5-3-2诱导公式5,6

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高一数学(人教A版)必修4基础巩固：1-3-2诱导公式五、六

基础巩固一、选择题1．若cos65°＝a ，则sin25°的值是( ) A ．－a B ．a C.1－a 2 D ．－1－a 2[答案] B2．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π2－θ)>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] B3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2的结果是( )A.45 B ．－45C ．±45D.35[答案] B[解析] ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，∴－sin α＝－35，∴sin α＝35，又α是第二象限角，∴cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos α＝－45.4．已知sin α＝35，则sin(π2＋α)的值为( )A ．－35B ．－45C.45 D ．±45[答案] D[解析] sin(π2＋α)＝cos α，而sin α＝35，∴cos α＝±45，于是sin(π2＋α)＝±45.5．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A.223B ．－223C.13 D ．－13[答案] C[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π4＋α)]．＝sin(α＋π4)＝13.6．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45C ．±45D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.二、填空题7．化简sin (15π2＋α)cos (α－π2)sin (9π2－α)cos (3π2＋α)＝________.[答案] －1 [解析] 原式＝sin[8π＋(α－π2)]cos (π2－α)sin[4π＋(π2－α)]cos[π＋(π2＋α)]＝sin (α－π2)sin αsin (π2－α)[－cos (π2＋α)]＝－cos αsin αcos α[－(－sin α)]＝－1.8．已知sin(α－π4)＝35，那么cos(α＋π4)的值是__________．[答案] －35[解析] ∵(α＋π4)－(α－π4)＝π2，∴α＋π4＝π2＋(α－π4)，∴cos(α＋π4)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－35.三、解答题9．化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α).[解析] 原式＝sin α(－cos α)sin αcos[2π＋(π＋π2－α)]－cos αsin[2π＋(π－α)]sin[－(π－α)]sin[2π＋(π2＋α)]＝sin αsin αcos[π＋(π2－α)]sin (π－α)[－sin (π－α)]sin (π2＋α)＝sin αsin α[－cos (π2－α)]sin α(－sin α)cos α＝sin α(－sin α)(－sin α)cos α＝tan α.10．已知角α的终边经过点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．[解析] ∵角α的终边经过点P (－4,3)，∴tan α＝y x ＝－34.∴原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.。

高一数学必修4同步练习：1-3-2诱导公式五、六

1-3-2诱导公式五、六一、选择题1．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π4－α)的值为( )A.223B ．－223C.13 D ．－13[答案] C[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π4＋α)]．＝sin(α＋π4)＝13.2．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )A.45 B ．－45C ．±45D.35[答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.3．已知sin α＝513，则cos(π2＋α)等于( )A.513 B.1213 C ．－513D ．－1213[答案] C[解析] cos(π2＋α)＝－sin α＝－513.4．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32 D ．－32[答案] A[解析] 由已知，得sin α＝12，则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12.5．已知sin10°＝k ，则cos620°等于( ) A ．k B ．－k C ．±k D.1－k 2 [答案] B[解析] cos620°＝cos(360°＋260°) ＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80° ＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k .6．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24D.24 [答案] A[解析] sin(α＋π2)＝cos α＝13，又α∈(－π2，0)，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝sin αcos α＝－2 2. 7．若sin α＋cos αsin α－cos α2，sin(α－5π)·sin(3π2－α)等于( )A.34 B.310C ．±310D ．－310[答案] B[解析] sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2，解得tan α＝3，则原式＝(－sin α)(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝332＋1＝310.8．若f (cos x )＝cos3x ，那么f (sin30°)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.32 [答案] C[解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1，故选C.9．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( ) ①cos(A ＋B )＝cos C ②cos B ＋C 2＝sin A 2③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin A A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ [答案] C[解析] ∵cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，∴①错，排除B 、D ；cos B ＋C 2＝cos π－A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A2，∴②正确，排除A ，∴选C.10．tan110°＝k ，则sin70°的值为( ) A ．－k1＋k 2B.k 1＋k2C.1＋k 2kD ．－1＋k 2k[答案] A[解析] 解法一：∵k <0，sin70°>0，∴排除C 、B ，又|sin70°|<1，∴排除D ，选A.解法二：k ＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k >0，∴cos70°＝－1k sin70°代入sin 270°＋cos 270°＝1中得，sin 270°＝k 2k 2＋1，∵k <0，sin70°>0， ∴sin70°＝－k 1＋k2.二、填空题11．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π2－α)＝________.[答案] 34[解析] ∵sin(π2α)＝cos α＝34，∴sin(π2－α)＝cos α＝34.12．化简cos (52π－α)cos (－α)sin (32π＋α)cos (212π－α)＝________.[答案] －1 [解析] 原式＝cos[2π＋(π2－α)]cos αsin[π＋(π2＋α)]cos[10π＋(π2－α)]＝cos (π2－α)cos α－sin (2＋α)cos (2－α)＝sin αcos α－cos αsin α＝－1.13．若cos(π6 －α)＝a ，则sin(2π3－α)＝________.[答案] a[解析] ∵cos(π6－α)＝cos(2π3－α－π2)＝cos[π2－(2π3－α)]＝sin(2π3－α)，∴sin(2π3－α)＝a .14．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．[答案] 912[解析] ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N )∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.三、解答题15．(2011～2012·宜春高一检测)化简： cos (2π－α)sin (3π＋α)cos (3π2－α)cos (－π2＋α)cos (α－3π)sin (－π－α).[解析] 原式＝cos α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)sin α＝－1.16．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°.求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值． [解析] 由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)，得sin α＝1010，cos α＝31010，∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α ＝－1010－31010－31010＋1010＝2.17．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 3αcos (π2－α)cos (π2＋α)的值．[解析] 由已知得sin α＝－35.∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34.18．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. [证明] ∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝2k π＋π2－β，k ∈Z .∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan[2(2k π＋π2－β)＋β]＋tan β＝tan(4k π＋π－4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0. 即tan(2α＋β)＋tan β＝0.。

5.3 第2课时诱导公式五、六

π
cos 2 −α sin 2 +α +2 sin α cos α
＝
− sin α sin α
− sin α cos α+2 sin α cos α
− sin α sin α
＝
2 13
cos α
2
13
＝－
＝－ 3 13 ＝－ .
sin α
3
13
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学霸笔记：诱导公式综合应用要“三看”
一看角：
(1)化大为小；
6
3
1
B．
3
2π
(α＋ )＝(
3
2 2
C．－
3
)
2 2
D．
3
答案：A
π
6
1
3
2π
3
π
2
π
6
π
6
1
3
解析：因为sin (α＋ )＝，所以cos (α＋ )＝cos ( ＋α＋ )＝－sin (α＋ )＝－ .
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sin α−
4．化简：
解析：∵sin
cos
π
2
cos
3π
+α
2
tan π+α
tan −π+α sin π−α
π
(1)角α的终边与－α的终边有何关系？
2
答案：两角的终边关于直线y＝x对称．
π
(2)利用诱导公式五如何推导出角＋α与角α三角函数值之间的关系？
2
答案：以－α代替α，
得sin
cos
π
π
[ －(－α)]＝sin ( ＋α)＝cos
2
2
π

人教A版高中数学必修第一册精品课件第5章三角函数 5.3 第2课时诱导公式五、六

量不含分母,必须有分母时分母中尽量不含根式等.
【变式训练 2】已知 sin(3π+α)=2sin
(-)-

+

则(+)+(-)=
解析:∵sin(3π+α)=2sin
.

+ ,
∴-sin α=-2cos α,即 sin α=2cos α.
-

)

C.
D.- 二、诱导公式六1.以-α代替公式五中的α,你会得到什么公式?
提示:sin

+

=cos(-α)=cos α,cos( +α)=sin(-α)=-sin α.

2.诱导公式六
sin
cos

+

+

=cos α
=-sin α
3.sin 165°等于(
)
A.-sin 15° B.cos 15°
【变式训练 3】求证:
-
证明:∵右边=

-
(+)
= - =
=
=
--
+ -
+
∴原等式成立.
-(+)

·(-)- + - -

-
=cos

+
=sin

+
=
,

+ =± ,

- =sin + =± .

新教材人教版高中数学必修第一册 5.3.2 诱导公式诱导公式五、六教学课件

新教材人教版高中数学必修第一册 5.3.2 诱导公式诱导公式五、六教学课件
科目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
5.3.2 诱导公式诱导公式五、六
第一页，共三十九页。
第二课时诱导公式五、六 1．借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式
五、六． 2．掌握六组诱导公式并能灵活运用，并能进行简单的三角函数
的值为
()
A.13
B．－13
C.2 3 3
[ 解析]
(1)选 A
D．－2 3 3
因为 cos(π＋A)＝－cos A＝1， 3
所以
sin
3π－A 2
＝－cos
A＝13.
第十三页，共三十九页。
[ 典例 1]
cos α－π2
(2)化简 sin
5π＋α 2
·sin(α－π)·cos(2π－α)．
cos
π－α 2
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形．
第二十七页，共三十九页。
[ 变式训练]
已知角α的终边经过点 P(m,2 2)，sin α＝232且α为第二象限角． (1)求 m，cos α，tan α的值；
第二十三页，共三十九页。
[ 变式训练]
cosπ－θ
cos2π－θ
求证： cos
θ
sin
32π－θ
－1
＋ cosπ＋θsin
π＋θ 2
－sin
3π＋θ 2
＝sin22θ.
证明：左边＝cos

《三角函数诱导公式五、六》

第2课时诱导公式五、六(教师独具内容)课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题．教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用．教学难点：诱导公式五、六的推导过程.【知识导学】知识点诱导公式五、六【新知拓展】(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角π2－α与角α的终边关于y 轴对称．( )(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α与tan α的关系．( )(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－sin α.( )答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15D.25(2)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．－45 B.35 C.45D ．－35(3)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.答案 (1)C (2)A (3)－cos α题型一利用诱导公式五、六求值例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin (π＋α).[解] 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.金版点睛诱导公式应用中需注意的问题诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．[跟踪训练1] 已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 综上，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝32或－32.题型二化简三角函数式例2 化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α).[解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos αsin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.金版点睛用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于k π±α(k ∈Z )和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．[跟踪训练2] (1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值等于________；(2)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos (2π＋α).答案 (1)912 (2)见解析解析 (1)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.(2)因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.题型三利用诱导公式证明三角恒等式例3 求证：tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1.[证明] ∵左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边．∴原式成立．金版点睛三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[跟踪训练3] 求证：cos (π－θ)cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝2sin 2θ.证明 ∵左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．∴原式成立．1．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( ) A ．±a B ．－a C ．a D.1－a 2答案 C解析 cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24 答案 A解析因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝－2 2.3．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案 2解析由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________.答案－725解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，∴cos θ<0，即θ是第二或第三象限角．∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，∴sin θ>0.即θ是第一或第二象限角．综上θ是第二象限角．2．在△ABC 中，下列四个关系中正确的有( ) ①sin(A ＋B )＝sin C ；②cos(A ＋B )＝sin C ； ③sin A ＋B 2＝sin C 2；④cos A ＋B 2＝sin C 2. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 C解析因为△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，故①正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故②错误；sin A ＋B 2＝sin π－C 2＝cos C2，故③错误；cos A ＋B 2＝cos π－C 2＝sin C2，故④正确．综上，①④正确．故选C.3．下列与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2的值相等的式子为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θB ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θD ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ答案 D解析因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos θ，对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ；对于B ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－sin θ；对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－cos θ.4．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案 C解析 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x ，故选C.5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32mC.23mD.32m 答案 B解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .二、填空题6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.答案 0解析原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________. 答案 35解析 ∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45>0， ∴85°＋α是第四象限角．∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.8．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C＝________.答案 π2解析 ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33，∴A ＝π6.又cos A ＝－3cos(π－B )， ∴cos A ＝3cos B ，即32＝3cos B ， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3， ∴C ＝π－π6－π3＝π2. 三、解答题9．求证：tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos (6π－α)tan (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝1. 证明左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边． ∴原式成立． 10．若sin α＝55，求cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．解 cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋(π－α)]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α，因为sin α＝55，所以2sin 2α＝10，即原式＝10.B 级：“四能”提升训练1．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．解原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α.方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.2．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，但不适合①式，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

《诱导公式五、六》三角函数

《诱导公式五、六》三角函数
汇报人： 2023-12-24
目录
• 诱导公式五 • 诱导公式六 • 诱导公式五、六与其他三角函
数的关系 • 诱导公式五、六在解题中的应
用 • 诱导公式五、六的记忆方法
01
诱导公式五
公式内容
01
公式一
sin(π/2 - α) = cos(α)
02
公式二
cos(π/2 - α) = sin(α)
。
公式பைடு நூலகம்推导
利用三角函数的定义和性质，通过三角函数的和差化积公式推导得出
。
公式应用
应用一
化简三角函数式，将复杂的三角函数式通过诱导公式化简为简单的形式，便于计算和理解。
应用二
求三角函数值，利用诱导公式可以求出一些特殊角的三角函数值，或者将一些非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值。
应用三
证明三角恒等式，通过诱导公式可以将一些三角恒等式进行证明或推导。
应用四
解决实际问题，在一些物理、工程等领域中，可以利用诱导公式来解决一些实际问题。
02
诱导公式六
公式内容
公式五
csc(π/2 - α) = secα
公式四
sec(π/2 - α) = cscα
公式一
sin(π/2 - α) = cosα
03 sin[π/2 - (π/2 - α)] = sinα。
4. 利用三角函数的商数关系推
导：tan(π/2 - α) = cotα =
1/tanα。
04
5. 利用三角函数的倒数关系推
导：sec(π/2 - α) = cscα = 1/sinα。
05
6. 利用三角函数的倒数关系推

三角函数诱导公式5和6

三角函数诱导公式5和6三角函数诱导公式是从基础三角函数公式推演出来的结论，下面列出五六两个三角函数诱导公式：一、三角函数诱导公式5：1. cos(α ± β) = cosα·cosβ ± sinα·sinβ2. sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ二、三角函数诱导公式6：1. tan(α ± β) = [tanα ± tanβ]/[1 ± tanα·tanβ]说明：上面的α、β是一些角度的值，其中，α和β可以是具有相同的正弦或余弦函数的锐角，也可以是具有相同的正切函数的钝角。

三角函数诱导公式5和6具有很大的实用价值，首先是可以简化计算，尤其是在求解复杂几何问题时，可以有效减少运算量。

其次，可以方便地得到复杂几何图形的最优解，在对三角形求解时，可以快速求得相应的最优解，因此在现代数学中，三角函数诱导公式5和6被广泛应用。

三角函数诱导公式5的用法：1. 使用三角函数诱导公式5可以简化计算，可以将一个复杂的表达式简化为两个简单的表达式，比如将一个三角函数表达式简单化。

2. 使用该公式可以方便地解决两个相邻角或直角相加减时所形成的三角函数问题，这能够减少计算量。

3. 该诱导公式可以有效地解决复杂的几何问题，如求解三角形的三角形必要条件的问题，利用诱导公式5可以求解出复杂的几何图形。

三角函数诱导公式6的用法：1. 使用该诱导公式可以快速地计算任意两个角度的正切值，从而求解出复杂的几何问题。

2. 可以求解诸如角度相减、相加、相乘和三等分角这类复杂的学科问题。

3. 可以快速求解复杂几何图形最优解，如求三角形最小内接圆圈半径的问题，利用该公式可以轻松解决。

综上所述，三角函数诱导公式5和6的作用由此可见，在现代数学中是非常重要的工具，可有效简化计算，提高效率。

诱导公式五、六课件

∴cos(π4－α)>0，
－sin2π4－α ＝
1－a2
，sin(
5π 4
＋α)＝
sin[π＋(π4＋α)]
＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4＋α)]
＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2.
[答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα
诱导公式的使用已知 sin(π4－α)＝a,0<α<π2，求 sin(54π＋α)．
[错解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4， ∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2π4－α＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[32π－(4π－α)]＝cos(4π－α)＝ 1－a2.
D. 1－m2
[答案] A
已知cos10°＝a，则sin100°＝________. [答案] a
[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用
口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即 k·2π±α(k∈Z)的三
角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名三角函数值；当 k 为奇
数时，得 α 的余名三角函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在sin[32π－(π4－α)]中，要把“4π－α”看成锐角来确定三角函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组17个公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．
[正解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4，
角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇
偶性．如 sin(112π＋α)中的 k＝11 是奇数，且把 α 看成锐角时，

《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)

＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
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1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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自主预习探新知
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1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝－sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角，所以cosπ3－α＝－ 23，所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.

必修四1-3-2三角寒素诱导公式五、六

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】已知 sin
π ＋α＝ 6
π 3 ，求 cos 3－α的值． 3
π π π π π π 解 ∵ ＋α＋－α＝，∴ －α＝－6＋α. 6 3 2 3 2
∴cos ＝sin
π －α＝cos 3 π ＋α＝ 6
活页规范训练
自学导引 1．诱导公式五、六公式五：sin 公式六：sin
π －α＝ cos 2 π ＋α＝ cos 2
α ，cos α ，cos
π －α＝ sin 2
α ；
π ＋α＝－sin 2
α
.
公式五和公式六可以概括如下： π α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前 2± 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
α.
[ 思路探索 ] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行化简推出右边．
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证明
tan －α· －sin α· cos －α 左边＝ π π sin 2π－2－α· cos2π－2－α
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2．六组诱导公式的记忆 (1)公式一～六形式虽然有所不同，但其作用是一样的，都能起到化简、求值的作用． π (2)六组诱导公式可以统一概括为“k·± α(k∈Z)”的形式．当 k 2 为偶数时，得 α 的同名函数值；当 k 为奇数时，得 α 的异名函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号． π (3)诱导公式统一成“k· α(k∈Z)”后，记忆口诀可记为“奇变 2± 偶不变，符号看象限”．

高中数学 5-3 诱导公式第2课时诱导公式(二)课件新人教A版必修第一册

提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称． (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
练一练：已知 cosπ2－α＝12，则 sin(π＋α)＝_－__12___．
[解析] cosπ2－α＝sin α＝12， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－12.
题型二
三角恒等式的证明
典例2 求证：
2sin1－θ－2s32iπn2c（osπθ＋＋θπ2）－1＝ttaann（（9ππ＋＋θθ））－＋11.
[分析]
[证明] 左边＝
－2sin32π－θ·（－sin 1－2sin2θ
θ）－1＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin
θ－1
＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
D．－ 1－a2
[解析] sin 25°＝sin（90°－65°）＝cos 65°＝a.
(B )
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
( B)
3．已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，则 sinα－32π的结果是
第五章三角函数
5.3 诱导公式
第2课时诱导公式(二)
必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 1 诱导公式五
sinπ2－α＝cos α， cosπ2－α＝sin α 想一想：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？

数学人教A版高中必修一(2019新编)5-3 诱导公式(教学课件)

tan( )
y2
x2
从而得公式二：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
1.5
1
T
P
0.5
M1 O
-2
M
-1
-0.5
P1
-1
-1.5
1
A
2
如图, 作P1关于x轴的对称点P3 , 则以OP3为终边的角为 , 并且有
即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函
数名最少.
π
2对于 kπ±α 和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，
2
而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.
下面在探究1的基础上继续探究
探究2
作P1关于直线y x的对称点P5 , 则以OP5为终边的角与角有什么关系?
符号看象限
例1 利用公式求下列三角函数值
8
;
3
(1) cos 225;
(2) sin
16
(3) sin
3

(4) tan( 2040)
(1) cos 225 cos(180 45 ) cos 45
(2) sin
8
2

sin 2
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan
其中
k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
其中 k Z
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数

5.3 第二课时诱导公式五、六

(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少． (3)函数名称：对于 kπ±α 和π2±α 这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．
[对点练清] 1．[变条件]本例(1)中条件变为 sin43π－α＝12，问题不变．
解：∵43π－α＋π6＋α＝32π， ∴cosπ6＋α＝cos32π－43π－α ＝－sin43π－α＝－12.
2．[变结论]本例(1)条件不变，求 cos56π－α的值．解：cos56π－α＝cosπ2＋π3－α ＝－sinπ3－α＝－12.
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－
1－－452＝－35.
(2)f(α)＝－tan－α·csoins
α·cos α
α＝tan
αsin
α
＝csoins
α α·sin
α＝－－3545×－35＝－290.
[方法技巧] 诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
答案：(1)√ (2)× (3)×
() () ()
2．若 cos(α＋π)＝－23，则 sin－α－32π＝
A．23
B．－23
()
C．
5 3
D．－
5 3
解析：由条件知，cos α＝23，所以 sin－α－32π＝－sin32π＋α＝sinπ2＋α＝cos α＝23.故选 A.
＝sin
αcos α－cos sin αcos α
α＝－cos
α.
②因为 cosα－32π＝15，所以 sin α＝－15，又 α 是第三象限角，

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第五章 5．3 第2课时
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(2)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(3)对于 π±α 和2π±α 这两组诱导公式，切记运用前一组公式不变名，而运用后一组公式必须变名．
第五章 5．3 第2课时
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1．在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关系？
[答案] ∵A＋B＋C＝π， ∴A2＝2π－B＋2 C， ∴sinA2＝sin2π－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C
第五章 5．3 第2课时
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[解析] (1)∵cosπ2＋α＝－sinα＝－35 ∴sinα＝35，且 α 是第二象限角 ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－45. 而 sinα－32π＝－sin32π－α ＝－(－cosα)＝cosα＝－45
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第五章 5．3 第2课时
[解] (1)cos56π＋α·sin23π－α ＝cosπ－π6－α·sinπ－3π＋α ＝－cos6π－α·sinπ3＋α ＝－cos6π－α·sinπ2－6π－α ＝－cos6π－α·cos6π－α ＝－13×13＝－19.
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第五章 5．3 第2课时
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[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________.
[解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
第五章 5．3 第2课时
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2．化简：csoinsπα－－απ·sinα－π2cos2π＋α. [解] 原式＝cos[－sinπα－α]·sin－π2－α(－sinα) ＝cossiπn－α α·－sinπ2－α(－sinα) ＝－sicnoαsα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.
[证明]
左边＝tan2πs－inαα＋co3s2π32πc－osαα＋co3s2π6π－α
＝tan－－αco－sαssiinnααcosα
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα＝右边，
所以原等式成立．
第五章 5．3 第2课时
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三角式恒等证明的原则对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
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(1)整体代换，寻找角之间的关系：对于一些给值(式)求值问题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．
①常见的互余关系有：π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4 －α 等．
②常见的互补关系有：π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等．
第五章 5．3 第2课时
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[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1.
第五章 5．3 第2课时
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[证明] 右边＝－2sin321π－－2θs·in－2θsinθ－1 ＝2sinπ＋1－π2－2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1 ＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
第五章 5．3 第2课时
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＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边，所以原等式成立.
第五章 5．3 第2课时
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题型三诱导公式的综合应用
【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值．
2．诱导公式一～六可归纳为
π k·2±α
的形式，可概括为“奇
Байду номын сангаас
变偶不变，符号看象限”
第五章 5．3 第2课时
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(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.
(2)“奇”、“偶”是对诱导公式
π k·2±α
中的整数
k
来讲的．
(3)“象限”指
π k·2±α
中，将
α
看成锐角时，k·π2±α
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课堂互动探究
第五章 5．3 第2课时
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题型一利用诱导公式化简求值
【典例 1】 (1)已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，
则 sinα－32π的结果是(
)
4 A.5
B．－45
C．±45
3 D.5
(2)化简：csoisnπ2－π＋ααsinco3sππ－－ααscinos－π2－ π＋ααcosisn725π2π－＋αα ＝______. [思路导引] 利用诱导公式先化简再求值．
(2) 已知
cosα
＝
－
4 5
，
且
α
为第三象限角．求
f(α) ＝
tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sinπ2－α的值．
第五章 5．3 第2课时
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[思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；23π－α＝π－3π＋α； π3＋α＋π6－α＝2π.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．
第五章 5．3 第2课时
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2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角 α 可以是任意角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cosα.( )
(3)sin32π－α＝cosα.(
)
(4)若 α＋β＝90°，则 sinα＝cosβ.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
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(2)因为 cosα＝－45，且 α 为第三象限角，所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－452＝－35. 所以 f(α)＝－tan－α·csionsαα·cosα＝tanαsinα＝csoinsαα·sinα ＝－－3545×－35＝－290.
第五章 5．3 第2课时
所在的象
限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定
原函数值的符号.
第五章 5．3 第2课时
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请做：随堂巩固验收
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第
五
三角函数
章
第五章三角函数
5．3
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诱导公式
第五章 5．3 第2课时
第 2 课时
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诱导公式五、六
第五章 5．3 第2课时
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课前自主预习
第五章 5．3 第2课时
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1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程． 2．运用公式五、六进行有关计算与证明． 3．掌握六组诱导公式并能灵活运用．
[答案] D
第五章 5．3 第2课时
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5．已知 f(α)＝ sinπ－coαsc2πo－s2απs－inα－coπs－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 为第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值； (3)若 α＝－331π，求 f(α)的值．
(2)原式＝－csoinsαα··s－inαc·o[s－αs·isninπα－·coαs]3s2πin－2πα＋ α ＝s－inαsi·n－α·csoinsαα＝tanα
[答案] (1)B (2)tanα
第五章 5．3 第2课时
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用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
第五章 5．3 第2课时
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[解] (1)f(α)＝ssiinnαα[c－ossαin－πs＋inαα]
＝cosαsi－nαsinα＝－cosα
(2)∵cosα－32π＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，又∵α 为第三象限角，
∴cosα＝－
1－sin2α＝－2
5
6，∴f(α)＝2
第五章 5．3 第2课时
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题型二利用诱导公式证明三角恒等式
【典例 2】 [思路导引]
求证：tan2πs－inαα＋co3s2π32πc－osαα＋co3s2π6π－α＝－tanα. 应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子，
使其等于右边．
第五章 5．3 第2课时
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5
6 .
第五章 5．3 第2课时
(3)f－331π＝－cos－313π ＝－cos－6×2π＋53π＝－cos53π ＝－cos3π＝－12.
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