第四章 参数估计

第四章 参数估计
第二节 总体参数估计
抽样平均误差一般如下公式表示：

X

X
m i 1
i
X

2
m

X
m i 1
i


2
m
2 p P i i 1 m
p
p p
m i 1 i
2
m

m
m
是样本可能数目
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第二节 总体参数估计
2. 抽样平均误差的计算 （1）样本平均数的抽样平均误差 （即为样本均值的标准差） 1） 重复抽样

p

P(1 P) 0.80(1 0.80) 4.000 % n 100
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第二节 总体参数估计
②计算抽样极限误差
Z 1 1 645 .. 645 由 （ 1 ） 0.90 ，查正态概率表得 Z 1 1
k
k
i
fi
i
f
k
15030 150.3（克） 100
s2 Байду номын сангаас
2 x x fi i i 1
f
i 1

i
1
76.00 0.7677 100 1
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第二节 总体参数估计
②计算抽样平均误差：

x

2
n

s2 0.7677 0.08762 (克) n 100
②计算抽样平均误差
x

n

s 17.136 5.419 （克） n 10
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第二节 总体参数估计
③计算抽样极限误差
（ 1 ） 0.95 ，查t分布表得， 由
t n 1 t 0.025 (9)＝2.2622
2
x t x 2.2622 5.419 12.26 （克）
这三个要素之间的关系可表示如下：
P( X z X ) F（z） 1 P( p P z p) F（z） 1
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部分常用z值和相应概率值
z 0 0.5 1 1.645 1.96 2 2.58 3
F ( z)
P( z Z z )

总 体
随机样本

第四章 参数估计
第一节 抽样调查的意义
一、抽样调查的概念和特点 二、抽样调查的应用范围
第四章 参数估计
第一节 抽样调查的意义
一、抽样调查的概念和特点
(一)抽样调查的概念 抽样调查是一种科学的非全面调查。它是按照随机 原则从调查对象的总体中抽取部分单位进行调查，并根 据这部分单位的调查结果推断总体的数量特征。
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第二节 总体参数估计
【例 3】考察某些人的平均身高，随机抽取 1000人，测 是平均身高为 168cm ，标准差为 5.92cm ，要求误差不 得超过0.5cm，试确定估计的可靠程度。 解：①计算该调查的抽样平均误差

x

2
n

s2 n
5.922 cm 0.1872 1000
所以，该抽查结果的可靠程度为99.24%。
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第二节 总体参数估计
(二)小样本的总体均值估计
【例4】某商场从一批袋装食品中随机抽取 10袋，测得每 袋重量 ( 单位：克 ) 分别为 789 、 780 、 794 、 762 、 802 、 813、 770 、785、 810、 806，要求以95%的把握程度， 估计这批食品平均每袋重量的区间范围。
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第二节 总体参数估计
解：①计算样本指标
x
x
i 1
n
i
n
n

789 780 794 762 802 813 770 785 810 806 791.（克） 1 10
s
2 x x i i 1
n 1 2642 .9 10 1 17.136 （克）
第二节 总体参数估计
抽样极限误差通常需要以抽样平均误差为标准单位来加 以衡量，把抽样极限误差除以相应的抽样平均误差，得出数 值 z ，称为概率度，以表明抽样极限误差是抽样平均误差的 多少倍。 即：
z


x x
或z


p p
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第二节 总体参数估计
二、抽样估计的置信度
抽样估计时总体参数落在某个区间的概率保证程度称为抽 样估计的置信度。 抽样估计的置信度（confidence interval）和抽样极限误 差有着密切联系。当抽样极限误差范围增大时，抽样估计 的置信度也随之有规律地增大，抽样估计的精确程度则随 之有规律地降低，反之亦然。
抽样调查必须按照随机原则来抽取被调查单位。
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第一节 抽样调查的意义
(二)抽样调查的特点 1. 随机抽取样本单位 2. 推断总体数量特征 3. 抽样调查结果只有可控性误差
二、抽样调查的应用范围
1. 用于不可能进行全面调查的现象 2. 用于经济上不允许或精度上不必要进行全面调查的现象 3. 用于时效性要求较强的调查
2

x
Z
1

2

x
2 0.4269 0.8538 （件）
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第二节 总体参数估计
③确定置信区间 估计区间上限： X U 35 0.8538 35.85 （ 件） 估计区间下限： X L 35 0.8538 34.15（ 件） 故，可以95.45%的置信度断言，该日人均产量在 34.15～35.85件之间。
0.5000 0.6915 0.8413 0.9500 0.9750 0.9772 0.9950 0.9987
0.0000 0.3830 0.6827 0.9000 0.9500 0.9545 0.9900 0.9973
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第二节 总体参数估计
对单个总体的参数估计 单个总体参数估计
均值 均值 成数 成数 大样本 Z Z分布 分布
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第二节 总体参数估计
(三)抽样极限误差
在一次抽样中允许的最大误差范围称为抽样极限误差。 是变动的抽样指标与唯一确定的但又是未知的全及指标 之间离差的可能范围。 设 X 与 p 分别表示样本平均数与样本比率的抽样极 限误差，则有：

X X
p p P
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σ σ 22已知， 已知， Z Z分布 分布
方差 方差
大样本 大样本 Z分布
小样本 σ 未知， σ22 未知，
t 分布 t 分布
分布 分布
2 2
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第二节 总体参数估计
四、单个总体均值的估计
(一)大样本的总体均值估计
【例1】某企业生产A产品的工人有1000人，某日采用不重 复抽样从中随机抽取 100 人调查他们的当日产量，样本人 均产量为 35 件，产量的样本标准差为 4.5件。请以 95.45% 的置信度估计该日人均产量的置信区间。
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第二节 总体参数估计
【例2】某进口公司出口一种茗茶，为检查其每包规格的重 量，抽取样本100包，检查结果如下表所示。按规定这种茶 叶每包规格重量应不低于 150 克，试以 99.73% 的概率对这 批茶叶的平均重量做出估计。 100包茗茶重量调查表
每包重量 148---149 149---150 150---151 151---152 包数f 组中值 x 10 20 50 20 100 148.5 149.5 150.5 151.5 … xf 1486 2990 7525 3030 15030
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第二节 总体参数估计
解：①计算抽样平均误差

x

2 N n
s2 n 4.52 100 件 1 1 0.4269 n N 1 n N 100 1000
②计算抽样极限误差 由 （ 1 ） 0.9545 ，查正态概率表得 Z1 2


x
x


n
N n n 1 N 1 N n
2） 不重复抽样


n
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第二节 总体参数估计
(2) 样本比率的抽样平均误差 (即为样本成数的标准差 ) 1） 重复抽样

p


n

P(1 P) n
2） 不重复抽样

p


n
N n N 1
P(1 P) n 1 n N
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第二节 总体参数估计
一、抽样误差 二、抽样估计的置信度 三、区间估计 四、单个总体均值估计
五、单个总体成数估计
﹡六、单个总体方差估计
第四章 参数估计
第二节 总体参数估计
一、抽样误差
(一)抽样误差的意义
1. 抽样误差的概念
抽样调查过程中的误差根据其来源大体上可以归纳 为两类：一类是登记性误差，另一类是代表性误差。 登记性误差是指在调查时对样本各单位观察、测量、 登记过程中出现的差错 (含被调查者提供虚假资料而造 成的误差 ) 及汇总样本、计算样本指标等工作产生的误 差。
五、单个总体成数的估计
总体比率P是总体是非标志的的平均数，前面讲的平 均数估计理论都适用于总体比率P的估计，只是估计量的 形式略有不同。 【例 5】 某厂对一批产品的质量进行抽样检验，随机抽取 样品 100只，调查得样本优质品率为80%，试计算当把握 程度为90%时该批产品优质品率的区间范围。 解：①计算抽样平均误差
第四章 参数估计
第二节 总体参数估计
代表性误差是指用样本指标推断相应的总体指标时， 因样本结构与总体结构不同，致使样本不能完全代表总体 而产生的误差。
代表性误差包括系统误差和随机误差：
系统误差是指由于非随机因素引起的样本代表性不足 而产生的误差，表现为样本估计值系统性偏高或偏低，故 也称偏差。 随机误差是指由于随机抽样引起的样本结构不同于总 体而产生的样本估计值与总体参数真值之间的离差。通常 所说的抽样误差（sampling error）就是这一随机误差。
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第二节 总体参数估计
误差来源
登记性误差
代表性误差
系统误差
随机误差
第四章 参数估计
第二节 总体参数估计
2. 影响抽样误差的因素 1) 总体变异度 2) 样本容量 3) 抽样方法 4) 抽样组织方式 (二)抽样平均误差 1. 抽样平均误差的概念 抽样平均误差是指所有可能样本的估计值与所要估计 参数离差的平均数。
③计算抽样极限误差
由（ 1 ） 0.9973 ，查正态概率表得 Z1 3
x Z
1
（件） x 3 0.08762 0.2629
2
2
④确定置信区间 估计区间上限： X U 150.3 0.2629 150.6（克）
估计区间下限： X L 150.3 0.2629 150.0 （克） 所以，该批茶叶的平均重量在150.0－150.6克之 间，可靠保证程度为99.73%。
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第二节 总体参数估计
三、区间估计
区间估计就是根据样本估计量以一定可靠程度推断总体 参数所在的区间范围。 区间估计有三项基本要素：①估计值，主要是样本的平均 数、比率和方差；②估计值的可能误差范围（或说允许误 差范围），即抽样极限误差 p 和 x ；③与误差范围相对 应的概率保证程度——参数估计的置信度。
④确定置信区间 估计区间上限：X U 791.1 12.26 803.36 （克） 估计区间下限：X L 791.1 12.26 778.84 （克） 故，在95%的置信度下,这批食品平均每袋重量的置信 区间是778.8～803.4克。
（9） 2
第四章 参数估计
第二节 总体参数估计
②计算该抽样估计的概率度
z


x x
0.5 2.67 ，即 0.1872
Z
1

2
2.67
第四章 参数估计
第二节 总体参数估计
③确定估计结果的置信度 查正态概率表得 F（ 2.67 ） 0.9962 即
1

2
0.9962
由此可算得
1 1 2 （ 1 0.9962） 0.9924
2 2 x x (x x) (x x) f
备注 70包 大于 150 克/包
－1.8 －0.8 0.2 1.2 …
3.24 0.64 0.04 1.44 …
32.40 12.80 2.00 28.80 76.00
合计
第四章 参数估计
第二节 总体参数估计
解：①计算样本指标
x
x
i 1 k i 1
第四章 参数估计
第四章 参数估计
【学习目标】通过对本章的学习，掌握参数估计的方法； 掌握抽样调查的基本概念；了解抽样调查的意义和抽样组织设 计的应用。重点：抽样平均误差的计算与控制；单个总体均值、 成数的区间估计；必要样本单位数的确定。 第一节 抽样调查的意义 第二节△总体参数估计 第三节△抽样设计