用导数求函数的极值.

用导数来求函数的极值

例 求下列函数的极值：

1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21

2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．

解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f

令0)(='x f ，得2±=x ．

当2>x 或2-'x f ，

∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数；

当22<<-x 时，0)(<'x f ，

∴函数在（－2，2）上是减函数．

∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ，

当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f

2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2

令0)(='x f ，得0=x 或2=x ．

当0x 时，0)(<'x f ，

∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数；

当20<'x f ，

∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数．

∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ，

当2=x 时，函数取得极大值2

4)2(-=e f ．

3．函数的定义域为R ． .)

1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+⋅-+='x x x x x x x x f

令0)(='x f ，得1±=x ．

当1-x 时，0)(<'x f ，

∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数；

当11<<-x 时，0)(>'x f ，

∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数．

∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ，

当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f

说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数

)(x f 在0x 处有极值的必要条件，

如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．

复杂函数的极值

例 求下列函数的极值：

1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2--=x x x f

分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．

解：1．.3)2(533)5(2)5(32

)(33323x

x x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点．

当0x 时，0)(>'x f ，

∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数；

当20<

∴函数)(x f 在（0，2）上是减函数．

∴当0=x 时，函数取得极大值0)0(=f ，

当2=x 时，函数取得极小值343)2(-=f ．

2．⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--),

32(,6),32(,6)(22x x x x x x x x f 或 ∴⎪⎩

⎪⎨⎧=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或

令0)(='x f ，得21=

x ． 当2-

1<

⎝⎛3,21上是减函数；

当3>x 或2

12<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()+∞,3和⎪⎭⎫ ⎝⎛

-21,2上是增函数．

∴当2-=x 和3=x 时，函数)(x f 有极小值0， 当21=x 时，函数有极大值4

25． 说明：在确定极值时，只讨论满足0)(0='x f 的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中0=x 处，2中

2-=x 及3=x 处函数都不可导，

但)(x f '在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数)(x f 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．

根据函数的极值确定参数的值

例 已知)0()(2

3≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．

1．试求常数a 、b 、c 的值；

2．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

分析：考察函数)(x f 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(='x f 的根建立起由极值点1±=x 所确定的相关等

式，运用待定系数法求出参数

a 、

b 、

c 的值．

解：1．解法一：c bx ax x f ++='23)(2．

1±=x 是函数)(x f 的极值点，

∴1±=x 是方程0)(='x f ，即0232

=++c bx ax 的两根，

由根与系数的关系，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-）（）（2 ,131 ,032a

c a b 又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）

由（1）、（2）、（3）解得2

3,0,21-===c b a ． 解法二：由0)1()1(='=-'f f 得

023=++c b a ， （1）

023=+-c b a （2）

又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）

解（1）、（2）、（3）得2

3,0,21-===

c b a ． 2．x x x f 2321)(3-=，∴).1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f 当1-x 时，0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f

∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数，在（－1，1）上是减函数．

∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ，

当1=x 时，函数取得极小值1)1(-=f ．

说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用0)1(=±'f 的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．

利用导数求函数的极值

例 求下列函数的极值：