大学高等几何课件第三讲.

面, 记做 .
在这些规定下, 可以证明 :
(1) 空间中任何一组平行直线有且仅有一个公共的点 无穷远点.
(2) 一直线与它的平行平面交于一个无穷远点. (3) 一组平行平面相交于一条无穷远直线.
仿射直线与射影直线 仿射直线(平面):引入了无穷远点的欧氏直线(平面)称为
仿射直线(平面). 射影直线(平面): 将仿射直线(平面)上的无穷远点与通常的
问题：中心投影是不是数学意义下的一一对应？ 分析：当照射光线OP0与l平行时, P0在l上的投影不存在,而引 起P0的投影不存在的原因是平行没有交点这一约定. 解决办法: 取消平行线没有交点的限制,在直线上引进"新点".
无穷远元素 规定1: 在平面内对任何一组平行线引进唯一一点叫做无穷远 点(记作P )与之对应,此点在组中的每一直线上,而不在组外的 任何直线上. 规定2: 平面内无穷远点的集合是一条无穷远直线,记作l. 规 定 3 : 空间中所有无穷远点的集合是一个平面,叫做无穷远平
1.5 仿射的代数表示
设有一正交笛卡尔坐标系xOy,以E为单位点. 设有仿射变换 T :T (P) P. 求P点的坐标P(x, y)与P点的坐标(x, y)之间的关系？
易知有
x a0 x(a1 a0 ) y(a2 a0 ),
y
b0
x(b1
b0 )
y(b2
b0 ),
或
x 1x 2 y 0 ,
解：选取仿射变换
x
b a
x 将椭圆变成圆x2
y2
b2.
y y
因为面积之比是仿射不变量，wk.baidu.com S椭圆 SOAB ,
S圆
SOAB
所以S椭圆
ab b2
b2
ab.
第二章 射影平面
2.1 中心投影与无穷远元素
中心投影：设 f : 是平面到平面 的一一点对应, 且满足对应点的连线通过一个定点,则称 f 是从平面 到 平面 的中心投影.
当a 1时为恒等变换.
x x,
例如，圆x2
y2
a
2经过伸缩变换
y
b a
(a y,
0, b
0)后
变为椭圆 x2 a2
y2 b2
1.
3. 运动变换（平移，旋转或平移与旋转的积统称为运动）
x x cos y sin 0
y
x sin
y cos
0
4.
关于x轴的反射
x y
x
y
例题. 求椭圆 x2 y2 =1的面积。 a2 b2
y
1x
2
y
0
,
且
1 2 a1 a0 a2 a0 0. 1 2 b1 b0 b2 b0
最后一个等式不等于零是因为不共线的三点
O, E1, E2的像O, E1, E2也不共线。
仿射变换的特例
1.
位似变换
x y
ax, ay
(a
0)
2.
x轴上的均匀伸缩变换
x y
x, ay
(a
0).
欧氏直线 添加无穷远点 仿射直线 取消新点与旧点的区别 射影直线.
图形的射影性质
透视对应: 射影直线(平面)之间的中心投影叫作透视对应. 图形的射影性质:图形经过(任何)透视对应后保持不变的 性质(量)叫作图形的射影性质和射影不变量.
重要结果: 基本射影不变性:同素性;结合性. 注 : 简比不是射影不变量,平行性不是射影不变性.
点不加区别而得到的直线(平面)称为射影 直线(平面).
注意 :引进了无穷远点,平行射影成了中心射影的一个特例. 补充了无穷远点的直线, 补充了无穷远直线的平面, 不再是开的, 而是封闭的. 原先的点和线称为普通点(或有限)点和线.
这时有两种观点看待拓广的直线和平面. (1)如果把无穷远点跟普通点看作没有任何区别, 这种观点称 为射影观点, 相应的平面是射影平面. (2)如果将新补充的无穷远元素另眼看待, 给它们保留特殊的 身份和名称, 这种观点称为仿射观点, 相应的平面称为仿射平面. 欧氏平面上没有无穷远元素, 平行线存在且不相交. 仿射平面上平行线存在, 相交于无穷远处. 射影平面上没有无穷远元素, 平行线不存在.