洛伦兹力和安培力

r v
v (1) 安培定理是矢量表述式 dF ⇒dFx ,dFy ,dFz
(2) 若磁场为匀强场
v F =
讨论
(∫
v v Id l × B
)
载流直 载流直导线 F = I L × B 载流弯曲导线 F = I L 载流弯曲导线 弯曲 闭合电流的安培力 闭合电流的安培力 v v v F = ∫ Id l × B
注意: 注意:螺距仅与平行于磁场方向的初速度有关
如图所示的空间区域内， 例1：如图所示的空间区域内，分布着方向垂直于纸 面的匀强磁场，在纸面内有一正方形边框abcd(磁场 面的匀强磁场，在纸面内有一正方形边框 ( 以边框为界)．而a、b、c三个角顶处开有很小的缺 以边框为界) 、 、 三个角顶处开有很小的缺 今有一束具有不同速度的电子由a缺口沿 缺口沿ad方向 口．今有一束具有不同速度的电子由 缺口沿 方向 射入磁场区域， 两缺口处分别有电子射出， 射入磁场区域，若b、c两缺口处分别有电子射出，则 、 两缺口处分别有电子射出 此两处出射电子的速率之比v 此两处出射电子的速率之比 b/vc =
r v0
F =0
粒子作匀速直线运动。 粒子作匀速直线运动。 当带电粒子的运动方向与磁 场方向垂直时: 场方向垂直时:
r v0
r F
F = qv0 B
由于洛伦兹力与速度方向垂直， 由于洛伦兹力与速度方向垂直 ， 粒子在磁场中 做匀速圆周运动。 做匀速圆周运动。洛伦兹力为向心力
v qv0 B = m R mv0 R= qB
Fy = ∫ IBdx = IBL
0
L
在匀强磁场中受的力， 相当于载流直导线 OA 在匀强磁场中受的力， 方向沿 y 向。
例3 求两平行无限长直导线之间的相互作用力？ 求两平行无限长直导线之间的相互作用力？ 解 电流 2 处于电流 1 的磁场中 µ0 I1 B1 = 2πa 电流 2 中单位长度上受的安培力 µ0 I1I 2 f12 = I 2 B1 = 2πa 同时， 的磁场中， 同时，电流 1 处于电流 2 的磁场中， 电流 1 中单位长度上受的安培力 µ0 I1I 2 f 21 = I1B2 = 2πa
I1
v f 21 v f12 v B1
I2
a
例4 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受力和运 动趋势 I1 µ0 I1 解 1 f1 = I 2bB1 = I 2b 2πa 2 方向向左 µ0 I1 I2 3 f3 = I 2bB3 = I 2b 4πa 1 b3 方向向右 2a π 2 f 2 = ∫ I 2dlB1 sin a a 2 a 2a µ I µ0 I1I 2 0 1 =∫ I 2 dx = ln 2 4 a 2πx x o 2π 4 f4 = f2 v v v v v v v F 整个线圈所受的合力： 整个线圈所受的合力： = f1 + f 2 + f 3 + f 4 = f1 + f3 v v Q f1 > f3 ∴ 线圈向左做平动
×B 等等
(
)
=0
(3)非均匀磁场的电流 (3)非均匀磁场的电流
r F =
∫
L
r dF =
∫
L
v v Id l × B
在均匀磁场中放置一任意形状的导线， 例2：在均匀磁场中放置一任意形状的导线，电流 强度为I,求此段载流导线受的磁力。 此段载流导线受的磁力。 v 解 在电流上任取电流元 Idl v v v y v dF = Idl × B = IBdl B v dFx = IBdl sin ϕ = IBdy dF ϕ Idlv I dFy = IBdl cos ϕ = IBdx v F 0 Fx = ∫ IBdy = 0 O L A x 0
三、 磁场力的功
载流线圈或导线在磁场中受到磁场力（安培力） 载流线圈或导线在磁场中受到磁场力（安培力） 或磁力矩作用，因此，当导线或线圈位置改变时， 或磁力矩作用，因此，当导线或线圈位置改变时， 磁场力就做了功。下面从一些特殊情况出发， 磁场力就做了功。下面从一些特殊情况出发，建立 磁场力做功的一般公式。 磁场力做功的一般公式。 1. 载流导线在磁场中运动时磁力所作的功
A(B)
D(C )
ϕ
θ
r B
M = BIS sin ϕ
若线圈为N匝，则线圈所受力矩为
r F2
r en
M = NBIS sin ϕ
实际上m 实际上 =NIS为线圈磁矩 为线圈磁矩 的大小， 的大小 ， 力矩的方向为线圈 磁矩与磁感应强度的矢量积； 磁矩与磁感应强度的矢量积 ； 用矢量式表示磁场对线圈的 A(B) 力矩： 力矩：
∴ ∆Φ = Φ t − Φ 0 = Bl D A ′ − Bl DA = Bl A A ′ ∴ 磁力所作的功为：A = I ∆Φ 磁力所作的功为：
磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环 绕的面积内磁通量的增量
Φ 0 = Bl DA
Φ t = Bl DA'
2.载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功 2.载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功 设有一线圈在磁场中转动，其中电流保持不变。 设有一线圈在磁场中转动，其中电流保持不变。 r
带电粒子在磁场中的运动
一、洛伦兹力 一般情况下，如果带电粒子在磁场中运动时， 一般情况下，如果带电粒子在磁场中运动时，磁 场对运动电荷产生力的作用， 此一磁场力叫洛伦兹 场对运动电荷产生力的作用 ， 此一磁场力叫 洛伦兹 r r 力。 v 方向与磁场 B 方向成夹角θ 时。洛伦兹力为
r r r F = qv × B
r' F1
D
A
l2
θ
r' F2
r' F2
D(C ) A(B)
I
r F2
C
r B
ϕ
θ
r B
B
l1
r F1
r F2
r en
如上图， 矩形线圈处于匀强磁场中， ＡＢ 、 ＣＤ 边 如上图 ， 矩形线圈处于匀强磁场中 ， 与磁场垂直，线圈平面与磁场方向夹角为 θ 与磁场垂直， 由于是矩形线圈，对边受力大小应相等，方向相反。 由于是矩形线圈，对边受力大小应相等，方向相反。
2πR m = 2π T= v0 qB
角频率
2 0
轨道 半径
R
周期
2π qB ω= = T m
r r （3）如果 v0 与 B 斜交成θ角
粒子作螺旋运动， 粒子作螺旋运动，半径 周期
v⊥
mv 0 sin θ mv ⊥ R = = qB qB
r B
2π m T = qB
螺距
v0
θ v //
R
h
2πR 2πmv0 cos θ h = v//T = v// = v⊥ qB
AD与BC边受力大小为： F1 = BIl1 sin θ 与 边受力大小为 边受力大小为： AD与 BC边受力在同一直线 与 边受力在同一直线 相互抵消。 上，相互抵消。 AB与CD边受力大小为： 与 边受力大小为 边受力大小为：
A(B)
r' F2
D(C )
ϕ
θ
r B
r F2 这两个边受力不在在同一直线上，形成一力偶， 这两个边受力不在在同一直线上 ， 形成一力偶 ， 力 臂为 l1 cos θ
讨论： 讨论：
（ 1） ϕ =π/2，线圈平面与磁场 ， 方向相互平行，力矩最大， 方向相互平行 ， 力矩最大 ， 这 减小的趋势。 一力矩有使ϕ减小的趋势。 A(B ) （2）ϕ=0，线圈平面与磁场方 ， 向垂直，力矩为零， 向垂直 ， 力矩为零 ， 线圈处于 r F2 平衡状态。 平衡状态。
r' F2
上海磁悬浮列车
安培力应用 磁悬浮列车车厢下部装有电磁铁 车厢下部装有电磁铁， 磁悬浮列车车厢下部装有电磁铁，当电磁铁通电被钢轨 吸引时就悬浮。列车上还安装一系列极性不变的电磁铁， 吸引时就悬浮。列车上还安装一系列极性不变的电磁铁， 钢轨内侧装有两排推进线圈，线圈通有交变电流， 钢轨内侧装有两排推进线圈，线圈通有交变电流，总使 前方线圈对列车磁体产生吸引力， 前方线圈对列车磁体产生吸引力，后方线圈对列车产生 排斥力
D(C )
ϕ
θ
r B
r en
线圈平面与磁场方向相互垂直， （3）ϕ=π，线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩 r r 为零，但为不稳定平衡， 反向，微小扰动， 为零，但为不稳定平衡， B 与 m 反向，微小扰动， 磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态。 磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态。 综上所述， 综上所述，任意形状不变的平面载流线圈作为整 体在均匀外磁场中，受到的合力为零， 体在均匀外磁场中，受到的合力为零，合力矩使线圈 的磁矩转到磁感应强度的方向。 的磁矩转到磁感应强度的方向。
r r 方向： 方向： × B 的方向 右手螺旋定则） v （右手螺旋定则）
大小： 大小：F = qvB sin θ
r v
r F
带电粒子所受洛伦兹力总是和带 电粒子运动方向垂直， 电粒子运动方向垂直 ， 故它只能 改变带电粒子运动方向， 改变带电粒子运动方向 ， 不改变 速度大小，即洛伦兹力不作功。 速度大小，即洛伦兹力不作功。 1.带电粒子在均匀磁场中的运动 当带电粒子沿磁场方向运动时: 当带电粒子沿磁场方向运动时:
mv ab R= , Rb = , qB 2 abqB abqB vc = vb = m 2m
v b abqB m 1 = = vc 2m abqB 2
磁场对载流导线的作用
一、 安培定律
安培力： 安培力：载流导线在磁场中受到的磁场力 大小
dF = IdlB sinθ
右手螺旋
是电流元与磁感应强度的夹角。 θ 是电流元与磁感应强度的夹角。 dF方向判断: 方向判断: 方向判断 安培定律矢量式 安培定律矢量式
r r r dF = Idl × B
一段任意形状载流导线受到的安培力
r F =
∫
L
r dF =
∫
L
v v Id l × B
安培力的微观解释 载流导线受到的安培力的微观实质是载流导线中大 量载流子受到洛仑兹力的结果。 量载流子受到洛仑兹力的结果。简单证明如下 r 在载流导线上任取一电流元 Idl 其中电荷dq沿导线速度为 其中电荷 沿导线速度为 r r 电流元长 dl = vdt 则 dq = Idt 在电流元所在的微小空间区域， 在电流元所在的微小空间区域，磁场可看作匀强的 按照洛仑兹力公式 洛仑兹力公式， ，按照洛仑兹力公式，可得电流元所受磁场力 r r r r r dl r d F = d q v × B = Id t d t × B = I d l × B 这就是电流元在磁场中受到的安培力
r 设有一匀强磁场，磁感应强度B 的方向垂直于纸 设有一匀强磁场，
r AB 力作用下， 在 F 力作用下， r 将从初始位置沿着 F 力
的方向移动， 的方向移动，当移动到 r 位置 A′B′
D
I
A
I
r F
A′
r B
B A'′
F
C D
ε
B A
时磁力 ′所作的功 ′ A = F AA = BIl AA 导线在初始位置 AB 时和在终了位置 ′B′ 时， A 通过回路的磁通量分别为： 通过回路的磁通量分别为：
D
I
A
I
r F
A′
r B
B′
C
ε
B
D
I
AБайду номын сангаас
I
r F
A′
r B
B′
C
ε
B
面向外， 面向外，磁场中有一载流的闭合电路 ABCD 电路中 ， 滑动。 的导线 AB长度为 l ，可以沿着 DA和CB 滑动。假定 滑动时， 保持不变，按安培定律， 当 AB 滑动时，电路中电流 I 保持不变，按安培定律， r AB 在纸面上， 载流导线 在磁场中所受的安培力 在纸面上，指 F r 向如图所示， 的大小 向如图所示， F = BIl F
r' F2
D(C )
ϕ
θ
r B
r r r M = m× B
r F2
r en
可以证明，上式不仅对矩形线圈成立， 可以证明，上式不仅对矩形线圈成立，对于均 匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立， 匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立，对于带电 粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所 具有的磁矩，在磁场中受到的力矩都适用。 具有的磁矩，在磁场中受到的力矩都适用。
这一推一吸的合力便驱使列车高速前进。 这一推一吸的合力便驱使列车高速前进。强大的磁力 可使列车悬浮1 10cm 与轨道脱离接触， cm， 可使列车悬浮 1～ 10cm， 与轨道脱离接触 ， 消除了列 车运行时与轨道的摩擦阻力，使列车速度可达 400km/s 400km/s
电磁驱动力原理图
二、磁场对载流线圈的作用
它们在线圈上形成的力偶矩为
F2 = BIl2
r en
M = F2l1 cosθ = BIl1l2 cosθ = BIS cosθ
S = l1l2 为线圈面积，图中ϕ为线圈平面正发向与磁 为线圈面积， r' 场方向的夹角， 场方向的夹角， θ与ϕ为互余的关系 F 2
θ +ϕ = π / 2
用ϕ代替θ ，可得到力矩