10 (0.8) k 9 9
22 25 17 k k 6 (0.2) + 9 (0.8) + 18 = 3.4 17.6 7 (0.2) k (0.8) k + 9 18 6
按上式直接计算Φ(k)有一定困难，为此，将原 状态方程变换成约旦标准型，即将G变换为对角 线型。
令 x(k ) = T~ (k ) ，代入原式得 x
~ (k + 1) = T 1GT~ (k ) + T 1 Hu (k ) x x
相应地有
1
k ~ 1 T GT = Λ; Φ( K ) = T GT = Λk k 1 ~ ~ ~ ~(k ) = Φ(k ) x (0) + Φ( j)T 1Hu(k j 1) x ∑ j =0
描述系统由t=0到t=kT状态的转移。
x ( k ) = φ ( k ) x ( 0 ) + ∑ φ ( k j 1) Hu ( j ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )
j=0
k 1
二 、z变换法 对x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) z变换：zx(z)-zx(0)=Gx(z)+Hu(z) (zI-G)x(z)=zx(0)+Hu(z) x(z)=[zI-G]-1zx(0)+ [zI-G]-1Hu(z) z反变换： [(zI[(zIx(k)=Z-1[(zI-G)-1z]x(0)+Z-1[(zI-G)-1Hu(z)]
从而容易求得
5 4 3 1 3 T = 1 5 3 3
5 4 1 (0.2) k 0 3 1 ~ 1 3 Φ (k )TΦ (k )T = k 1 5 ( 0.8) 0.2 0.8 = 0 3 3 5[(0.2) k (0.8) k ] 1 4(0.2) k (0.8) k = k k k k 3 0.8[(0.2) (0.8) ] (0.2) + 4(0.8) 4 5 1 1 (0.2)k (0.2)k 0 3 ~ ~ ~ 3 Φ(k)x (0) = Φ(k)T 1x(0) = 1 = k 5 1 3 4(0.8)k (0.8) 0 3 3
(
)
λI G =
λ
1
0.16 λ + 1
= (λ + 0.2)(λ + 0.8) = 0
λ1 = 0.2; λ = 0.8
0 ~ 0 (0.2)k 0 0.2 0.2 ∴Λ = ; Φ(k ) = 0 = k 0 0.8 0.8 0 (0.8)
k
又求得
1 1 T = 0.2 0.8