11-3 格林公式及其应用

l
(3) L为区域D的所有边界曲线,均取正向.
例
òòD
æ ç è
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
ö ÷dxdy ø
=
!ò L
Pdx
+
Qdy
+
!ò l
Pdx
+
Qdy
L
逆时针方向 l
顺时针方向
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
闭曲线所围的部分缩为一点时经过D的边界
含有“洞”的区域
y
y
{ } 例：( x, y) 1 < x2 + y2 < 4
{ } (x, y) 0 < x2 + y2 < 2
ox
ox
Ø平面闭曲线的正向 区域D的边界曲线为L,当观察者沿L行走 时,D内在他近处的部分总在他的左边. 区域的外部边界:逆时针方向 闭曲线的正向 区域的内部边界:顺时针方向
M0R
RM
M0R : y = y0 (x0 ® x) RM : X = x ( y0 ® y)
x
ò= x0 P( x, y0 )dx
y
ò+ Q( x, y)dy y0
ò ò u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy
M0S
SM
M0S : x = x0 ( y0 ® y) SM :Y = y (x0 ® x)
òòD
ççèæ
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
÷÷øödxdy
=
òL
Pdx
+
Qdy
二重积分
曲线积分
格林公式沟通了二重积分与的曲线积分的联系
推广
格林公式 特 例 牛莱公式
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
¶x ¶y¶x
u( x, y) =?
Ø定理
¶P ¶2u =
¶y ¶x¶y
设区域G是一个单连通域,,若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具
有一阶连续偏导数,则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G内为某一
函数u(x,y)的全微分的充要条件是
在G内恒成立.
¶P = ¶Q ¶y ¶x
¶P = ¶Q ¶y ¶x
Ø通过转化为二重积分，简化曲线积分的计算
!ò u例1 计算 x2 ydx - xy2dy,其中L为正向圆周
L
y
x2 + y2 = R2
1B
ò u例2 计算 xdy, 其中L为 x2 + y2 = 1 上 L 由点A(1,0)到点B(0,1)的一段弧.
A
o
1x
ò u例3 计算
L
xdy x2
+
ydx y2
y
ò= y0 Q( x0 , y)dy
x
ò+ P(x, y)dx x0
u例7 验证 xy2dx + x2 ydy在整个xoy面内是某个函数的全微分,
并求一个这样的函数.
Ø全微分方程
若存在u (x, y)使得d u( x, y) = P ( x, y)dx + Q ( x, y)d y
则称P (x, y)dx + Q (x, y)d y = 0为全微分方程.
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
òòD
ççèæ
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
÷÷øödxdy
=
òL
Pdx
+
Qdy
令 Q = x P =-y
2òòD dxdy = !òL xdy - ydx
1
A = 2 !òL xdy - ydx
l注 用曲线积分求面积的公式并不唯一!
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
Ø平面单连通区域与复连通区域
单连通:
区域D内任一闭曲线所围的部分都属于D
闭曲线所围的部分缩为一点时不经过D的边界
不含有“洞”的区
y
y
域 例：{(x, y) y > 0}
{ } ( x, y) x2 + y2 < 1
复连通:
ox ox
区域D内有一闭曲线所围的部分不属于D
Ø定理
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,若函数P(x,y)及Q(x,y) 在D上具有一阶连续偏导数,则有
æ ¶Q ¶P ö
òòD
ç è
¶x
-
¶y
÷dxdy ø
=
!ò L
Pdx
+
Qdy
其中L是D的取正向的边界曲线.
l注
¶Q ¶P (1) 注意 ¶x 与 ¶y 的顺序.
L
(2) D可以是单连通区域或复连通区域.
Ø判别 P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 全微分方程
Ø解法 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 du = 0 知通解为 u(x, y) = C .
u例8 解微分方程 (5x4 + 3x y2 - y3 )dx + (3x2 y - 3x y2 + y2 )d y = 0.
Ø平面闭曲线的曲线积分 与起点(终点)取法无关
B
N
ò ò ò ò ò ò = + = + =
AMBNA AMB BNA BNA AMB BNAMB
M
曲线积分通常取闭曲线的正向
A
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
L1
L2
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
L1
L-2
ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 L1 + L2-
L2
B
A
L1
Ø定理
设区域G是一个单连通域,,若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具
ò 有一阶连续偏导数,则曲线积分 Pdx + Qdy在G内与路径 L
ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy L1
ò= P(x, y)dx + Q(x, y)dy L2
o
Ø曲线积分与路径无关的等价条件
Hale Waihona Puke Baidu
G
L2 B
A L1
x
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
L1
L2
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy - P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
u例6 求椭圆 x = a cosq , y = bsin q 所围成的图形的面积.
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
Ø曲线积分与路径无关
y
无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是
在G内恒成立.
¶P = ¶Q ¶y ¶x
ò u例7 计算
L
xdy x2
+
ydx y2
,其中L为
y
ì x = a(t - sin t) - aπ
í î
y
=
a(1
-
cos
t
)
(a > 0)
t 从0到2π的一段弧.
-aπ o
aπ x
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
,其中L为一条无重点
y
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线
L的方向为逆时针方向.
o
x
Ø通过转化为曲线积分，简化二重积分的计算 y
òò u例4 计算 e- y2dxdy,其中D是以O(0,0) D
1B
A
A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.
o
1x
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
du = ¶u dx + ¶u dy ¶x ¶y
òLP(x,y)dx + Q(x, y)dy
du = ¶u dx + ¶u dy ¶x ¶y
du =P(x,y)dx + Q(x, y)dy
¶Q ¶2u =
第三讲 格林公式及其应用
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
òL P(x, y)dx + Q(x, y)dy
y
ò=D (x,y) P( x, y)dx + Q( x, y)dy ( x0 , y0 )
y0
G
S
M0
M R
=D u( x, y)
o x0
x
ò ò u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy