一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
一维定态薛定谔方程求解的两种方法（matlab）
⼀维定态薛定谔⽅程求解的两种⽅法（matlab）量⼦⼒学中，薛定谔⽅程是核⼼。
薛定谔的猫描述了态的概念，但实际研究中，要想细致地研究⼀个原⼦，分⼦，甚⾄⼀块物质，都需要从薛定谔⽅程的求解开始。
下⾯将会以我的⼀次作业的题⽬为例，向⼤家展⽰整个求解过程。
薛定谔⽅程的完整形式为：以上⽅程有对时间的微分，还有对空间的微分。
⽽对于定态的薛定谔⽅程，我们只需考虑某⼀时刻的波函数，所以直接可将能量算符替代为E（⼀个常数）。
(1)分段势能法对于空间的梯度，如果只是⼀维情况的话，可以直接将梯度算符改为微分。
所以⼀维定态薛定谔⽅程就显得很简单：就是⼀个简单的⼆阶微分⽅程。
此⽅程的解想必⼀眼就可以看出来。
就是这个解是假设U(x)与x⽆关，是⼀个常数才得出这个⾃由波的解。
类似与微积分中的⽅法，对于⼀个任意势场函数，我们可以假设在某⼀个极⼩的dt范围内，势函数是不变的，因此可以将任意⼀个势函数⽤有限个⼀定宽度的恒定势场来代替。
如下图所⽰：其中的各个⼩段的波函数就可以表⽰为这样就会有2N个⽅程，然后利⽤内部的n-1个边界条件（界⾯处波函数连续，波函数的倒数连续），和两端的衔接（假设⼊射为1，则A1=1, B1=r；且最终透射端没有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以写出2N个线性⽆关的⽅程，从⽽可以将系数都求解出来。
注意，这种情况下，我们⽆从得知基态的能量值，以及能量的分⽴的特性。
但是从这种⾓度出发，我们可以很容易计算出波在这样的势函数中传输特性，可以计算出⼊射端的反射系数R，以及不同能量所对应的⼊射波的透射系数T。
下⾯将以⼀个例⼦应⽤上述关系。
根据上图中所⽰的势函数求解薛定谔⽅程，得到透射系数和反射系数随温度的变化关系为(2)差分法现在我们从另外⼀个⾓度出发，⼀维定态薛定谔⽅程如下在这⾥，我们要求的是，可以将分为N份，采⽤数值计算⽅法，将微分⽅程变成差分⽅程。
参考相应书籍可知可以化为对于上述波函数也可以转化为类似的形式，所以可以由矩阵T的特征值对应能量，特征向量对应于波函数在每⼀个节点的解。
一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
8期
刘剑波等： 一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
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量密度 ! 根据牛顿第二定律 （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ $%% ! ! "#$ % & ! "#$ ! !& " （(） 因 )* 故 "#$ ! ’ $# ， !’ $# )* ! ’ ! , , !( + )* ! !( + $ # （,） （-）
设一柔软的细线， 线密度 !、 张力为 ! ， 处在一 种弹性 媒 质 中， 媒质对弦线仅提供形式为 " , （ $） ・% （ $） ・ （ $） 是弦线上任一点离 -# !$ 的力 & % 开平衡位置的位移， （ $） 是 $ 点的弹性系数， # !$ 是 万方数据 所研究弦线上的一小段在 $ 轴上的投影， 负号代表
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这就是所设系统的运动方程 ! 与相对论性量子 论的 012#$345675$ 方程数学形成上完全一样， 比一 维含时薛定谔方程 （8） 在时间变量上多一次偏导 ! " # " （ #） （8） # # %$ ’ & , ) $! ,$ + * " "# （ #） " 在方程 （/） 中的作 重要的是力函数 ( ’ & " 用与薛定谔方程中的势函数 * （ #） 完全一样， 正是 这一点， 保证了我们能够模拟一维定态薛定谔方程 ! 下面将证明这一点 !
由于弦作微小振动， 形变很小， 故 $ ,# "(， "#$ %） ! ! # $（ # #， 同理 "#$ %） ! ! # $（ # # + !# ， （,） （-） ， 式代入 （(） 式， 得 ［ （ ］ ! $# # + !# ， % ）& $（ %） # #， （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ $%% ! & " 应用中值定理： ［ $（ ］’ $## ・!# ， % ）& $（ %） # # + !# ， # #， 得 （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ &%% ! !$## ・!# & " 式中， $## 是 $ 对空间变量 # 的二阶偏导数， $%% 是 $ 对时间变量 % 的二阶偏导数 ! 令 !# $.， 上式化为 （ #） ! " ・$ ! $## & " " （ #） ! " 记 ’ ’, ， 上式写成 & ’ (， " " $%% ’ ’ , $## + ( ・ $ ! $%% ’
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 π ( t )
Ψ 0e
i ( Et px)
波函数的物理意义：
2 | Ψ(r , t ) | —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
说明
• 单个粒子的出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统 计规律。
2 2
2mE k 2
2 1
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区
Ψ1 ( x) A1eik1x B1eik1x
U0
Ⅰ E Ⅱ Ⅲ
Ⅱ区
Ⅲ区
Ψ 2 ( x) A2eik2 x B2eik2 x
Ψ 3 ( x) A3e
ik1 x
B3e
ik1x
B3 = 0
0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x=0 处 x=a 处
(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍
可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应。
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
Ψ 0 A sin k 0 B cos k 0 0
0
所以
a
x
B0
因此
Ψ x A sin kx
nπ k a
2
在 x = a 处连续，有
Ψ a A sin ka 0
2mE 其中 k 2 2 粒子 h 2 2 E n n E1 能量 n 2 8ma
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
定态薛定谔方程解的算例
E
)
(
x)
0
I区 V 0
d2
dx2
例题
根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。 假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和 第一激发态叠加而成，前者的幅是1/2 ，后者的幅 是 （这3 /就2 意味着基态的基本概率是1/4，第一激 发态的基本概率是3/4）。 试求这一叠加态的概率分布。
3、阶跃势
粒子在阶跃势场中的运动
0, V (x) V0
X<0，波函数可以看成向右和向左传播的行波的叠加。由于它 们振幅的绝对值相等，叠加后将形成驻波。因此波函数是随 时间 t 振荡的函数。
• X>0，它们的概率密度为：
( x, t) ( x, t) DDe2k2x
1
k2 2m(V0 E)
它常称为：透入距离
在此区域随x的增大而随指数快速衰减，但在x=0的附近不为零。 表明，在X>0的区域有一定的几率能够发现或找到粒子！ 由上式可知，出现这种几率只在x=0的很小的区域内，即
2
粒子的能量本征 函数与坐标关系
(x)
(x)
n5
n6
E 25E0
E 36 E0
x
E 9E0 n 3
n4
E 16 E0
x
n 1
E E0
a
0
2
n2 E 4E0
a a
0
2
2
ax
2
2 cos n x ，n奇数 aa
2 sin n x , n偶数
aa
偶宇称
奇宇称
ψ(ξ)=A e-1/2ξ2 0
谐振子—势能为V(x)、 质量为m的粒子
d 2 d 2
[
2mE
一维薛定谔方程求解
一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。
在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。
这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。
其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。
另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。
总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。
这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。
定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
微观粒子在一维势箱中出现的几率例题
微观粒子在一维势箱中出现的几率例题我们来考虑在一维势箱中的微观粒子。
我们定义这个箱子为：1.在x=0处与在x=L处，有两堵墙。
在左墙左边以及右墙右边，势能都是无穷大。
2.在0<x<L之间，也就是在箱子内部，势能为0。
我们知道，一个粒子不能存在于势能为无穷大的空间内。
所以，这两堵势墙把这个微观粒子围在了盒子内部，不得出去。
我们列出粒子在盒子内部的一维定态薛定谔方程：因为我们定义箱内势能为0，那么我们可以删除势能项，只剩下动能项：如果我们设波函数的表达式为：（其中C与D为参数）代入方程，再重排得到动能的表达式：现在，我们得到了动能的表达式，我们转过头来看看这个一维势箱中粒子的波函数有什么限制。
可以看出，在x=0与x=L这两个点的位置，势能就已经取了无穷大值。
说明波函数在这两点处必定为0。
代表着，粒子出现在这两个绝对的位置的概率为0。
用数学语言表达，便是下式：因为这一条件限制的是波函数在盒子边界处的行为（behaviour），所以这一条件也属于边界条件（Boundary Condition）。
波函数满足边缘条件的必要性说明只有特定的波函数是可接受的，所以这把可观测量的值限制到了离散的值。
因为波函数在盒子的边缘处值必须为0，而我们如果用一个正弦函数来描述波函数，这个问题就变得很简单了。
这意味着，正弦函数的频率只能是一些特定的值，而只有这些值能使正弦函数在盒子的边缘通过0点。
量化这个结论，就是：盒子的长度，L，必须是一个正整数，n，乘以波函数的半波长：而对于一个正弦函数sin(kx)来说，（在本系列文章第二篇中也提到过），其波长等于两倍圆周率除以正弦函数内，x前面的系数，也就是k。
所以我们有：（如果我们忽略Dcos（kx））于是，对于不同的n值，波函数的波长会越来越短，但是如果n还是满足正整数条件，那么这个正弦函数一定会满足边界条件，且总是会在盒子的两个边缘值为0，就像如下：到了这一步，既然C是任意常数，我们就令其等于归一化常数吧。
一维定态薛定谔方程的理论求解及MATLAB的仿真实现研究
现代商贸工业２０１９年第１４期２１１㊀一维定态薛定谔方程的理论求解及M A T L A B 的仿真实现研究王文慧(江苏省新海高级中学,江苏连云港２２２００６)摘㊀要:量子力学的提出可谓是２０世纪物理学上一个划时代的里程碑.经过一百多年的历史证明,量子物理学说明了物质属性及其微观结构这个根本性问题,同时也促进了一些高科技产业的发展.简述了量子力学的发展历程.在理想无限深方势阱下对一维定态薛定谔方程使用两种求解方法,一种是传统的理论求解,适用于简单势阱下的粒子运动;另一种是借助MA T L A B 软件进行特解求解,适用于复杂的势阱情况.为了全面描述粒子的运动状态,结合概率密度函数和概率分布函数来进行描述,适用于多个势阱条件.关键词:量子力学;薛定谔方程;无限深方势阱;MA T L A B中图分类号:T B ㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０１９．１４．０９８１㊀绪论经典力学中以牛顿运动定律为基础的部分作为力学的一个分支最早被认为是力学的基本纲领.原因是牛顿运动定律能很好地解释宏观生活中的许多物理现象,被人们广泛接受与认可,具有很强的实用性.例如,人们根据牛顿的理论预测并发现了海王星.然而十九世纪以来,随着人们对物理学研究的不断深入,经典力学的局限性也逐渐显露出来.例如黑体辐射,英国物理学家瑞利根据经典统计力学和电磁理论推导出黑体辐射的能量分布公式仅适用于长波,发现短波部分与实验的反差严重,这一现象被称为 紫外灾难 .出现的问题还有光电效应中的红限频率,比热困难等等.这些问题的出现激励着物理学家不断的进行思考㊁实验,推动了相对论和量子力学的诞生.利用普朗克的量子假说与爱因斯坦提出的光量子概念得出的普朗克－爱因斯坦关系式可以很好地解释了黑体辐射,光电效应以及康普顿效应.波尔的量子论可解释氢原子能级及线状光谱.德布罗意波的提出,指明当波长与客观尺寸相比拟时,波动性就显得很重要.因此在微观世界中,不能使用经典力学分析,只能使用波动力学.薛定谔方程(S c h r öd i n g e re q u a t i o n )是将德布罗意波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,由奥地利物理学家薛定谔提出.薛定谔方程表明在量子力学中,粒子以概率的方式出现,其正确性只能靠实验来决定.可以描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式.当势函数不随时间变化时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态.本文主要研究定态下一维薛定谔方程的求解问题.目前量子力学的研究,推动了晶体管,能量回收,量子密码等领域的发展,使随机数发生器,量子计算机,瞬时通信,远距传输等成为可能.此外本文还使用MA T L A B 软件进行了结果的形象化处理,其高效的计算能力,让求解薛定谔方程从繁杂的数学运算分析中脱身.其次,MA T L A B 具有很强的图形处理功能,实现计算结果可视化.２㊀薛定谔方程随着物理学研究的不断深入,经典力学开始遇到困难.如关于热辐射经典统计理论,１８９３年,威廉 维恩提出一个数学公式ρνd ν＝C １ν３e －C ２ν/Td ν此公式在光谱的短波部分的测定值与计算值完全一致,然而却不适用于中波,长波部分.１９００年,英国物理学家瑞利根据经典统计力学和电磁学理论,推导出黑体辐射的能量分布公式为ρνd ν＝８πc ３k T ν２d ν而此式只适用于长波,在短波部分是无穷值,E ＝ʏ¥０ρνd ν＝８πc３k T ʏ¥０ν２d νң¥可相反的是实验得出结果是零.这个反差强烈的严重问题,被称为 紫外灾难 ,令许多物理学家感到费解.十九世纪末,赫兹和汤姆孙在验证电磁波和发现电子的实验中也遇到了困难.经典物理学理论被一些实验结果推翻:不仅逸出电子的最大初动能与光强无关,存在红限频率,而且光电子几乎是瞬时逸出的.经典的比热理论也遇到了一些困难:杜隆－珀蒂定律C P ≅C ν＝３R 只适用于常温实验条件下;束缚态电子为何对比热贡献可以忽略不计;为何在常温下,大多数双原子分子和多原子分子振动自由度会被冻结,对比热也没有贡献.工程管理与技术现代商贸工业２０１９年第１４期２１２㊀㊀经典物理学中遇到的种种困难推动了量子理论的发展.在１９００年,普朗克提出一个经验公式,非常符合黑体辐射的实验结果.总结普朗克的量子化理论,黑体和辐射场交换能量只能以吸收或者发射 量子 的方式进行,以ε单位吸收或发射,能量保持不连续的变化.１９０５年,爱因斯坦普朗克能量子的假说进行进一步解释,提出了光量子的概念:假定光是由光子组成的粒子流,每个光子的能量的计算方法为ε＝h ν,其中,,ν表示光的频率,h 是普朗克常数.而后,德布罗意对波粒二象性和德布罗意波的提出为量子力学的建立做出了极大贡献.德布罗意觉得 任何物质都伴随以波,而且不可能将物质的运动和波的传播分开.那么我们如何去发现呢?由λ＝h m v 可知对于宏观物体物质波几乎微不可察,而在微观世界,粒子与相应的德布罗意波长可相比拟,波动性才显著,这时不能使用经典力学分析,只能使用波动力学.波函数的形式可以表示为:φ(r ң,t )＝e i (pңr ң－E t )/h (１)其中r ң表示位置,是矢量;t 表示时间,为标量;pң和E 分别表示粒子的动量和能量;h 为约化普朗克常数.式(１)对时间求导:∂φ(r ң,t )∂t ＝φ(r ң,t ) (－i E h )⇒i h ∂∂tφ(r ң,t )＝E φ(r ң,t )(２)式(１)对r ң求导:－i h Ñφ(r ң,t )＝p ңφ(r ң,t )⇒－h ２Ñ２φ(r ң,t )＝p ң２φ(r ң,t )(３)(Ñ为拉普拉斯算子)由E ＝p ң２２m及式(２)(３)得:(i h ∂∂t ＋h ２２m Ñ２)φ(r ң,t )＝(E －p ң２２m )φ(r ң,t )＝０(４)⇒i h ∂∂t φ(r ң,t )＝－h ２Ñ２２m φ(r ң,t )(５)考虑势场V (r ң)中运动的粒子,根据经典粒子的能量关系式:E ＝p ң２/２m ＋V(６)将式(６)代入(４)可得:i h ∂∂t φ(r ң,t )＝(－h ２２mÑ２＋V )φ(r ң,t )(７)此为薛定谔在１９２６年提出的方程,揭示了原子世界中物质运动的基本规律.３㊀无限深方势阱下求解薛定谔方程３．１㊀一维定态薛定谔方程设粒子质量为m ,沿x 方向运动,势能为V (x),可得此时薛定谔方程为i h∂∂tφ(x ,t )＝－h ２２m ∂２∂x２＋V (x )[]φ(x ,t )(８)定态即具有一定能量E 的状态,定态下波函数形式为:φ(x ,t )＝φ(x )e －i E t /h (９)将(９)代入到(８),φ(x )满足如下能量本征方程:－h ２２m d ２d x ２＋V (x )[]φ(x )＝E φ(x )(１０)⇒d ２d x２φ(x ,t )＋２m h E －V (x )[]φ(x ,t )＝０令f (x )＝２m h E －V (x )[]则一维定态薛定谔方程的形式为:d ２d x ２φ(x ,t )＋f (x )φ(x ,t )＝０３．２㊀无限深方势阱通解的理论推导在理想无限深方势阱中V (x )＝０,０＜x ＜a¥,x ＜o ,x ＞a{,当０＜x＜a 时,薛定谔方程为:d ２d x ２φ(x ,t )＋２m h ２E φ＝０(１１)令k ＝２m E h２代入(１１)此时(１１)式可化为φ(x )＝A s i n (k x ＋φ)的形式.由于理想条件下,粒子穿透阱壁的可能性为零,所以φ(０)＝０φ(a )＝０,由上式可解得:φ＝０si n k a ＝０,所以k a ＝n πn ＝１,２,３ 对于E n 能级波函数记为φn (x )㊀则㊀φn (x )＝A n s i n (n πax )(１２)利用归一化条件ʏa ０φn (x )２d x ＝１ʑA n ２＝２a⇒A n ＝２a,将A n ＝２a代入(１２)得归一化的波函数为φn (x )＝２a s i n (n πax ).上文已经求解出函数φn (x )及φn (x )２的形式,是普通的正弦函数形式,接下来通过MA T L A B 进行数值模拟,形象化表示出在不同位置粒子出现的概率.φn (x )和φn (x )２在不同n 值情况下的函数图如图一所示,左侧一列是φn (x )的函数图,中一列是φn (x )２的函数图,从第一行到最后一行分别是n ＝１,２,３,４,５,现代商贸工业２０１９年第１４期２１３㊀６.对于左侧这列图像,可以看出,几乎都均匀分布在φ＝０的两侧,而对于φn (x )２表示概率密度的这条函数曲线表达的是当前位置出现粒子的概率大小.３．３㊀M A T L A B 求无限深方势阱的特解MA T L A B 软件功能非常强大,对于微分方程的求解方面也有相应函数可以解决,对于一个未知的变量连同它自己的微分变量由一个方程联系起来的关系就称之为微分方程,如一维定态薛定谔方程即为二阶微分方程,因为有二次微分项.无限深势阱中的薛定谔方程的形式为:d ２d x ２φ(x ,t )＋k φ＝０(１３)k ＝２m E h２其中,想要快速求解这个二阶微分方程,在这里我们假定势阱边界a ＝１,n ＝１,k ＝π,这样可以使用MA T L A B 求解方程的函数d s o l v e 函数,此函数可以直接将需要求解的方程写入,d s o l v e ( 微分方程 , 自变量 ),例如:y ＝d s o l v e (＇D ２y ＋(pi ^２)∗y ＝０＇,＇x ＇),这个语句可以获得一个通解:y ＝C １∗e x p ((－k )^(１/２)∗x )＋C ２∗e x p (－(－k )^(１/２)∗x ),其中C １和C ２根据不同的初始条件就可以给定不同的数值;另外d s o l v e 函数还可以直接给定初始条件来确定所求微分方程的特解,d s o l v e ( 微分方程 , 初始条件１ , 初始条件２ , 自变量 ),在无限深势阱中,边界的y 都为０,求解函数可以写为y ＝d s o l v e (＇D ２y ＋(p i ^２)∗y ＝０＇,＇y (０)＝０＇,＇y (１)＝０＇,＇x ＇),运行之后得到的解为y ＝C ３∗s i n (p i ∗x ),根据薛定谔方程的归一化条件,可以很快求解出C ３＝２.无限深势阱条件下的薛定谔方程的特解为φ１(x )＝２s i n (πx ).使用MA T L A B 求特解需要注意的是需要使用s y m 类型将方程中的自变量和因变量声明为符号变量,才可以顺利的得到结果.图１㊀φn (x )㊁φn (x )２关和概率分布关于位置x 的函数３．４㊀无限深势阱条件下粒子位置的概率分布上文根据理论推导方法和借助MA T L A B 软件求特解的方法求出了无限深势阱中粒子分布的概率密度函数(图１中间列所示),这个图可以清晰的描绘出粒子落在区间中的概率高低,概率密度值越大,代表粒子出现的概率越大,而粒子落在某个区域的概率并不能从概率密度函数图中直观的看出,这时我们就需要计算概率密度函数的概率分布函数,这个函数一般是来刻画某个随机变量m 小于某一数值x 的概率,在这里我们假设概率分布函数用P 来表示,P (x )指的是粒子出现的位置小于x 的概率,概率分布函数就是概率密度函数的积分,在MA T L A B 中可以直接使用函数i n t来进行计算,计算结果如图１最右一列表示.从图中可以看出每条曲线的x ＝１对应的概率值都为１,对应了薛定谔方程归一化的性质.另外这六条曲线中,总会出现一定的平台,这些平台说明,对应位置粒子出现的概率几乎为０,对应概率密度函数的最低点.若使用电子束来模拟粒子,则平台出现的位置就是暗条纹出现的位置,斜率越大,条纹越明亮.使用概率密度函数结合概率分布函数这样的分析方法,对复杂势阱的分析理解将会有一定的帮助.４㊀结论本文通过对经典力学的局限性的介绍,引出了物理学家对这些局限性问题的研究并提出了相对论和量子力学.另外,本文以无限深势阱为例,给出两种求解方式一种是传统的理论计算,使用于简单势阱下的求解,对于比较复杂的势阱,不具备理论求解的条件下,可以使用MA T L A B 软件来进行求解.对于理解势阱中粒子的分布位置,一般都是使用概率密度函数来分析,本文通过MA T L A B 软件求解出概率密度函数对应的概率分布函数,更加直观的获得粒子位置的概率信息,验证了解的形式与性质,对于复杂势阱中粒子运动状态的研究具有深刻的意义.参考文献[１]林洽武．求解定态薛定谔方程的有限差分法[J ]．广东第二师范大学学报,２０１３．[２]苏汝铿．量子力学[M ]．北京:高等教育出版社,２００２．[３]王忆峰,唐利斌．通过有限差分和MA T L A B 矩阵运算直接求解一维薛定谔方程[J ]．红外,２０１０．。
一维势箱中粒子的薛定谔方程及其解.pdf
8ml 2
若将一个电子束缚于l =10-8cm的势箱中，能级差为：
E
(2n
1)
8
(6.6 1027 )2 9.11028 (108 )2
(2n 1) 37.60eV
能级分立明显
若将一个质量为m=1g的物体束缚于l =1cm的势箱中，
能级差为：
E (2n 1) (6.6 1027 )2 811
3、示例：
i* j
dx
l 0
2 sin( nix )
l
l
2 sin( n jx )dx
l
l
2 l sin( nix ) sin( n jx )dx
l0
l
l
(ni n j )
1
l
l 0
cos(ni
n
j
)
x
l
cos(ni
n
j
)
x
l
dx
三、能级公式的意义：
En
n2h2 8ml 2
⑴受束缚的粒子其能量必须是量子化的，即边界条 件迫使能量量子化(一维势箱中的量子化是解方程 自然得到的，而非象旧量子论是人为附加的.) ⑵相邻两能级差：
E En1 En
(n 1)2 h2 n2h2 (2n 1)h2
8ml 2 8ml 2
能级变化可认
(2n 1) 3.431042 eV
为是连续的
⑶En≠0. ∵n≠0, 否则(x) 0
n=1——基态——最低能量： E h2 称为“零点能”——表明运动的永恒性
8ml 2
⑷对于给定的n：
l
定态薛定谔方程解的算例
d 2 2mE mk 2 [ 2 2 2 4 ] 0 2 d
d 2 2mE mk 2 [ 2 2 2 4 ] 0 2 d
mk 由于α 待定， 令 2 4 1
d 2 ( x) V ( x) E ( x) 2 2m dx
2
V ( x)
I
V 0
a 2
Ⅰ为无限深势 阱中势能是常 量，粒子不受 力做自由运动
III
V
a 2
x
d 2 ( x) 2m(V E ) ( x) 0 2 2 dx
I区中 V 0
d 2 2mE 2 0 2 dx
a
k
h 2a 2 n pn n k
该波长也量子化了，它只能是势阱长度两倍的整数分之一。 这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。
无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的
一个特定波长的驻波!
例题
m) 在原子核 (11014 内的质子和中子可粗略的看成是
a a ( ) ( ) 0 2 2
即有
a a A cosk 2 B sin k 2 0 a a A cosk B sin k 0 2 2
该齐次方程非 零解的条件：
a cos k 2 a cos k 2
a sin k 2 0 a sin k 2
波函数的图形
ψ(ξ)=A0e
-1/2ξ2
ψ(ξ)=A1ξe-1/2ξ
2
ξ
n=0 n=2
n=1
( x) ( x)
n=3
偶函数
波函数的空间 对称是偶性的， 就称宇称是偶 性的—偶宇称
一维薛定谔方程的解的形式
一维薛定谔方程的解的形式量子力学是物理学中一门重要的分支，薛定谔方程则是量子力学中最为基本的方程之一。
在一维薛定谔方程中，我们研究的是只有一个自由度的粒子的运动状态，它的解的形式也异常美丽。
首先，我们来看一维薛定谔方程的基本形式：$$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t)$$其中，$\hbar$为普朗克常数，$\psi(x,t)$为波函数，$m$为粒子的质量，$V(x)$为势能函数。
我们试图求解这个方程得到波函数的解析表达式。
首先，我们把波函数写成如下形式：$$\psi(x,t)=u(x)e^{-iEt/\hbar}$$这里，$u(x)$代表空间波函数，$-iEt/\hbar$代表时间部分。
将上面的波函数代入一维薛定谔方程中，整理后得到$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2u(x)}{\partialx^2}+V(x)u(x)=Eu(x)$$这便是一维薛定谔方程的实部，其中$E$为能量。
将这个方程进行变形，我们可以得到：$$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2}=-k^2u(x)$$其中，$k=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))}$。
上面的方程是一个常微分方程，它的通解可以写成下面的形式：$$u(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$其中，$A$和$B$是可以通过边界条件确定的系数。
这就是一维薛定谔方程的解的形式，非常的优美和简洁。
通过这个式子，我们可以求解各种各样的物理问题。
例如，如果$V(x)$是一个无限深势阱，那么我们可以求出粒子的能级和相应的波函数。
如果$V(x)$是一个自由粒子，我们可以求出平面波解，而如果$V(x)$是一个障碍，我们可以求出反射和透射波的振幅和相位。
一维定态问题
ik (A B) ik1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
结果有
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k ik1x De
讨论： 在E V0 时，区域 x 0 有一沿x方向传播 的平面波，显然，
ji Re( * i ˆx p k D2 k i ) (1 1 )2 m 4 k m
0 。
（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列， 一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值 范围内有n个节点（即有n个x点使 u(xi ) 0 ，不 包括边界点或∞远）。
1(x)
2(x)
3(x)
4(x)
( 4）在无穷大位势处的边条件：首先讨论V(x) 有有限大小的间断点，由方程
2 d2 ( V ( x )) u ( x ) Eu ( x ) 2m dx 2
这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。但，几率密度和几率流密度矢 总是连续的。
§3.2阶梯位势：----最简单的定态问题
V0 V( x) 0 x0 x0
(1) 当
E V0
x0
2 d2 ( V0 )u( x ) Eu ( x ) 2 2m dx
ˆx *p ji Re( i i ) = m
k D 2 2 (1 ( ) ) m 4 k
iii. 在区域，x 0 也有左的几率流密度，即 反射几率流密度矢 2 k D 2 ˆ p * x = x0 (1 ( ) ) jR Re( R R )
定态薛定谔方程的解法 一维无限深势阱与线性谐振子
（1）定态薛定谔方程； （2）波函数归一化条件； （3）波函数的标准条件；
一维无限深势阱中 运动的粒子与线性 谐振子的能级和波 函数。
最后介绍 “一维束缚定态的无简并定 理”
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
E0
1 0 2
（4）线性谐振子的能级是无简并的；
（5）谐振子波函数的宇称为 - 1
n
n
由（1.5.30）式可得， n 1 1 n x ，可见 波函数 n x 的奇偶性由n决定，通常称谐振子 n 波函数 n x 的宇称为 - 1
（6）与经典谐振子的比较
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
a
a2
能K量量子2m化E：E/ n2nn22/m2aa,22 . n 1,2,3,... 12
粒子的动量：
Pn
2mEn
n
a
K
.
粒子的德布罗意波长：
n
h Pn
2a
/
n
2
/
K
.
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 )
均是量子化的。 其中最小能量和最小动量皆不为零，
其中 2m(V 0 E) / 2 .
当 x 0时 B 0, 当 x L 时C 0. 19
Cex , x 0 ;
(x) Acos(kx ) , 0 x L ;
Bex , x L.
k 2mE / 2 , 2m(V 0 E) / 2.
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
0, ,
x
a/2 a /
x a/2； 2, x a / 2
.
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
( a) 0, (a) 0.
2
2
阱内 (a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程：
d 2 (x) 2m E (x) 0 .
[理学]§166 波函数 一维定态薛定谔方程
![[理学]§166 波函数 一维定态薛定谔方程](https://img.taocdn.com/s3/m/93828cd404a1b0717fd5dd9c.png)
t i E Ψ (r )e i t
E t i E E i t i i Ψ (r )e E Ψ ( r )e
2 2 2 2 2 2 Ψ ( r ) V ( r , t ) Ψ ( r ) E Ψ ( r ) 2 2m x y z
23
2 2 (k12 k2 ) sin 2 (k2 a) R 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2 2 4k12 k2 T 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2
U0 Ⅰ E a Ⅱ Ⅲ
T R 1
讨论
0
r
处 dV 体积内出现的概率
2 * dW | Ψ(r , t ) | dV Ψ(r , t )Ψ (r , t )dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
玻 恩
2 | Ψ(r , t ) | dxdydz 1
3. 波函数必须单值、有限、连续 概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
Ψ1 (0) Ψ2 (0)
Ψ2 (a) Ψ3 (a)
dΨ1 dΨ2 dx x0 dx dΨ2 dx
x a
a
无反射
x 0
dΨ3 dx x a
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从 而得到反射系数 R | B1 |2 / | A1 |2和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2 分别为
d Ψ1 ( x) 2 k 1Ψ 1 ( x) 0 2 dx d 2Ψ2 ( x) 2 k 2Ψ2 ( x ) 0 2 dx d 2Ψ 3 ( x) 2 k 3 Ψ 3 ( x) 0 2 dx
量子力学中的薛定谔方程求解方法
量子力学中的薛定谔方程求解方法量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学科，而薛定谔方程则是量子力学的基础方程之一。
薛定谔方程描述了微观粒子在各种势场中的运动规律，是解决量子力学问题的重要工具。
本文将探讨薛定谔方程的求解方法，包括定态薛定谔方程和时间相关薛定谔方程的求解。
首先，我们来讨论定态薛定谔方程的求解方法。
定态薛定谔方程描述了系统的能量本征态和能量本征值。
对于一维势场，定态薛定谔方程可以写成如下形式：$$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，$\psi(x)$是波函数，$E$是能量本征值。
对于特定的势场，我们可以通过求解这个方程得到系统的能量本征值和能量本征态。
常见的求解方法有分离变量法、近似方法和数值计算方法。
分离变量法是求解定态薛定谔方程的一种常用方法。
该方法基于波函数的可分离性假设，即$\psi(x) = X(x)Y(y)Z(z)$，将多维问题分解为一维问题。
通过将方程进行分离变量，并利用边界条件，可以得到一系列的一维薛定谔方程。
这些方程可以通过解析或数值方法求解，得到系统的能量本征值和能量本征态。
近似方法是另一种常用的求解定态薛定谔方程的方法。
当势场复杂或无法直接求解时，可以采用近似方法来求解。
常见的近似方法有微扰法和变分法。
微扰法是将复杂势场分解为简单势场，然后通过对简单势场求解薛定谔方程的精确解，再加入微扰项进行修正。
变分法是通过选择适当的波函数形式，并通过变分原理来求解薛定谔方程。
这些近似方法在实际问题中得到了广泛应用，为求解复杂系统提供了有效的工具。
除了定态薛定谔方程，时间相关薛定谔方程也是量子力学中重要的方程。
时间相关薛定谔方程描述了系统随时间演化的规律。
对于定态问题，可以通过将时间相关薛定谔方程分解为定态薛定谔方程的线性组合来求解。
但对于时间相关问题，需要采用更加复杂的方法。
数值计算方法是求解时间相关薛定谔方程的一种常用方法。
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( + ’ & -+ ! ’, （ #） , ! " 将 (’ & ， ’ ’ 代入上式得 " " （ #） " （=） +; & + ’ & -+ ! " 就是图 ( 所设系统的定态方程 ! 为了方 方程 （=） 式写成 便与一维定态薛定谔方程的比较， 将 （8） ,) ,) （ #） ・$ ’ & , ・ .$ ! （(.） , * # # 现在比较 （=） ， （(.） 式， 很显然 （=） ， （(.） 两式左 边第一项都是关于空间的二阶导， 第二项函数都乘 以一个只与 # 有关的变系数， 右侧的函数都乘以一 个常数， 所以有如下的模拟关系： （((） $ $ +， （ #） " ,) （ /） （(,） & , * $& ! ， # ,) （(-） & , . $& - ! # 可见， 定态的薛定谔方程 （(.） 与定态的齐次弦 振动方程 （=） 在数学形式上完全一样， 可以利用 （ =） 式在宏观上的行为模拟薛定谔方程的微观量子行 为!
一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
刘剑波 蔡喜平
（哈尔滨工业大学应用物理系， 哈尔滨 （$### 年 !! 月 !% 日收到） !"###!）
将实验模拟法引入量子力学 & 设计了一个弦振动系统， 这个系统的定态方程与定态薛定谔方程数学形式一样， 为定态薛定谔方程的模拟解法提供了理论和实验途径 & 宏观模拟的结果为理解薛定谔方程提供了宏观类比 &
［8］ 张力 ! 的方向总是沿着弦的切线方向 & 受力分析：
图!
非齐次弦振动方程的推导
$
非齐次弦振动方程
（!） 作用在 &7 点上的张力 ! ， 它在 ) 轴方向的 分力为 ! 901 7& " （$） 作用在 & 点的张力 ! ， 它在 ) 轴方向的分 力为 - ! 901 "& （’） 作用在 &&7 上， 垂直于 $ 轴约束力为 " , （ $） ・ （ $） ， 其中 # （ $） 是作用于弦线上质 -# !$・ !) 量元 !$・ ! 的弹性约束力 " 的线密度， ! 是弦的质
由于弦作微小振动， 形变很小， 故 $ ,# "(， "#$ %） ! ! # $（ # #， 同理 "#$ %） ! ! # $（ # # + !# ， （,） （-） ， 式代入 （(） 式， 得 ［ （ ］ ! $# # + !# ， % ）& $（ %） # #， （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ $%% ! & " 应用中值定理： ［ $（ ］’ $## ・!# ， % ）& $（ %） # # + !# ， # #， 得 （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ &%% ! !$## ・!# & " 式中， $## 是 $ 对空间变量 # 的二阶偏导数， $%% 是 $ 对时间变量 % 的二阶偏导数 ! 令 !# $.， 上式化为 （ #） ! " ・$ ! $## & " " （ #） ! " 记 ’ ’, ， 上式写成 & ’ (， " " $%% ’ ’ , $## + ( ・ $ ! $%% ’
关键词：薛定谔方程，宏观模拟解法
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!
引
言
（ $） 方向相反 （图 ! 所示） " 方向与 % & 下面用标准的 力学程序证明， 这个体系的运动规律符合 *./0123452 641 方程 &
在量子力学的局域性理论中， 薛定谔方程具有 核心地位 & 目前解这个方程有三种方法 & 一是在数学 上严格求解， 得到体系的能量本征值与本征波函数 （如著名的氢原子问题） ； 二是近似计算方法 （如微扰 法、 变分法、 ； 三是数值计算法， 由于计算 )*+ 法等） 机的 应 用， 目前有大量文献报道这种方法的使
设一柔软的细线， 线密度 !、 张力为 ! ， 处在一 种弹性 媒 质 中， 媒质对弦线仅提供形式为 " , （ $） ・% （ $） ・ （ $） 是弦线上任一点离 -# !$ 的力 & % 开平衡位置的位移， （ $） 是 $ 点的弹性系数， # !$ 是 万方数据 所研究弦线上的一小段在 $ 轴上的投影， 负号代表
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物
理
学
34; 物 为势垒宽度 ! 弦振动方程将形成驻波： $ … # " !# ， $ " $， #， %， "弦
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总结以上讨论， 得到如下明确的模拟关系， 这种 模拟关系在后面的模拟实验中变得更加具体、 生动 ! （$&）
在 （$’） 式中令 $ " #， 即在势阱中形成一个电子 的德布罗意波 （波长!物 ） ， 即 " 物 "!物 ， （$’） 式化为 ・# %# " !" # ! #! !物
, , , 0 … .0 ’ ## , ， 0 ’ (， ,， -， , )1 物
（8） 对时间一阶偏导不一致， 但下面可以证明， 不含 时的定态方程 （/） 与一维定态薛定谔方程数学形式 完全一致 ! 由于研究的是 （ /） 式的定态形式即驻波 万方数据 解， 力函数 （ 仅与空间有关， 所以可以考虑方程 ( #）
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（/）
这就是所设系统的运动方程 ! 与相对论性量子 论的 012#$345675$ 方程数学形成上完全一样， 比一 维含时薛定谔方程 （8） 在时间变量上多一次偏导 ! " # " （ #） （8） # # %$ ’ & , ) $! ,$ + * " "# （ #） " 在方程 （/） 中的作 重要的是力函数 ( ’ & " 用与薛定谔方程中的势函数 * （ #） 完全一样， 正是 这一点， 保证了我们能够模拟一维定态薛定谔方程 ! 下面将证明这一点 !
・ 通解为 （ * (） " ,・ /0" + ， % 是定态能量， -%
(
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% " "- 物 ! 程的时间方程 （*） 的通解为 （ + ）" / ・ 234 "# ・ 0+ 5 1 4-6 "# ・ 0+ ! . 即此弦振动的圆频率为 - 弦 " "# ・ 0 ， 写成
（#1）
的共振驻波几乎出现不了 ! 可以预料， 如果将这个装 置放于真空中， 更高次的驻波一定可以观察到， 实验
8期
刘剑波等： 一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
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量密度 ! 根据牛顿第二定律 （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ $%% ! ! "#$ % & ! "#$ ! !& " （(） 因 )* 故 "#$ ! ’ $# ， !’ $# )* ! ’ ! , , !( + )* ! !( + $ # （,） （-）
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$ ! 2， （ (） （ (） ， ’ !) !物 !!弦 ，
- 物 ! -# 弦 ! （##）
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在 （$&） 式中令 $ " #， 即在弦的势阱中形成一个 驻波 （波长!弦 ） （$&） ， 式化为 ・# （$)） ## " ! # ! !弦 （$(） （$)） ， 式代入对应关系 （$%） 式， 并整理得
第 "# 卷 第 " 期 $##! 年 " 月 （#"） !###2’$:#;$##!;"# ;#<$#2#"
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［!—’］ 用 即将微分方程的 & 本文将研究另外一种方法，
实验模拟法引入量子力学 & 建立一个宏观波动体系， 这个体系所服从的波动方程在数学形式上与薛定谔 方程一样， 那么， 我们就可以用实验的方法研究这个 宏观体系在各种边界条件下所表现出的现象， 这些 宏观现象在数学上对应量子体系的行为 & 这样， 就通 过研究宏观现象巧妙地研究了微观现象 & 这样做有 三点好处： 一是使难以理解的量子现象有了一个宏 观类比； 二是宏观实验可以模拟任意形状的定态势 场约束下德布罗意波的行为， 这是严格求解法和近 似计算法做不到的； 三是通过宏观模拟可以洞察一 些至今没有发现的量子现象 & 对于定态的薛定谔方 程， 本文介绍的工作达到了上述目的 & 在弦上任取一小段 &&7 & 由于弦的振动是微小 的， 故可以认为弦在振动过程中并未伸长， 即可以认 为 &&7 的弧长 !’ , !$ ， 这时张力 ! 是一个常数， 它 与位置 $ 和时间 ( 均无关 & 又由于弦是柔软的， 所以
0’ 中， 其他参数的数据为： & " ’ 4， # " $ ! ) < $1 =>?@， 橡胶丝间距 5 " 1+1’ @， )/ " % 4 ? ! ， )1 " 1 ! ’ 4 ? ! ，