第二章-杆和梁结构的有限元法

§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元
法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移 （c） 节点1、4的反力 （d） 弹簧2中的力
§2.2.1 等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
k EA L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：

fi fj


k k
kui k u j


EA 1 L 1
1ui
第2章 杆和梁结构的有限元法
2.1 弹簧单元和弹簧系统 2.2 杆单元和平面桁架 2.3 梁单元和平面刚架
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.1 弹簧单元和弹簧系统
1
一个弹簧单元 的分析
2 弹簧系统
什么是单元特性？ 弹簧单元的刚度矩阵 弹簧单元的刚度方程 弹簧单元刚度矩阵的特点
第二章 杆和梁结构的有限元法
弹簧系统的总刚度矩阵 如何求解系统的平衡方程 例题
§2.1.1 弹簧单元分析
弹簧是宏观力学特性最简单的弹性元件。下面以平衡弹簧系统中 一个弹簧单元为研究对象进行分析。
2个节点： i, j
节点位移：ui , u j
节点力： fi , f j
弹簧刚度： k
第二章 杆和梁结构的有限元法
已知弹簧力——位移关系：
第二章 杆和梁结构的有限元法
上面方程写成 矩阵形式：
§2.1.2 弹簧系统分析
系统平衡方程— 节点载荷与节点 总内力的平衡
或 KD F （系统的有限元平衡方程）
K —— 弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚） D —— 整体节点位移列阵
F —— 整体节点载荷列阵
讨论：（1） K有哪些特点和性质？
（2）上面方程能求解吗？
dx
应力—应变关系： E
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§2.2.1 等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性
杆单元伸长量： u j ui
杆应变：
L
杆应力： E E
L
杆内力：F = σ ?A
EAΔ L
=
EA L
Δ
=
kΔ
=
k(u j
-
ui
)
杆的轴向刚度： k EA L
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
练习1： 对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
第二章 杆和梁结构的有限元法
要点回顾
§2.1.2 弹簧系统分析
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
fi F k(u j ui ) kui kuj f j F k (u j ui ) kui kuj
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
f BTEBdV d k d
V

k BTEBdV ——杆单元刚度矩阵
V
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
对于上面的杆单元： k BTEBdV
V
与前面直接法得到的公式相同！
单元位移模式写成矩阵形式：
u Βιβλιοθήκη Baidu Ni
Nj
ui
u
j


Nd
u( x) Ni ( x)ui N j ( x)u j
式中N Ni N j ,称为单元形函数矩阵。
注意：位移模式采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位 移分量， 只能对应2个多项式系数。
第二章 杆和梁结构的有限元法
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
解： （a）各单元的刚度矩阵为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：
或
总刚度矩阵特征：对称、奇异、带状、稀疏
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：
dx
节点力（外力）虚功： dTf
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
单元虚应变能：
T dV dTBT EBddV dT BTEBdV d
V
V
V

对杆单元应用虚功原理，得：
dTf dT V BTEBdV d
如何用直接法求杆单元特性？ 如何用公式法导出杆单元特性？ 什么是虚功原理？ 杆单元刚度矩阵的特点？
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2.2 二维空间 杆单元
什么叫坐标变换？ 如何对节点位移向量进行坐标变换？ 如何对刚度矩阵进行坐标变换？ 应用举例——二维桁架
§2.2.1 等截面杆单元
研究一个2节点一维等截面杆单元：
第二章 杆和梁结构的有限元法
单元特性
KD F
系统平衡方程
2）单元方程扩大相加法 单元特性
相加
F1 f11
F2

f
1 2

f12
F3

f
2 2
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
系统节点平衡方程
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
§2.1.2 弹簧系统分析
2）按两种方法装配系统特性：
方法1:按节点列平衡方程
分别考虑节点1，2，3的力平衡
条件（总节点力与节点外载荷的平衡）：
F1 f11
F2

f
1 2

f12
F3

f
2 2
把单元特性代入，得到：
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 (k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3

fi fj


k k
kui
k

u
j

矩阵符号形式：
f kd ——弹簧单元刚度方程，单元特性
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.1 弹簧单元分析
上式中：
k
k k
k k
k


f f
i j


k k
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
虚位移原理
弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹 性体内的虚应变能。——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下：
节点虚位移：
d

ui u j

单元虚位移： u Nd
则单元虚应变： d (u) Bd
单元节点位移：d

ui u j

单元节点力：f


fi
f
j

第二章 杆和梁结构的有限元法
L— 杆长 A— 截面积 E— 弹性模量
§2.2.1 等截面杆单元
u u(x) ——杆单元位移
(x) ——杆单元应变 (x)——杆单元应力
应变—位移关系： du
§2.1.2 弹簧系统分析
3) 给定载荷和约束条件下的求解 设边界条件为：
u1 0 F2 F3 P
则系统平衡方程为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
该方程展开后分为2个部分：
未知量为2个节点位移 u2 , u3
和一个支反力 F1 解上面方程得：
第二章 杆和梁结构的有限元法
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
方法2：单元刚度方程扩大叠加 a.将单元刚度方程扩大到整体规模：
元素按总体 节点序号重 新排列，对 号入座。 要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。 2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。 3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！
（b）先施加位移边界条件
将 u1 u4 0 带入平衡方程后，第2，3方程为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
求解得：
§2.1.2 弹簧系统分析
（c)由第1，4个方程求得支反力
(d)弹簧2内力
F 2 k22 k2 (u3 u2 ) （拉力）
200 3 2 200(N )
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（三）关于杆单元的讨论
1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2个自由度。
2）单元刚度矩阵元素的物理意义：
刚度方程中令：ui u j


1 0

fi fj


k11 k21
k12 k22
F k
F 弹簧力，拉伸为正
u j ui —弹簧伸长
§2.1.1 弹簧单元分析
方法一：考虑弹簧力学特性和节点上力平衡有： fi F k(u j ui ) kui kuj f j F k (u j ui ) kui kuj
写成矩阵形式：
1
u
j

节点 力向 量
单元 刚度 矩阵
节点 位移 向量
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（二）公式法导出杆单元特性方程（虚功原理）
单元上假设近似位移函数——位移模式
单元上位移假设为线性多项式函数： u a0 a1x
用插值法把多项式中的待定系数 a0 , a1 转化为待定节点位

fi fj


k k
kui
k

u
j

第二章 杆和梁结构的有限元法
f kd
2、弹簧系统的集成
1）列节点平衡方程法
F1 f11
F2

f
1 2

f12
F3

f
2 2
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 (k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
§2.2.1 等截面杆单元
单元应变：

du dx

d dx
Nd

Bd
B ——单元应变矩阵
u Ni
B

d dx
Ni
(x)
N j (x) 1/ L
1/ L
单元应力： E EBd
N j
ui
u
j


Nd
下面应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
单元上的所有节点力分量。
３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
（四）举例 例1：求图示２段杆中的应力。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
截面法
fi = - F = - k (u j - ui ) f j = F = k (u j - ui )
禳 镲 睚fi 镲 铪f j
=
轾 犏k 犏 臌- k
- k 禳 镲 睚ui k 镲 铪u j
第二章 杆和梁结构的有限元法
{ f } =[ K] {u}
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
b. 将上面的矩阵方程叠加，得到：
系统总节点力（内力） 与节点位移的关系—— 系统特性。
c. 代入节点平衡条件， 得系统节点平衡方程：
第二章 杆和梁结构的有限元法
F1 f11
F2

f
1 2

f12
F3

f
2 2
注意：总刚度矩阵就是 单元刚度矩阵扩大后的 叠加！
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
单元1： 单元2：
k1 k1 k2 k2
k1
k1

uu12



f11
f
1 2

k2 k2
uu32



f12
f
2 2

第二章 杆和梁结构的有限元法

ui u j


f f
i j


kk1211

单元刚度方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元

fi fj


kk1211

所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单
元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在
弹簧单元的刚度矩阵
kui
k

u
j

d 单元节点位移向量
f 单元节点力向量
思考问题： 1）k 有什么特点？
k

kii k ji
kij
k
jj

2）k 中元素代表什么含义？
3）上面方程可以求解吗？为什么？
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
移ui,uj,从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模
式如下： u( x) Ni ( x)ui N j ( x)u j
上式中：
Ni
(x)

1
x L
,
N j (x)

x L
Ni, N j是插值基函数，有限元中称为形状函数，简称形函数。
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元