有关伯努力不等式的几种证明方法及其简单应用

当ｘ ０ １ ｘ １ ＞ 时，＋ ＞ ， 因 １ ｘ“ 一 ＞ ， ‘ ＞． ） ， １ ０则ｆ （） ０ 此（＋ 一 二
表明ｆｘ在（， ０ 是增函数 ． ０ 十 ） （） 因此函数ｆ） ｘ在ｘ ０ （ 二 处有极小值也即最小值．
又ｆ劝ｍ ｆ ） ０ 因此在ｘ １ 二 ０ 二 ， （ ｉ（ 。 ＞一 时，
几 １
击）
ｌ ＋Ｚ ｎ
１ 、＋ ， 。：
目 我国正在颁布实施新课标， 前， 并在部分省
市进行教材改革， 我省的新教材中加进了有关伯努
＝ 共导 哄 仁 粤 Ｊ 一
几又 ＋乙） 几
几 ＋乙
力不等式的相关知识， 笔者就此抛砖引玉， 以供读
者参考 ．
＝（ ＋ １
设 Ｔ＝ ＋ １ ｘ ＋ １ ：２ （ ＋ ） （ ＋ ） ｎ １
＋ ｘ” ， …＋ １ ）一 （十 ’
ｘ ０则１ ｘ １ 由 笋 ， ＋ 务 ． 等比 数列求和公式得
（＋ ） ’ １ ：‘ ＋ ） （＋ ） １ ｘ １ ｘ‘ 二 ＋ （
）（ ＋ １ ｘ （＋ ） １ 肠） ＝ ＋ ｋ １ｘ ｋ ）１ （＋ ） ）＋ ， ＋ 无 １ｘ １ （＋ ｘ
总有（ ＋ 〕１ 二成立． ” ＋ １ｘ ）
３ 构造数列结合放缩法 证明 由已知当 ｎ １ ｘ ０时， 二 或 二 不等式显然
当ｎ ２ 有（ ＋ ）＝ ＋ ｘ ｘ〕１ Ｚ 不 二 时， １ ｘ２ １ Ｚ ＋ Ｚ ＋ ｘ
等式成立 ．
假设当ｎ 时， ｋ 不等式成立， 二
成立， ） 时， 当ｎ ２
下面分别就 Ｅ（ １０ ｘ 一 ， 和 ｘ ０ 十０） ） 二（ ， ０ 进行
证明 ．
即（ ＋ ） １ 际 ） ＋ ． １ ｘ‘ 那么当ｎ ＋ 时， ｋ １ ＝ 左边（＋ “ ＝ １ ｘ介 ＋ ） ） ’ （ ＋ ） １ ｘ． １ｘ （
ｘ １则 １ ｘ ０ ＞一 ， ＋ ＞ ， 又由归纳假设有
求证｛。为递减数列． ａ｝
分析 此数列的通项底数和指数均与正整数
・岁卜 二 ‘ ・岁 ・
＋
一Ｚ ｎ
变量有关， 平时很少见到， 一般方法也较难解决， 因
而由其指数特征想到伯努力不等式求解 ．
＝ （ 岁・舟 ）＞＋兴 十 二岁 ・ 。（ 兴 ・… 一气 订 １ 丈 ） 六
＝（ 专合 。合 ・－ ＋一
＋： ・ 欺， （ 年 “ ’ ２ 第期 ７ ０
・复 习 参 考 ・
有关伯努力不等式的几种证明方法及其简单应用
４３２ 湖北省江汉油田 ３ ４ １ 广华中学 张希杰
伯努力是瑞士著名数学家和物理学家， 他发现
的伯努力不等式在不等式知识的运用上起着十分 重要的作用 ．０ 年湖北省高考数学卷的最后一道 ２０ ７ 题正是利用伯努力不等式解决有关中等数学问题 的一道好题 ． 笔者由试题得到启发， 整理探讨了应 用高中阶段的相关知识， 证明伯努力不等式的几种
例 ２ 已知 ｎ 是不小于２的正整数， ： 求证
门＋ ）＋ １ 六 ） ・ ＋） ＋ ＋ 典 ， （十 ３ ‘ ‘ “ ＺＪ’ （奋…
・。 李－ 舟 ） ＞ ＋ ｎ＋１
Ｚ
因此（＋ “ 一 ＜ ， ’ ＜ ） ’ １ ０则ｆ （） ０ ｌ 二一 ｘ ．
表明ｆｘ在（ １ 一 ， 上是减函数． （） ） ０
１＋几 ％
＋—
当１ ｎ ＞ 时， ＋ ０ 则有 ｘ
１二二工＋ ＋＝＋ 上＋
ｎ
ｎ
１
＋“ ”
＋ 土
ｎ １ ｎ） １． ／ ＋ （ ｘ ‘ 上
一 ． －
ｎ ｎ
重要方法及伯努力不等式的简单应用， 以飨读者．
１＋献 ，
伯努 式： Ｅ ＋ ＞一 ， 力不等 若ｎ Ｎ 且二 １
则（ ＋ ） ＋ 〕１ ｎ． １ ｘ” ｘ
ｎ＋１
ｎ＋２
（ 收稿日 ２ ７ １） 期： ０ ６ ） Ｘ （ ７
万方数据
一４
＋
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一 击）
（ 与， １ 一 ＋
证明 丫 兰
０。 １ ＋
ｌｌ二十 ｎ厄 Nhomakorabeaｎ＋１
“击） ＋ ， 一
１
ｎ＋１
１ 即（ ＋ ） ＋ １ 六 ） ＋（ ＋ ） … ＋（ ＋ １ 去 ２ （＋ ， １ 去 ４
ｎ＞ｎ＋ 舟）
（ ＋ ）’ １ 上” 立）＋
（＋ １
， ，
一 成． 共 立
ｎ ＋ １
１
十
总有ｆ： 二 １ ：ｎ 二一 〕 ， （＋ ）一 １ ０ （）
即（ ＋ ） ）１ 。 成立 ． １ ｘｎ ＋ 下面仅就两例探讨伯努力不等式的简单应用
十；粤・ （ ） ＋
例 已 歹。通 ａ（专‘ 数 ，的项。‘ ）， ， 知 “‘ 二 ＋ ” ａ ’
下面用四种方法给予证明
１ 数学归纳法
即（ ＋ ））１ 二， １ ｘ” ＋
仅 上竺 当丝 二
ｎ ｎ
， 二 时取“ ” 即ｘ ０ ＝．
证明 当ｎ １ 有（ ＋ ＝ 时， １ ｘ 二 ＋ 不等式成 ） １ｘ
立．
综 所 对。 Ｎ ， 一 ， Ｅ ＋ ＞ １ 上 述， ：
故 卫１＞ 有上 ０。 ＋
＝１即 ａ ＞ 。１ ， 。 ａ， ・
ｆ（） ｎ１ 二 一 ｎ ” 一 ‘ 二 （＋ ） ’ ｘ ＝ 仁１ ｘ” 一 」 ｎ（＋ ） ’ １． 一
当一 ＜ ＜ 时０ １ ｘ １ ０ ＜ ＋ ＜ ， １：
｝。为递减数列． ａ｝
由伯努力不等式
且（ ＋ ） ＞ ＋ ” １ ｎ． ｐ１ ｘ ｘ
综上所述， 总有（ 十 ｎ ＋ 成立， １ ｘ 〕１ 。 ） 仅当 ｎ ＝ 或ｘ ０ １ 二 时取“ ” ＝．
４ 构造函数导数法
［ 只 二〕 １（ １ｎ＋１） １ 一，＋ 十 又 ＋ｎ＋ １） 。 卜共万 欠
证明 设ｆ） （ ＋ 一 １（ ＞一 ｘ 二 １ 劝” 。一 ．ｘ １ （ ）
即ｎ ｋ １ 不等式也成立 二 ＋ 时，
卜牛毛 二 典典＝ 牛 于
一 １一 又１＋ｘ）
ｘ
，
当一 ＜ ＜ 时，＜ ＋ ＜ ， １ｘ０ ０ １ｘ １
ｎ １ （＋ ） （＋ ） Ｔ二 ＋ １ ｘ ＋ １ ｘ’ ． 十１ｘ 一 ＋ ． ＋ ｎ ＋二 （＋ ” ＜１ ＋二 二 ） ’ ｌ ｌ ．
综合可知， 不等式对ｎ Ｎ 且二 １ 二 ＋ ＞一 时，
１ ：十 ｎ＋１ 。：
即—
。 （ ＋ ） 一１ 。 １ ｘ”
＞ｎ ， 义
＞［ ’一 又 １＋万 一 了 」 一 一丁 万 月甲 Ｌ ｎ＋１ 一 ） ｎ＋乙
（ ＋ ）一 ＞ ． １ ｘ” １ ｎ ｘ
（ ＋ ）＞ ． １ ｘ” ０
当ｘ ０ 兀＝ ＋ １ ｘ ＋ ＞ 时， １ （ ＋ ） …
当１ 二感 时， ０ 不等式显然成立． ＋
＋ １ ｘ” ＞ ＋ …＋ 二 ． （ ＋ ）一 １ １ １ ｎ ’
万方数据
・复 习 参 考
・
＋了 ・ 滋啥
（０７ ２ 年第 ８ ） （ 期）
分析 本题用其它的方法也很难解决此题， 由 其指数的特点想到伯努力不等式去寻求思路 ．
证明 由伯努力不等式
（ ＋ ）〕１ 二（ ＞一 ） ＋ ｘ １ １ ｘ”
可 （ 共，１。 ＝＋ ， 知１ ） 十火 １共则有 ＋ ，
（ ＋ ）＋ １ 去 ）＋ １ 去 ） １ 去 ２ （＋ ， （＋
总有（ ＋ ）１ 二 ” ＋ 成立 ．且仅当 ｎ二１ １ｘ ） 或
ｘ ０时取“ ” 二 二．
即 竺鱼 。 塑 些 卫、， 立
则（ ＋ ）一 ＞ ・ １ ｘ” １ ｎ ｘ 即（ ＋ ）＞ ＋ １ ｘ” １ 似・
Ｘ
２ 均值不等式法
证明 丫 ＞一 ， ＋ ０ ｘ １则 １ ｘ＞ ，