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简单的线性规划问题

[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

知识点一线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件关于变量 x， y 的一次不等式 (组 )

线性约束条件关于 x， y 的一次不等式 (组 )

目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x， y)

可行域由所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

知识点二线性规划问题

1．目标函数的最值

线性目标函数 z＝ ax＋ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y＝－a z

，在 y 轴上的截距是

z

，b

x＋

b b

当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．

当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；

当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．

2．解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界 )便是最优解．

(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．

(4)答：写出答案．

知识点三简单线性规划问题的实际应用

1．线性规划的实际问题的类型

(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效

益最大；

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

常见问题有：

①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，

且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②

产品安排问题

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？

③下料问题

例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

2．解答线性规划实际应用题的步骤

(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要

在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．

(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最

优解．

(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．

题型一求线性目标函数的最值

例1 已知变量x， y 满足约束条件

y≤ 2，

x＋ y≥ 1，

x－ y≤1，

则 z＝ 3x＋ y 的最大值为( )

A ． 12

B ．11

C．3 D．－ 1

答案 B

解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点

的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－ 3x＋z 经

y＝2，x＝ 3，

过点 A 时， z 取得最大值．由? 此时z＝3x＋ y＝ 11.

x－y＝ 1 y＝ 2，

x＋y－ 2≤ 0，

跟踪训练 1 (1)x，y 满足约束条件x－ 2y－ 2≤ 0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，

．．．

2x－y＋ 2≥ 0，

则实数 a 的值为 ()

1 1

A. 2或－ 1 B ．2 或 2

C．2 或 1 D． 2 或－ 1

x－y＋ 1≤ 0，

(2)若变量 x，y 满足约束条件x＋2y－ 8≤ 0，则 z＝ 3x＋ y 的最小值为 ________ ．

x≥0，

答案(1)D (2)1

解析(1) 如图，由 y＝ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，

故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；

当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.

y＝－ 3x＋ z 过点(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝ 3x＋ y，即

(0,1)时 z 取最小值 1.

题型二非线性目标函数的最值问题

x－ y－2≤ 0，

例2 设实数 x， y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求

2y－ 3≤ 0，

(1)x2＋y2的最小值；

y

(2)x的最大值．

解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，

(1)令 u＝ x2＋ y2，其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x， y)与原点的距离的平方．

x＋2y－ 4＝ 0，

4，8 过原点向直线 x＋ 2y－ 4＝0 作垂线 y＝ 2x，则垂足为y＝2x 的解，即 5 5 ，x＋ 2y－ 4＝ 0， 3

又由

2y－ 3＝0，得 C 1，2 ，

所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋3 2 2

13

＝2，

13

所以， x2＋y2的最小值为4 .

y

ABC 内任一点 (x， y)与原点相连的直线l 的斜率为 v，即 v (2)令 v＝x，其几何意义是可行域

y－ 0

＝x－0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点 C 时， v 最大，

3

由(1) 知 C 1，2，

所以 v max＝3 y 3

，所以的最大值为.

2 x 2

x≥ 0，

跟踪训练 2 已知 x， y 满足约束条件y≥ 0，则(x＋3) 2＋ y2的最小值为 ________．

x＋ y≥ 1，

答案10

解析画出可行域 ( 如图所示 ) ． (x＋ 3)2＋ y2即点 A(－ 3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平