(发给学生)第五章年金的精算现值
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2t
来自百度文库
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2
( 1 2 a x ) ( 1 a x )2 Var Y 2
2
( 1 2 7.375 ) ( 1 10 )2 50 2
0.035
Ax 1 a x
件）
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存
年金的方式，特别在：
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
三、生存年金精算现值的概念 1、生存年金趸缴纯保费的计算方法：现实支付法和总额支付法
现实支付法－将任意时刻t时的年金给付额折现至签单时的现值， 再将所有的现值相加或积分。
例1：设 a x 10, a x 7.375,Var( a T ) 50,求：（ 1）（ 2） Ax
Ax ( A x )2 解: Var Y 2
2
－
－ 2
－
－
Q Ax vt fT t dt
0
Ax v fT t dt 0
a x E Y a t f t t dt a t [ FT t ]dt
0 0
a t (1 t p x )dt a t ( t p x )dt
0 0
（ a t .t p x）｜
0
0 t
p x .( at )dt
a x:n
n
0 t
p x v t dt
1 例2：已知 x , 计算当 100, 0.05, x 30时， -x 30年定期生存年金的精算 现值
解: a30:30
30 t
0
p30v dt e
t
30
x s ds t 0
1 t 70
t
总额支付法－先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的 现值，再求现值的期望值。
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔
付的保险。 也就是我们在第4章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期 生存保险的趸缴纯保费为 1
Ax:n
1
在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现值
30380 .05
Ax:n 1 a x:n
1 A35:20 2000a 35:20 2000 1 i 1 1 2000 ( A35: 20 A35:20 ) 1 D55 i M 35 M 55 2000 ( ) D35 D35
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定
生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类： 1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
m|
a x:n m E x . a x m:n
四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 a x
证明: A x
0
0
v fT t dt
t
t
0
t dt v ( q ) v FT t dt 0 t x
t
v .( t p x )dt －( v .t p x ) | ( v t ) .t p x dt
t n
a x a x:n
0
n
v
n s
.n s p x ds
0
v .n p x . v s . s p x n ds
n|
a x n E x . a xn
（x)岁的人购买了延期m年的n年定期生存年金，即按连续方式方 式每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为
10000 e
40
l65 l 25
40
10000 1 0.06
818335 980199
811.6752
1 10000 40 E 25
10000 v 40 ( 40 p25 )1
10000 1 0.06
40
980199 818335
a x v k .k p x
k 0
..
Ax ( Ax )2 Var( a x ) d2
.. 2
例 已知 i 0.05
x lx dx
23258 .59
Ax :n Ax n| a x
A35:10 A35 200010| a 35 2000
1 i 1 i 1 2000 [( A35: 20 A35:20 ) A35 ] / 1 D55 i M 35 M 55 i M 35 2000 [( ) ]/ D35 D35 D35
解:
t
－
－
ax
0 t
p x v t dt
p x fT ( t )dt 0.015e 0.015 t dt e 0.015 t t t
0.065 t
a x e 0.015t .e 0.05 t dt 0 e
0
e 0.065 t dt |0 15.38 0.065
0
e dt
e
0
30
1 ds 0.05 t 0 70
t
e
dt e
0
30
.e 0.05 t dt
13.01
三、延期生存年金
（x)岁的人购买了延期n年的终身生存年金，即按连续方式方式 每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为 a n| x
n|
a x v .t p x dt
1 a x :n n Ex 1 l n x a x :n n (1 i ) a x :n v .n p x l xn
l x n s x :n ( 1 i )n l x a x :n
第三节 离散型年金
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次
t
0.06 t 0.04 t e . e dt dt 0
0
e 0.1t dt lim b 0
b
1 0.1t b ( e ) |0 10 e 0.1t dt lim b 0.1
例2：设余命T 的概率密度函数为 f(t) 0.015e－0.015t (t 0),利息 力＝0.05,计算：（ 1 ） ax （2 ） a x 足够用于实际支付年金 的概率。
n E A v n px n x x:n
1 注： n E x A 称为精算折现因子 , 称为累积因子 n Ex
1 x: n
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁， 可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。 （2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值 （利用附录中的生命表） 解： 1000040 E25 10000 v 40 p 40 25
15315 .87
Ax :m A x :m n m| a x :n A35:10 A35:30 200010| a 35:20 2000
12465 .84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
s x :n
A x 0.65
例2：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额为2000元 的生存年金，利率为6％，试利用用生命表在UDD假设下的下列生 存的精算现值。（1）终身生存年金（2）20年定期生存年金（3） 延期10年的终身生存年金（4）延期10年的20年定期生存年金 解:
Ax 1 a x
1 vT T P ( v 0.231) P (a x a T ) P ( 15.38) 0.05 29.31 0.015 t 0.05T dt P (e 0.231) P (T 29.31) 0 0.015e
0.3557
二、n年定期生存年金
年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金
终身年金/定期年金
延期年金/非延期年金
一、期初付年金及其精算现值
终身生存年金－每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。
0 t
p x .( a t )dt
0 t
p x .( v s ds)dt
0
t
ax
0 t
p x v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 解:
ax
ax
0 t
p x v dt 0 e
t
t
.e 0
x s ds
t 0 0
1 v . ln v .t p x dt 1 v t .t p x dt
t 0 0
1 ax
同理可得：
Ax:n 1 a x:n
Ax :n Ax n| a x
m|
a x :n
Ax :m A x :m n
2t 0
2t 0 2t 0
2
v ( tq x ) dt v 2 t .( t p x )dt 2t 0
－( v .t p x ) | ( v ) .t p x dt 1 2 v 2 t . ln v .t p x dt
0
1 2 v .t p x dt 1 2 a x 0
终身生存年金的未来给付现值的随机变量为 Y aT
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年
金的现值之和
aT
t v s ds v s lnv |0 v t ln v ln v 0
t
aT
1 vT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金 期望值，即终身连续生存年金精算现值
1 A35 1 i 2000 ( 1 A35 ) 2000a 35 2000 1 0.06 M 35 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35
1 0.06 14116.1223 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513.78
123205.37
第二节 连续给付型年金
连续生存年金的定义
在保障时期里，以被保险人存活为条件，连续支付年金
的保险
连续生存年金的种类 终身连续生存年金/定期连续生存年金 连续生存年金精算现值的估计方法 现实支付法 总额支付法
一、连续给付型终身生存年金
假设（x)岁的人购买了终身生存年金，即按连续方式方式每年 给付年金额1元，则此终身生存年金在x岁时的精算现值为 a x
Y的方差
1、终身生存年金
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2、n年定期生存年金
Var Y
2
(ax:n a x:n ) (a x:n )2
2
3、延期n年的终身生存年金
2 2n 2 2 Var Y .v .n p x ( a x n a x n ) ( n| a x )
来自百度文库
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2
( 1 2 a x ) ( 1 a x )2 Var Y 2
2
( 1 2 7.375 ) ( 1 10 )2 50 2
0.035
Ax 1 a x
件）
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存
年金的方式，特别在：
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
三、生存年金精算现值的概念 1、生存年金趸缴纯保费的计算方法：现实支付法和总额支付法
现实支付法－将任意时刻t时的年金给付额折现至签单时的现值， 再将所有的现值相加或积分。
例1：设 a x 10, a x 7.375,Var( a T ) 50,求：（ 1）（ 2） Ax
Ax ( A x )2 解: Var Y 2
2
－
－ 2
－
－
Q Ax vt fT t dt
0
Ax v fT t dt 0
a x E Y a t f t t dt a t [ FT t ]dt
0 0
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0 0
（ a t .t p x）｜
0
0 t
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a x:n
n
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1 例2：已知 x , 计算当 100, 0.05, x 30时， -x 30年定期生存年金的精算 现值
解: a30:30
30 t
0
p30v dt e
t
30
x s ds t 0
1 t 70
t
总额支付法－先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的 现值，再求现值的期望值。
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔
付的保险。 也就是我们在第4章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期 生存保险的趸缴纯保费为 1
Ax:n
1
在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现值
30380 .05
Ax:n 1 a x:n
1 A35:20 2000a 35:20 2000 1 i 1 1 2000 ( A35: 20 A35:20 ) 1 D55 i M 35 M 55 2000 ( ) D35 D35
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定
生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类： 1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
m|
a x:n m E x . a x m:n
四、年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系
Ax 1 a x
证明: A x
0
0
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t
t
0
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t
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10000 e
40
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x lx dx
23258 .59
Ax :n Ax n| a x
A35:10 A35 200010| a 35 2000
1 i 1 i 1 2000 [( A35: 20 A35:20 ) A35 ] / 1 D55 i M 35 M 55 i M 35 2000 [( ) ]/ D35 D35 D35
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13.01
三、延期生存年金
（x)岁的人购买了延期n年的终身生存年金，即按连续方式方式 每年给付年金额1元，则此延期生存年金在x岁时的精算现值为 a n| x
n|
a x v .t p x dt
1 a x :n n Ex 1 l n x a x :n n (1 i ) a x :n v .n p x l xn
l x n s x :n ( 1 i )n l x a x :n
第三节 离散型年金
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次
t
0.06 t 0.04 t e . e dt dt 0
0
e 0.1t dt lim b 0
b
1 0.1t b ( e ) |0 10 e 0.1t dt lim b 0.1
例2：设余命T 的概率密度函数为 f(t) 0.015e－0.015t (t 0),利息 力＝0.05,计算：（ 1 ） ax （2 ） a x 足够用于实际支付年金 的概率。
n E A v n px n x x:n
1 注： n E x A 称为精算折现因子 , 称为累积因子 n Ex
1 x: n
例1：某25岁的男性购买了定期生存险，按保单规定：若能满65岁， 可获得10000元。已知i＝6％，计算（1）趸缴纯保费。 （2）25岁时缴纳的10000元在65岁时的精算累积值 （利用附录中的生命表） 解： 1000040 E25 10000 v 40 p 40 25
15315 .87
Ax :m A x :m n m| a x :n A35:10 A35:30 200010| a 35:20 2000
12465 .84
五、年金的精算累积值
以连续方式每年给付金额为1元的n年定期生存年金的精算累积值
s x :n
A x 0.65
例2：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金额为2000元 的生存年金，利率为6％，试利用用生命表在UDD假设下的下列生 存的精算现值。（1）终身生存年金（2）20年定期生存年金（3） 延期10年的终身生存年金（4）延期10年的20年定期生存年金 解:
Ax 1 a x
1 vT T P ( v 0.231) P (a x a T ) P ( 15.38) 0.05 29.31 0.015 t 0.05T dt P (e 0.231) P (T 29.31) 0 0.015e
0.3557
二、n年定期生存年金
年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金
终身年金/定期年金
延期年金/非延期年金
一、期初付年金及其精算现值
终身生存年金－每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡。
0 t
p x .( a t )dt
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0 t
p x v t dt
例1：在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 解:
ax
ax
0 t
p x v dt 0 e
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.e 0
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t 0 0
1 v . ln v .t p x dt 1 v t .t p x dt
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1 ax
同理可得：
Ax:n 1 a x:n
Ax :n Ax n| a x
m|
a x :n
Ax :m A x :m n
2t 0
2t 0 2t 0
2
v ( tq x ) dt v 2 t .( t p x )dt 2t 0
－( v .t p x ) | ( v ) .t p x dt 1 2 v 2 t . ln v .t p x dt
0
1 2 v .t p x dt 1 2 a x 0
终身生存年金的未来给付现值的随机变量为 Y aT
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年
金的现值之和
aT
t v s ds v s lnv |0 v t ln v ln v 0
t
aT
1 vT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金 期望值，即终身连续生存年金精算现值
1 A35 1 i 2000 ( 1 A35 ) 2000a 35 2000 1 0.06 M 35 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) D35
1 0.06 14116.1223 2000 (1 ) ln( 1.06 ) ln( 1.06 ) 126513.78
123205.37
第二节 连续给付型年金
连续生存年金的定义
在保障时期里，以被保险人存活为条件，连续支付年金
的保险
连续生存年金的种类 终身连续生存年金/定期连续生存年金 连续生存年金精算现值的估计方法 现实支付法 总额支付法
一、连续给付型终身生存年金
假设（x)岁的人购买了终身生存年金，即按连续方式方式每年 给付年金额1元，则此终身生存年金在x岁时的精算现值为 a x
Y的方差
1、终身生存年金
2
Ax ( A x )2 Var Y 2
2、n年定期生存年金
Var Y
2
(ax:n a x:n ) (a x:n )2
2
3、延期n年的终身生存年金
2 2n 2 2 Var Y .v .n p x ( a x n a x n ) ( n| a x )