学习任务3：轴向拉压杆强度计算
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轴向拉压杆件内力计算公式
轴向拉压杆件内力计算公式在工程力学中，轴向拉压杆件是一种常见的结构元件，它在工程实践中被广泛应用于各种机械设备和建筑结构中。
轴向拉压杆件内力计算公式是用来计算轴向拉压杆件在受力作用下内部产生的拉力或压力的公式，它是工程设计和分析中非常重要的一部分。
在本文中，我们将介绍轴向拉压杆件内力计算公式的推导和应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的工程知识。
一、轴向拉压杆件的受力分析。
轴向拉压杆件是一种受拉或受压的结构元件，它通常由材料制成，具有一定的截面形状和尺寸。
当轴向拉压杆件受到外部力的作用时，内部会产生拉力或压力，这种内力的大小和方向是由外部力和结构本身的特性共同决定的。
在进行轴向拉压杆件的内力计算时，需要先进行受力分析，确定受力情况和受力方向。
通常情况下，轴向拉压杆件受到的外部力可以分为两种情况，拉力和压力。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部拉力的方向相同；对于受压的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部压力的方向相反。
在受力分析的基础上，可以得到轴向拉压杆件内力计算的基本公式：N = A σ。
其中，N为轴向拉压杆件的内力，A为截面积，σ为应力。
根据受力分析的结果，可以确定σ的正负号，从而确定N的正负号，进而确定内力的方向。
二、轴向拉压杆件内力计算公式的推导。
1. 受拉的轴向拉压杆件。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部拉力的方向和内部拉力的方向相同，因此内力的大小可以直接由外部拉力计算得到。
假设外部拉力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
因此，受拉的轴向拉压杆件内力计算公式为：N = P。
2. 受压的轴向拉压杆件。
对于受压的轴向拉压杆件，外部压力的方向和内部压力的方向相反，因此内力的大小需要考虑结构的稳定性。
假设外部压力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
然而，受压的轴向拉压杆件在实际应用中往往需要考虑结构的稳定性，因此需要引入材料的材料的屈服强度和稳定性系数，从而得到更加精确的内力计算公式。
第八章 轴向拉压杆的强度计算
标准试件：试验段l0称为标距。
试件的尺寸统一的规定：
对于矩形截面试件，记中部原始横截面面积为A0，
短试件： /
=5.65 长试件： /
=11.3
对， 于圆截面试件，设中部直径为d0，则 五倍试件：
十倍试件：
金属材料的压缩试验， 试件一般制成短圆柱体。 为了保证试验过程中试件不 发生失稳，圆柱的高度取为直径的1～3倍。
引入比例系数E，把上式写成
式中E为弹性模量，表示材料抵抗弹性变形的能力，是一个只 与材料有关的物理量，其值可以通过试验测得，量纲与应力量 纲相同。弹性模量E和泊松比ν都是材料的弹性常数。
------轴向拉（压）杆件的变形与EA成反比。
EA称为轴向拉（压）杆的抗拉（压）刚度，表示杆件抵抗 拉伸（压缩）的能力。
材料的力学性质除取决于材料本身的成分和组织结构外， 还与荷载作用状态、温度和加载方式等因素有关。
重点讨论常温、静载条件下金属材料在拉伸或压缩时的力 学性质。
为使不同材料的试验结果能进行对比，对于钢、铁和有色 金属材料，需将试验材料按《金属拉伸试验试样》的规定加工 成标准试件，分为圆截面试件和矩形截面试件。
这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区 域的应力急剧增大的现象称为应力集中。
设产生应力集中现象的截面上最大应力为σmax，同一 截面视作均匀分布按净面 积A0计算的名义应力为σ0， 即
则比值
称为应力集中因数，它反映了应力集中的程度，是一个大 于1的因数。
§8–3、轴向拉压杆的变形——胡克定律
§8–1、应力与应变的基本概念
1、应力的概念 应力：指截面上一点处单位面积内的分布内力；
或是指内力在一点处的集度。 平均应力：
M点处的内力集度（总应力）：
轴向拉(压)杆的强度计算
② 求杆件横截面上的应力。
BC
FNBC ABC
23.094 103
500
46.2 MPa
( 压应力 )
BD
FNBD ABD
11.547 103
200
57.7 MPa
( 拉应力 )
图6-4
1.2 斜截面上的应力
铸铁压缩的实验表明，破坏有时也可能是沿斜截面发生的。要更全方位地研 究拉(压)杆的强度，就需要进一步讨论斜截面上的应力。
面的剪应力 τα 。由图6-5d 可得
p cos cos2
(6-2)
p
sin
cos
sin
1 2
sin
2
(6-3)
式 (6-2) 和式(6-3) 表明轴向拉 (压) 杆斜截面上任一点既有正应力 σα ，又有 剪应力 τα ，并且它们都随斜截面方位角α 的变化而变化。
计算时要注意 α 、σα 和 τα 的符号，规定如下 (见图6-6 )：
图6-2
根据平面假设可断定拉杆所有纵向纤维的伸长相等。又因材料是均匀的，各 纵向纤维性质相同，因而其受力也就一样。所以，杆件横截面上的内力均匀分布， 即在横截面上各点的正应力相等，亦即 σ 等于常量 (见图6-2b)。由 FN = σA 得
FN A
(6-1)
式 (6-1) 就是拉 (压) 杆横截面上正应力σ 的计算公式。正应力符号与轴力FN 的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。由于拉 (压) 杆横截面上各点的正
120o
2
sin
2
100 sin 2
2 120o
43.3 MPa
在本例中发现，α = 30o 和 α = 120o 两 个正交截面上的剪应力数值相等而符号相反， 此结果具有一般性，称为剪应力互等定理， 即在受力构件内互相垂直的任意两截面上， 剪应力大小相等而符号相反，其方向同时指 向或同时离开两截面的交线。
轴向拉、压杆的内力及应力计算
解：（1）计算各段的轴力
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平
衡方程： ∑X=0，N1+P1=0
得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。
BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
得 N2=-P1+P2=-20+30=10KN 正号表示BC段轴力N2实际为拉力。
面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件
截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
为N，则
N
A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐 标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比 例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力 图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。 变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。 当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。 见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。 见图7-1b
图 7-1
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平
衡方程： ∑X=0，N1+P1=0
得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。
BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
得 N2=-P1+P2=-20+30=10KN 正号表示BC段轴力N2实际为拉力。
面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件
截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
为N，则
N
A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐 标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比 例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力 图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。 变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。 当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。 见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。 见图7-1b
图 7-1
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
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工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
【教学能力比赛】轴向拉、压杆的强度计算-教学设计
轴向拉、压杆的强度计算教学设计基于中职、中专类学生的特点，我选用的是高教出版社《土木工程力学基础》，该书在内容上对原有的冗杂部分进行了删减，在满足教学需要的同时，符合中专生以就业为导向的培养思想。
力学课是一门技术基础课，本课的学习主要是为学生学习专业课做铺垫的，所以十分重要。
所以结合教学大纲的要求及学生层次特点，本课的教学重难点为：【教学重难点】教学重点：理解正应力拉压干强度公式含义教学难点：利用拉压杆强度条件公式解决强度效和、截面设计等工程实际问题。
【教学目标】1. 技能目标：使学生能够应用正应力强度条件公式完成轴向拉压构件强度校核、截面设计和确定许用荷载方面的实际任务。
2.能力目标：加强学生解决问题的能力。
3.情感目标：在探究学习中增强学生的自信。
这样多元化的教学目标，把关键的能力培养蕴含于知识技能的学习中专，并培养他们自信的心理态度。
【教学过程】科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。
因为我们所面对的学生的学习基础薄弱，学习方法单一，习惯于被动接受，而非主动思考，而本节课又是理论性极强的一节课，所以我采用的教法是以任务驱动法为主线贯穿整堂课，各部分穿插讲授法、演示教学法、启发教学法。
而学法上，我贯彻的指导思想是以提高和发展学生的能力为本，启发引导学生积极思考探究问题，发现规律，看到本质，纳未知为已知；倡导“自主、合作、探究”的学习方式，具体的学法是自主学习、探究学习、小组合作完成任务法和分组讨论法。
我的教学过程的开展以任务驱动的形式为主要的教学方法贯穿于课程始终。
在完成任务课题探讨阶段分别使用了范例式教学法和启发式教学法，使学生通过自主学习、探究学习、合作学习的学习方式理解新课知识点。
整个过程强调提高和发展学生的能力为本，其中贯穿了引导、启发的思想，充分发挥教师主导的同时，体现学生主体的教学理念，下面我对具体的教学过程进行做一下阐释。
为了完成教学目标，解决教学重点突破教学难点，课堂教学我按四个大模块、七个教学环节展开来完成教学过程。
讲轴向拉压杆强度计算.
P
N=266kN
max
N 4 266 103 116.2MP a 2 A 3.14 54
A
α
B P=30kN
C
一起重用支架。a= 30°，AB杆为圆截面 钢杆，1 160MPa 。BC杆为正方形木 材杆件， 2 10MPa 。请根据强度条 件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
L x A B
分析：
V ABDLBD;
P C
ABD N BD / ; LBD h / sin 。
h
D
L x
XA
A
B
YA
NBD
P
C
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
PL NBD hcos
HC
C
RC
③应力：
N
max
N 4P A d2
4 26.3 103 MPa 2 131 3.14 0.016
max
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
[例] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[]。
2.5 轴向拉压（杆）强 度计算
一、许用应力与安全系数
1.材料的极限应力 塑性材料： σ°=σs 脆性材料： σ°=σb 2.许用应力
为了保证构件能正常地工作，应当把最大工作应 力限制在一定的范围之内，这个限制值称为材料在 拉伸（或压缩）时的许用应力。用 [σ]表示。
3.安全系数n
轴向拉伸和压缩—拉(压)杆的强度计算(建筑力学)
轴向拉伸与压缩
例7-12 图示三角支架，在节点A处受铅直荷载FP作用。已 知AB为圆截面钢杆，直径d=30mm，许用应力[σ]=160MPa， AC为正方形木杆，边长a=100mm，许用压应力[σc]=10MPa试 求许用荷载［ FP ］。
解 （1）计算杆的轴力
由∑Fy=0 －FNACsin30°－FP=0
A FNAB 63 103 mm2 393.8mm2
[ ] 160
轴向拉伸与压缩
当拉杆选用角钢时，每根角型的最小面积应为
A1
A 2
393.8 2
mm 2
196.9mm2
查型钢表，选用两根25×4的2.5号等边角钢。
A1=185.9mm2 故此时拉杆的面积为
A=2×185.9mm2=371.8mm2＞370.6mm2 满足强度要求。
材料的安全系数比塑性材料的大。建筑工程中，一般，取nS =1.4～1.7，nb=2.5～3.0。
轴向拉伸与压缩
3. 强度条件 为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地
使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料 的许用应力，即
σmax≤[σ]
塑性材料： 脆性材料：
max
FN max A
解（1）先求支座反力。
FAy = FBy= 0.5q l = 0.5×10×8.4 = 42kN
轴向拉伸与压缩
（2）再求拉杆的轴力。
用截面法取左半个屋架为研究对 象，如图示。
由 MC 0
FNAB
h
FAy
l 2
q
l 2
l 4
0
FNAB
42 42 10 4.2 2.1 kN 1.4
63kN
（3）校核拉杆的强度。
《轴向拉压杆件内力与强度计算》教案
2、拉压杆件强度计算及应用。
多媒体课件
案例讲解
学生听讲
求解案例
10分钟
总结
归纳
教师总结归纳任务单知识点和重点注意事项。对重点、难点进行进一步讲解。
多媒体
总结讲授
学生听讲
完善任务单
5分钟
作业
截面法求内力，强度条件应用。
教学资源平台
完成作业任务及课程评价
1、截面法求内力；
2、内力图的绘制。
以小组为单位，讨论解题思路，求解例题。
多媒体课件
案例讲解
小组讨论
边做边听
讨论
10分钟
师生
点评
1、通过分组求解例题的方式进行任务完成情况的检查；
2、教师进行点评，学生补充点评。
解答提问
分析指导
分组交流
找出不足
5分钟
操练
（掌握初步、基本能力）
知识点二：
1、应力的概念及计算；
材料
教材：《建筑力学与结构》主编：郭志勇刘剑勇天津大学出版社；
参考书：1、《建筑力学》主编：沈养中高等教育出版社；
2、《建筑力学与结构》主编：吴承霞北京大学出版社；
3、《建筑结构》主编：胡兴福 建筑工业出版社。
多媒体课件等。
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
和手段
学生活动
时间新：校园中建筑的结构形式
2、掌握轴向拉压变形的内力及内力图的绘制方法。
3、掌握拉压杆件截面应力、强度条件、强度计算。
教学
重点
1、拉压杆横截面的内力计算；
2、拉压杆内力图的绘制。
教学难点
1、拉压杆横截面的内力计算；
2、拉压杆的强度计算。
能力训练任务及案例
多媒体课件
案例讲解
学生听讲
求解案例
10分钟
总结
归纳
教师总结归纳任务单知识点和重点注意事项。对重点、难点进行进一步讲解。
多媒体
总结讲授
学生听讲
完善任务单
5分钟
作业
截面法求内力，强度条件应用。
教学资源平台
完成作业任务及课程评价
1、截面法求内力；
2、内力图的绘制。
以小组为单位，讨论解题思路，求解例题。
多媒体课件
案例讲解
小组讨论
边做边听
讨论
10分钟
师生
点评
1、通过分组求解例题的方式进行任务完成情况的检查；
2、教师进行点评，学生补充点评。
解答提问
分析指导
分组交流
找出不足
5分钟
操练
（掌握初步、基本能力）
知识点二：
1、应力的概念及计算；
材料
教材：《建筑力学与结构》主编：郭志勇刘剑勇天津大学出版社；
参考书：1、《建筑力学》主编：沈养中高等教育出版社；
2、《建筑力学与结构》主编：吴承霞北京大学出版社；
3、《建筑结构》主编：胡兴福 建筑工业出版社。
多媒体课件等。
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
和手段
学生活动
时间新：校园中建筑的结构形式
2、掌握轴向拉压变形的内力及内力图的绘制方法。
3、掌握拉压杆件截面应力、强度条件、强度计算。
教学
重点
1、拉压杆横截面的内力计算；
2、拉压杆内力图的绘制。
教学难点
1、拉压杆横截面的内力计算；
2、拉压杆的强度计算。
能力训练任务及案例
杆系结构的强度计算—轴向拉压杆的应力
p
FN A
A
A0
cos
α A
A0
p
FN A0
cos
0 cos
斜截面正应力 p cos 0 cos2
斜截面切应力
p
s in
0
2
sin 2
2.4 重要结论
0 cos2
当 0 时，正应力最大。即轴向拉压杆中的最大正应力发生在横
截面上，其值为 max 0 。
0
2
sin 2
2.拉添加压标杆题 斜截面上的应力
2. 拉压杆斜截面上的应力 2.1 斜截面方位角
• 斜截面方位角—斜截面的外法线on与x轴的夹角α。
n
m α
o
m
x 逆为正“+”
m
o α
m n
x
顺为负“－”
2.2 研究方法
平面假设
变形均匀
理论分析
应力沿截面均匀分布 方向与杆轴平行
p
FN A
2.3 公式推导
当 45 时，切应力最大。即轴向拉压杆中的最大切应力发生在与
杆轴成45°的斜截面上，其值为 max
0 2
。
当 90 时（β斜面与α斜面垂直），则有
0
2
sin 2
02Biblioteka sin(1802 )
0
2
sin 2
切应力互等定理：杆件中任一点处的任意两个相互垂直的斜面上，垂直于两截 面交线的切应力数值相等，符号相反，方向均指向或离开该两面交线。
应力的概念
应力的概念
应力—内力在截面上的分布密集程度
F1
ΔF
F3 ΔA
K
平均应力
pav
F A
轴向拉、压杆的强度计算
N [ ] A
[ ] —材料的许用应力。
对于受到几个轴向外力作用的等截面直杆而言，要选择轴力最大的截面进 行强度计算；在变截面杆中，则要对不同截面计算应力，并选择应力最大的截面 进行强度计算。根据强度条件可以解决工程实际中有关构件强度的三类问题：
1、设计截面
如果已选定了构件的材料（即材料的许用应力[σ]为已知），同时又已 知作用在构件上的荷载，则构件所需 的横截面面积A可由右式决定
由平衡方程 得
M ( F c ) 0
N
,
P 2 N 1 sin 45 0
2P 2 10 28.3 KN ( 压) sin 45 sin 45
（2）确定截面尺寸
按强度条件，斜杆的截面面积为
N 28.3 10 3 A 4720mm2 [ ] 3
故截面边长
a A 4720 68.7 mm
算
保证构件具有足够的抵抗破坏能力的条件叫做强度条件。轴向拉、压构件 的强度条件是保证构件的最大工作应力不超过材料的许用应力，即
公式中：
max
max ——杆内横截面上的最大工作应力。
N——产生最大工作应力的截面上的轴力。这个截面称危险截面 A——危险截面的截面面积。
A
N
课题八 轴向拉、压杆的强度计算
2、强度校核 若已知构件的横截面尺寸、材料及所受荷载，构件的强度是否满足要求可
由
N [ ] A
来判定。若满足上式，则构件满足强度条件（安全）；若
[ ] ，则强
度不足。 3、确定许用荷载 若已知构件的材料和截面尺寸，则构件允许承受的轴力应按下式确定。
[ N ] A [ ]
然后再根据静力平衡条件确定许用荷载[ P ]。
3-轴向拉伸和压缩杆的强度计算
F2 =10kN
AAC =500mm2 ACD =200mm2
AB段:
AB
NAB AAB
20103 N 500mm2
40MPa
压
第26页，共37页。
【例3-3】试求图示阶梯形钢杆: ⑴各段杆横截面上的内力和应 力；⑵杆件内最大正应力；⑶杆件的总变形。
⑶杆件的总变形
已知弹性模量E=200GPa
l lAB lBC lCD
学习情境3
轴向拉伸和压缩杆的强度计算
甘肃省庆阳市及西峰区体委联合组
织西峰区各乡镇及市区机关单位共11支 500人代表队在庆阳市西峰区世纪大道一
级公路路面上举行万人拔河比赛，所用
钢丝绳长约550米，直径约3厘米，在比 赛到第二回合， 正当双方用力拼比时，
钢丝绳突然被拉断，拉断的钢丝绳绳头 将分界线两旁的人打伤，另将其余人摔 倒在公路上致使多人被擦破手腿皮肤和 踩伤。
第27页，共37页。
子情景3.2 轴向拉伸和压缩杆的强度计算
3.2.1 轴向拉伸和压缩杆的强度条件
⒈ 安全因数与许用应力
塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，
影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料的极
限应力。 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标
≤
第33页，共37页。
【例3-5】图示托架, AC是圆钢杆,许用拉应力[σ l]=160MPa, BC是方 木杆, F=60kN, 试选钢杆直径d。
N2 40 30 20
30kN压
4
4
N4
③CD段 X 0 :
N3 30 20
10kN 拉
④DE段 X 0 : N4 20kN压
杆件拉伸和压缩强度计算
精选ppt
29
第四节 拉压杆的强度计算
3M23.tif
例3-5 空心圆截面杆如图3-23所示，外径D＝20mm,内径d=15mm,承 受轴向载荷F=20kN作用，材料的屈服应力σs=235MPa，安全系数n=1. 5。试校核该杆的强度。 解 杆件横截面上的正应力为
精选ppt
30
第四节 拉压杆的强度计算
例3-6 如图3-24所示桁架，由杆1与杆2组成，在节点B承受集中载 荷F作用。试计算载荷F的最大许可载荷［F］。已知杆1与杆2的横 截面面积均为A=100mm2,许用拉应力为［σt］=200MPa，许用压应力 为［σc］=150MPa。 解 1) 轴力分析：设杆1与杆2的轴力分别为FN1与FN2，则根据节点 平衡方程
精选ppt
16
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
一、低碳钢拉伸时的力学性能
精选ppt
17
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
图3-13 F-ΔL曲线
精选ppt
18
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
图3-14 低碳钢应力-应变曲线
精选ppt
19
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
3M14.tif
精选ppt
31
第四节 拉压杆的强度计算
3M24.tif
2)确定F的许用值：杆1的强度条件为
精选ppt
32
(1)弹性阶段 图中OA′为一直线，说明应力与应变成正比，OA′直线
的倾角为α，斜率为tanα=σ/ε=E，即材料的弹性模量。
精选ppt
20
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
(2)屈服阶段 当应力超过弹性极限σe后，图上出现接近水平的小锯 齿形线段BC，说明此时应力虽然有波动，但几乎没有变化，而变形 却急剧增加，材料失去抵抗变形的能力。 (3)强化阶段 超过屈服阶段后，图3-14上出现上凸的曲线CD，表明 若要使材料继续变形，还需要增加应力，即材料重新产生抵抗变形 的能力，这种现象称为材料的强化，CD段对应的过程称为材料的强 化阶段，其最高点D对应的应力值σb，称为抗拉强度(强度极限)，它 是材料所能承受的最大应力。 (4)缩颈断裂阶段 从D点开始，在试样较薄弱处的横截面发生急剧 的局部收缩，出现颈缩现象(图3-16)。
工程力学18轴向拉(压)杆的强度计算
考虑到许用应力是概率统计的数值，为了经济起见，最大工
作用正应应力力的也5%可为略宜F大N。,于max材 料 的许A用应力，一般认为以不超过许
然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。
例1 阶梯形杆如图所示。AB、BC和CD段的横截面面积分别 为A1=1500mm2、 A2=625mm2、 A3=900mm2。杆的材料为 Q235钢，[σ]=170MPa。试校核该杆的强度。
解：（1）作轴力图
120 kN
①
220 kN
②
260 kN
③ 160 kN
（2）校核强度
A
B
C
D
由轴力图和各段杆的横
FN / kN
160
截面面积可知，危险截
120
面可能在BC段或CD段。
o
BC段：
x
100
2
FN 2 A2
100103 N 625 106 m2
160 106 Pa
160MPa（压应力）
CD段：
3
FN 3 A3
160103 N 900 106 m2
177.8 106 Pa
177.8MPa（拉应力）
2 160MPa 压 3 177.8MPa 拉
120 kN
①
A FN / kN 120
o
220 kN
②
B
100
结果表明，杆的最大正应力发生在CD段
260 kN
③
C 160
已算最校3.已轴确知出大核知力定杆该工。结，结件杆作构并构的所正承 由的横能应受此许截承力的确用面受m，ax荷定载尺的并载杆荷寸最检AF和 件和大查NA,材的m材轴是aFx料横料力否N,的截的，m满a许面x许亦足用面用称强应积应许度力。力用条，，轴件即可力的可根要算据求出强。杆度这件条称的件为最计强大度
作用正应应力力的也5%可为略宜F大N。,于max材 料 的许A用应力，一般认为以不超过许
然后根据静力平衡条件，确定结构所许用的荷载。
例1 阶梯形杆如图所示。AB、BC和CD段的横截面面积分别 为A1=1500mm2、 A2=625mm2、 A3=900mm2。杆的材料为 Q235钢，[σ]=170MPa。试校核该杆的强度。
解：（1）作轴力图
120 kN
①
220 kN
②
260 kN
③ 160 kN
（2）校核强度
A
B
C
D
由轴力图和各段杆的横
FN / kN
160
截面面积可知，危险截
120
面可能在BC段或CD段。
o
BC段：
x
100
2
FN 2 A2
100103 N 625 106 m2
160 106 Pa
160MPa（压应力）
CD段：
3
FN 3 A3
160103 N 900 106 m2
177.8 106 Pa
177.8MPa（拉应力）
2 160MPa 压 3 177.8MPa 拉
120 kN
①
A FN / kN 120
o
220 kN
②
B
100
结果表明，杆的最大正应力发生在CD段
260 kN
③
C 160
已算最校3.已轴确知出大核知力定杆该工。结，结件杆作构并构的所正承 由的横能应受此许截承力的确用面受m，ax荷定载尺的并载杆荷寸最检AF和 件和大查NA,材的m材轴是aFx料横料力否N,的截的，m满a许面x许亦足用面用称强应积应许度力。力用条，，轴件即可力的可根要算据求出强。杆度这件条称的件为最计强大度
拉压杆的强度计算
的许用应力［σ］，其他横截面上的应力都比［σ］小，显然造 成了材料的浪费。
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等 于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状 如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故 在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33 （b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分 为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得 FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横
截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa ；BC 为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］ ＝10 MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象 ［图2-31（b）］，
图2-33
材料力学
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0 得 FN2＝F/sin30°=2F（压） ∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0 得 FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝ 31/2F ≤A1［σ 所以对于AB杆，许用荷载为
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相 同，故杆的最大正应力为
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等 于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状 如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故 在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33 （b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分 为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得 FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横
截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa ；BC 为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］ ＝10 MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象 ［图2-31（b）］，
图2-33
材料力学
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0 得 FN2＝F/sin30°=2F（压） ∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0 得 FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝ 31/2F ≤A1［σ 所以对于AB杆，许用荷载为
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相 同，故杆的最大正应力为
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
F NBC 56 . 6 kN （压力） F NBA 40 kN
（拉力）
（2）由强度条件确定各杆截面尺寸 对BA杆
A BA
d
4
2
F NBA
s
d
4 F NBA
s
17 . 8 mm
可取
d 18 mm
F NBC
对BC杆
A BC a
2
w
a
F NBC
【例】已知AB梁为刚体，CD为拉杆，拉杆直径
d=2cm,E=200GPa,FP=12kN, 求B点位移。
C 0.75m A D B
1m
1.5m
FP
解：(1)受力分析，求轴力
FN
F Ax
A
D
B
F Ay
1m
1.5m
FP
M
A
0
F P AB F N AD sin
FN
解：（1）受力分析， 求各杆轴力
F NBD
F x 0, Fy 0
2 F P 31 . 4 kN
（2）求各杆应力
BD
F NCD F P 22 . 2 kN
F NBD A BD F NCD A CD 22 . 2 kN 31 . 4 kN
CD
3
m
DD BB
AD AB
B B D D /(
AD AB
)
4 . 17 10
3
m
7.4 轴向拉压杆的强度计算
• 工作应力
FN A
• 失效：工作应力超过了杆件材料所能承受的极 限应力；
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10MPa 。请根据强度条
件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
A
B
30° 2
1 45° C
P 38.61kN
P
支架①杆的许用正应力为1 100 MPa ，
②杆的许用正应力为 2 160 MPa ，两
杆的面积均为A=200mm2。求许用荷载。
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力
我们加油！
2.5 轴向拉(压) 杆 的强度计算
材料的力学性能指标
1.弹性指标：弹性模量E、泊松比μ
2.塑性指标： 断后伸长率δ 断面收缩率ψ
l1 l 100 %
l
A A1 100 %
A
工程上一般将δ＞5％的材料称为塑性材科，
将δ＜5％的材料称为脆性材料。 3.强度指标
屈服极限σs : 塑性材料的极限应力 强度极限σb ：脆性材料的极限应力
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此杆满足强度要求，是安全的。
简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为
使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[]。
L
分析：
x
A
B
V ABDLBD;
[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
B
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
q
C
HAA
钢拉杆
RA
RB
8.5m
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
q HAA
RA
② 局部平衡求 轴力：
mC 0 N 26.3kN
HC
C ③应力：
RC
max
N A
4P
d2
m a x
N A
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
max
②设计截面尺寸：
Am in
Nmax
[ ]
③许可载荷： Nmax A ;
P f (Ni )
例 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
圆杆，直径d=54mm，材料的许用应力
120 MPa 。校核斜杆强度。
C
P
N=266kN
max
N A
4 266 10 3 3.14 54 2
116 .2MPa
A
B
α
d 20.33mm
P=30kN
C
a 77.46mm
一起重用支架。a= 30°，AB杆为圆截面
材钢杆杆件，，1 2
160 MPa 。BC杆为正方形木
解：① 轴力：N = P =25kN
②应力： max
N A
4P πd 2
4 25 10 3 3.14 14 2
162 MPa
③强度校核： max 162MPa 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
P
A d αα B
一起重用的吊环。a= 20°，吊环的最大
吊重量P=500kN，斜杆是由锻钢制成的
P
C ABD NBD / ;
LBD h / sin 。
D
h
L x
XA A
B
YA
NBD
PC
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
NBD
PL
hcos
BD杆横截面面积A：
A NBD /
L x
XA A
B
YA
NBD
PC
一、许用应力与安全系数
1.材料的极限应力 塑性材料： σ°=σs 脆性材料： σ°=σb
2.许用应力 为了保证构件能正常地工作，应当把最大工
作应力限制在一定的范围之内，这个限制值称 为材料在拉伸（或压缩）时的许用应力。用 [σ]表示。 [σ]= σ°
K
二、强度条件准则
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
③
求VBD
的最小值： V
ALBD
Ah / sin
2PL
[ ] sin2
;
45o时,
Vmin
2PL
[ ]
大家辛苦了！
件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
A
B
30° 2
1 45° C
P 38.61kN
P
支架①杆的许用正应力为1 100 MPa ，
②杆的许用正应力为 2 160 MPa ，两
杆的面积均为A=200mm2。求许用荷载。
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力
我们加油！
2.5 轴向拉(压) 杆 的强度计算
材料的力学性能指标
1.弹性指标：弹性模量E、泊松比μ
2.塑性指标： 断后伸长率δ 断面收缩率ψ
l1 l 100 %
l
A A1 100 %
A
工程上一般将δ＞5％的材料称为塑性材科，
将δ＜5％的材料称为脆性材料。 3.强度指标
屈服极限σs : 塑性材料的极限应力 强度极限σb ：脆性材料的极限应力
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此杆满足强度要求，是安全的。
简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为
使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[]。
L
分析：
x
A
B
V ABDLBD;
[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
B
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
q
C
HAA
钢拉杆
RA
RB
8.5m
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
q HAA
RA
② 局部平衡求 轴力：
mC 0 N 26.3kN
HC
C ③应力：
RC
max
N A
4P
d2
m a x
N A
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
max
②设计截面尺寸：
Am in
Nmax
[ ]
③许可载荷： Nmax A ;
P f (Ni )
例 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
圆杆，直径d=54mm，材料的许用应力
120 MPa 。校核斜杆强度。
C
P
N=266kN
max
N A
4 266 10 3 3.14 54 2
116 .2MPa
A
B
α
d 20.33mm
P=30kN
C
a 77.46mm
一起重用支架。a= 30°，AB杆为圆截面
材钢杆杆件，，1 2
160 MPa 。BC杆为正方形木
解：① 轴力：N = P =25kN
②应力： max
N A
4P πd 2
4 25 10 3 3.14 14 2
162 MPa
③强度校核： max 162MPa 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
P
A d αα B
一起重用的吊环。a= 20°，吊环的最大
吊重量P=500kN，斜杆是由锻钢制成的
P
C ABD NBD / ;
LBD h / sin 。
D
h
L x
XA A
B
YA
NBD
PC
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
NBD
PL
hcos
BD杆横截面面积A：
A NBD /
L x
XA A
B
YA
NBD
PC
一、许用应力与安全系数
1.材料的极限应力 塑性材料： σ°=σs 脆性材料： σ°=σb
2.许用应力 为了保证构件能正常地工作，应当把最大工
作应力限制在一定的范围之内，这个限制值称 为材料在拉伸（或压缩）时的许用应力。用 [σ]表示。 [σ]= σ°
K
二、强度条件准则
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
③
求VBD
的最小值： V
ALBD
Ah / sin
2PL
[ ] sin2
;
45o时,
Vmin
2PL
[ ]
大家辛苦了！