2011年希望杯全国数学竞赛试试题及答案
2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(五年级第2试)
2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试）一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：0.15÷2.1×56=_________．2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115=_________．3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除以6，得余数_________．4．（5分）数一数图中有_________个正方形．5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1=1×1=1×1×1 64=8×8=4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有_________个．6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个自然数是_________．7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有_________个白子．8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到达B地后，再经过_________分钟，乙到达A地．9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是_________平方米．10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，小丽的桶最多可以装_________千克水，小明的桶最多可以装_________千克水．11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）…则最后一个括号内的各数之和是_________．12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8倍时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大_________岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是_________岁．二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直接作图，不写解答过程）14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求：（1）AB两地的距离．（2）乙车的速度．16．（15分）观察以下的运算：若是三位数，因为=100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）所以，若a+b+c能被9整除，能被9整除．这个结论可以推广到任意多位数．运用以上的结论，解答以下问题：（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数．（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2试）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：0.15÷2.1×56=4．×，2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115=1234567935．3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除以6，得余数5．4．（5分）数一数图中有18个正方形．5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1=1×1=1×1×1 64=8×8=4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有3个．6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个自然数是385．=308x=308×7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有3个白子．8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两人相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到达B地后，再经过140分钟，乙到达A 地．9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得到24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是18平方米．10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，小丽的桶最多可以装 3.2千克水，小明的桶最多可以装 6.4千克水．×，解这个方程即可解决问题．×，11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数的规律分组如下（每个括号为一组）：（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）…则最后一个括号内的各数之和是6027．12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8倍时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大57岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是31岁．岁；则爷爷﹣二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直接作图，不写解答过程）14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求：（1）AB两地的距离．（2）乙车的速度．16．（15分）观察以下的运算：若是三位数，因为=100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）所以，若a+b+c能被9整除，能被9整除．这个结论可以推广到任意多位数．运用以上的结论，解答以下问题：（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数．（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．。
2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题详解
2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级 第2试一、填空题（每小题5分，共60分）1. 计算：114154.0625.3-+。
= 。
解析：因为有循环小数，所以需要化成分数来计算。
3.625=3又8分之50.45,45循环，化成分数：99分之45，约分为11分之5 原式得：886321141115853=-+2.对于任意两个数x 和y ，定义新运算 和⊗，规则如下： x y =yx y x 22++，x ⊗y =3÷+⨯y x y x如：1 2=54221212=⨯++⨯，1⊗2=5115632121==÷+⨯由此计算，。
63.0。
)2114(⊗= 。
解析：先计算小括号里的。
63.0,34321142114)2114( =÷+⨯=⊗◆25173429936349936234=⨯++⨯=3.用4根火柴，在桌面上可以拼成一个正方形；用13根火柴，可以拼成四个正方形；…如图所示，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需火柴 根。
26根火柴13根火柴4根火柴解析：动手画一画找规律：底层1个正方形4根，底层3个正方形正好是在原正方形的基础上加3*3=9根， 底层5个正方形是在3个正方形的基础上加了3个3根，2个2根。
底层7个正方形是在5个正方形的基础上加了3个3根，4个2根。
底层9个正方形是在7个正方形的基础上加了3个3根，6个2根。
规律已经找到了，底层每多加了2个，整个图形，就会加了3个3根，（n-3）个2根。
但是注意：从1个正方形到15个正方形，一共有8个图，7个间隔，所以要加7个3*3， 所以，底层15个正方形需要：4+7*3*3+（2+4+6+8+10+12）*2=151根火柴 （注意：不一定对，再换上面的方法死算验证）验证： 1个：4根3个：4+3*3=13根 5个：13+3*3+2*2=26根 7个：26+3*3+4*2=43根 9个：43+3*3+6*2=64根 11个：64+3*3+8*2=89根 13个：89+3*3+10*2=118根 15个：118+3*3+12*2=151根经验证正确。
2011年希望杯六年级二试试题和答案
2011年“希望杯”复赛真题及答案详解（六年级）一、填空题1. 计算：43.6250.451_________.11+-= 2. 对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：223x y x y x y x y x y x y +⨯=⊗=++÷，，◆ 如 212412611212==121225551+3⨯+⨯==⊗=+⨯， ◆。
由此计算，10.36412⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭◆ 。
3. 用4根火柴，在桌面上可以拼成一个在正方形；用13根火柴，可以拼成四个正方形；……如下图，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需火柴 根。
4. 若自然数N 可以表示成3个连续自然数的和，也可以表示成11个连续自然数的和，还可以表示成12个连续自然数的和，则N 的最小值是 。
（注：最小的自然数是0）5. 十进制计数法，是逢10进1，如：21010242104136531061051=⨯+⨯=⨯+⨯+⨯， ；计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如：2321021027121211111121202011100=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=，12。
如果一个自然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54，那么最小的_______________m =，___________n =。
（注n n a a a a a a =⨯⨯⨯⨯个）6. 我国除了用公历纪年外，还采用干支纪年，根据图中的信息回答：公历1949年，按干纪年法是年4根火柴 13根火柴 26根火柴……7.盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球。
为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球次。
8.根据图中的信息回答，小狗和小猪同时读出的数是。
9.下图中的阴影部分的面积是平方厘米。
（ 取3）10.甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元。
付钱时，甲先乙后，10元10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付。
2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(四年级第2试)
2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）一、填空（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：234+432﹣4×8+330÷5=．2．（5分）四（1）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：18；当从右往左报数时，小华报：13．那么，该班有学生名．3．（5分）如果25×口÷3×15+5=2005，那么口．4．（5分）如图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有个．5．（5分）在括号内填上两个相邻的整数，使等式成立．6．（5分）由数字0，3，6组成的所有三位数的和．7．（5分）某种品牌的电脑降价20%后，每台售价为4592元，则该品牌电脑降价前每台售价元．8．（5分）已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是．9．（5分）把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和．则中间方格中能填的数是．10．（5分）图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是．11．（5分）小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距家米．12．（5分）在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=．二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）将一副三角板摆放在一起（可以叠放），使同时出现15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°这七个角，请画图说明并表示出这些角．14．（15分）连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：123456789…2008请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？15．（15分）甲、乙、丙三辆车同时从A地出发驶向B地，依次在出发后5小时、5小时、6小时与迎面驶来的一辆卡车相遇．已知甲、乙两车的速度分别是80千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度．16．（15分）将66个乒乓球放入10个盒子中，要求每只盒子都要有乒乓球，有且只有两个盒子中的乒乓球的个数相同，能办到吗？若能办到，请说明一种具体方法．若办不到，请说明理由．2011年第9届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2试）参考答案与试题解析一、填空（每小题5分，共60分）1．（5分）计算：234+432﹣4×8+330÷5=700．【分析】先计算算式中的乘法与除法，得到算式234+432﹣32+66，将这个算式中66使用加法交换律使它与234相加，然后再按照整数的四则混合运算进行计算即可得到答案．【解答】解：234+432﹣4×8+330÷5，=234+432﹣32+66，=234+66+432﹣32，=300+432﹣32，=732﹣32，=700．故答案为：700．2．（5分）四（1）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：18；当从右往左报数时，小华报：13．那么，该班有学生30名．【分析】根据题意，可知小华的左边有17人，右边有12人，由此即可求得该班总人数．【解答】解：小华的左边有17人，右边有12人，17+12+1=30（人）；答：该班有学生30名．故答案为：30．3．（5分）如果25×口÷3×15+5=2005，那么口16．【分析】由题目可以看出：25×口÷3×15是2005与5的差，即为2000；25×口÷3是2000与15的商，即为2000÷15；25×口是2000÷15与3的积，即为400；由此可以求出□的值．【解答】解：25×口÷3×15=2005﹣5=200，25×口÷3=2000÷15，25×口=2000÷15×3=400，25×口=400，□=16；答：ϖ应是16．故此题答案为：16．4．（5分）如图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有24个．【分析】根据方类数图形的计数原理和方法，分别计算出行、列所包含的面积是6的长方形的个数，然后合并起来即可．【解答】解：图形中行所包含的面积是6的长方形是：3×4=12（个）；图形中列所包含的面积是6的长方形也是12个；一共有：12+12=24（个）；答：图中面积是6的长方形有24个．故答案为：24．5．（5分）在括号内填上两个相邻的整数3、4，使等式成立．【分析】根据题意，由分析分数的拆项，，就可以求出结果．【解答】解：由可知，这两个连续的自然数的积是12，因3×4=12，所以，==，故答案是：3、4．6．（5分）由数字0，3，6组成的所有三位数的和1899．【分析】根据题干，利用枚举法列举出0，3，6可以组成的所有三位数，①0不能为最高位；②3为最高位时可以组成：360；306；③6为最高位时可以组成：603；630．即可计算得出正确答案．【解答】解：根据题干分析可得：360+306+630+603=1899，答：由数字0，3，6组成的所有三位数的和是1899．故答案为：1899．7．（5分）某种品牌的电脑降价20%后，每台售价为4592元，则该品牌电脑降价前每台售价5740元．【分析】“降价20%”是把电脑原来的价格看作单位“1”，按原来价格的1﹣20%=80%出售，所以原来的价格为4592÷80%．【解答】解：4592÷（1﹣20%），=4592÷80%，=5740（元）；答：该品牌电脑降价前每台售价5740元．故答案为：5740．8．（5分）已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是12．【分析】因为两个自然数的积是35，所以这两个数一定是5和7，故和为：5+7=12．【解答】解：设这两个数分别为a和b，则a×b=35．又a、b都是自然数，在自然数范围内，积为35的只有5和7．所以a+b=12．故答案为：12．9．（5分）把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和．则中间方格中能填的数是1991，1993，1995．【分析】为了便于计算研究，我们把这五个数只取个位上的数字分别为：1、2、3、4、5．因为在横竖排的和中都含有中间的数字，设中间的数字为a，所以根据题意可表示出每排三个数字的和：（1+2+3+4+5+a）÷2=（15+a）÷2，要使（15+a）能被2整除，a只能等于1或3或5；故中间方格中能填的数是：1991，1993，1995．【解答】解：为了便于计算研究，我们把这五个数只取个位上的数字分别为：1、2、3、4、5．设中间的数字为a，所以根据题意可表示出每排三个数字的和：（1+2+3+4+5+a）÷2，=（15+a）÷2，要使（15+a）能被2整除，又因为这五个数是整数，所以a只能等于1或3或5；也就是代表的原数1991，1993，1995．故答案为：1991，1993，1995．10．（5分）图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是∠1．【分析】借助正方形和线段构成的角来比较角的大小．：∠1=180°﹣（∠3+∠4），∠2=180°﹣（∠4+∠5）=180°﹣2∠4．很明显∠3＜∠4，所以180°﹣（∠3+∠4）＞180°﹣2∠4．即∠1＞∠2．【解答】解：∠1=180°﹣（∠3+∠4），∠2=180°﹣（∠4+∠5）=180°﹣2∠4．很明显∠3＜∠4，所以180°﹣（∠3+∠4）＞180°﹣2∠4．即∠1＞∠2．11．（5分）小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距家200米．【分析】可根据上北下南，左西右东的方法进行作图，如图可连接C点与小明的家，可以看出小明跑过的路程为一个长方形，根据长方形的对边相等的性质，小明家距离C点有200米．【解答】解：如图小明站在C点时距离小明家的距离=点A到点B的距离，故答案为：200．12．（5分）在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=18．【分析】先确定每行、每列、每条对角线上的三个数的和，8+6+16=30；再确定对角线上的中心数：30﹣8﹣12=10，然后求出右上角的数：30﹣16﹣10=4；最后得出第一行中间的数N=30﹣8﹣4=18．【解答】解：每行、每列、每条对角线上的三个数的和是：8+6+16=30；中心数是：30﹣8﹣12=10，右上角的数是：30﹣16﹣10=4；第一行中间的数是：N=30﹣8﹣4=18．二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．13．（15分）将一副三角板摆放在一起（可以叠放），使同时出现15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°这七个角，请画图说明并表示出这些角．【分析】30°、45°、60°、90°的角在三角板中能找出，可直接利用三角板画出，15°、75°、105°的角要用两个三角板中的角组合画出．【解答】解：所要画出的角如下图：14．（15分）连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：123456789…2008请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【分析】能被3整除的数的特征，各位数字和被3整除的数，本身能被3整除．各位数字和被3除余几，原数被3除就余几．【解答】解：（1+2+3+ (2008)=（1+2008）×2008÷2=2017036．（2+1+7+3+6）÷3，=19÷3，=6…1；则可推得原数字123…2008被3除余1．答：这个多位数除以3，得到的余数是1．15．（15分）（2010•拱墅区校级自主招生）甲、乙、丙三辆车同时从A地出发驶向B地，依次在出发后5小时、5小时、6小时与迎面驶来的一辆卡车相遇．已知甲、乙两车的速度分别是80千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度．【分析】已知三车与卡车的相遇时间及甲乙两车的速度，因此可先据速度差×时间=路程差求出甲车与卡车相遇时比乙车多行的路程，即此时卡车和乙车的距离，然后再据路程÷相遇时间=速度和，即能求出卡车的速度；求出卡的速度后再据和丙车的相遇时间即能求出丙的速度．【解答】解：卡车的速度为：[（80﹣70）×5]÷（55）﹣70=50﹣70，=120﹣70，=50（千米/小时）．丙车的速度为：[（80+50）×5]÷﹣50=650÷﹣50，=100﹣50，=50（千米）．答：卡车的速度与丙车的速度同为每小时50千米．16．（15分）将66个乒乓球放入10个盒子中，要求每只盒子都要有乒乓球，有且只有两个盒子中的乒乓球的个数相同，能办到吗？若能办到，请说明一种具体方法．若办不到，请说明理由．【分析】每个盒子都放，且数目都不一样，至少用1+2+…+10=55个乒乓球，还剩下66﹣55=11个，从1﹣﹣9个的里面任取一个盒子，再放入一个球，例如在放了4个的里面再放一个，这样就有两个盒子有5个球，然后把剩下的10个球都放入最后一个盒子，由此即可得出10个盒子里面的数目．【解答】解：此题的答案有很多，只要把66拆成符合条件的10个数相加即可，这里只说一种方法，首先每个盒子都放，且数目都不一样，至少用的乒乓球的个数是：1+2+…+10=55（个），还剩下：66﹣55=11（个），从1﹣﹣9个的里面任取一个盒子，再放入一个球例如在放了4个的里面再放一个，这样就有两个盒子有5个球，然后把剩下的10个球都放入最后一个盒子，10个盒子里面的数目为：1，2，3，5，5，6，7，8，9，20，答：能将66个乒乓球放入10个盒子中，每只盒子都要有乒乓球，并且只有两个盒子中的乒乓球的个数相同．参与本试卷答题和审题的老师有：pyzq；xiaosh；rdhx；姜运堂；吴涛；齐敬孝；xuetao；春暖花开；admin；zhuyum（排名不分先后）菁优网2017年2月8日第11页（共11页）。
2011年“希望杯”数学建模竞赛题目
2011年“希望杯”数学建模竞赛题目（任选一题）A题申请留学的策略现在选择出国留学学生越来越多，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。
如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。
通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。
考虑到以下两个因素：（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。
因此，学校实际发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。
但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。
由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。
因此，发出“offer”需要一定的策略。
当前的情况为：学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。
学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。
签证被拒的比例在上升。
所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。
问题：（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。
（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？B题奶产品定价某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。
原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。
各种产品的百分比组成见下表：产品\成分脂肪奶粉水牛奶 4 9 87奶油80 2 18奶酪1 35 30 35奶酪2 25 40 35往年的国内消费和价格如下表：产品牛奶奶油奶酪1 奶酪2消费量（千吨）4820 320 210 70价格（元/吨）297 720 1050 815价格的变化会影响消费需求。
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
希望杯 数学答案
40
3
题号
16
17
18
19
20
答案
11
2；8
11；8
7
6030
题号
附加题1
附加题2
答案
58
60
评分标准：第1~20题，每题6分（其中，第4，7，12，17，18题，每空3分）；附加题，每题10分。
六年级
题号
1
2
3
4
5
答案
180
15；蛋白
48
题号
6
7
8
9
10
答案
2
42；12
7000
79
题号
11
12
13
14
15
答案
45:61
奇
；12点49 分
1
600
题号
16
17
18
19
20
答案
64
13；7
乙
77
90
题号
附加题1
附加题2
答案
8
A；33
评分标准：第1~20题，每题6分（其中，第4，7，13，17题，每空3分）；
附加题，每题10分（其中，附加题2，每空5分）。
题号
附加题1
附加题2
答案
10067
21
评分标准：第1~20题，每题6分（其中，第6，10，16题，每空3分；第9，19题，每空2分）；
附加题，每题10分。
五年级
题号
1
2
3
4
5
答案
100
0.55
2013
1；9
5
题号
6
7
2011年第九届希望杯六年级二试详解
2011年“希望杯”复赛真题及答案详解（六年级）一、填空题1. 计算：43.6250.451_________.11+-= 【分析】原式=3.625+0.(45)-1.(36)=2.625+(1.(45)-1.(36))=2.625+0.(09)=2.715(90)。
（这里用括号代替表示循环节）2. 对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：223x y x y x y x y x y x y +⨯=⊗=++÷，，◆ 如 212412611212==121225551+3⨯+⨯==⊗=+⨯， ◆。
由此计算，10.36412⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭◆ 。
【分析】后一部分等于(4×1.5)÷(4+1.5÷3)=4/3，而0.(36)=4/11，所以原式=(2×4/11+4/3)÷(4/11+2×4/3)=(2/11+1/3)÷(1/11+2/3)=17/25。
3. 用4根火柴，在桌面上可以拼成一个在正方形；用13根火柴，可以拼成四个正方形；……如下图，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需火柴 根。
【分析】第二个图形比第一个图形多9根火柴，第三个图形比第二个图形多13根火柴，经尝试，第四个图形比第三个图形多17根火柴，而最下面一层有15根火柴的是第8个图形，所以共需要火柴4+(9+13+17+21+25+29+33)=151根。
4. 若自然数N 可以表示成3个连续自然数的和，也可以表示成11个连续自然数的和，还可以表示成12个连续自然数的和，则N 的最小值是 。
（注：最小的自然数是0）4根火柴 13根火柴 26根火柴……【分析】因为奇数个连续自然数之和等于中间数乘以数的个数，所以N 能被3和11整除，也就是能被33整除；因为偶数个连续自然数之和等于中间两个数的平均值乘以数的个数，所以N 等于一个整数加上1/2再乘以12，也就是被12除余6，最小为66。
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
2011年希望杯初赛试题讲解五年级(上)答案
经典竞赛试题—2011年第九届希望杯初赛考试真题讲解与考点分析(五年级)上每题6分，共120分1．计算：1.25×31.3×24 ＝______。
2．把0.123，0.1230.1230.123，，按照从小到大的顺序排列，_____＜______ ＜ _______ ＜ _______。
3．先将从1开始的自然数排成一列：123456789101112131415…… 然后按一定的规律分组：1，23，456，7891，01112，131415，……在分组后的数中，有一个十位数，这个十位数是__________________ 。
4．如图，从A 到B ，有_____条不同的路线。
(不能重复经过同一个点)5．数一数，图中有_____个正方形。
6．一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等。
若被除数是47，则除数是_____，余数是_____。
7．如果六位数2011□□能被90整除，那么它的最后两位数是_____。
8．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”。
那么，1000以内最大的“希望数”是_____。
9．将等边三角形纸片按图1所示步骤折叠3次，(图1中的虚线是三边的中点的连线)，然后沿过两边的中点的直线减去一角(如图2)。
将剩下的纸片展开，平铺，得到的图形是______。
10．如图，甲、乙两人按箭头方向从A点同时出发，沿着正方形ABCD的边行走，正方形ABCD的边长是100米，甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人在E点第一次相遇，则三角形ADE的面积比三角形BCE 的面积大_______平方米。
甲乙相遇一共走了正方形周长400米，时间相同，甲的速度是乙的速度的1.5倍，则所走路程也是1.5倍，全部共走了2.5份，则1份距离是：400÷2.5＝160米，也就是乙走的路程；可知DE＝60米，则EC＝40米；则三角形ADE的面积比三角形BCE的面积大：100×60÷2－100×40÷2＝1000平方米。
希望杯数学竞赛第一届至十历届四年级全部试题与答案(打印版)
目录1.第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (2)2. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (5)3. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (7)4. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (10)5. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (13)6. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (16)7. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (18)8. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (21)9. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (23)10. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (26)11. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (28)12. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (30)13. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (32)14. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (36)15. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (39)16. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (41)17. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (44)18. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (46)19. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (48)20. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (50)21.第一届---第八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案 (53)第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
2011年希望杯全国数学竞赛试试题及答案
第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初一第2试2011年4月10日上午9: 00至11: 00 得分 ______ 一、选未经题希望小题组委分授权共任何分位和以个下每题的四或选项中试卷仅有一准个是正确的(包括将表示 正确的英文字母写在每题后面的圆括号内 a1. 有理数a , b 满足20a 11| b |=0 (b=0)，则 号 是b(A)正数(B)负数 (C)非正数 (D)非负数。
2. 如图1,直线MN 〃直线PQ ，射线OA_射线OB , BOQ=30。
若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60后，这时图中30的角的个数是 A BMN(A) 4(B) 3(C) 2(D) 1。
3. 有理数a , b 在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式P |a 7 |a| .丄2 1 "的值是O 图1+ ------ —a 1 a |a-b| |b-1| (B) 0AEFG , △ DFE , (C) 1 (D) 2 o a—-1 0 1BIHE 都是平行四边形，且 E 是DC 的中点，点图)2在FG 上,△ EHC , △ BCI 的面积依次记为 Si , S 2,(B) S 1 S 2<S 3 S 4 (D) S 1 S 2与S3 S 4大小关系不确定5. If x is a prime number, y is an integer, ancX 21△二 2y 3, then xy 2=(A) 8(B) 16(C) 32(D) 64(英汉小辞典：prime number 质数，integer ：整数)6. 如图4, AB//CD//EF//GH , AE//DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上。
设与相等的角的 个数为m,与互补的角的个数为n ,若•」：，则m ，n 的值是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11o7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利 10%，而后乙又将这些 股票反卖给甲，但乙损失了 10% o最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述 股票交易中的其它费用忽略不计，则甲 (A)盈亏平衡 (B)盈利1元 (C)盈利9元 (D)亏损1.1 8. 梯形的上底长5,下底长10,两腰分别长3和4,那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 302 2011 39. 已知 | x |一3, | y |一1, | z |4 且 | x-2y z |=9,则 xy z 的值是 (D) -576。
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷(四年级第1试)
2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第1试）一、解答题（共20小题，满分114分）1．（6分）计算：（7777+8888）÷5﹣（888﹣777）×3＝．2．（6分）计算：1+11+21+…+1991+2001+2011＝．3．（6分）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是．4．（6分）小于100的最大的自然数与大于300的最小的自然数的和，是不大于200的最大的自然数的倍．5．既是6的倍数又是8的倍数的所有两位数的和是．6．（6分）四年级一班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有人．7．（6分）按照左侧四个图中数的规律，在第五个图中填上适当的数：8．（6分）已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是．9．（6分）如图，△ABC的面积为36，点D在AB上，BD＝2AD，点E在DC 上，DE＝2EC，则△BEC的面积是．10．（6分）今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大岁．11．（6分）某次考试，A、B、C、D、E五人的平均分是90分．若A、B、C 的平均分是86分，B、D、E的平均分是95分，则B的得分是分．12．（6分）如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC＝20°，∠EOD＝60°，则∠AOE＝，∠BOC＝．13．（6分）如图，四边形ABCD与CEFG是边长相等的正方形，且B、C、G 在一条直线上，则图中共有个正方形，个等腰直角三角形．14．（6分）一个水桶里有水，若将水加到原来的4倍，桶和水共重16千克；若将水加到原来的6倍，桶和水共重22千克．则桶内原有水千克，桶重千克．15．（6分）某个两位数的个位数字和十位数字的和是12，个位数和十位数字交换后所得两位数比原数小36，则原数是．16．（6分）王强步行去公园，回来时坐车，往返用了一个半小时，如果他来回都步行，则需要2个半小时，那么，他来回都坐车，则需分钟．17．（6分）图中“C”形图形的周长是厘米．18．（6分）如图，从1，2，3，4，5，6中选出5个数填在图中空格内，使填好的格内的数右边的比左边的大，下边的比上边的大，则共有种不同的填法．19．（6分）三个连续自然数中最小的数是9的倍数，中间的数是8的倍数，最大的数是7的倍数，则这三个数的和最小是．20．（6分）甲、乙、丙、丁、戊五人猜测全班个人学科总成绩的前五名：甲：“第一名是D，第五名是E．”乙：“第二名是A，第四名是C．”丙：“第三名是D，第四名是A”，丁：“第一名是C，第三名是B．”戊：“第二名是C，第四名是B．”若每个人都是只猜对一个人的名次，且每个名次只有一个人猜对，则第一、二、三、四、五名分别是．2011年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第1试）参考答案与试题解析一、解答题（共20小题，满分114分）1．（6分）计算：（7777+8888）÷5﹣（888﹣777）×3＝3000 ．【分析】把7777+8888与888﹣777，拆成两个数的乘积，再根据乘法分配律进行计算即可．【解答】解：（1111×7+1111×8）÷5﹣（111×8﹣111×7）×3，＝1111×（7+8）÷5﹣111×（8﹣7）×3，＝1111×（15÷5）﹣111×1×3，＝1111×3﹣111×3，＝（1111﹣111）×3，＝1000×3，＝3000．故答案为：3000．【点评】本题主要考查乘法分配律的灵活运用，根据数字特点找出巧算的方法进行计算即可．2．（6分）计算：1+11+21+…+1991+2001+2011＝203212 ．【分析】通过观察，相邻两个数的差是10，这是一个等差数列，可以用高斯求和公式进行简算．这一数列共有（2011﹣1）÷10+1＝202个数，然后运用公式计算即可．【解答】解：1+11+21+…+1991+2001+2011，＝（1+2011）×[（2011﹣1）÷10+1]÷2，＝2012×202÷2，＝203212．故答案为：203212．【点评】此题的关键是先探索出这是一个等差数列，运用“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”算出项数．3．（6分）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是5，13，17，29 ．【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．30以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29；4的倍数特征是个位上的数是偶数；由此解答．【解答】解：5+3＝8；13+3＝16；17+3＝20；29+3＝32；8，16，20，32都是4的倍数；故答案为：5，13，17，29．【点评】此题的解答主要明确质数的意义，掌握30以内的10个质数，和4的倍数的特征．4．（6分）小于100的最大的自然数与大于300的最小的自然数的和，是不大于200的最大的自然数的 2 倍．【分析】此题要找出小于100的最大自然数是99，大于300的最小自然数是301，不大于200（即小于或等于200）的最大自然数是200，由此本题可以看做是：“99和301的和是200的多少倍？”．【解答】解：（99+301）÷200，＝400÷200，＝2；答：是不大于200的最大的自然数的2倍．故答案为：2．【点评】解决此题的关键是，根据题干先得出“小于100的最大的自然数”是99、“大于300的最小的自然数”是301，“不大于200的最大的自然数”是200．5．既是6的倍数又是8的倍数的所有两位数的和是240 ．【分析】既是6的倍数，又是8的倍数，先分解质因数，6分为2×3，8分为2×2×2，再找出最小公倍数，两位数的公倍数只有四个数：24，48，72，96，相加即得答案240．【解答】解：根据分析，先分解质因数6＝2×3，8＝2×2×2，则两者的最小公倍数即为24，符合条件的所有两位数公倍数为：24，48，72，96；所有这些两位数之和：24+48+72+96＝240，故答案为：240．【点评】本题考查了公倍数和数的整除运算知识，本题突破点是：找出两者之间的最小公倍数．6．（6分）四年级一班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有 2 人．【分析】只要从总人数12人中，把会打乒乓球和会下象棋的人数减掉，剩下的就是这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的人数；此题可以画图分析：5+8＝13人，这里重复加了一次既会打乒乓球有会下象棋的3人，所以会打乒乓球和会下象棋的人数为13﹣3＝10人，则剩下的12＝2人就是这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的人数．【解答】解：12﹣（5+8﹣3）＝2（人），答：这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有 2人．故答案为：2．【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用．7．（6分）按照左侧四个图中数的规律，在第五个图中填上适当的数：【分析】（1）根据题干，图中1的位置变化规律是：按顺时针方向依次移动一个格；（2）数字排列规律是：分别按1、3、5、2、4、6的顺序排列的，而且第奇数幅是按顺时针排列，第偶数幅是按逆时针排列；第五幅图是第奇数幅，所以按顺时针排列．【解答】解：根据题干分析可得：（1）图中1的位置变化规律是：按顺时针方向依次移动一个格；所以先确定1的位置如下图所示；（2）第五幅图是第奇数幅，所以按顺时针排列，所以可以在图中添上正确的数字如下图所示：【点评】根据题干得出1的位置变化规律和图中数字1、3、5、2、4、6的排列特点是解决此题的关键．8．（6分）已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是10 ．【分析】只要求出被改动的两个数是多少，即能求出这两个被改动的数以外的7个数的乘积是多少．已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，积缩小了800÷200＝4（倍），则这个被改动的数也被缩小了4倍，则被改动的这个数为：4×4＝16；同理，1200÷200＝6，积扩大了6倍，第二个被改动的数也被扩大了6倍，其原来应为：30÷6＝5，所以则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是：800÷（16×5）＝10．【解答】解：第一个数原来为：（800÷200）×4＝16；第二个数原来为：30÷（1200÷200）＝5；则两个被改动的数以外的7个数的乘积是：800÷（16×5）＝10．故答案为：10．【点评】在乘法算式，其中一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也相应的扩大（或缩小）多少倍．9．（6分）如图，△ABC的面积为36，点D在AB上，BD＝2AD，点E在DC 上，DE＝2EC，则△BEC的面积是8 ．【分析】（1）△ABC的面积是36，BD＝2AD，根据高一定时，三角形的面积与底成正比的性质即可得出：△ABC的面积：△BDC的面积＝3：2，所以：△BDC的面积是：36×2÷3＝24；（2）△BDC的面积是36×2÷3＝24，DE＝2EC，根据高一定时，三角形的面积与底成正比的性质即可得出：△BEC的面积：△BDC的面积＝1：3，所以△BEC的面积是24÷3＝8．【解答】解：因为BD＝2AD，根据高一定时，三角形的面积与底成正比的性质即可得出：△ABC的面积：△BDC的面积＝3：2，故△BDC的面积是36×2÷3＝24；因为DE＝2EC，同理可得：△BEC的面积：△BDC的面积＝1：3，故△BEC的面积是24÷3＝8．答：△BEC的面积是8．故答案为：8．【点评】此题反复考查了高一定时，三角形的面积与底成正比的性质的灵活应用．10．（6分）今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大28 岁．【分析】4年后，李林和他爸爸的年龄之和是50+4×2＝58岁，设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是3x﹣2岁，根据他们的年龄之和是58岁列出方程即可解决问题．【解答】解：设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是3x﹣2岁，根据题意可得方程：x+3x﹣2＝50+4×2，4x＝60，x＝15，3×15﹣2＝43（岁），43﹣15＝28（岁），答：李林的爸爸比他大28岁．故答案为：28．【点评】此题也可以这样分析，4年后，李林和爸爸的年龄之和就是58岁，把李林的年龄看做1份，那么爸爸的年龄就是3份少2岁，由此可以求出1份即李林的年龄为：（58+2）÷4＝15（岁），由此可得爸爸58﹣15＝43岁，则爸爸比李林大28岁．11．（6分）某次考试，A、B、C、D、E五人的平均分是90分．若A、B、C 的平均分是86分，B、D、E的平均分是95分，则B的得分是93 分．【分析】根据“平均数×数量＝总数”分别计算出A、B、C三个数的和与B、D、E三个数的和与这五个数的和，进而用“A、B、C三个数的和+B、D、E三个数的和﹣五个数的和”进行解答即可．【解答】解：（86×3+95×3）﹣（90×5），＝543﹣450，＝93（分）；故答案为：93．【点评】解答此题的关键：根据平均数和数量、总量之间的关系进行分析解答．12．（6分）如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC＝20°，∠EOD＝60°，则∠AOE＝100°，∠BOC＝160°．【分析】由图可知，∠AOC＝20°、∠EOD＝60°与∠AOE相加等于180°，由此即可求得∠AOE的度数；∠BOC与∠AOC＝20°互为补角，根据补角的定义即可解答．【解答】解：∠AOE＝180°﹣∠AOC﹣∠EOD＝180°﹣20°﹣60°＝100°．∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣20°＝160°．故答案为：100°；160°．【点评】本题主要考查角的度量与补角的定义，根据几个角的和差关系进行计算是解题关键．13．（6分）如图，四边形ABCD与CEFG是边长相等的正方形，且B、C、G 在一条直线上，则图中共有 3 个正方形，22 个等腰直角三角形．【分析】根据图形可知，正方形有：ABCD、CEFG、BEGD三个；在正方形ABCD、CEFG和BEGD中，单一三角形是10个，有两个小三角形组成的是8个；由3个三角形组成的等腰直角三角形是4个；由此解答．【解答】解：图中共有正方形3个；等腰直角三角形有：10+8+4＝22（个）；故答案为：3；22【点评】此题主要考查通过分类、观察、思考探寻事物规律的能力．14．（6分）一个水桶里有水，若将水加到原来的4倍，桶和水共重16千克；若将水加到原来的6倍，桶和水共重22千克．则桶内原有水 3 千克，桶重 4 千克．【分析】根据题意知道，桶的重量不变，（22﹣16）千克的水就是水原来的（6﹣4）倍，由此即可求出原来的水的千克数，那桶的重量即可求出．【解答】解：桶内原有水：（22﹣16）÷（6﹣4），＝6÷2，＝3（千克），桶重：16﹣4×3，＝16﹣12，＝4（千克）；答：桶内原有水3千克，桶重4千克．故答案为：3，4．【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出对应的数和对应的倍数，由此列式解答即可．15．（6分）某个两位数的个位数字和十位数字的和是12，个位数和十位数字交换后所得两位数比原数小36，则原数是84 ．【分析】设个位数字是x，则十位数字是12﹣x，所以可得：原来两位数是10（12﹣x）+x，交换位置后的新两位数是10x+12﹣x；根据新数比原数小36，列出方程即可解决问题．【解答】解：设个位数字是x，则十位数字是12﹣x，那么原来两位数是10（12﹣x）+x，交换位置后的新两位数是10x+12﹣x；根据题意可得方程：10（12﹣x）+x﹣（10x+12﹣x）＝36，18x＝72，x＝4；12﹣4＝8，答：原数是84．故答案为：84．【点评】此题设出个位数字和十位数字，从而得出原两位数和新两位数是解决本题的关键．16．（6分）王强步行去公园，回来时坐车，往返用了一个半小时，如果他来回都步行，则需要2个半小时，那么，他来回都坐车，则需30 分钟．【分析】来回都步行，需要2个半小时说明王强步行单程用：2.5÷2＝1.25（小时），又因为步行去公园，回来时坐车，往返用了一个半小时，则坐车单程用：1.5﹣1.25＝0.25（小时），则来回都坐车用时：0.25×2＝0.5（小时）．【解答】解：（1.5﹣2.5÷2）×2，＝0.25×2，＝0.5（小时）；0.5小时＝30分钟．故答案为：30．【点评】完成本题的关健是：在求出步行单程所用时间的基础上，求出坐车单程所用时间．17．（6分）图中“C”形图形的周长是32 厘米．【分析】如图，将内部的2厘米边平移到外面红色线段处，这样这个图形的周长就是这个边长为6厘米的正方形的边长与内部横着的两条长为6﹣2＝4厘米的线段的长度之和，由此利用正方形周长公式代入数据即可解决问题．【解答】解：根据题干分析可得：6×4+（6﹣2）×2，＝24+8，＝32（厘米），答：这个图形的周长是32厘米．故答案为：32．【点评】借助平移的性质将图形中的某些线段移动到规则图形的边上，使求这个不规则图形的周长转化成求规则图形的周长是解决此类题目的主要解题思路．18．（6分）如图，从1，2，3，4，5，6中选出5个数填在图中空格内，使填好的格内的数右边的比左边的大，下边的比上边的大，则共有30 种不同的填法．【分析】此题根据乘法原理进行解答，从6个数中选出5个进行填空，共有6×5种．【解答】解：从6个数中选出5个进行填空，共有：6×5＝30（种）；故答案为：30．【点评】此题运用了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×m n种不同的方法．19．（6分）三个连续自然数中最小的数是9的倍数，中间的数是8的倍数，最大的数是7的倍数，则这三个数的和最小是1488 ．【分析】据题意可知，这是三个相连的自然数，又7、8、9也是相连的自然数，因此先找到7、8、9的最小公倍数：7×8×9＝504，则减9是9的倍数，减8是8的倍数，减7是7的倍数，得到495、496、497是符合要求的．【解答】解：7、8、9的最小公倍数为：7×8×9＝504；504﹣7＝497，504﹣8＝496，504﹣9＝495；495+496+497＝1488．故填：1488．【点评】任何三个连续自然数（零除外）的最小公倍分别减（或加）这三个数得到的三个连续的自然数分别是这三数的倍数．20．（6分）甲、乙、丙、丁、戊五人猜测全班个人学科总成绩的前五名：甲：“第一名是D，第五名是E．”乙：“第二名是A，第四名是C．”丙：“第三名是D，第四名是A”，丁：“第一名是C，第三名是B．”戊：“第二名是C，第四名是B．”若每个人都是只猜对一个人的名次，且每个名次只有一个人猜对，则第一、二、三、四、五名分别是CADBE ．【分析】本题可用假设法分两步进行推理：第一步：假设甲说的前半句是真的，那么D是第1名，那么此时丙说的前半句错，后半句对．则A是第4名．同理乙的后半句对，C是第4名．矛盾．由此可知甲的后半句对．第二步：已知E是第5名，D不是第1名．和第一名有关的话只剩下丁说的，设C是第1名．则戊：“第2名是c，第4名是B”．可知前错后对，B 是第4名．且有乙：“第二名是A，第四名是c”．可知，A是第2名．D是第3名．【解答】解：第一步：假设甲说的前半句是真的，那么D是第1名，那么此时丙说的前半句错，后半句对．则A是第4名．同理乙的后半句对，C是第4名．矛盾．由此可知甲的后半句对．即第五名是E；第二步：已知E是第5名，D不是第1名．和第一名有关的话只剩下丁说的，设C是第1名．则戊：“第2名是c，第4名是B”．可知前错后对，B是第4名．且有乙：“第二名是A，第四名是c”．可知，A是第2名．D是第3名．综上可知，第一、二、三、四、五名分别是CADBE．【点评】完成此类题目思路要清晰，根据所给条件中的逻辑关系细心推理，从而得出结论．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/22 16:49:14；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
2011年第九届希望杯五年级初赛试题及讲解
2011年第九届希望杯五年级初赛试题及讲解<i>真题及详细讲解</i>1、计算：1.25×31.3×242、把0.123，0.1，0.12，0.按照从小到大的顺序排列：3、先将从1开始的自然数排成一列：***-********-********** 然后按一定的规律分组：1，23，456，7891，01112，*****，在分组后的数中有一个十位数，这个十位数是。
4、如图1，从A到B，有条不同的路线。
（不能重复经过同一个点）5、数一数，图2中有个正方形。
6、在一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等。
若被除数是47，则除数是，余数是。
7、如果六位数能被90整除，那么它的最后两位数是。
8、如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”。
那么1000以内的最大的“希望数”是。
9、将等边三角形纸片按图3所示步骤折叠3次（图3中的虚线是三边的中点的连线），然后沿过两边的中点的直线减去一个角（如图4）将剩下的纸片展开，平铺，得到的图形是。
10. 如图5，甲、乙两人按箭头方向从A点同时出发，沿着正方形ABCD的边行走，正方形ABCD的边长是100米，甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人在E点第一次相遇，则三角形ADE的面积比三角形BCE的面积大__________平方米。
11、星期天早晨，哥哥和弟弟去练习跑步。
哥哥每分钟跑110米，弟弟每分钟跑80米。
弟弟比哥哥多跑了半小时。
结果比哥哥多跑了900米。
那么哥哥跑了米。
12、小明带了30元钱去买文具，买了3个笔记本和5支笔，剩余的钱，如果再买2支笔还差0.4元，如果再买2个笔记本则还差2元。
那么，笔记本每个元，笔每支元。
13、数学家维纳是控制论的创始人。
在他获得哈佛大学博士学位的授予仪式上，有人看他一脸稚气的样子，好奇地询问他的年龄。
维纳的回答很有趣，他说：“我的年龄的立方是一个四位数，年龄的四次方是一个六位数，这两个数刚好把0～9这10个数字全都用上了，不重也不漏。
全国四年级希望杯数学竞赛全部试题与答案
第一届小学“盼望杯”数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式可以成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．视察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的倍。
5．假如规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最终结果是。
6．气象局对局部旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．是三角形的纸，＝，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个一样的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任教师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园教师给几组小挚友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小挚友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比拟小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
15．长方形被分成了4个小长方形，图4中的数字是它们每个的面积，阴影局部的面积是。
2011年_第九届_希望杯试题_答案_小学_四年级_五年级_六年级
第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级 第Ⅰ试以下每题6分，共120分。
1. 计算：（7777+8888）÷5－（888－777）×3=___________________。
2. 计算：1+11+22+…+1991+2001+2011=__________________。
3. 在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是______________________。
4. 小于100的最大的自然数与大于300的最小的自然数的和，是不大于200的最大的自然数的__________________倍。
5. 既是6的倍数又是8的倍数的所有两位数的和是___________________。
6. 四年级一班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有__________人。
7. 按照左侧四个图中数的规律，在第五个图中填上适当的数：8. 已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是_______________。
9. 如图1，ABC ∆的面积为36，点D 在AB 上，BD=2AD,点E 在DC 上，DE=2EC,则BEC ∆的面积是____________________。
10. 今年，李林和他爸爸的年龄的和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大______________岁。
11. 某此考试，A 、B 、C 、D 、E 五人的平均分是90分。
若A 、B 、C 的平均分是86分，B 、D 、E 的平均分是95分，则B 的得分是______________分。
12. 如图2，已知直线AB 和CD 交于点O,若 20=∠AOC ,60=∠EOD ,则__________,__________=∠=∠BOC AOE 。
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第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初一第2试2011年4月10日上午9: 00至11: 00 得分 ______ 一、选未经题希望小题组委分授权共任何分位和以个下每题的四或选项中试卷仅有一准个是正确的(包括将表示 正确的英文字母写在每题后面的圆括号内 a1. 有理数a , b 满足20a 11| b |=0 (b=0)，则 号 是b(A)正数(B)负数 (C)非正数 (D)非负数。
2. 如图1,直线MN 〃直线PQ ，射线OA_射线OB , BOQ=30。
若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60后，这时图中30的角的个数是 A BMN(A) 4(B) 3(C) 2(D) 1。
3. 有理数a , b 在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式P |a 7 |a| .丄2 1 "的值是O 图1+ ------ —a 1 a |a-b| |b-1| (B) 0AEFG , △ DFE , (C) 1 (D) 2 o a—-1 0 1BIHE 都是平行四边形，且 E 是DC 的中点，点图)2在FG 上,△ EHC , △ BCI 的面积依次记为 Si , S 2,(B) S 1 S 2<S 3 S 4 (D) S 1 S 2与S3 S 4大小关系不确定5. If x is a prime number, y is an integer, ancX 21△二 2y 3, then xy 2=(A) 8(B) 16(C) 32(D) 64(英汉小辞典：prime number 质数，integer ：整数)6. 如图4, AB//CD//EF//GH , AE//DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上。
设与相等的角的 个数为m,与互补的角的个数为n ,若•」：，则m ，n 的值是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11o7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利 10%，而后乙又将这些 股票反卖给甲，但乙损失了 10% o最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述 股票交易中的其它费用忽略不计，则甲 (A)盈亏平衡 (B)盈利1元 (C)盈利9元 (D)亏损1.1 8. 梯形的上底长5,下底长10,两腰分别长3和4,那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 302 2011 39. 已知 | x |一3, | y |一1, | z |4 且 | x-2y z |=9,则 xy z 的值是 (D) -576。
(A) -1 4.女口图 3, ABCD , 点C 在HI 上。
△ GDA , (A) S 1 S 2 >S 3 S 4 (C) S 1 S 2=S 3 S 4 S iG IH C S3, S 4,则 F(C) 26.25 r- -9. 已知 | x |一3, | y |一1, | z 且| x-2y z |=9,贝U x 2y (A) 432 (B) 576 (C) 10. 如图5, BP 是厶ABC 中.ABC 的平分线，CP 是.ACB 的外角的平分线, ACP=50，则.A P= (A) 70 图4 -432 如果.ABP=20，图5二、填空题(每小题4分，共40分)2 2, ,2^242,11. 右 y =2x-a ，贝U 4x 4ax-4xy 2ay y a -仁__________ 。
12. 如图6,有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，滑梯BC 的高度AC 等于滑梯EF 在水平方 向上的长度 DF ，贝・ABC DFE = _______ 度。
13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是 = ______ 。
14.如图7，，，，都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3 3平方厘米的正方形, 其中的阴影四边形的面积分别记为 S 1, S 2, S 3和&。
则S 1, S 2，S 3和S 4中最小的与最大的和是. 平方厘米。
为6与4的长方形纸片剪丟 5 3ax 知么b 时尹15.已 2 x —2=10,其中 a ：3： 6S 4 : 那么c=2:a 3c 余部分的面积最小 16. 是= ______ 。
图7 17.有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。
如果它们从 同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔 11分钟相遇一次。
现在，它们从同一点同时出发， 3沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了 4圈，此时它们行驶了 ______ 分钟。
18. 如图8,长方形ABCD 的长为8,宽为5, E 是AB 的中点，点F 在BC 上，已知△ DEF 的面积为16,则点D 到直线EF 的距离为 ________ 。
D 8810 811 812：：一 ：： 2010 2011 . 19. If A= is a positive in terger, the n 5C F810n The maximum value of positive in teger n i _____ 。
图 &20. 自然数n 的各位数字中，奇数数字的和记为S(n),偶数数字的和记为E(n),例如S(134)=1 3=4, E(134)=4,则 S(1) S(2)…S(100)= _______ , E(1) E(2) - E(100)=三、解答题 每题都要写出推算过程。
21. (本题满分10分)甲乙两车在A , B 两城连续地往返行驶。
甲车从 A 城出发，乙车从B 城出发，且比甲车早出 发1小时，两车在途中分别距离 A 、B 两城为200千米和240千米的C 处第一次相遇。
相遇后， 乙车改为按甲车的速度行驶， 提速5千米/时，乙车再提速 22. (本题满分15分)如图9所示，• C=90 , 线段AC 、B'C 上。
将△ A'B'C 绕直角顶点 于P 、0,且厶APQ 为等腰三角形。
求锐角二的度数 23.(本题满分15分)若矩形的长、宽和对角线的长度都是数，求证：这个矩 而甲车却提速了，之后两车又再C 处第二次相遇。
之后如果甲车再 50千米/时，那么两车在C 处再次相遇，求乙车出发时的速度。
Rt △ ABC 中, ZA=30°, Rt AA'B'C 中, C 顺时针旋转一个锐角二 N A ' =45点A ' B 分别在 时，边A'B'分别交AB 、AC第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 B B b初^2的倍数.、选择题B '3°： A壮，1. B,2. A,3. D,4. C,5. C,6. D,7. B,8. A,9. D, 10. C,二、填空题11. -1, 12. 90,13.98, 14. 7, 15.聖, 16. 5 , 17. 12, 18.娶,19. 150, 20.325501; 400, 21.80千米/时。
22. 15 , 60。
23.［证法1］设矩形的长、宽和对角线长分别为a, b, c且a, b, c都是整数，则根据勾股定理知a2+b2=c2，我们只需证明a, b, c中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。
(1) 先证a, b中必有一个能被3整除”若a, b都不是3的倍数，则a2与b2必被3除余1,则c2必被3除余2,但完全平方数被3除只能余0或1,故矛盾。
所以a, b中必有3的倍数，即ab为3的倍数。
(2) 再证a, b中必有一个能被4整除”将a2+b2=；中的a, b, c的公约数约去，得x2+y2=z2，其中x, y, z两两互质。
我们只需证明X, y中必有一个能被4整除”即可。
首先x, y不能全是奇数，因为，若x, y均为奇数，则x2与y2必都被4除余1,于是z2必被4除余2,但完全平方数被4除只能余0或1,故矛盾。
所以x, y不能全是奇数。
因为x, y互质，所以，x, y也不能全是偶数，因此x, y只能是一奇一偶，不妨设x=2p 1, y=2m (其中p, m均为整数)，此时z是奇数，设z=2q 1 (q为整数)，代入y2=z2-x2中，得2 2 2 2 2 24m =(2q 1) -(2p 1) =4(q q-p-p), 即卩m =q(q 1)-p(p 1)，因为q(q 1)与p(p 1)都2是两个连续整数的乘积，所以q(q 1)与p(p 1)都能被2整除，于是m为偶数，因此m为偶数，设m=2n (n为整数)，则y=2n=2 2m=4m,于是y能被4整除。
综上，a, b中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。
又因为(3, 4)=1，所以 a b能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。
［证法2］设a, b都不是4的倍数，则a, b均为奇数；或a, b中的一个为奇数，另一个为被 4 除余2的数；或a, b都是被4除余2的数。
(1) 若a, b均为奇数，则a2与b2必被4除余1,则c2必被4除余2,但完全平方数被4除只能余0或1,矛盾。
(2) 若a, b中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a=2k 1, b=2(2m 1)(其2 2中k, m均为整数)，则a =4k 4k 1=4k(k1) 1。
因为连续整数之积k(k 1)能被2 整除，所以a2被8除余1,而b2=22(2m 1)2=16m(m 1) 4,于是b2被32除余4,所以a2 b2被8除余5,即c2被8除也余5,但完全平方数被8除只能余0或1或4, 矛盾。
(3) 若a, b都是被4除余2的数。
设a=2(2k 1), b=2(2m 1)(其中k, m均为整数), 则由a2b2=c?知c2为偶数，于是c为偶数，设c=2n,则a2 b2=(2n)2=4n2, 即卩22(2k 1)2 22(2m1)2=4n2，约去公因子4,得(2k 1)2 (2m 1)2=4n2，变成两个奇数平方和的情形，根据(1)得出矛盾。
综上，假设a, b都不是4的倍数”不成立，所以a, b中必有一个能被4整除”成立。
因为(3, 4)=1，所以a b能被12整除。
即这个矩形的面积必为12的倍数。