有限元法的直接刚度法梁单元
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f1 1 f2 2 f1 1 f3 3 f4 4
f2 2
f3 3
f4 4
T
（2-7）
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力 和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系 可以表示为：
qi a11 f i a12 i a13 f j a14 j mi a 21 f i a 22 i a 23 f j a 24 j q j a31 f i a32 i a33 f j a34 j m a f a a f a 41 i 42 i 43 j 44 j j
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 1 a11 0 a a 24 21 a34 0 a31 a 44 0 a 41
e
（2-12）
由式（2-12）可知，单元刚度矩阵 K 中第一列元素的物理意义： 为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点 力。
简支梁
外伸梁
2.1直梁的有限元分析
以直梁为例来说 明有限元法的直接刚 度法。 如图2.1(a)所示
直梁，已知E、I、
(a) 直梁模型
Z、M， AB=BC=CD=l， IAC=2l，ICD=l。
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
2.1.1划分单元 • 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 以下原则选取： 1、杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个： 剪力 Q 、弯矩 M 。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q 、 m 来表示，规定： q 向上为正， m逆时针为正。写成列阵形式见式（23），表示 i 节点的节点力。
qi p i m i
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的
横向外力或外力偶作用。
变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形
工程实例
F1
F2
纵向对称面
对称弯曲——外力作
用于梁的纵向对称面内，
因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示
(a) 单元的节点位移
(b) 单元的节点力
图2.1
2.1直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点 的节点位移分量有2个：挠度 f 和转角 ，一般规定，向上为正，逆 时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。
(a) 单元的节点位移 图2.3 单元刚度矩阵第1列元素的意义
2.1直梁的有限元分析
在 点固定，令 点有如图2.3(a)所示的位移，即 i 0 ， 有 f i 1， f j 0， j 0。代入公式（2-10）中，得
j
i
qi a11 m i a 21 q j a31 m j a 41
fi i f i i T i
（2-1）
图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分 f i i 、f j、 量：、 j，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位 移列阵。
e
f i i
fj j
T
（2-2）
（2-3）
mi、 j、m，可用一个 q i、 图2.2(b)所示梁单元共有4个节点力分量： j 列阵表示，式（2-4）称为单元的节点力列阵。
q
p
e
qi
wk.baidu.com
mi
qj
mj
T
（2-4）
2.1直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力 Z 和力偶 M 一般规定， 向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式 M Z i （2-5），表示 节点的节点载荷。 ，
Zi Qi Z i M i
同理：
Mi
T
（2-5）
Q
e
Zi
Mi
Zj
Mj
T
（2-6）
2.1直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
（2-10）
2.1直梁的有限元分析
简写为:
p
e
K
e
e
（2-11）
单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系 的矩阵。 e 单元刚度矩阵 K 中各元素的物理意义：
e e p 其中 为单元节点力列阵， e为单元节点位移列阵，K 称为
写成矩阵形式： qi
（2-9）
a11 m i a 21 q j a31 m j a 41
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 f i a 24 i a34 f j a 44 j
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并
不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线
与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
f2 2
f3 3
f4 4
T
（2-7）
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力 和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系 可以表示为：
qi a11 f i a12 i a13 f j a14 j mi a 21 f i a 22 i a 23 f j a 24 j q j a31 f i a32 i a33 f j a34 j m a f a a f a 41 i 42 i 43 j 44 j j
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 1 a11 0 a a 24 21 a34 0 a31 a 44 0 a 41
e
（2-12）
由式（2-12）可知，单元刚度矩阵 K 中第一列元素的物理意义： 为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点 力。
简支梁
外伸梁
2.1直梁的有限元分析
以直梁为例来说 明有限元法的直接刚 度法。 如图2.1(a)所示
直梁，已知E、I、
(a) 直梁模型
Z、M， AB=BC=CD=l， IAC=2l，ICD=l。
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
2.1.1划分单元 • 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 以下原则选取： 1、杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个： 剪力 Q 、弯矩 M 。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q 、 m 来表示，规定： q 向上为正， m逆时针为正。写成列阵形式见式（23），表示 i 节点的节点力。
qi p i m i
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的
横向外力或外力偶作用。
变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形
工程实例
F1
F2
纵向对称面
对称弯曲——外力作
用于梁的纵向对称面内，
因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示
(a) 单元的节点位移
(b) 单元的节点力
图2.1
2.1直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点 的节点位移分量有2个：挠度 f 和转角 ，一般规定，向上为正，逆 时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。
(a) 单元的节点位移 图2.3 单元刚度矩阵第1列元素的意义
2.1直梁的有限元分析
在 点固定，令 点有如图2.3(a)所示的位移，即 i 0 ， 有 f i 1， f j 0， j 0。代入公式（2-10）中，得
j
i
qi a11 m i a 21 q j a31 m j a 41
fi i f i i T i
（2-1）
图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分 f i i 、f j、 量：、 j，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位 移列阵。
e
f i i
fj j
T
（2-2）
（2-3）
mi、 j、m，可用一个 q i、 图2.2(b)所示梁单元共有4个节点力分量： j 列阵表示，式（2-4）称为单元的节点力列阵。
q
p
e
qi
wk.baidu.com
mi
qj
mj
T
（2-4）
2.1直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力 Z 和力偶 M 一般规定， 向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式 M Z i （2-5），表示 节点的节点载荷。 ，
Zi Qi Z i M i
同理：
Mi
T
（2-5）
Q
e
Zi
Mi
Zj
Mj
T
（2-6）
2.1直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
（2-10）
2.1直梁的有限元分析
简写为:
p
e
K
e
e
（2-11）
单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系 的矩阵。 e 单元刚度矩阵 K 中各元素的物理意义：
e e p 其中 为单元节点力列阵， e为单元节点位移列阵，K 称为
写成矩阵形式： qi
（2-9）
a11 m i a 21 q j a31 m j a 41
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 f i a 24 i a34 f j a 44 j
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并
不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线
与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
(2) 梁的基本形式 悬臂梁