2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月11日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取

值范围为（ ）

A ．(]1-∞，

B ．(1)-∞，

C ．(]01，

D ．(]3-∞， 【答案】 A

【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。

0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。

由A B A ⋂=知，A B ⊆。10

14a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。 ∴ a 的取值范围为(]1-∞，。

2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）

A ．

B C ．43π D ．163π

【答案】 A

【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1

222

l R ππ⨯=，2l R =。

又21

22

S l ππ==圆锥测。因此，2l =，1R =。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径12323r =⨯⨯=

34()3327V π=⨯=。

3．函数y x = ）

A ．⎡-⎣

B ．2⎡-⎣

C ．1⎡-⎣

D ．⎡⎣

【答案】 B

【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。

∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤

又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。

4．给出下列命题：

（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。

（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD

（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。 其中正确的命题的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。

（2）若存在平面α，使得a α⊥，b α∥，则a b ⊥。但a ，b 是未必垂直。故不正确。 （3）作A O B C D ⊥平面于O ，则O 为正三角形BCD 的中心，ACO ∠是AC 与平面BCD 所

成角。

设AB BC a ==，则23CO ==，cos ACO ∠=

。故，（3）正确。

（4）取BD 中点O ，则OA OC ==。由O 、A 、C 构成三角形知，(0AC ∈。 故，（4）正确。

5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，均有(3)()f x f x +=，当3

(0)

2

x ∈，时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]06，上的零点个数为（ ）

A ．6个

B ．7个

C ．8个

D ．9个 【答案】 D

【解答】由2()ln(1)0f x x x =-+=知，211x x -+=，0x =或1x =。

∴ ()f x 在区间3(0)2，内有唯一零点1。结合()f x 为奇函数知，()f x 在区间3

(0)2

-，

内有唯一零点1-。

又由(3)()f x f x +=知，()f x 在区间3(3)2，内有唯一零点2；在区间9

(3)2，内有唯一零点4；在区间9

(6)2

，内有唯一零点5。 又由33()()22f f -=-，333()(3)()222f f f -=-+=知，3()02f =，9

()02

f =。

又(6)(3)(0)0f f f ===。

∴ ()f x 在区间[]06，上的零点个数为9。

6．已知函数()f x =

。给出下列四个判断：

（1）()f x 的值域是[]02，； （2）()f x 的图像是轴对称图形；

（3）()f x 的图像是中心对称图形； （4）方程[]()f f x = 其中正确的判断有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】 B

【解答】设(32)A ，，(52)B ，

，(0)P x ，，

则()f x PA PB ==

-。

（1）∵ ()2f x PA PB

AB =-≤=，AB 与x 轴不相交（即P 、A 、B 三点不共线）。

∴ 等号不成立，()f x 的值域是[)02，。（1）不正确。

（2）∵(4)f x -=

=，

(4)f x +=

=

∴ (4)(4)f x f x -=+，()f x 的图像关于直线4x =对称。（或从几何图形上看，当Q 与P

关于点(40)，

对称时，PA PB

QA QB

-=

-）。（2）正确。

（3）显然不正确。（若（3）正确，则结合（2）可得()f x 为周期函数，矛盾。）

（4）∵ (0)f =

=[)0()02f x ∈的值域，，

∴ 方程[]()f f x =4x =是方程的解）。（4）正确。