多元函数积分学及其应用共35页
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多元函数微积分(课件)
3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
第七章 多元函数积分学及其应用
1
1
dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y2 )
∫∫ ∫∫ ∫∫ 【例】（05）设 I1 = cos x2 + y2 dσ , I2 = cos(x2 + y2 )dσ ，I3 = cos(x2 + y2 )2 dσ ，
D
D
D
{ } 其中 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 1 ，则
(A) I 3 > I 2 > I1 . （B） I1 > I 2 > I 3 .(C) I 2 > I1 > I 3 .
【例】（00）
f
(x,
y)
=
⎧x2 ⎨
y
⎩0
若 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x ， 其它
{ } ∫∫ 求 f (x, y)dxdy, D：(x, y) x2 + y 2 ≥ 2x 。 D
【例】求 I = ∫∫ xe− y2 dσ ，其中D是由曲线y = 4x2，y = 9x2在第一象限围成的区域．
D
D
∑ ∑ n
【例】（10）lim x→∞ i=1
n
n
j=1 (n + i)(n2 +
= j2)
（）
∫ ∫ (A)
1
x
dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y2 )
∫ ∫ 1
x
(B) dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y)
∫ ∫ 1
1
(C) dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y)
多元函数积分学及其应用共37页文档
多元函数积分学及其应用
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，Байду номын сангаас将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，Байду номын сангаас将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
第5章 多元函数积分学的应用
1 A
xd，
D
y
1 A
D
yd
其中 A d
D
(2)立体 ： 质量体密度 (x, y, z)
x
1 M
xdv，y
1 M
ydv，
z
1 M
zdv
其中 M dv
思考问题 曲线和曲面型物体的重心坐标？
第5章 多元函数积分学应用
例3. 求r=2sin和r=4sin 所围均匀薄片 D 的形心.
例4. 在底圆半径为 R , 高为 H 的圆柱体上拼加一
第5章 多元函数积分学应用
例2. 求球面x2+y2+z2=a2 含在圆柱面x2+y2=ax (a>0) 内部的那部分面积.
z
z
y
y
x
Dxy
x
第5章 多元函数积分学应用
4. 柱面面积
以 xOy 平面上曲线 L为准线，母线平行于 z 轴的
柱面被曲面 ：z=z(x, y)所截，位于 与 xOy 坐标
第5章 多元函数积分学应用
(3) 曲线型物体 L( ) ：质量线密度 (x, y) ( (x, y, z))
M L (x, y)ds (M (x, y, z)ds)
(4) 曲面型物体 ：质量面密度 (x, y, z)
M (x, y, z)dS
z
例1. 设球面 x2+y2+z2=2 及锥面
与负通量的代数和.
考虑封闭曲面，则 Φ F dS 表示从内向外穿
过 的总通量.
于是，当 >0时，表示 的内部有“源”，当 <0
时，表示 的内部有“汇”，当 =0时， 的内部可
能无 “源”无 “汇”，或者 “源”“汇”平衡.
多元函数积分学及其应用
d＝D的面积
D
➢性质4（比较性）
如果在G上f P h P ,则有
G f P dg G h P dg
特别地，由于 f (P) f (P) f (P)，
故有 G f P dg G f P dg
定积分
b
a
f
xdx
b
a
h
x dx
二重积分： f ( x, y)d h( x, y)d
G f P dg G h P dg
b
a [
f
(x)
g( x)]dx
b
a
f
x dx
b
a
g
x dx
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y)d
D
D
D
➢性质2（区域可加性）
若G分为两部分G G1 G2,G1 G2 ,
则 G f P dg G1 f P dg G2 h P dg
称为对弧长的曲线积分
n
f f( x,Py)ddsg G L
lim 0 i1
f (i ,i )si
n
L(或f( x)称, y为, z积)d分s路径l，imd0si称1为f弧(长i ,元i素,. i )si
（5）当G为空间有限曲面片（常记为∑）时，
f (P) f ( x, y, z)，( x, y, z) ，
薄板的质量
m lim 0 i1
f (Mi ) i
均可由相同形式的和式极限来确定.
一般地，设有一质量非均匀分布在某一
几何形体G上的物体 (G可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),
其质量可以按照以上四个步骤来计算：
【分割】 把G任意划分为n个子域
D
➢性质4（比较性）
如果在G上f P h P ,则有
G f P dg G h P dg
特别地，由于 f (P) f (P) f (P)，
故有 G f P dg G f P dg
定积分
b
a
f
xdx
b
a
h
x dx
二重积分： f ( x, y)d h( x, y)d
G f P dg G h P dg
b
a [
f
(x)
g( x)]dx
b
a
f
x dx
b
a
g
x dx
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y)d
D
D
D
➢性质2（区域可加性）
若G分为两部分G G1 G2,G1 G2 ,
则 G f P dg G1 f P dg G2 h P dg
称为对弧长的曲线积分
n
f f( x,Py)ddsg G L
lim 0 i1
f (i ,i )si
n
L(或f( x)称, y为, z积)d分s路径l，imd0si称1为f弧(长i ,元i素,. i )si
（5）当G为空间有限曲面片（常记为∑）时，
f (P) f ( x, y, z)，( x, y, z) ，
薄板的质量
m lim 0 i1
f (Mi ) i
均可由相同形式的和式极限来确定.
一般地，设有一质量非均匀分布在某一
几何形体G上的物体 (G可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),
其质量可以按照以上四个步骤来计算：
【分割】 把G任意划分为n个子域
多元函数微分法及其应用21164
3.介值定理
对任意
Q D,
小结
一、多元函数的概念
Rn
二元函数图形一般为空间曲面.
二、多元函数极限的概念
lim f (P)=A （注意趋近方式的任意性）
P P0
三、多元函数连续的概念
lim f (P)
P P0
f (P0 )
一切多元初等函数在定义区域内连续.
有界闭区域上连续函数的性质（三个）
(
x0
,
y0
)
U( P0 , δ ) ( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 δ (圆邻域)
在空间中, (球邻域)
U( P0 , ) ( x, y, z ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 δ
x y2 的连续域.
解 只须求出该初等函数的定义区域.
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x y2
y o 2 2x
有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似 的如下性质:
定理：若 f (P) 在有界闭域 D上连续, 则
1.有界性定理
2.最值定理
f (P) 在D上可取得最大值M及最小值m ;
定义了线性运算和距离的集合 R2称为二维空间. 推广： n 元有序数组 的全体称为n维空间,记作 Rn , 即
Rn R R R
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的一个点,
称为该点的第k个
坐标 .
2. 邻域
U( x0, ) x x x0
在平面上,
x0
x
P0
例如，在平面上
多元函数的积分及应用.
=10 5 (1 e25 ) 314159
第二节 多元函数的积分及应用
案例3 [平均利润]
设某公司销售两类商品，销售第一类商品 x 个单位和第二类商品 y 个单位的利润(单位:元)按下式确定:
P(x, y) (x 200 )2 ( y 100 )2 5000
e
试求该城市的总人口数 R。
第二节 多元函数的积分及应用
解
先确定常数 a ，c。
由 r 0, 105 ；r 1, 105 。可得到 a 1, c 10 5 。
e
因此，该城市人口密度函数为
(x, y) 105 e(x2y2)
因该城市是半径为r 5 km的圆形区域，即
n
如果当 0 时，和式 f (i ,i ) i 的极限存在，则称函数 f (x, y) 在D上 i 1
是可积的，并称此极限为函数 f (x, y) 在区域D上的二重积分，记作
f x, yd
D
n
即
f
x,
yd
=
lim
0
i 1
(i ,i ) i
。
D
第二节 多元函数的积分及应用
性质5
1d = d =
D
D
若在区域 D 上有 f (x, y) g(x, y) ，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
第二节 多元函数的积分及应用
三、案例
案例1 [薄片的质量]
设以原点为圆心，半径为a的平面薄圆板的密度函数为 (x, y) x2 y2 ，求
薄片的质量。
解 该薄片在 xOy 面上的区域 D 在极坐标系下可表示为
D
:
0 0
《多元函数积分学》课件
物理应用
重积分在物理中有广泛的应用，如计 算物体的质量、质心、转动惯量等物 理量，还可以用来解决流体动力学、 弹性力学等领域的问题。
数值分析应用
重积分在数值分析中有重要的应用， 如数值积分、数值微分等计算方法的 实现都需要用到重积分的知识。
04 曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
总结词
理解曲线积分的定义和计算方法，掌握其在几何和物理问题中的应用。
总结词
掌握多元函数的可积性和积分的基本性 质是理解多元函数积分学的重要环节。
VS
详细描述
可积性的判定条件和积分的基本性质（如 线性性质、可加性、不等式性质等）是多 元函数积分学中的核心知识点，对于理解 和应用积分具有重要意义。
多元函数积分的计算方法
总结词
掌握多元函数积分的计算方法是学习多元函数积分学的关键。
《多元函数积分学》ppt课件
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的基本概念 • 重积分 • 曲线积分与曲面积分 • 多元函数积分学的应用
01 多元函数积分学概述
多元函数积分学的定义
定义
多元函数积分学是研究多元函数 的积分、微分和微积分基本定理 的一门学科。
多元函数
一个数学函数，其中自变量不止 一个，即函数的输入和输出都是 向量或更高维度的几何对象。
计算多维工程结构的热传导和流 体流动
在工程中，很多问题需要考虑多维工程结构的热传导和 流体流动，如热力管道、流体机械等。多元函数积分学 可以用来计算这些结构的热传导和流体流动。
THANKS 感谢观看
积分
对一个函数在某个区域上的所有 点的值进行加权求和，权值由该 点的坐标决定。
多元函数积分学的重要性
解决实际问题