线性代数学习指导第六章二次型
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线性代数教学课件第六章二次型第二节化二次型为标准形与规范形
z1
z2
z3
.
x3
z3
11
定理2 任何二次型都可以通过可逆线性变换化 为标准形
f d1 y12 d2 y22 dn yn2 ,
其中 di (i 1,2,, n) 为常数,由相应的线性变 换确定.
证法2 令 f ( x1, x2 ,, xn ) xT Ax, 因 A 为实对称 矩阵，由第五的相应定理知，存在正交阵 Q , 使QT AQ 为对角矩阵.作正交变换 x Qy ,则
性指数，系数为－1的平方项个数 r p 称为二次 型 f 的负惯性指数， p (r p) 2 p r 称为二 次型 f 的符号差．
由惯性定理知：二次型的秩及正惯性指数都 是由二次型自身确定的，可逆线性变换不改变二 次型的秩及正惯性指数，正惯性指数等于标准形 中系数为正数的项数，秩正好是规范形中所含变 量的个数．如本节例2中二次型的正惯性指数为 2，负惯性指数为1，符号差为1．
14
例3 用正交替换将二次型
f
17 x12
14
x
2 2
14 x32
4 x1 x2
4 x1 x3
8 x2
x3
化为标准形，并求所作的正交替换.
解 二次型的矩阵
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
r3 r2
17 2 | E A | 2 14
2 4 ( 18)2( 9) ,
第二节
1
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性替换
x Cy ， 把 二 次 型 f (x1, x2,, xn ) xT Ax 化 为 y1, y2 ,, yn 的 平 方 和 : d1 y12 d2 y22 dn yn2 .
从前面分析可以看出，要把一个二次型化为完全平方
线性代数 第六章二次型
第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
东北农业大学《线性代数》课件-第6章二次型
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
c11x c21x
c12 y c22 y
可以化其为标准形式：
Ax2 By2 d
由此可方便地得到其几何特征。 化标准型的实质是对方程（1）左边的二次齐
次多项式
ax2 bxy cy2
实施合适的线性变换，使其化为只含有平方项的 标准形
Ax2 By2
在高维空间也有类似问题。如何处理，是这 一章要讨论的问题。
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得 f 2z12 2z22 6z32 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形．
二、二次型的矩阵表示方法
对于二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
6考研基础复习(线性代数)二次型
一、二次型的基本内容
3、用正交变换法化二次型为标准形
二 次 型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax 经 过 正 交 变换 x Py （ P 为正交阵）化为：
r
f xT Ax yT (P T AP ) y
di
y
2 i
，
i 1
称为化二次型为标准形的正交变换法.
3、用正交变换法化二次型为标准形
对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
f ( x1 ,, xn ) xT Ax 0 ( 0) ，
则称该二次型为正（负）定二次型，正（负） 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
如果实二次型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax ， 对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
i 的单位正交特征向量；
3、用正交变换法化二次型为标准形
（4）以 1 , 2 , , t 的单位正交特 征向量为列向量，可构造出正交矩阵 P ，
， P ( p11 , p12 , , pt1 , , ptnt )
P 就是所求的正交变换矩阵，使：
P 1 AP PT AP
为对角阵，其中： diag{1 , , 2 , , , t }.
相似于对角阵 ，即：
PT AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ， 其中： i 0(i 1,2,n) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③ A 负定； 特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ， 且一切偶数阶主子式全 0；
一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0；
z
柱面方程 2 4 2 4 ，求 a, b 的值和正 交矩阵 P .
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
解 由于所给二次型中无平方项，所以
记X=BY
得 再把所有含y1的项集中,配平方;同样地 把含有y2的项集中,配平方,就得到
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型
都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和）
证明பைடு நூலகம்
对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
例3
解
含有平方项
去掉配方后多出来的项
所用变换矩阵为
例4 用配方法化二次型
为标准型，并求出所用的可逆线性变换。 解
令
(1)
则
(2)
(2)是可逆线性变换，使
2 2 9 2 f (x1, x2, x3) y1 + y2 - 4 y3
例5
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
由
得
,
当
时,解方程组
得基础解系 当 得基础解系 时,解方程组
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵 由 构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
线性代数6.6 二次型与正定矩阵
| A2 | = 1 1 = 1 > 0;
1 2
1
2
| B2 | =
= −2 < 0;
2 2
|A|=
1
1
1
所以A正定.
1
2
0
1
0
3
所以B非正定.
= 1 > 0;
f (x1, x2, … , xn) = a11x12+a22x22 + …+annxn2
+2a12x1x2 + 2a13x1x3 +…+ 2an-1, n xn-1xn
= ,
=
=1 =1
则二次型的矩阵为
a11
a21
A= …
an1
a12 … a1n
结论1
对角矩阵是正定矩阵当且仅当对角线元素均为正数.
定理 设A是实对称矩阵, 且存在可逆矩阵 P, 使得PTAP = B，
若B正定，则A也正定.
结论2
实对称矩阵是正定矩阵当且仅当所有特征值都是正数.
例5
设 A和B 是正定矩阵，求证: A2，A+B 也是正定矩阵.
思考：AB 是否正定矩阵？
例6
设A=PTP，求证：若P可逆，则A是正定矩阵.
f (x) = xTAx
yTQTAQy = yTDy = g(y)
QTAQ = D
✿ 化二次型为标准形的思路： 寻找正交矩阵Q,
将二次型的矩阵A (实对称矩阵) 通过正交矩阵Q将它对角化成D.
这样得到的标准形的系数就是矩阵A的所有特征值.
例3
设二次型 f (x1, x2) = 3x12 − 2x1x2+3x22 ，寻找正交变换将之化为标准形.
线性代数第六章 二次型
令 aji = aij
(i < j)
2 a11x1 + a12x1x2 +L+ a1nx1xn 2 + a21x2x1 + a22x2 +L+ a2n x2 xn
f (x1, x2 ,L xn ) = ,
+L L
2 + an1xn x1 + an2xn x2 +L+ annxn
= ∑∑aij xi xj
a11 a12 L a1n x1 a x a22 L a2n 21 2 f ( x1 , x2 ,L, xn ) = (x1, x2,L, xn ) M M M M an1 an2 L ann xn = XT AX 二次型的矩阵表达式:f (x1, x2 ,L, xn ) = X T AX
第二节 标准形
只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.
2 2 如:f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x12 2 x2 + 6 x3
一般,f ( X ) = X AX = ∑∑ aij xi x j
T i =1 j =1
n
n
若 i ≠ j时,aij = 0,则f ( X )是标准形. a1 0 此时,A = M 0 0 a22 0 0 L 0 是对角矩阵. O M L ann L
所以,B是对称矩阵,Y BY 是二次型.
T
f = X T AX = Y T BY
(其中,B = C T AC)
定义2 若n阶方阵A, B存在可逆矩阵C , 使得 C T AC = B, 称矩阵A与B合同.
性质: (1) A与A合同. (2) 若A与B合同,则B与A合同. (3) 若A与B合同,B与C 合同,则A与C 合同.
线性代数课件：第六章实二次型
线性代数课件第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
线性代数第6章二次型
3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 4 1 25
> > A:=matrix([[1,-1,1],[-1,-3,-3],[1,3,4]]);C:=matrix([[1,1/2,-3/2],[0,1/2,1/2],[0,0,1]]);CTAC:=multiply(transpose(C),A, C);
1 1 2 3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 3 0 2 2 1 3 4 1 0 0 0 2
1 2 1 2 0
3 2 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 0 B. 3
20
§2 化二次型为标准形
一 、用配方法化任意二次型为标准形 二、用正交替换化实系数二次型为标准形
21
一 、用配方法化任意二次型为标准形 2 2 p p 配方法 2 x px q x q . 2 4
2 1 2 2 2 3
则得 f y y 4 y . 反解
x3 y3 , x2 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 , x1 y1 x2 x3 y1 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 y3 y1 (1/ 2) y2 (3 / 2) y3 .
2 n 2 n1
2an1n xn1 xn
5
把二次型写成矩阵形式
a1n x1 a11 a12 a a a x 21 22 2 n 2 f ( x1 , , xn ) ( x1 , , xn ) . ann xn a n1 a n 2 an x1 a11 a12 x a a a 2 21 2 2n X ,A , ann xn a n1 a 2 T f ( X ) X AX . A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应 6 矩阵A的秩称为二次型的秩.
线性代数教学课件第六章二次型第一节二次型及其矩阵
an2
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
线性代数第六章
2
0
0
x2
1 0 0 x3
因此，f 的矩阵为
1 2 1
A
2
0
0
1 0 0
由于矩阵A的秩为2，从而二次型 f 的秩为2。
定义2 设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表
示,即存在常数cij (i,j=1,2,…,n),使
x1 c11 y1 c12 y2
定理1 (惯性定理) 对于秩为r 的n元二次型
f X AX
不论用什么可逆线性变换，把f 化为标准形，其中正
平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的， 且p+q=r .
定义1 在二次型f (x1,x2,..., xn)=X'AX的标准形中， 正平方项的个数p称为二次型 f 的正惯性指数，负平 方项的个数q=r-p称为二次型 f 的负惯性指数，它们 的差p-q称为二次型 f 的符号差。
h(0, 0,1) 0
根据定义1，可得以下两个结论：
(结论1) 标准形实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) k1 x12 k2 x22
kn xn2
正定的充要条件是 ki 0 (i 1, 2, , n)
(结论2) 实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) X AX
定义1 实二次型f (x1, x2 ,... , xn)=X'AX，如果对任意
的非零向量X = (x1, x2, ... , xn) ' , 都有 f (x1, x2, ... , xn)>0 (或 f (x1, x2, ... , xn)<0), 则称
二次型 f 为正定（或负定）二次型，其对应的矩 阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 A>0（或
线性代数第6章二次型及其标准形
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
[ x1, x2 , x3 ]3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
1 E A 2 4 2 2 4 2 52 4
4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1
2对1
2
5, 解5E
AX
0, 得基础解系为:1
1
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
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3．设
A= ，B=
证明A与B合同，并求可逆矩阵C，使得B= A C．
证明
4．如果n阶实对称矩阵A与B合同，C与D合同，证明 合同.
证明n阶实对称矩阵A与B合同，所以存在可逆矩阵 ，使
C与D合同，所以存在可逆矩阵 ，使
故： 合同
习题8.2
1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.
（1）
将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：
经正交变换 得标准形：
2．已知二次型 的秩为2.
(1)求c;
(2)求一正交变换化二次型为标准形.
解（1）
代入A
满足 ，
解（2）
得特征值
当
解得对应的特征向量：
当
解得对应的特征向量：
将 单位化得 ，最后得正交变换矩阵：
3．已知二次型 经正交变换化为标准形
解
由题意：A与B正交相似，有
定义3系数为1或0的标准形称为复二次型的规范形；系数为1、-1或0的标准形称为实二次型的规范形.
3.矩阵的合同
定义4设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得
则称A与B合同
矩阵合同具有以下性质：
反身性：n阶矩阵A与A合同；
对称性： 若A与B合同，则B与A合同；
传递性： 若A与B合同，B与C合同，则A与C合同
5.正定二次型和正定矩阵
5.1正定二次型
定义5设 为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数 实二次型的值
（8.19）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则称 为正定二次型，并称正定二次型的矩阵 为正定矩阵.
5.2二次型正定的充要条件
设n元实二次型 ，则下列几个条件等价：
（1）f为正定二次型；
（2）A的特征值全为正；
（3）f的正惯性指数为n；
当 时，可得单位特征向量 ， ．
于是正交变换为
且有 ．
例2．判别下列二次型的正定性：
(1) ;
(2)
分析可用顺序主子式方法判断
解
(1) 的矩阵为 ,
， ， ，
故 为负定．
(2) ， ， ,
, ．
故 为正定．
例3二次型 的秩为.
分析二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换
例8设矩阵
（1）已知 的一个特征值为3，试求 .
（2）求矩阵 ，使 为对角阵.
分析（1）可将 的一个特征值3代入方程即可求解
(2)注意到 是对称阵，所以 ，求出 的标准形即可.
解（1）将特征值3代入矩阵 的特征多项式 解得
(2)由（1）结果可知
因为 ，所以
对应于 的二次型为
作线性变换：
即：
将 代入二次型 ，得
即矩阵 ，使得
例9设 阶矩阵 为正定矩阵，试证 也是正定矩阵
证明因 为正定矩阵，故存在可逆矩阵 ，使得
且 依然为对称矩阵，所以 也是正定矩阵.
五．习题解析
习题8.1
1．写出下列二次型的矩阵.
（1）
（2）
（3）
解
1．（1） ；（2） ；（3）
解答略
2．将二次型
表成矩阵形式，并求该二次型的秩.
解
所以该矩阵的秩为3，也即二次型的秩为3
2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，掌握正
交变换和配方法化二次型为标准形的方法.
3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
四．典型题分析
例1求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
．
解二次型矩阵为
，
故 的特征值为
当 时，可得单位特征向量 ，
当 时，可得单位特征向量 ，
当
解得对应的特征向量：
将特征向量分别单位化得正交变换矩阵：
5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.
或配方法均可得到答案.
解因为
于是二次型的矩阵为 ,
由初等变换得 ,
从而 ,即二次型的秩为2.
例4设 为 阶正定阵，下列命题正确的是：
（ ）若A合同于B，则A相似于B
（B）若A相似于B，则A合同于B
(C）若A合同于B，则A与B等价
(D）若A与B等价，则A合同于B
解由等价、相似、与合同的定义可知：若A合同于B，由于一般矩阵 ，故不能推出A相似于B.反之由A相似于B，也不能推出A合同于B.但A合同于B时，则A与B必等价，所以选(C).
即：
解得：
当
代入
解得对应的特征向量：
代入
解得对应的特征向量：
代入
解得对应的特征向量：
将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：
代入
1不是A的特征值，故 舍去
注本题也可利用A与B的特征多项式相等，从而同次项系数相等来确定参数.
解
由题意：A与B正交相似，有
即：
解得：
当
解得对应的特征向量：
当
解得对应的特征向量：
例5设矩阵 ，则 合同于矩阵
解：答案（C）和矩阵 的特征值有相同正负个数，即由相同的惯性指数所以选(C)
例6对于二次型 其中 为 阶实对称矩阵，下述结论中正确的是
（ ）化 为标准形的可逆线性变换是唯一的
(B）化 为规范形的可逆线性变换是唯一的
(C） 的标准形是唯一的
(D） 的规范形是唯一的
解二次型 化为标准形或规范形有不同的方法，对应的可逆线性变换也不相同，但正、负惯性指数及非零平方项个数一定是唯一确定的，所以选(D）
（4）A合同于单位阵E；
（5）存在n阶非奇异矩阵C，使得A=
二．重点难点
1.二次型及其矩阵表示
2.合同变换与合同矩阵
3.二次型的秩 惯性定理
4.二次型的标准形和规范形
5.用正交变换和配方法化二次型为标准形
6.二次型及其矩阵的正定性
三．学习要求
1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念.
4.化二次型为标准形或规范形
（1）经可逆线性变换，原二次型矩阵和新二次型的矩阵合同.
（2）任意一个实二次型经可逆线性变换可化为标准形.
即：任意一个实对角矩阵都与一个对角阵合同.
（3）任意一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.
定理 （惯性定理）任意一实二次型都可经过可逆线性变换化为规范形，且规范形唯一.
第八章 二次型
一．内容提要：
1.二次型及其标准形的概念
定义1包含 个变量的二次齐次函数
称为一个 元二次型，简称二次型.
若记 ，则二次型的矩阵形式为 ，其中A为n阶实对称矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.
2.二次型的标准形和规范形
定义2经可逆线性变换所得的只含平方项的二次型称为原二次型的标准形
解
（1）
解得对应于 的特征向量：
当 ，代入：
解得对应的特征向量：
当
解得对应的特征向量：
再分别单位化，得正交阵：
令 得标准形为
（2）
解
得特征值
当
解得特征向量：
当
解得特征向量：
将 分别正交化、单位化得正交变换矩阵：
经正交变换 后得
标准形：
（3）
解
得特征值
当
解得对应的特征向量：
将 正交化、单位化得
代入
解得对应的特征向量： 单位化得：
A= ，B=
证明A与B合同，并求可逆矩阵C，使得B= A C．
证明
4．如果n阶实对称矩阵A与B合同，C与D合同，证明 合同.
证明n阶实对称矩阵A与B合同，所以存在可逆矩阵 ，使
C与D合同，所以存在可逆矩阵 ，使
故： 合同
习题8.2
1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.
（1）
将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：
经正交变换 得标准形：
2．已知二次型 的秩为2.
(1)求c;
(2)求一正交变换化二次型为标准形.
解（1）
代入A
满足 ，
解（2）
得特征值
当
解得对应的特征向量：
当
解得对应的特征向量：
将 单位化得 ，最后得正交变换矩阵：
3．已知二次型 经正交变换化为标准形
解
由题意：A与B正交相似，有
定义3系数为1或0的标准形称为复二次型的规范形；系数为1、-1或0的标准形称为实二次型的规范形.
3.矩阵的合同
定义4设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得
则称A与B合同
矩阵合同具有以下性质：
反身性：n阶矩阵A与A合同；
对称性： 若A与B合同，则B与A合同；
传递性： 若A与B合同，B与C合同，则A与C合同
5.正定二次型和正定矩阵
5.1正定二次型
定义5设 为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数 实二次型的值
（8.19）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则称 为正定二次型，并称正定二次型的矩阵 为正定矩阵.
5.2二次型正定的充要条件
设n元实二次型 ，则下列几个条件等价：
（1）f为正定二次型；
（2）A的特征值全为正；
（3）f的正惯性指数为n；
当 时，可得单位特征向量 ， ．
于是正交变换为
且有 ．
例2．判别下列二次型的正定性：
(1) ;
(2)
分析可用顺序主子式方法判断
解
(1) 的矩阵为 ,
， ， ，
故 为负定．
(2) ， ， ,
, ．
故 为正定．
例3二次型 的秩为.
分析二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换
例8设矩阵
（1）已知 的一个特征值为3，试求 .
（2）求矩阵 ，使 为对角阵.
分析（1）可将 的一个特征值3代入方程即可求解
(2)注意到 是对称阵，所以 ，求出 的标准形即可.
解（1）将特征值3代入矩阵 的特征多项式 解得
(2)由（1）结果可知
因为 ，所以
对应于 的二次型为
作线性变换：
即：
将 代入二次型 ，得
即矩阵 ，使得
例9设 阶矩阵 为正定矩阵，试证 也是正定矩阵
证明因 为正定矩阵，故存在可逆矩阵 ，使得
且 依然为对称矩阵，所以 也是正定矩阵.
五．习题解析
习题8.1
1．写出下列二次型的矩阵.
（1）
（2）
（3）
解
1．（1） ；（2） ；（3）
解答略
2．将二次型
表成矩阵形式，并求该二次型的秩.
解
所以该矩阵的秩为3，也即二次型的秩为3
2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，掌握正
交变换和配方法化二次型为标准形的方法.
3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
四．典型题分析
例1求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
．
解二次型矩阵为
，
故 的特征值为
当 时，可得单位特征向量 ，
当 时，可得单位特征向量 ，
当
解得对应的特征向量：
将特征向量分别单位化得正交变换矩阵：
5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.
或配方法均可得到答案.
解因为
于是二次型的矩阵为 ,
由初等变换得 ,
从而 ,即二次型的秩为2.
例4设 为 阶正定阵，下列命题正确的是：
（ ）若A合同于B，则A相似于B
（B）若A相似于B，则A合同于B
(C）若A合同于B，则A与B等价
(D）若A与B等价，则A合同于B
解由等价、相似、与合同的定义可知：若A合同于B，由于一般矩阵 ，故不能推出A相似于B.反之由A相似于B，也不能推出A合同于B.但A合同于B时，则A与B必等价，所以选(C).
即：
解得：
当
代入
解得对应的特征向量：
代入
解得对应的特征向量：
代入
解得对应的特征向量：
将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：
代入
1不是A的特征值，故 舍去
注本题也可利用A与B的特征多项式相等，从而同次项系数相等来确定参数.
解
由题意：A与B正交相似，有
即：
解得：
当
解得对应的特征向量：
当
解得对应的特征向量：
例5设矩阵 ，则 合同于矩阵
解：答案（C）和矩阵 的特征值有相同正负个数，即由相同的惯性指数所以选(C)
例6对于二次型 其中 为 阶实对称矩阵，下述结论中正确的是
（ ）化 为标准形的可逆线性变换是唯一的
(B）化 为规范形的可逆线性变换是唯一的
(C） 的标准形是唯一的
(D） 的规范形是唯一的
解二次型 化为标准形或规范形有不同的方法，对应的可逆线性变换也不相同，但正、负惯性指数及非零平方项个数一定是唯一确定的，所以选(D）
（4）A合同于单位阵E；
（5）存在n阶非奇异矩阵C，使得A=
二．重点难点
1.二次型及其矩阵表示
2.合同变换与合同矩阵
3.二次型的秩 惯性定理
4.二次型的标准形和规范形
5.用正交变换和配方法化二次型为标准形
6.二次型及其矩阵的正定性
三．学习要求
1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念.
4.化二次型为标准形或规范形
（1）经可逆线性变换，原二次型矩阵和新二次型的矩阵合同.
（2）任意一个实二次型经可逆线性变换可化为标准形.
即：任意一个实对角矩阵都与一个对角阵合同.
（3）任意一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.
定理 （惯性定理）任意一实二次型都可经过可逆线性变换化为规范形，且规范形唯一.
第八章 二次型
一．内容提要：
1.二次型及其标准形的概念
定义1包含 个变量的二次齐次函数
称为一个 元二次型，简称二次型.
若记 ，则二次型的矩阵形式为 ，其中A为n阶实对称矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.
2.二次型的标准形和规范形
定义2经可逆线性变换所得的只含平方项的二次型称为原二次型的标准形
解
（1）
解得对应于 的特征向量：
当 ，代入：
解得对应的特征向量：
当
解得对应的特征向量：
再分别单位化，得正交阵：
令 得标准形为
（2）
解
得特征值
当
解得特征向量：
当
解得特征向量：
将 分别正交化、单位化得正交变换矩阵：
经正交变换 后得
标准形：
（3）
解
得特征值
当
解得对应的特征向量：
将 正交化、单位化得
代入
解得对应的特征向量： 单位化得：