11-3 格林公式及其应用
11-3 格林公式及其应用
P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
Q Q L P d x Q d y D ( x x )d xd y
0
返回
【说明】根据定理2 , 若在某区域内
P Q , 则 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
D 是 X-型域且 Y-型域
------格林公式
返回
一、格林公式
D D
单连通区域
复 连通区域
返回
定理1 设有界闭区域 D 由分段光滑曲线L围 成 ，
P ( x , y )、 ( x , y ) 在D上 具有连续的偏导数 Q Q P ) dxdy Pdx Qdy ( 则 L x y D 其中 L的方向指D的 边界线 的正向
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式简单应用 三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 四、小结
返回
一、格林公式
回顾： 一元微积分学中最基本的公式—牛顿、莱布 尼兹公式：
b a
F ( x )dx F ( b) F ( a )
D L
返回
问题：能否推广到二重积分？
( ? )dxdy ( ? )dx
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
u ( x, y)
( x, y) ( x0 , y0 ) x
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
y y0
格林公式及其应用
§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
11.3格林公式
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 du Pdx Qdy
u(x, y) xy2dx
1 x2 y2 2
C ( y)
又
所以
u(x, y)
则 1 x2 y2 C 2
例6.
验证
x
dy x2
y y
d
2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
o (1,0) ( x,0) x
arctan x
注意! 2
y
例５-６求二元函数u(x,y)使du=P (x,y) dx+Q (x,y) dy
称为二元函数的全微分求积. 简单情况时可按下列方法求解
所以
全微分方程
1.定义: 若存在 u(x, y) 使, du P (x, y)dx Q(x, y)dy 则称 P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ①
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
2xy dx x2 dy L
0dx dy
0
D
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
格林公式及其应用
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关
例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15
11-(3)格林公式及其应用(重新学习)
区域 ) 高等数学A(下）
34 - 2
2020年1月20日
一、 格林公式 2、边界曲线的正向
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,
区域D总在他的左边.
高等数学A(下）
34 - 3
2020年1月20日
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
例4. 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中 L 为 L
由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y
P Q ，
Q ( x2 y4 ) 2x
y x
D1
y
L
l D1
or
x
高等数学A(下）
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
r2
d
2π
34 - 15
2020年1月20日
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
C
B
Q(x, y) x2 y2
D
则Q 2 x, P x
x
y
O
Ax
( x3 xy)dx ( x2 y2 )dy L
(2x x)dxdy
格林公式及其应用
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用格林公式是矢量分析中的重要定理之一，它描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
格林公式广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域，下面将对格林公式进行详细讨论及应用。
格林公式可以用数学的方式描述为：对于一个可微的矢量场F，它的散度为div(F)，则该矢量场F通过一个闭合曲面S的流量为∬F⋅ds，该闭合曲面S所围成的体积为∭div(F)dV，格林公式表达了这两者之间的关系，即：∬F⋅ds = ∭div(F)dV其中，∬表示曲面积分，∭表示体积积分，F⋅ds表示矢量场F与ds 的内积，div(F)表示矢量场F的散度。
1.流体力学中的应用格林公式在流体力学中有着广泛的应用。
例如，可以通过格林公式计算流体在一个闭合曲面上的流量，这对于流体的体积流量和质量流量的计算有重要意义。
另外，格林公式还可以用来推导流体的连续性方程和Navier-Stokes方程等重要方程。
2.电磁学中的应用格林公式在电磁学中也有着重要的应用。
例如，可以利用格林公式计算电磁场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算电场和磁场的电荷和磁荷的分布有着重要意义。
此外，通过格林公式还可以推导出麦克斯韦方程组中的一些重要方程，如高斯定律、安培环路定理等。
3.热力学中的应用格林公式在热力学中也有着重要的应用。
例如，可以通过格林公式计算热场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算热量的传递和热功的计算有着重要意义。
此外，格林公式还可用于推导出热传导方程等重要方程。
除了上述应用之外，格林公式还广泛应用于流场分析、电磁场分析、电力系统分析等领域。
在实际应用中，可以利用格林公式对复杂的问题进行推导和计算，从而得到更加精确的结果。
总结起来，格林公式是矢量分析中的重要定理之一，描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
它在流体力学、电磁学、热力学等领域都有重要的应用。
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
格林公式及其应用
格林公式及其应用格林公式是微积分中的一个重要工具，用于计算其中一区域内的面积和体积。
它是由德国数学家格林（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出的，被广泛应用于物理、工程、经济等领域的计算中。
格林公式的一般形式如下：$$\oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D ( \frac{{\partialQ}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} ) dA $$其中，$C$表示封闭曲线，$D$表示被封闭曲线围成的区域，$P$和$Q$是$D$内的函数，$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}$表示$P$对$y$求偏导数，$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$表示$Q$对$x$求偏导数，$dA$表示面积元素。
格林公式的应用有以下几个方面：1.计算曲线积分：格林公式将曲线积分转化为了面积积分，使得计算曲线积分更加简便。
通过计算封闭曲线上其中一函数和微分形式 $Pdx + Qdy$ 的积分，可以得到围成该区域的面积。
2.计算平面区域的面积：通过格林公式可以计算出封闭曲线围成的平面区域的面积。
将面积元素 $dA$ 替换为 $1$，$Pdx + Qdy$ 替换为$dx$，然后对曲线积分进行计算，即可得到该区域的面积。
3.计算体积：对于封闭曲线$C$，通过格林公式可以计算出围成该曲线的曲面的面积。
再通过计算该曲面旁切平面上函数的面积积分，就可以得到该曲面的体积。
4.计算电场：格林公式在物理学中应用广泛，特别是在电场计算中。
当电场满足一些条件时，可以通过格林公式计算出电场的其中一参数。
例如，在静电学中，可以通过格林公式计算电场的电势差，从而得到电场的分布。
5.计算流体的流量：格林公式在流体力学中也有重要应用。
通过格林公式，可以计算流体从一个闭合曲面流出的流量，从而得到流体的流速和流量。
高等数学课件--D11_3格林公式
2012-10-12
同济版高等数学课件
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
C ( x x, y )
则
dy 1 y
2
O (1,0)
x y
( x,0 )
x
π 2
arctan
2012-10-12
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
例7. 设质点在力场 由 A( 0, ) 移动到
2 π
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
y
k
L
A L
O
解: W F d s
L
r
( y dx x d y) 2
Q x P y
L
Dn
k 1 n
Dk
d xd y
O
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
2012-10-12
同济版高等数学课件
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
Pd x Qd y
L2
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pd x Qd y 0 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 .
B (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 L Pd x Qd y Pd x Qd y Pd x Qd y AB 与路径无关, 只与起止点有关. A
D11_3格林公式
第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件格林公式及其应用第十一章*三、全微分方程L D区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,),(y x P ),(y x Q ∫∫∫+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d ( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,∫∫∫+=∂∂∂∂LDyxyQ x P y x QP d d d d 或一、 格林公式证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D )()(:21ϕϕ⎩⎨⎧≤≤≤≤d y c y x y D )()(:21ψψ则y x x Q D d d ∫∫∂∂∫=dcy y y Q d )),((2ψ∫∂∂)()(21d y y xx Q ψψ∫=CBE y y x Q d ),(∫−CAE y y x Q d ),(∫=CBEy y x Q d ),(∫+EACyy x Q d ),(∫−dcyy y Q d )),((1ψ∫=dcy d O d c y xECBA b a D即y x xQD d d ∫∫∂∂∫=L y y x Q d ),(同理可证y x yP D d d ∫∫∂∂−∫=L xy x P d ),(①②①、②两式相加得:()∫∫∫+=∂∂−∂∂LD y Q x P y x y Px Q d d d dL2) 若D 不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1D nD 2D ()∑∫∫=∂∂−∂∂=n k D y x yPx Q k1d d ()y x yPx Q Dd d ∂∂−∂∂∫∫∑∫=∂+=nk D kyQ x P 1d d ∫+=LyQ x P d d 为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示k k D D ∂证毕yxO推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积∫−=Lxy y x A d d 21格林公式∫∫∫+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d 例如, 椭圆π)20(sin cos :≤≤⎩⎨⎧==θθθb y a x L 所围面积∫−=L xy y x A d d 21∫+=π2022d )sin cos (21θθθab ab ab π=例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明d d 22=+∫y x x y x L证: 令,,22x Q y x P ==则yPx Q ∂∂−∂∂利用格林公式 , 得y x x y x Ld d 22∫+022=−=x x ∫∫=Dy x d d 00=例2. 计算,d d e2∫∫−Dyy x 其中D 是以 O (0,0) , A (1,1) ,B (0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令, 则2e,0yx Q P −===∂∂−∂∂yP x Q 利用格林公式 , 有∫∫−D yy x d d e2∫∂−=Dyy x d e 2y x OAyd e2∫−=yy yd e102∫−=)e 1(211−−=2e y−xy =yx)1,1(A )1,0(B D O例3. 计算,d d 22∫+−L y x xy y x 其中L 为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解: 令,022时则当≠+y x 22222)(y x xy x Q +−=∂∂设 L 所围区域为D ,,)0,0(时当D ∉由格林公式知0d d 22=+−∫L y x xy y x ,22yx yP +−=22y x x Q +=y P ∂∂=y xLOθθθd sin cos π2022222∫+=rr r π2=,)0,0(时当D ∈在D 内作圆周,:222r y x l =+取逆时针方向,1D , 对区域1D 应用格∫+−L y x xy y x 22d d ∫+−−l y x x y y x 22d d ∫−+−=l L yx xy y x ∪22d d 0d d 01==∫∫y x D ∫∫+−=+−∴l L y x x y y x y x x y y x 2222d d d d L 1D l记 L 和 l ¯ 所围的区域为林公式 , 得yxO二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2. 设D 是单连通域 ,),(),,(y x Q y x P 在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0d d ∫=+L y Q x P (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分(3)y Q x P d d +),(y x u yQ x P y x u d d ),(d +=(4) 在 D 内每一点都有.xQ y P ∂∂=∂∂∫+L y Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L ,有.0d d ∫=+L y Q x P (2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分∫+L y Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关.说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设21,L L ∫∫+−+21d d d d L L y Q x P y Q x P ∫+=1d d Ly Q x P ∫−++2d d L yQ x P ∫−+=21d d L L y Q x P ∪0=2L ∫+=2d d L yQ x P ∫+∴1d d L y Q x P 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))∫+=B A y Q x P d d ∫+AB y Q x P d d AB 1L(2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分(3)y Q x P d d +),(y x u y Q x P y x u d d ),(d +=∫+Ly Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即 在D 内取定点),(00y x A 因曲线积分∫+=),(),(00d d ),(y x y x yQ x P y x u ),(),(y x u y x x u u x −∆+=∆则),(y x P =x u x u xx ∆∆=∂∂∴→∆0lim ),(lim 0y x x P x ∆+=→∆θ∫∆++=),(),(d d y x x y x y Q x P ∫∆+=),(),(d y x x y x xP xy x x P ∆∆+=),(θ同理可证y u ∂∂),,(y x Q =因此有y Q x P u d d d +=和任一点B ( x , y ),与路径无关,),(y x x C ∆+),(y x B ),(00y x A 有函数(4) 在 D 内每一点都有.xQ yP ∂∂=∂∂(3)y Q x P d d +),(y x u y Q x P y x u d d ),(d +=在 D 内是某一函数的全微分,即xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22所以设存在函数 u ( x , y ) 使得y Q x P u d d d +=则),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D 内每一点都有x Q y P ∂∂=∂∂xy u x Q yx u y P ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂∴22,证明 (4) ⇒ (1)设L 为D 中任一分段光滑闭曲线,D D ⊂′(如图) ,上因此在D ′xQ y P ∂∂≡∂∂利用格林公式 , 得y x xQx Q y Q x P L D d d )(d d ∂∂−∂∂=+∫∫∫′D D ′L0=所围区域为证毕(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0d d ∫=+L y Q x P (4) 在 D 内每一点都有.x Qy P ∂∂=∂∂说明:根据定理2 , 若在某区域D 内,xQy P ∂∂=∂∂则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P d x + Q d y 在域 D 内的原函数:D y x ∈),(00及动点,),(D y x ∈y y x Q x y x P y x u y x y x d ),(d ),(),(),(),(00+=∫∫=xx x y x P 0d ),(0或∫=y y y y x Q y x u 0d ),(),(0则原函数为∫+y y yy x Q 0d ),(∫+x x xy x P 0d ),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yx 0y 0x O xy4) 若已知 d u = P d x + Q d y ,则对D 内任一分段光滑曲∫+=B Ay y x Q x y x P d ),(d ),(AB u=)()(A u B u −=线 AB ,有yy x Q x y x P ABd ),(d ),(+∫注: 此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4). ∫∫=babax F x x f )(d d )(DAB它类似于微积分基本公式:∫=BAu d ())()(x f x F =′其中)()()(a F b F x F ab −==yA xL 例4. 计算,d )(d )3(22y x y x y x L−++∫其中L 为上半24x x y −=从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AO D 它与L 所围原式y x y x y x AOL d )(d )3(22−++=∫∪∫∫=Dy x d d 4∫−+++OAyx y x y x d )(d )3(22∫+402d xx 圆周区域为D , 则O例5. 验证y y x x y x d d 22+是某个函数的全微分, 并求出这个函数.证: 设,,22y x Q y x P ==则xQ y x y P ∂∂==∂∂2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y ) 使yy x x y x u d d d 22+=∫+=),()0,0(22d d ),(y x yy x x y x y x u )0,(x +=0y y x y d 02∫=yy x yd 02∫2221yx =)0,0(),(y x例6. 验证22d d yx xy y x +−在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函数 , 并求出它.证: 令2222,y x xQ y x y P +=+−=则)0()(22222>∂∂=+−=∂∂x yQ y x x y x P 由定理 2 可知存在原函数∫+−=),()0,1(22d d ),(y x yx xy y x y x u +=0)0(arctan >=x xyx y ∫+y y x y x 022d )0,(x )0,1(),(y x Ox y )0,(x )0,1(),(y x O ∫+−=),()0,1(22d d ),(y x yx xy y x y x u ∫+=y y y 021d yxy y arctan1arctan arctan −+=yx arctan 2π−=∫+−x y x x y 122d 或),1(y )0(arctan>=x xy例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :x y cos 2π=由)2π,0(A 移动到,)0,2π(B 求力场所作的功W解:)d d (2∫−=L y x x y r k 令,,22rx k Q r y k P −==则有)0()(22422≠+−=∂∂y x ry x k y P x Q∂∂=可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关..)(22y x r +=其中),(2x y rkF −=s F W Ld ∫⋅=L B Ay x O:AB )d d (2y x x y r kW AB −=∫θθθd )cos (sin 202π2+−=∫k )02π:(sin 2π,cos 2π→==θθθy x k 2π=思考: 积分路径是否可以取?OB AO ∪取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !LB A y xO 转内容小结判别: P , Q 在某单连通域D 内有连续一阶偏导数,,xQ y P ∂∂=∂∂D y x ∈),(③为全微分方程则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x , y )2. 由 d u = 0 知通解为 u (x , y ) = C .*三、全微分方程使若存在),(y x u y y x Q x y x P y x u d ),(d ),(),(d +=则称0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 为全微分方程.③),(y x yxO 例8. 求解0d )33(d )35(222324=+−+−+y y y x y x x y y x x 解: 因为=∂∂y P 236y y x −,xQ ∂∂=故这是全微分方程. ,0,000==y x 取则有x x y x u xd 5),(04∫=yy y x y x yd )33(0222∫+−+5x =2223y x +3y x −331y+因此方程的通解为Cy y x y x x =+−+332253123)0,(x 法10d )33(d )35(222324=+−+−+y y y x y x x y y x x 求解法2 此全微分方程的通解为 yu ∂∂,)(2y y =′ϕC y x u =),(x u ∂∂, 则有)(d )35(),(324y x y y x x y x u ϕ+−+=∫待定，)()(233225y y y x y x x ϕϕ+−+=两边对 y 求导得④yu ∂∂⑤由④得与⑤比较得331)(yy =ϕ取因此方程的通解为C y y x y x x =+−+33225312332435y y x x −+=22233y y x y x +−=)(3322y y x y x ϕ′+−=例9. 求解0d 1d )(2=−+y x x xy x 解:21x y P =∂∂∵∴ 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解.将方程改写为0d d d 2=−−xx y y x x x 即()(),0d 21d 2=−x y x 故原方程的通解为()021d 2=−xyx 或Cxyx =−221,xQ ∂∂=思考: 如何解方程?0d d )(3=−+y x x y x 这不是一个全微分方程 ,,12x就化成例9 的方程 .,0),(≠=y x µµ使d ),(),(d ),(),(=+y y x Q y x x y x P y x µµ为全微分方程,),(y x µ则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注:若存在连续可微函数 积分因子.内容小结1. 格林公式∫+L y Q x P d d2. 等价条件在 D 内与路径无关.yP x Q ∂∂=∂∂在 D 内有yQ x P u d d d +=yx y P x Q D d d ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=∫+Ly Q x P d d 对 D 内任意闭曲线 L 有0d d =+∫Ly Q x P 在 D 内有设 P , Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有为全微分方程0d d =+y Q x P思考与练习1. 设,4:,1:222412=+=+y x l y x L 且都取正向, 问下列计算是否正确 ?∫+−L y x x y y x 22d 4d )1(∫+−=l y x x y y x 22d 4d ∫−=l x y y x d 4d 41∫∫=Dσd 541π5=∫+−L y x x y y x 22d d )2(∫+−=l y x x y y x 22d d ∫−=l x y y x d d 41∫∫=D σd 241π2=提示:时022≠+y x y P x Q ∂∂≠∂∂)1(y P x Q ∂∂=∂∂)2(LO 2y1x2lD2. 设,)56,4(),(42234y y x xy x y x u −+=grad ).,(y x u 求提示:=),(d y x u x xy x d )4(34+y y y x d )56(422−+),(y x u O y x),(y x )0,(x x x x d 04∫=y y y x y d )56(0422∫−+C +551x =322y x +C y +−5x xy x d )4(34+y y y x d )56(422−+∫=),()0,0(y x C+作业P212 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ;*8 (2), (4), (7) ; 9∫∫′′−C C C ∪D O yx a a −C 备用题 1. 设 C 为沿[]y x a x y x a x x a y C d )ln(2d 22222+++++∫222a y x =+从点),0(a 依逆时针),0(a −的半圆, 计算解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =3π21a =∫−−a a ya y d )ln 2(∫∫⎢⎣⎡=D 222x a y a ++222x a y +−y x d d ⎥⎦⎤C ′到点D2. 质点M 沿着以AB 为直径的半圆, 从 A (1,2) 运动到+=∫∫D y x d d 2点B (3, 4),到原点的距离,解: 由图知 故所求功为AB y x x y d d +−=∫AB (∫=BA ∪AB []x x x d )1(31∫++−2π2−=锐角,其方向垂直于OM , 且与y 轴正向夹角为AB ∫+))d d (y x x y +−)1(21334−+=−−x y AB 的方程F 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) ,),(x y F −=F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,s F W d ⋅=∫O ),(y x M B A y x,0)1,0(,1=∈F C F 3. 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关 , 故有x F x F x sin cos +−xF x y F y sin sin +=即因此有]d cos d sin [),(y x x x y y x F L −∫0),(=y x F .)(x f y =x y F F y x tan =−x y y tan =′10==x y xy cos 1=x sec =]sin ),([]cos ),([x y y x F yx y x F x ∂∂=−∂∂y ′。
11-3格林公式(ppt文档)
y)dy
D
(
Q x
P y
)dxdy
，
其中 L 取正向．
(11.3.1)
证 本定理分三种情形证明．
⑴ 区域 D 既是 x 型区域，也是 y 型区域
由于区域 D 为 x 型区域，则D 可表示为
D {(x, y) | a x b,1(x) y 2(x)}（见图 11-3-1），
例如，区域 D1： x2 y2 1的边界曲线L : x2 y2 1的正向为逆时针方向；
区域 D2 ： x2 y2 1的边界曲线L : x2 y2 1的正向为顺时针方向．
由于区域 D3 ：1 x2 y2 4 边界曲线 L 是由L1 ：x2 y2 1和 L2 ：x2 y2 4
L xdy ydx 2 dxdy ，
2 (x) Pdy
a
1( x) y
b
[P(
a
x,
2
(
x))
P(
x,1
(
x))]dx
，
所以
L
P(
x,
y)dx
D
Pdxdy y
．
又因为区域
D
也是
y
型区域，同理可证
L
Q(
x,
y)dx
D
Qdxdy x
．
15-6
（续证 1）综上，当区域 D 既是 x 型区域，也是 y 型区域时，有
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
D
(
Q x
P y
11-(3)格林公式及其应用
其中L为一无重点且不过原点
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D,
y L
D
(1) 当(0,0) D时, 由格林公式知
o
高等数学A(下）
x
41 - 14
Monday, January 25, 2016
例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. (2) 当(0,0) D时, 在D 内作圆周l : x 2 y 2 r 2 ,取逆时 针方向, 记 L 和 l ¯ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
C ( x x, y )
则
x u u( x x, y) u ( x, y )
( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
D
高等数学A(下）
41 - 12
Monday, January 25, 2016
例3. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 可以直接用二重积分来计算 解: 令P 0, Q x e
y2
y
B(0,1) A(1,1)
,则
D
O
yx
x
1 x2
Q( x, y )d y
CBE
EAC
Q( x, y )d y
①
即
高等数学A(下）
41 - 5
Monday, January 25, 2016
11-3格林公式及其应用
复连通区域 （有洞）
3
边界曲线L的正向：
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向：
当观察者沿边界行走时，区域D总在他的左
边的行走方向。
2019年9月7日星期六
4
三、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
第三节 格林公式及其应用
(Application of Green formula)
一、问题的提出 二、区域连通性的分类 三、格林(Green)公式 四、格林(Green)公式的简单应用 五、曲线积分与路径的无关 六、小结
2019年9月7日星期六
1
一、问题的提出
在一元函数的微积分中我们通过NewtonLeibniz公式可以把定积分和原函数在积分区间 端点处的值联系起来。
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解： 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
A
x
1
2019年9月7日星期六
9
应用格林公式，有
y
e y2dxdy
xe y2 dy
B
1
D
OA AB BO
D
xe y2dy 1 xex2dx
OA
0
o
1 (1 e1 ). 2
A
x
1
2019年9月7日星期六
10
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ø通过转化为二重积分，简化曲线积分的计算
!ò u例1 计算 x2 ydx - xy2dy,其中L为正向圆周
L
y
x2 + y2 = R2
1B
ò u例2 计算 xdy, 其中L为 x2 + y2 = 1 上 L 由点A(1,0)到点B(0,1)的一段弧.
A
o
1x
ò u例3 计算
L
xdy x2
+
ydx y2
òL P(x, y)dx + Q(x, y)dy
y
ò=D (x,y) P( x, y)dx + Q( x, y)dy ( x0 , y0 )
y0
G
S
M0
M R
=D u( x, y)
o x0
x
ò ò u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy
,其中L为一条无重点
y
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线
L的方向为逆时针方向.
o
x
Ø通过转化为曲线积分，简化二重积分的计算 y
òò u例4 计算 e- y2dxdy,其中D是以O(0,0) D
1B
A
A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.
o
1x
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
òòD
ççèæ
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
÷÷øödxdy
=
òL
Pdx
+
Qdy
令 Q = x P =-y
2òòD dxdy = !òL xdy - ydx
1
A = 2 !òL xdy - ydx
l注 用曲线积分求面积的公式并不唯一!
¶x ¶y¶x
u( x, y) =?
Ø定理
¶P ¶2u =
¶y ¶x¶y
设区域G是一个单连通域,,若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具
有一阶连续偏导数,则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G内为某一
函数u(x,y)的全微分的充要条件是
在G内恒成立.
¶P = ¶Q ¶y ¶x
¶P = ¶Q ¶y ¶x
ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy L1
ò= P(x, y)dx + Q(x, y)dy L2
o
Ø曲线积分与路径无关的等价条件
G
L2 B
A L1
x
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
L1
L2
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy - P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
Ø定理
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,若函数P(x,y)及Q(x,y) 在D上具有一阶连续偏导数,则有
æ ¶Q ¶P ö
òòD
ç è
¶x
-
¶y
÷dxdy ø
=
!ò L
Pdx
+
Qdy
其中L是D的取正向的边界曲线.
l注
¶Q ¶P (1) 注意 ¶x 与 ¶y 的顺序.
L
(2) D可以是单连通区域或复连通区域.
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
du = ¶u dx + ¶u dy ¶x ¶y
òLP(x,y)dx + Q(x, y)dy
du = ¶u dx + ¶u dy ¶x ¶y
du =P(x,y)dx + Q(x, y)dy
¶Q ¶2u =
M0R
RM
M0R : y = y0 (x0 ® x) RM : X = x ( y0 ® y)
x
ò= x0 P( x, y0 )dx
y
ò+ Q( x, y)dy y0
ò ò u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy
M0S
SM
M0S : x = x0 ( y0 ® y) SM :Y = y (x0 ® x)
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
Ø平面单连通区域与复连通区域
单连通:
区域D内任一闭曲线所围的部分都属于D
闭曲线所围的部分缩为一点时不经过D的边界
不含有“洞”的区
y
y
域 例：{(x, y) y > 0}
{ } ( x, y) x2 + y2 < 1
复连通:
ox ox
区域D内有一闭曲线所围的部分不属于D
闭曲线所围的部分缩为一点时经过D的边界
含有“洞”的区域
y
y
{ } 例：( x, y) 1 < x2 + y2 < 4
{ } (x, y) 0 < x2 + y2 < 2
ox
ox
Ø平面闭曲线的正向 区域D的边界曲线为L,当观察者沿L行走 时,D内在他近处的部分总在他的左边. 区域的外部边界:逆时针方向 闭曲线的正向 区域的内部边界:顺时针方向
l
(3) L为区域D的所有边界曲线,均取正向.
例
òòD
æ ç è
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
ö ÷dxdy ø
=
!ò L
Pdx
+
Qdy
+
!ò l
Pdx
+
Qdy
L
逆时针方向 l
顺时针方向
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是
在G内恒成立.
¶P = ¶Q ¶y ¶x
ò u例7 计算
L
xdy x2
+
ydx y2
,其中L为
y
ì x = a(t - sin t) - aπ
í îy=Fra biblioteka(1
-
cos
t
)
(a > 0)
t 从0到2π的一段弧.
-aπ o
aπ x
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
òòD
ççèæ
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
÷÷øödxdy
=
òL
Pdx
+
Qdy
二重积分
曲线积分
格林公式沟通了二重积分与的曲线积分的联系
推广
格林公式 特 例 牛莱公式
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
第三讲 格林公式及其应用
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
u例6 求椭圆 x = a cosq , y = bsin q 所围成的图形的面积.
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
Ø曲线积分与路径无关
y
y
ò= y0 Q( x0 , y)dy
x
ò+ P(x, y)dx x0
u例7 验证 xy2dx + x2 ydy在整个xoy面内是某个函数的全微分,
并求一个这样的函数.
Ø全微分方程
若存在u (x, y)使得d u( x, y) = P ( x, y)dx + Q ( x, y)d y
则称P (x, y)dx + Q (x, y)d y = 0为全微分方程.
Ø平面闭曲线的曲线积分 与起点(终点)取法无关
B
N
ò ò ò ò ò ò = + = + =
AMBNA AMB BNA BNA AMB BNAMB
M
曲线积分通常取闭曲线的正向
A
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
Ø判别 P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 全微分方程
Ø解法 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 du = 0 知通解为 u(x, y) = C .
u例8 解微分方程 (5x4 + 3x y2 - y3 )dx + (3x2 y - 3x y2 + y2 )d y = 0.
L1
L2
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0