第3章简单随机抽样

1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
N n S2 1 f S2
nN
n
12
引进N个随机变量：
证 法 二
1, ai 0,
若Yi入样， 若Yi不入样，
i
1,
2,
,
N
则 ai 都服从两点分布.
显然,
P(ai
1)
n N
;
P(ai
0)
N n ;
N
V(ai )
E(ai2 ) E(ai )2
n N
n N
中出现的次数为C
n1 N 1
。
y 1 n
y1 y2 L yn
1 n
C
n1 N 1
N
Yi
i 1
N
E
y
y
C
n N
C n1 N 1
Yi
i 1
nC
n N
1 N
N
Yi
i 1
Y
7
证 由于每个单元出现在总体所有可能样本
法 二
中的次数相同，因此 E y1 y2 L yn
一定是 Y1 Y2 L YN 的倍数，且这个倍
n
n1
P的区间估计：
P的置信度为1 的近似置信区间为：
pu
1 2
1 f pq , n1
修正为：
pu 1 2
1 f n1
pq
p （u
1 2
1 f pq 1 ),
n1
2n
p (u 1 2
1 f n1
pq
1 2n
)
*推导总体总量A=NP的估计量及其性质。
24
P的区间估计：
P的置信度为1 的近似置信区间修正为：
N i 1
(Yi
Y
)2
n1 N 1
i
j
(Yi
Y
)(Y j
Y
)
n1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
n1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
1 nN
1
n1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
n1 N 1
N i 1
(Yi
Y
2 )
1 nN
N N
n 1
N i 1
(Yi
Y
)2
1 n
N N
n
数就是 n N ，
E y
1
n
E
n i 1
yi
1 n
n N
N
Yi
i 1
Y
n
N
Q E yi cYi
i 1
i 1
取Yi = Y0
则，nY0 cNY0
c n . N
8
证 法
引进N个随机变量：
三
1, ai 0,
若Yi入样， 若Yi不入样，
i
1,
2,
,
N
则 ai 都服从两点分布.
显然,
P(ai
nN
n
说明：总体方差
2
E(Yi Y )2
1 N
N
(Yi Y )2
i 1
但为了使大多数情形下公式表达更简练，定义总 体方差为：
S 2
1 N 1
N
(Yi
i 1
Y )2
N 2 N 1
10
证明性质2
证 法 一
V y E
y Y
2
1 n
2 1 n
2
E n i1 yi Y n2 E i1 ( yi Y )
n i 1
( yi
y )2
1 (
n1
n i 1
yi 2
ny 2 )
证明 :
s2
1 n1
n i 1
( yi
y )2
1 n1
n i 1
( yi
Y
)2
n( y
Y
)2
n
E ( yi i1
Y
)2
n N
N
(Yi
i 1
Y )2
n( N 1) S 2 N
E y Y 2 V y 1 f S2 N n S2
i j
(Yi Y )(Yj Y )中求和是对 N (N 1) 2项.
i j
11
V
y
1 n2
E
n i 1
( yi
Y
)2
1 n2
E
i j
(
yi
Y
)(
yj
Y
)
1 n2
n N
N
(Yi
i 1
Y )2
1 n2
n(n 1) N ( N 1)
(Yi
i j
Y )(Yj
Y)
1 nN
总体中具有所考虑特征的单元在总体中所占的比例
N
即总体比例：P
A
Yi
i 1
Y
NN
总体方差：S 2
1 N 1
N
(Yi
i 1
Y )2
N PQ N 1
其中，Q 1 P
22
2.样本 简单随机样本{y1……yn}
其中,yi
1，具有某种特征时 0，否则
样本比例
p
a n
1 n
n i 1
yi
y
n
(其中，a yi )
1 n2
E
n i 1
(
yi
Y
)2
1 n2
E
i
j
(
yi
Y
)(
yj
Y
)
n
E i1 ( yi
Y
)2
n N
N
(Yi
i 1
Y )2
n(n 1)
E i j
( yi
Y )( y j
Y )
N(N
1)
i j
(Yi
Y )(Yj
Y)
E
( yi Y )( y j Y )中求和是对 n(n 1) 2项，
2
n N
(1
n) N
n n1
E(aia j )
p(ai
1&aj
1)
N
(
N
ห้องสมุดไป่ตู้
) 1
Cov(i , j )
E(aia j ) E(ai )E(a j )
n N
(1
n N
)
n N
2
1 n (1 n ) N 1 N N
13
V(y)
1 n2
V
N i 1
iYi
1 n2
N i 1
i 1
样本方差
s2
1 n1
n
（yi
i 1
y）2
n pq n1
其中，q 1 p
二、估计量及其性质 性质1. 对于简单随机抽样，p为P的无偏估计，即E(p)=P.
性质2.
V( p) 1 f N PQ n N 1
23
性质3.
v( p) 1 f s2 1 f pq为V(p)的无偏估计
s2 / n
s( y)
y
t
1
（s y），y
2
t
1
（s y）
2
4
3.1 概述
一、简单随机抽样（或单纯随机抽样） 本书一般局限于不放回随机抽样
二、实施方法 三、地位、作用
是其他抽样方法基础 精度较高 但，样本比较分散（局限性）
5
3.2 总体均值与总量的简单估计
一、总体均值的估计 1.简单估计及其无偏性：
ˆ ~&N（0，1） V(ˆ )
则P(
ˆ V(ˆ )
u1 )=1 2
因此，d u V(ˆ) u S(ˆ)
1
1
2
2
Y的置信度为1 的近似置信区间为：
y
ut 11 22
1 f n
s，
y tu11 22
1 n
f
s
17
例1：在某地区10000户家庭中，按简单随机抽样抽取400户， 调查一个月的伙食费（单位：元）。经计算：
Y i
2
V
(ai
)
N i 1
N
YiYjCov(ai , a j )
ji
1 n2
n
N
(1
n N
)
N i 1
Yi2
N i 1
N
YiY j
ji
n (1 N
n N
)
1 N
1
1 n2
n (1 N
n N
)
1 N
1
(
N
1)
N i 1
Yi2
N i 1
N
YiYj
ji
1 (1 n
n N
Np
u1 2
N
pq , n1
Np
u
1
N
2
n1
pq
25
例3：从一份共有3042人的人名录中随机抽200人，发现38人 的地址已经变动。
(1)试估计这份人名录中需要修改的地址的人所占的比例及其 标准差,并以95%的置信度求P的置信区间 ；
(2)试估计这份人名录中需要修改的地址的人总数及其标准差， 并以95%的置信度求A的置信区间。
692 371 887 641 399 442 927 442 918 11
178 416 405 210 58 797 746 153 644 476 （1）计算样本均值与样本方差。 （2）若用 y 估计总体均值μ，按数理统计结果，