(优质课)锐角三角函数教案

教学设计：
§28.1 锐角三角函数
授课人：***
编号： 48号
§28.1 锐角三角函数（一）
一、教学目标：
1、理解直角三角形中锐角正弦函数的意义，并会求锐角的正弦值；
2、掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形其他边长的方法；
3、经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究能力。

教学重点：
理解正弦（sinA ）概念，掌握当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值． 教学难点：
在直角三角形中当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

二、教学过程：
1、创设情景，提出问题:（PPT 演示）
在唐僧师徒取经的路上，遇到了一座山，这座山有多高呢？这可难住了唐僧。

大徒弟孙悟空目测山的顶部，视线与水平线的夹角为30度，然后从地面飞到山顶，路程是1000米。

你能帮孙悟空计算出山的高度吗？
1000米 B
A C
情境探究:
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ＝30°，AB ＝1000m ，求BC 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
可得BC ＝ AB ＝500m ，也就是说，这座山的高度是500m 思考1：在上面的问题中，如果孙悟空从山底部飞到山顶1500米，那么山的高度是多少？
可得B ’C ＝ AB ’ ＝750m 仍有
12A BC AB ∠ ==的对边斜边12
''1,A B C ∠ ==的对边12
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角
的对边与斜边的比值都等于 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，假设 BC=
，由勾股定理得: A
因此 C B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对
边与斜边的比都等于 从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C=90°
当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于
12，是个固定值； 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22
，也是一个固定值． 2、【探究】当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt△ABC 和Rt△A’B’C ，使得∠C ＝∠C ’＝90°,∠A ＝∠A’＝ ， 那么
与 有什么关系．你能解释一下吗？
由于∠C ＝∠C ’＝90°， ∠A ＝∠A ’＝
所以Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’
【为了更直观地验证这一结论，教师几何画板演示：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比不变；当锐角A 的度数增大时，不管三∠A 的对边与斜边的比值变大。

】
12
j AB oA = 0.59AB = 3.28厘米
验证：在直角三角形中，当锐角不变时， 它所对的直角边与斜边的比值不变。

oA = 5.57厘米
B o D A a 2222222AB A
C BC BC a =+==2AB a
=12222BC a AB a ===a a 22
αAB BC ''''B A C B α,''''BC AB B C A B ∴=B'C'.AB ''
BC A B =即
B C A 30°A C B 45°
AB BC AB BC AB BC 【通过数形结合引导学生体会锐角A 的度数的变化与∠A 的对边与斜边的比之间的关系，并且结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力】．
[板书]
定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。

记作sinA ， B A C
指出：“sinA ”是一个完整的符号，记号里习惯省去角的符号“∠”．
【这一环节的教学，教师要强调前提条件是：“在直角三角形中”，正弦函数值是边的比值，没有单位，并且让学生明确什么是“对边”和“斜边”】单独写出符号sin 是没有意义的。

当∠A =30°时， 当∠A=45°时，
当∠A=60°时， 3、概念强化训练： 判断对错: （1） 如图 (1)sinA= （ ） B
10m (2)sinB= （ ） 6m
(3)sinA=0.6m （ ） A C
(4)SinB=0.8 （ ） B
【强调：sinA 是一个比值,注意比的顺序,无单位】
（2） 如图，sinA= （ ）
【强调：正弦函数的前提是在直角三角形中】 A C
（3）在Rt △ABC 中，锐角A 的对边和斜边同时扩大100倍，sinA 的值（ ）
A.扩大100倍
B.缩小 B
C.不变
D.不能确定
（4）如图, 则 sinA=______ 300
A C
A sin BC a A A
B c ∠===的对边斜边1sin 302=2sin 452=3sin 602=
223三、合作交流，自主展示： 例1、已知：在Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，求sinA 和sinB 的值．
解：(1)在Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得： 2222345AB AC BC =+=+=
∴4sin 5
BC A AB ==， 3 4
（2）在Rt△ABC 中，
∴
【例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点】
[巩固练习]教材P77练习题
例2、已知：在△ABC 中，∠C=90°，sinA=
23
， BC=3，求A B 、AC 的值． 说明：学生独立思考，小组交流解题思路，师生共同寻求解题方法．．
[变式训练]
变式：已知：在△ABC 中，∠C=90°，sinA=23
，求sinB 的值． 【设计意图：通过例2和以及变式教学，使学生会用方程思想和设参数法解题，进一步明确锐角的正弦值只与角的对边与斜边的比值有关，而与它们的长度没有关系】 四、巩固练习
1、小试牛刀
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的（ ）．
A ． （2）若sin （65°-∠A)= , 则∠A= （3）如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinB= ，BC 的长是 ． 5sin 13
BC A AB ==222213512AC AB BC =
-=-=12sin 13AC B AB =
=4sin 5AC B AB ==151115..15434B C D
αα
（4）如图，P 是平面直角坐标系上的一点， 点P 的坐标为（3,4），则 sin =
Y A P(3,4)
C B O X
第3题图 第4题图
2、举一反三
如图：AB 是⊙O 的直径，且AB=10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦BC=8，求sin ∠ADC 的值。

D
B
五、课堂小结
小结本节课都学会了什么？还有什么疑问？你还想知道什么？
1引导学生作知识总结：正弦的定义: A sin BC a A AB c
∠===的对边斜边,通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边的比值是固定的．
2. sin30° = sin45°= sin60°六、布置作业
1、必做题 ：课本习题28.1第1、2题
2、选做题：课后探究：当0°＜∠A ＜90°时，sinA 的值会在什么范围内？为什么？ 并运用你的结论化简： 【这个问题对于较差学生来说有些难度，这个问题将数与形结合起来，得结论：0＜sinA ＜1
(∠A 为锐角)】 另：正弦值随着角度的增大而发生怎样的变化？
的取值范围是什么？这个问题的提出给学生留下更多的思考空间】
七、教学反思：
锐角三角函数首先是放在直角三角形中研究的，显示的是边角之间的关系。

锐角三角函数值是边与边之间的比值，锐角三角函数沟通了边与角之间的联系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

sin α122232
2
(sin 1)α-
本节课重、难点在于比值的理解，我是从以下几方面做地：（1）突破角的任意性（有特殊到一般），（2）突破直角三角形大小（相似三角形性质的运用）的任意性，使学生逐步认识到：在直角三角形中，对于固定的30度（45度、60度、一般任意锐角）的角，无论这个直角三角形大小如何，其对边与斜边的比值始终保持不变。

本节课采用创设情境引入法，激发学生的学习热情，由特殊值入手，从特殊到一般的探究过程。

学生们表现得非常积极，从作图，找边、角，计算各个方面进行探究，学生非常活跃，大部分人都能积极动脑积极参与，整节课都在紧张而愉快的气氛中进行。

教学中，我比较关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学，都给予了鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性。