北京交通大学-2010-2011第一学期《概率论》期中试题答案

北 京 交 通 大 学

2010-2011学年第一学期《概率论与数理统计（B ）》期中考试试卷（A ）

学院_____________ 专业___________________ 班级____________

学号_______________ 姓名_____________

请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一.（满分6分）已知()P A =

14，()P B A 13=，()P A B 1

3

=，求()P A B ⋃。 解： 由概率加法公式()P ()()()A B P A P B P AB ⋃=+-

由概率乘法公式()P ()()1

12

AB P A P B A ==

----2分 ()()P ()P AB B P A B 1

4

=

=

()P ()()()A B P A P B P AB 1115

441212

⋃=+-=+-= ----4分

二. （满分8分）甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?

解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有

.6

165)(1

-⎪

⎭

⎫

⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为 }{}{531ΛY Y Y A A A P P =甲胜 Λ+++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因ΛA A

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Λ4

26565161

.11

6

)6/5(11612=-=--------4分

同样,乙胜的概率为

}{}{642ΛY Y Y A A A P P =乙胜 Λ+++=)()()(642A P A P A P

.115656565615

3=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Λ．--------4分

三. （满分12分）(1)已知随机变量X 的概率密度为,,2

1)(+∞<<-∞=

-x e x f x

X

求X 的分布函数.

(2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,

0,1,

0,1X X Y 试求Y 的分布

律和分布函数.

解 (1)由于

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<∞-=-.0,2

1,0,2

1)(x e x e x f x x

X

当0

,21

2121)()(|x x x x

x x X X e e dx e dx x f x F ====∞-∞

-∞-⎰⎰

当0≥x 时,分布函数

.2112121212121)()(0

0x

x x

x x x X X e e dx e dx e dx x f x F ---∞-∞--=-+=+==⎰⎰⎰

故所求分布函数为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,2

11,02

1)(x e x e x F x x

X ———5分

(2),21

)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .2

1

211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P

分布律为

Y -1 1

k p 21 21

——4分

分布函数为

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥<≤--<=.

1,

1,11,

21,

10

)(y y y y F Y ———3分

四(满分10分) 投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 =X 投掷总次数. ⎩

⎨

⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，

Y

(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P

解 (1)Y 的可能值是0,1,X 的可能值是.,3,2,1Λ }1{}1|1{}1,1{======X P X Y P Y X P .2/12/11=⨯= (因1=X 必定首次得正面,故).1}1|1{===X Y P 若1>k ,

}{}|1{}1,{k X P k X Y P Y k X P ====== .0)2/1(0=⨯=k

(因,1>=k X 首次得正面是不可能的,故).,3,2,0}|1{Λ====k k X Y P }1{}1|0{}0,1{======X P X Y P Y X P 0)2/1(0=⨯=

(因1=X 必须首次得正面,故).0}1|0{===X Y P 当1>k

}{}|0{}0,{k X P k X Y P Y k X P ====== Λ,3,2),2/1(1=⨯=k k (因,1>=k X 必定首次得反面,故).1}|0{===k X Y P 综上,得),(Y X 的分布律及边缘分布律如下:

X

Y 1 2 3 4 … }{j Y P =

0 0

221 321 4

2

1 (21)