反例在数学教学中的应用

反例在数学教学中的应用

【摘要】 本文就反例在数学教学中的应用及应用反例教学时应注意的问题提出了几点看法。

【关键词】 反例；反例教学；应用

1引言

著名的数学家盖儿鲍姆（Gel Baum ）曾说数学由两大类───证明和反例组成。而数学的发展也是朝着这两个主要目标—提出证明或构造反例。当某些问题经人们绞尽脑汁去推演却仍悬而未决时（即使这种不彻底的推理并无差错）。则应允许人们对此命题的真伪产生怀疑，这就需要去寻找符合题设条件而与命题相悖的反例。反例因其具有简明、直观、说服力强等特点,决定了他在数学教学和数学的发展中起着不可替代的作用。在教学过程中适当运用反例对提高学生的创造能力有良好的诱导作用，从而也会给数学教学带来美妙的感受和良好的效果。

教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，从而提高学生思维的发散性.那么在教学的过程中反例的运用、构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。反例教学在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可. 通过反例教学，加深了学生对数学中概念的理解，同时也解决了教学中的重点、难点问题，使学生在认识上产生了质的飞跃，从而提高了教学的有效性。

2 反例在数学教学中的作用

2.1利用反例加深对数学概念的理解

数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真的过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，把握概念的要素和本质，从而达到学好的效果。 例2.1 人教版必修1《函数的基本性质》一节中，对函数的奇偶性这样定义：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-那么函数)(x f 就叫做奇函数。学生利用定义判断函数的奇偶性时往往忽略“定义域内任意一个x ”，直接去利用)(x f -与)(x f 之间的关系去判断，从而得出错误的结论。如果教师只是从正面去解释“定义域内任意一个x ”学生就

会感觉很抽象。若教师利用反例会使学生感觉更直、更观容易理解。例如判断

[)2,2)(2-=x x f 的奇偶性。若忽略“定义域内任意一个x ” 这个大前提就会得到

)()()(22x f x x x f ==-=-从而得出此函数是偶函数的结论，而实际2是不在定义域内，所以此函数是非奇非偶函数。又例如：在等差数列的定义中，举出例子：（1）2，4，6，7，8…… （2）-6，-4，-3，-1，1……让学生理解“第二项起” ，“同一”常数的含义。

2.2反例是理解定理、法则的有利工具

例2.2 初中在教三角形全等的判定定理时，三角形三边和三个角六个元素中，一般需要三个元素对应相等（但其中至少有一边）比如两角和夹边（ASA ），两边和夹角（SAS ），三边对应相等（SSS ）两角和一对边（AAS ）。特别强调 “对应”、“夹边”、“夹角”。为了对定理的深刻理解可以采用反例教学，去掉“夹角”，如有两边及其其中一边所对的角对应相等(SSA)的两个三角形是否全

等。构造反例可以先固定///,C A AC A A =∠=∠,在此基础上引导学生进一步思考若

a C B BC ==//说明//C B BC 或可以通过以下作图方法来画出：以C 或者/C 为圆心，a 为半径画

弧，a 只要满足一定的条件，此时所画的弧就很可能与

//B A AB 或’所在的直线有两个交点，这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。

另外可以进一步讨论去掉“对应”，六个元素中已知三个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知四个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知五个元素相等能否判断两个三角形全等。

六个元素中已知三个元素相等两个三角形全等三角的反例比较容易列举，例如边长不等的两个等边三角形，三个角分别相等但两个三角形不全等。六个元素中已知四个元素相等两个三角形全等三角的反例也比较容易列举，

例如边长为1和边长为2的两个等腰直角三角形，三个角分别相等，斜边与另一三角形的直角边相等但两个三角形不全等。

判断五个元素对应相等的两三角形全等是否正确.对于这个问题，很多初中学生感到模棱两可.反例也较难列举，比如三角形三边分别是,,a b c 和,,b c d 的两个三角形，这里:::a b b c c d ==,则他们相似，故有三个角相等，加之,b c 两边，该三角形共有五个元素分别相等，但是两个三角形却不等.如8,12,18,27a b c d ====．

反例的给出让学生对三角形的全等条件有了进一步的了解和掌握，使学生注意到两个全等三角形

中“边”相等不是任意给出的.那么在这道题中，反例的及时出现给学生眼前一亮的感觉。让学生体会到反例在数学教学中的作用是不可忽视的，加深对三角形全等判定定理的理解。

2.3利用反例可以激发学生学习的兴趣，提高教学效果

一个问题的解答，通常我们会用各种方式验证结果，反例将会引导我们追寻问题的所在，从反例中修补相关知识，从而获得正确结论和解答.那么恰当的引导学生使用反例可以更好的提高学生学习兴趣。

例2.3 试问：在三角形中，边长越长，面积越大吗？

分析：在三角形中若知道其三边，便可以计算其面积，这个事实早在两千多年前已为古希腊学者海伦所发现，他给出公式：))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（海伦公式）其中,,a b c 为三角形

ABC 三边长，1()2p a b c =++，另外我国数学家秦九韶在《数学九章》中提出的公式---“三斜求积”式实质上是相同的. 222

2221()22

c a b s a c +-=-（三斜求积式）从两个公式中，均无法明显得出边长越大三角形面积越大的结论.乍一看，很多学生对此毫无疑问，可是考虑下面的例子.

已知三角形ABC 的三边a b c <<，又BC 边上高为AD ，在BC 延长线上取'c 使 ''B C BC >，另取'D 使'''BC C D =．

若'(1)BC k k BC =>，只需1''A D AD k

<，（''A D 为过'D 点'BD 的垂线）， 显然有'''a b c a b c <<<<<，

但.///////////2

1)()1(2121C AB ABC S D A C B D A k C B k AD BC S ∆∆=⋅⋅=⋅⋅⋅>⋅= 具体的例子如：取ABC Rt ∆且3,a =4b =，5c =;又考虑///C B A ∆中（A D ‘’=1）

，令'6a =,则'37b =,'145c =;显然'''a b c a b c <<<<<，而 36///=>=∆∆C B A ABC S S

注1 对于两个锐角三角形来说，若它们的边长满足定理条件，则命题结论一定成立.这也可以用反证法去考虑，如下图两锐角ABC 和'''A B C 中，若'''a b c a b c <<<<<，而///C B A ABC S S ∆∆>。

这样，由之则有 sin ''sin 'ab C a b C >，sin ''sin 'ac B a c B >，sin ''sin 'bc A b c A >

由设'',ab a b <''ac a c <,''bc b c <故sin sin 'A A >，'sin sin B B >，'sin sin C C >

所以'A A >，'B B >，'C C >从而有'''A B C A B C ++>++=0180（矛盾）

那么这个题目说明了能够恰当的引用反例在数学教学的过程中还是有很大作用的。关键是我们能找到说服力强的反例．通过这个反例的讲解让学生再次觉得反例在揭示错误时有特殊的威力，从而能更好的激发他们学习数学的兴趣，达到提高教学质量的效果。让学生体会到反例在数学教学中的作用是不可忽视的，从而增强了他们学习数学的兴趣，也激发了他们的学习热情。

2.4 反例可以培养学生思维的严密性

数学思维就是解决数学问题的心智活动，所以问题是思维的“启发剂”，在数学教学中，举反例也是提出问题的常用方法.运用反例可以增强思维的缜密性，弥补解决问题出现的漏洞，培养思维的批判性，从而去发展学生的逆向思维和发散思维，全面提高思维能力和数学素养.寻找一个反例往往比证明更需要想像力和创造力。