量子力学

的 的
能 量 密 度
0
5
λ (104 cm)
10
. Wien 公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：
ρ ν d ν = C 1ν 3 exp( − C 2ν / T ) d ν
其中， C 1 和 C 2 是两个拟合参数， 是两个拟合参数， 其中 ， T 为平衡时的温度 ， 为平衡时的温度，
（三）Compton 散射—光的粒子性的进一步证实 （1）Compton 效应：X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子 散射后出现的效应。该效应有如下 2 个特点： 1．散射光中，除了原来 X 光的波长λ外，增加了一个新的波长 为λ'的 X 光，且λ' >λ； 2．波长增量Δλ=λ’ –λ随散射角增大而增大。这一现象称为 Compton 效应。 经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁 波被散射后， 波长不应该发生改变。 但是如果把 X--射线被电子散射 的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解。 （2）定性解释 根据光量子理论，具有能量 E = h ν 的光子与电子碰撞后，光 子把部分能量传递给电子， 光子的能量变为 E’= hν’ 显然有 E’ < E, 从而有ν’ <ν,散射后的光子的频率减小，波长变长。根据这一思 路，可以证明：
（1）波尔假定 （2）氢原子线光谱的解释 （3）量子化条件的推广 （4）波尔量子论的局限性 利用玻尔—索末菲量子化条件 索末菲量子化条件， 一维谐振子的能量。 例 利用玻尔 索末菲量子化条件，求：一维谐振子的能量。
解：谐振子的能量
( 2µE )
p
2 2
+
q
2 2
E=
的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为 a = 2µE , b =
∆λ = 2λ0 sin 2
θ
2
其中 称为电子的Compton波长。
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教 学 内 容 设 计
λ0 =
2πh = 2.4 × 10 −10 cm m0 C
该式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和吴有训用实验证 实，用量子概念完全解释了 Compton 效应。因为式右是一个恒大于 或等于零的数，所以散射波的波长λ'总是比入射波波长长（λ' >λ） 且随散射角θ增大而增大。式中也包含了 Planck 常数 h，经典物理 学无法解释它，Compton 散射实验是对光量子概念的一个直接的强 有力的支持。
ν = RH C
1 1 n = 3,4,5,L − 2 2 2 n 光速。 其 RH = 1.09677576 ×10 7 m−1是氢 Rydberg 常 , C是 。 中 的 数 光速
这就是著名的巴尔末公式 （Balmer） 以后又发现了一系列线系， 。 它们都可以用下面公式表示：
ν = RH C
ρ ν 是单位体积在频率
间隔内辐射的能量。 间隔内辐射的能量。
ν → ν + dν
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一 致。
能 量 密 度
Wien 线
教 学 内 容 设 计
0 5 λ (104 cm) 10
2. Rayleigh-Jeans 公式 根据经典电动力学，人们认为空腔腔壁是由电谐振子组成，它 能辐射和吸收能量以保持热平衡，从而得到理论公式：
谱系 Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund
1 1 − 2 2 n m
m 1 2 3 4 5
n>m
氢原子光谱 n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,...... 区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
§1 经典物理学的困难 教学 经典物理学的 经典物理学的困难
教学方法
19 (1) 的 1897 (2)
物理学理 方 方
经 的 的 的 的 的
的 的 学
的
教 学 内 容 设 计
的 1803 1864 的 的 经典物理学的困难 20 的 1 的
经典理 的困难 的物 物 的
的 : 的 的 T
的 的 的 T 的 的
1 µV 2 = hν − A 2
教 学 内 容 设 计
从上式不难解释光电效应的两个典型特点： 1. 临界频率 v0：由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能 量是光电子 V = 0 时由该式所决定，即 hv -A = 0， v0 = A / h ，可 见，当 v < v0 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 。 2. 光电子动能只决定于光 子的频率：上式亦表明光电子的能 量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子的数目，从而决定光 电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到了正确 的说明。 （3）光子的动量 光子不仅具有确定的能量 E = hv，而且具有动量。根据相对论 知，速度为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
h
h
λ
，
即有
µec
µec
0 6.626 × 10 −34 ≈ 0.024 A − 31 8 9.1 × 10 × 3 × 10
= λc =
（电子的康普顿波长）。
（四）波尔（Bohr）的量子论 Planck--Einstein 光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问 题的解决。1913 年 Bohr 把这种概念运用到原子结构问题上，提出 了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在 历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某 些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来。
2E µω2
p2 1 + µω 2 q 2 2µ 2 =1
2E
利用课件进行 讲授。增加通 过对例题的分 析讲解，加深 对基本规律概 念阐述
2πE E , ∫ pdq=πab= = =nhn=0,1,2,L
µω 2
虽然爱因斯坦 对光电效应的 解 释 是 对 Planck 量子概 念的极大支 持， 但是 Planck 不同意爱因斯 坦的光子假 设，这一点流 露在 Planck 推 荐爱因斯坦为 普鲁士科学院 院士的推荐信 中： “ 总而言之， 我们可以说， 在近代物理学 结出硕果的那 些重大问题 中，很难找到 一个问题是爱 因斯坦没有做 过重要贡献 的，在他的各 种推测中，他 有时可能也曾 经没有射中标 的，例如，他 的光量子假设 就是如此，但 是这确实并不 能成为过分责 怪他的理由， 因为即使在最 精密的科学 中，也不可能 不偶尔冒点风 险去引进一个 基本上全新的 概念 ”
量子论的诞生 §2 量子论的诞生 教学 Planck 量子的 论 Compton —— 的 子 的 Bohr 的量子论
教学方法
Planck 的 1900 子 1 2 量 量
教 学 内 容 设 计
能 量 密 度
Planck
子的
的 子 生 的 量子 学的诞生 Planck 的 的 量 子的 量 子的 Planck 子 的 v E = hv 量 的 论 的 的
λ (104 cm)
10
2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电 子数目的多少。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按照 光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。 （3）原子光谱、原子结构 氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。1885 年瑞士巴尔末发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经 验公式是：
教 学 内 容 设 计
利用课件进行 讲授。增加通 过对例题的分 人们自然会提出如下三个问题： 析讲解，加深 1.原子线状光谱产生的机制是什么？ 对基本规律概 2.光谱线的频率为什么有这样简单的规律？ 3.光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们思考： 念阐述 怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来 描写。 从前，希腊人有一种思想认为：自然之美要由整数来表示。例 如： 奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数 倍。 这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子核运 动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得 越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而“掉 到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是，现实世界表明，原子稳 定的存在着。除此之外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是 难以解释的，这里不再累述。 总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使 人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在这场 物理学的危机中诞生。
利用课件进行 讲授。增加通 过对例题的分 析讲解，加深 对基本规律概 念阐述
例 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子 对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转 化，光子波长最大是多少？ 解：转化条件为 hν ≥ µ e c 2 ，其中 µ e 为电子的静止质量，而 ν =
，
c
所以
λ≤
λmax =
λ
10 (104 cm)
exp(hv /kT)-1 Wien Planck
exp(hv /kT)
exp(hv /kT)-1 1+(h v Rayleigh-Jeans 子的 量 的 方 的 子 的 的 量 的
（二）光量子的概念 和光电效应理论 (1) 光子概念 第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认为，光不仅是电磁 波，而且还是一个粒子。 根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 hν的微 粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做 光量子，或光子。 由相对论光的动量和能量关系 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子 动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。 （2）光电效应理论 用光子的概念，Einstein 成功地解释了光电效应的规律。 当光照射到金属表面时，能量为 hν的光子被电子所吸收，电 子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用 来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：
第一章 量子力学的诞生
学 学 1 2 3 学 1 2 3 4 5 学 0.5 学 Plank 的量子 学 0.5 学 Einstein 的 量子 1学 子 Bohr 的量子 学1学 1学 :量子 的 量子力学诞生的 量子 量子 . : 量子 量子 的 2学 学的 子的 学2学
方法手段
教 学 内 容 设 计
量
量 子的 量 的
E = hv 量子 h = 6.6260755 x 10-34 Js --Planck 子 子的 量 量子 的 v 的 hv 的 的
ρν dν =
8πhν C3
3
1 exp(hν / kT ) − 1 dν
Planck
0
5
论 1 v Planck 2 v /kT)-1=(h v /kT) 3 的 Planck 的
能 量 密 度
Rayleigh-Jeans 线
Wien 线
0
5
（2）光电效应 光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之 为光电子。试验发现光电效应有两个突出的特点： 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电 1.临界频率 v0 ： 子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间 多长，都没有电子产生。光的这一频率 v0 称为临界频率。
ρν dν =
其中， 其中， k是
8π kT ν 2 d ν 3 C C是 ， 数。 数。
利用课件进行 讲授。增加通 过对例题的分 析讲解，加深 对基本规律概 念阐述
该公式在长波部分与实验符合较好，而在短波部分不则完全不 符， 而趋于无穷大， 历史上称之为紫外灾难 （英文是 Catastrophe， 其 含义有二：1、大灾害；2、戏剧的结局） 。
E=
µ0C 2
1− V2 C2
其中
µ 0 是粒子的静止质量。
对于光子，速度 V = C，欲使上式有意义，必须令 µ0 = 0,即光 子静质量为零。 根据相对论能动量关系 E 2 = ( µ 0 C 2 ) 2 + ( pC ) 2 = ( pC ) 2 总结光子能量、动量关系式如下 E = hν = hω r r E r hν r h r h r p = C n = C n = λ n = D n = hk r r n h λ 其中 h= D= k= 2π 2π D 把光子的波动性和粒子性联系了起来。