2011年希望杯全国数学竞赛试试题及答案

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛

初一第2试

2011年4月10日上午9: 00至11: 00 得分 ______ 一、选未经题希望小题组委分授权共任何分位和以个下每题的四或选项中试卷仅有一准个是正确的(包括将表示 正确的英文字母写在每题后面的圆括号内 a

1. 有理数a , b 满足20a 11| b |=0 (b=0)，则 号 是

b

(A)正数

(B)负数 (C)非正数 (D)非负数。

2. 如图1,直线MN 〃直线PQ ，射线OA_射线OB , BOQ=30。若以点O 为旋转中心，将

射线OA 顺时针旋转60后，这时图中30的角的个数是 A B

M

N

(A) 4

(B) 3

(C) 2

(D) 1。

3. 有理数a , b 在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式

P |a 7 |a| .丄2 1 "的值是

O 图1

+ ------ —

a 1 a |a-b| |b-1| (B) 0

AEFG , △ DFE , (C) 1 (D) 2 o a

—

-1 0 1

BIHE 都是平行四边形，且 E 是DC 的中点，点图)2在FG 上,

△ EHC , △ BCI 的面积依次记为 Si , S 2,

(B) S 1 S 2

5. If x is a prime number, y is an integer, ancX 21

△二 2y 3, then xy 2

=

(A) 8

(B) 16

(C) 32

(D) 64

(英汉小辞典：prime number 质数，integer ：整数

)

6. 如图4, AB//CD//EF//GH , AE//DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上。设与相等的角的 个数为m,与互补的角的个数为n ,若•」：，则m ，

n 的值是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11

o

7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利 10%，而后乙又将这些 股票反卖给甲，但乙损失了 10% o

最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述 股票交易中的其它费用忽略不计，则甲 (A)盈亏平衡 (B)盈利1元 (C)盈利9元 (

D)亏损1.1 8. 梯形的上底长5,下底长10,两腰分别长3和4,那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 30

2 2011 3

9. 已知 | x |一3, | y |一1, | z |4 且 | x-2y z |=9,则 xy z 的值是 (D) -576。 (A) -1 4.女口图 3, ABCD , 点C 在HI 上。△ GDA , (A) S 1 S 2 >S 3 S 4 (C) S 1 S 2=S 3 S 4 S i

G I

H C S3, S 4,则 F

(C) 26.25 r- -

9. 已知 | x |一3, | y |一1, | z 且| x-2y z |=9,贝U x 2

y (A) 432 (B) 576 (C) 10. 如图5, BP 是厶ABC 中.ABC 的平分线，CP 是.ACB 的外角的平分线, ACP=50，则.A P= (A) 70 图4 -432 如果.ABP=20，

图5

二、填空题(每小题4分，共40分)

2 2, ,2^242,

11. 右 y =2x-a ，贝U 4x 4ax-4xy 2ay y a -仁__________ 。 12. 如图6,有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，滑梯BC 的高度AC 等于滑梯EF 在水平方 向上的长度 DF ，贝・ABC DFE = _______ 度。 13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是 = ______ 。 14.如图7，，，，都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3 3平方厘米的正方形, 其中的阴影四边形的面积分别记为 S 1, S 2, S 3和&。则S 1, S 2，S 3和S 4中最小的与最大的和是. 平方厘米。 为6与4的长方形纸片剪丟 5 3ax 知么

b 时

尹

15.已 2 x —2=10,其中 a ：

3： 6S 4 : 那么

c=2:

a 3c 余部分的面积最小 16. 是= ______ 。 图7 17.有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从 同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔 11分钟相遇一次。现在，它们从同一点同时出发， 3

沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了 4圈，此时它们行驶了 ______ 分钟。 18. 如图8,长方形ABCD 的长为8,宽为5, E 是AB 的中点，点F 在BC 上，已知△ DEF 的面积为16,则点D 到直线EF 的距离为 ________ 。 D 8

810 811 812：：一 ：： 2010 2011 . 19. If A= is a positive in terger, the n 5

C F

810n The maximum value of positive in teger n i _____ 。 图 &

20. 自然数n 的各位数字中，奇数数字的和记为S(n),偶数数字的和记为E(n),例如S(134)=1 3

=4, E(134)=4,则 S(1) S(2)…S(100)= _______ , E(1) E(2) - E(100)=

三、解答题 每题都要写出推算过程。 21. (本题满分10分)

甲乙两车在A , B 两城连续地往返行驶。甲车从 A 城出发，乙车从B 城出发，且比甲车早出 发1小时，两车在途中分别距离 A 、B 两城为200千米和240千米的C 处第一次相遇。相遇后， 乙车改为按甲车的速度行驶， 提速5千米/时，乙车再提速 22. (本题满分15分)

如图9所示，• C=90 , 线段AC 、B'C 上。将△ A'B'C 绕直角顶点 于P 、0,且厶APQ 为等腰三角形。求锐角二的度数 23.(本题满分15分)

若矩形的长、宽和对角线的长度都是数，求证：这个矩 而甲车却提速了，之后两车又再C 处第二次相遇。之后如果甲车再 50千米/时，那么两车在C 处再次相遇，求乙车出发时的速度。 Rt △ ABC 中, ZA=30°, Rt A

A'B'C 中, C 顺时针旋转一个锐角二 N A ' =45点A ' B 分别在 时，边A'B'分别交AB 、AC

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 B B b

初

^2的倍数.

、选择题

B '

3°： A

壮，