5-3-2诱导公式5,6

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(1)整体代换，寻找角之间的关系：对于一些给值(式)求值问 题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互 余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．
①常见的互余关系有：π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4 －α 等．
②常见的互补关系有：π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等．
(2) 已 知
cosα
＝
－
4 5
，
且
α
为第三象限角．求
f(α) ＝
tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sinπ2－α的值．
第五章 5．3 第2课时
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[思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；23π－α＝π－3π＋α； π3＋α＋π6－α＝2π.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导 公式化简求值．
第五章 5．3 第2课时
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[解] (1)f(α)＝ssiinnαα[c－ossαin－πs＋inαα]
＝cosαsi－nαsinα＝－cosα
(2)∵cosα－32π＝－sinα＝15，∴sinα＝－15， 又∵α 为第三象限角，
∴cosα＝－
1－sin2α＝－2
5
6，∴f(α)＝2
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[解析] (1)∵cosπ2＋α＝－sinα＝－35 ∴sinα＝35，且 α 是第二象限角 ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－45. 而 sinα－32π＝－sin32π－α ＝－(－cosα)＝cosα＝－45
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第五章 5．3 第2课时
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(2)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行 的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化 弦，以保证三角函数名最少．
(3)对于 π±α 和2π±α 这两组诱导公式Baidu Nhomakorabea切记运用前一组公式不 变名，而运用后一组公式必须变名．
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[答案] D
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5．已知 f(α)＝ sinπ－coαsc2πo－s2απs－inα－coπs－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 为第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值； (3)若 α＝－331π，求 f(α)的值．
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[解] (1)cos56π＋α·sin23π－α ＝cosπ－π6－α·sinπ－3π＋α ＝－cos6π－α·sinπ3＋α ＝－cos6π－α·sinπ2－6π－α ＝－cos6π－α·cos6π－α ＝－13×13＝－19.
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(2)原式＝－csoinsαα··s－inαc·o[s－αs·isninπα－·coαs]3s2πin－2πα＋ α ＝s－inαsi·n－α·csoinsαα＝tanα
[答案] (1)B (2)tanα
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用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
所在的象
限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定
原函数值的符号.
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请做：随堂巩固验收
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[针对训练]
4．已知 cos(75°＋α)＝13，则 sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值
是( )
1
2
A.3
B.3
C．－13
D．－23
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[解析] sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋ cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋ α)＝－23.故选 D.
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[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1.
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[证明] 右边＝－2sin321π－－2θs·in－2θsinθ－1 ＝2sinπ＋1－π2－2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1 ＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
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课堂互动探究
第五章 5．3 第2课时
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题型一 利用诱导公式化简求值
【典例 1】 (1)已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，
则 sinα－32π的结果是(
)
4 A.5
B．－45
C．±45
3 D.5
(2)化简：csoisnπ2－π＋ααsinco3sππ－－ααscinos－π2－ π＋ααcosisn725π2π－＋αα ＝______. [思路导引] 利用诱导公式先化简再求值．
[证明]
左边＝tan2πs－inαα＋co3s2π32πc－osαα＋co3s2π6π－α
＝tan－－αco－sαssiinnααcosα
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα＝右边，
所以原等式成立．
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三角式恒等证明的原则 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右 边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常 用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要 熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
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第
五
三角函数
章
第五章 三角函数
5．3
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诱导公式
第五章 5．3 第2课时
第 2 课时
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诱导公式五、六
第五章 5．3 第2课时
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课前自主预习
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1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程． 2．运用公式五、六进行有关计算与证明． 3．掌握六组诱导公式并能灵活运用．
2．诱导公式一～六可归纳为
π k·2±α
的形式，可概括为“奇
变偶不变，符号看象限”
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(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.
(2)“奇”、“偶”是对诱导公式
π k·2±α
中的整数
k
来讲的．
(3)“象限”指
π k·2±α
中，将
α
看成锐角时，k·π2±α
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(2)因为 cosα＝－45，且 α 为第三象限角， 所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－452＝－35. 所以 f(α)＝－tan－α·csionsαα·cosα＝tanαsinα＝csoinsαα·sinα ＝－－3545×－35＝－290.
第五章 5．3 第2课时
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＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边， 所以原等式成立.
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题型三 诱导公式的综合应用
【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的 值．
5
6 .
第五章 5．3 第2课时
(3)f－331π＝－cos－313π ＝－cos－6×2π＋53π＝－cos53π ＝－cos3π＝－12.
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课堂归纳小结
1．诱导公式五、六反映的是角2π±α 与 α 的三角函数值之间
的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
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[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________.
[解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
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2．化简：csoinsπα－－απ·sinα－π2cos2π＋α. [解] 原式＝cos[－sinπα－α]·sin－π2－α(－sinα) ＝cossiπn－α α·－sinπ2－α(－sinα) ＝－sicnoαsα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.
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1．在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关 系？
[答案] ∵A＋B＋C＝π， ∴A2＝2π－B＋2 C， ∴sinA2＝sin2π－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C
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题型二 利用诱导公式证明三角恒等式
【典例 2】 [思路导引]
求证：tan2πs－inαα＋co3s2π32πc－osαα＋co3s2π6π－α＝－tanα. 应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子，
使其等于右边．
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2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角 α 可以是任意角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cosα.( )
(3)sin32π－α＝cosα.(
)
(4)若 α＋β＝90°，则 sinα＝cosβ.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√