有关伯努力不等式的几种证明方法及其简单应用
伯努利不等式 离散
伯努利不等式离散伯努利不等式是数学中的一条重要不等式，它在离散情形下也有着广泛的应用。
本文将以伯努利不等式在离散数学中的应用为中心展开阐述。
首先，我们来回顾一下伯努利不等式的定义。
伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布·伯努利在17世纪提出的。
它描述了一个重要的数学性质：在某些条件下，幂函数的次数越高，其值就越大。
具体地说，对于任意实数$x>-1$和任意正整数$n$，伯努利不等式可以表示为：$$(1+x)^n\geq1+nx$$这个不等式在离散数学中有着广泛的应用。
下面我们将通过几个具体的例子来展示它的应用。
首先，我们考虑一个经典的例子：证明$n$个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
设这$n$个正实数分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的算术平均值和几何平均值分别为$A=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$和$G=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}$。
由伯努利不等式可知，对于任意正整数$n$和任意正实数$x_i$，有$(1+x_i)^n\geq1+nx_i$。
将这个不等式应用到每一个$1+x_i$上，我们可以得到：$$(1+x_1)(1+x_2)\dots(1+x_n)\geq1+n(x_1+x_2+\dots+x_n)$$注意到左边是$G^n$，右边是$1+nA$，我们可以得到：$$G^n\geq1+nA$$进一步整理可得：$$G\geq\sqrt[n]{1+nA}$$因此，我们证明了算术平均值不小于几何平均值的结论。
接下来，我们考虑一个更加具体的例子：证明$n$个正实数的和不小于它们的最大值乘以$n$。
设这$n$个正实数分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的和和最大值分别为$S=x_1+x_2+\dots+x_n$和$M=\max(x_1,x_2,\dots,x_n)$。
由伯努利不等式可知，对于任意正整数$n$和任意正实数$x_i$，有$(1+x_i)^n\geq1+nx_i$。
2018年高考数学：利用伯努利不等式巧解高考数学压轴题
2018年高考数学：利用伯努利不等式巧解高考数学压轴题
我在最近几期分享了一些高考数学中可能用到的一些涉及到高数的知识，部分同学留言希望我分享一期关于不等式内容的，所以我本期要讲解的是高中数学选修系列4-5专题中的伯努利不等式（又译为贝努利）！
需要说明的是由于贝努利不等式的形式简单、变形及推理非常多，其应用十分广泛。
不过在这几年的高考中几乎在压轴题中绝迹，主要出现在较难的选择题中，不过出题形式比较隐蔽，即使出现学生也很难认出！
第一部分：伯努利不等式及其推广
为了方便有能力的同学自我拓展学习，我同时整理出了伯努利不等式的4种重要的推论：
第二部分：伯努利不等式在高考数学中的应用
我们先看下标准答案是如下解如下2001年全国卷理数第20题第（Ⅱ）问的：
由以上证明不难看出，要求学生熟练掌握排列组合及二项式的各项性质，难度比较大，现在我们用伯努利不等式来证明第（Ⅱ）问：同学们如有疑问请留言！。
伯努利不等式一般形式
伯努利不等式一般形式摘要：1.伯努利不等式的基本形式2.伯努利不等式的成立条件3.伯努利不等式的证明方法4.伯努利不等式的应用正文：伯努利不等式是一种在数学中广泛应用的基本不等式，其一般形式为：(1x1x2x...)n > (1nx1nx2n...)。
本文将介绍伯努利不等式的基本形式、成立条件、证明方法以及应用。
一、伯努利不等式的基本形式伯努利不等式的基本形式为：(1x1x2x...)n > (1nx1nx2n...)，其中n为任意整数，x为任意实数。
当n为奇数时，不等式对x>-1成立；当n为偶数时，不等式对所有实数x成立。
二、伯努利不等式的成立条件伯努利不等式成立的条件是所有的xi同号且大于-1。
这是充分非必要的条件，意味着只要满足这个条件，伯努利不等式就一定成立。
三、伯努利不等式的证明方法伯努利不等式的证明方法通常使用数学归纳法。
以n=2的情况为例，我们有(1x)2 = (1x)(1-1) = x(1-1) = x，而(1nx)2 = (1n)(1x)2 = (1n)x2。
由于n≥2，所以1n>1，因此(1n)x2 > x2，从而(1x)2 > (1nx)2。
这就证明了当n=2时，伯努利不等式成立。
对于一般情况，我们可以通过数学归纳法类似地证明。
假设对于任意正整数k，当n=k+1时，伯努利不等式成立，即(1x1x2...xk+1)n >(1nx1nx2...xk)n。
我们需要证明当n=k+2时，伯努利不等式也成立。
我们有(1x1x2...xk+2)n = (1x1x2...xk+1)(1x2)n > (1x1x2...xk+1)(1nx2)n = (1nx1x2...xk+1)n，根据数学归纳法，伯努利不等式对于所有正整数n成立。
四、伯努利不等式的应用伯努利不等式在数学中有广泛的应用，它经常被用作证明其他不等式的关键步骤。
例如，它可以用来证明切比雪夫不等式、赫尔德不等式等。
伯努利不等式二项式定理证明
伯努利不等式二项式定理证明伯努利不等式和二项式定理是数学中非常重要的概念，在代数学、概率论、组合数学等领域应用广泛。
这篇文章将详细介绍这两个概念的定义和证明方法。
1. 伯努利不等式的定义伯努利不等式是指对于任意实数$x$和$y$以及任意正整数$n$，都有$(1+x)^n\geq1+nx$或$(1+y)^n\geq1+ny$。
即当$x$或$y$为正时，不等式成立。
2. 伯努利不等式的证明伯努利不等式的证明可以采用数学归纳法。
首先，当$n=1$时，$(1+x)^n=1+x\geq1+nx$，不等式成立。
其次，假设当$n=k$时，不等式成立，即$(1+x)^k\geq1+kx$。
那么，对于$n=k+1$时，$(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\geq(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2$。
因为$x$为正，所以$kx^2\geq0$，因此$(1+x)^{k+1}\geq1+(k+1)x$，不等式也成立。
3. 二项式定理的定义二项式定理是指$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$。
其中$C_n^k$表示$n$个不同元素中取$k$个的组合数。
4. 二项式定理的证明二项式定理的证明也可以采用数学归纳法。
首先，当$n=1$时，$(a+b)^n=a+b$，不等式成立。
其次，假设当$n=k$时，不等式成立，即$(a+b)^k=\sum\limits_{i=0}^kC_k^ia^ib^{k-i}$。
那么，对于$n=k+1$时，$(a+b)^{k+1}=(a+b)^k(a+b)=\sum\limits_{i=0}^kC_k^ia^ib^{k-i}+\sum\limits_{i=0}^kC_k^ia^{i+1}b^{k-i}=\sum\limits_{i=0}^kC_k^ia^ib^{k-i}+\sum\limits_{i=1}^{k+1}C_k^{i-1}a^ib^{k-i+1}$。
伯努利不等式题
伯努利不等式伯努利不等式是一个重要的数学不等式，它描述了一种特殊的数学关系。
这个不等式以瑞士数学家雅各布·伯努利的名字命名，他于1654年首次提出了这个不等式。
伯努利不等式在数学和物理学中具有广泛的应用，可以用于证明其他数学不等式、解决一些数学问题以及分析物理过程。
伯努利不等式的数学表达式如下： [ (1+x)^n 1+nx ]其中，( (1+x)^n ) 表示一个实数 ( (1+x) ) 的 n 次方，( n ) 是一个正整数，而( x ) 是一个实数且 ( x > -1 )。
换句话说，当 ( n ) 是一个正整数，( x ) 是一个大于-1的实数时，关于 ( x ) 的函数 ( (1+x)^n ) 就满足伯努利不等式。
伯努利不等式的使用有几个重要的要点：•当 ( n ) 是偶数时，不等式右边的符号为等于号。
•当 ( n ) 是奇数时，不等式右边的符号为大于等于号。
下面，我们来看一个具体的例子来说明伯努利不等式的应用。
例题：证明当 ( x > -1 ) 且 ( n ) 是正整数时，有 ( (1+x)^n 1+nx )。
解答：我们使用数学归纳法证明这个不等式。
首先，当 ( n = 1 ) 时，不等式左右两边分别为 ( 1+x ) 和 ( 1+1x = 1+x )，两边相等，不等式成立。
假设当 ( n = k ) 时，不等式成立，即 ( (1+x)^k 1+kx )。
那么我们要证明当 ( n = k+1 ) 时，不等式也成立。
当 ( n = k+1 ) 时，我们有： [ (1+x)^{k+1} = (1+x)^k (1+x) ]由归纳假设，我们有 ( (1+x)^k 1+kx )，所以可以得到： [ (1+x)^{k+1} (1+kx) (1+x) = 1 + kx + x + kx^2 = 1+x(k+1)+kx^2 ]由于 ( x > -1 )，所以 ( x^2 0 )。
伯努利不等式竞赛题
伯努利不等式竞赛题伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，常被应用于各种竞赛题目中。
下面我将从不同角度全面回答关于伯努利不等式的竞赛题。
首先，让我们回顾一下伯努利不等式的表达式：对于实数$x>0$和实数$r>1$，伯努利不等式可以表示为：$(1+x)^r \geq 1+rx$。
接下来，我将从以下几个方面给出竞赛题目的解答：1. 证明伯努利不等式：我们可以使用数学归纳法来证明伯努利不等式。
首先，当$r=2$时，不等式成立。
然后，假设对于$r=k$成立，即$(1+x)^k \geq 1+kx$，我们来证明对于$r=k+1$也成立。
我们将不等式两边都乘以$(1+x)$，得到$(1+x)^{k+1} \geq (1+kx)(1+x) =1+(k+1)x+kx^2$。
由于$x>0$，所以$kx^2>0$，因此$(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$，证明了伯努利不等式成立。
2. 应用伯努利不等式求解问题：伯努利不等式常常被应用于各种竞赛题目中，例如求最小值、最大值、证明不等式等。
举一个例子，假设我们需要证明对于任意正实数$a,b,c$，满足$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$。
我们可以使用伯努利不等式来证明。
首先，令$x=\frac{b}{a}$，$y=\frac{c}{b}$，$z=\frac{a}{c}$，则不等式可以转化为$(1+x)(1+y)(1+z) \geq 8$。
由于$x,y,z>0$，所以可以应用伯努利不等式，得到$(1+x)(1+y)(1+z) \geq1+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx)+xyz$。
我们需要证明$1+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx)+xyz \geq 8$。
根据条件$x=\frac{b}{a}$，$y=\frac{c}{b}$，$z=\frac{a}{c}$，代入得到$1+3(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})+3(\frac{b}{a}\cdo t\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\cdot\f rac{b}{a})+\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c} \geq 8$。
伯努利方程的推导及其实际应用
楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0一，伯努利方程的推导1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。
伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。
同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。
作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。
在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。
既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。
所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。
2，流体体积不可压缩。
需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。
因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。
但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。
假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。
如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。
某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。
由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。
则有如下三个事实：1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx22：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知）3：细管中相应液体的机械能发生了变化。
伯努利不等式怎么因式分解
伯努利不等式怎么因式分解伯努利不等式怎么因式分解伯努利不等式作为数学中的一项基本定理，被广泛应用于各个领域的计算和证明中。
而将伯努利不等式进行因式分解，则是解决一些复杂计算中的有效方法之一。
接下来，我们将介绍伯努利不等式的推导过程，以及它的因式分解方法。
1. 伯努利不等式的推导伯努利不等式是由17世纪瑞士数学家雅各布·伯努利首次提出的。
该不等式的数学表达形式为：对于任意实数x和整数n ≥ 0，有(1 + x)^n ≥ 1 + nx。
为了推导伯努利不等式，我们首先考虑(1 + x)^n中的二项展开式，即(1 + x)^n = 1 + nx + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
这里的C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合的个数。
接下来，我们观察展开式中剩余的项C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
由于n ≥ 2时，这些项中的每一项都包含x的二次方项及更高次项，所以它们都是非负的。
于是，我们可以得到(1 + x)^n ≥ 1 + nx，这就是伯努利不等式的推导过程。
2. 伯努利不等式的因式分解方法将伯努利不等式进行因式分解，可以在一些复杂计算中简化问题，使得计算更加便捷。
下面，我们将介绍伯努利不等式的因式分解方法。
首先，我们要确定要对哪个变量进行分解。
通常情况下，我们选择x 进行因式分解，即将伯努利不等式中的(1 + x)^n进行因式分解。
其次，我们需要确定一个合适的因式分解公式。
在伯努利不等式的因式分解中，我们可以使用如下的公式：(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3 + ... + x^n。
最后，我们将原始的伯努利不等式中的(1 + x)^n替换为所选的因式分解公式，进行计算。
通过对伯努利不等式进行因式分解，我们可以将复杂的计算问题简化为一系列更简单的计算步骤，从而更容易求解。
数学课件：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
1 + 3(������ + 1) + 1 =
������
1 +
1
+
������
1 +
2
+
…
+
1 3������ +
1
1
1
1
1
+ 3������ + 2 + 3������ + 3 + 3������ + 4 - ������ + 1
25
1
1
2
> 24 + 3������ + 2 + 3������ + 4 - 3(������ + 1) .
1
1
1 25
������ + 1 + ������ + 2 + ⋯ + 3������ + 1 > 24,
则当 n=k+1 时,
1
1
1
1
1
(������ + 1) + 1 + (������ + 1) + 2 + ⋯ + 3������ + 1 + 3������ + 2 + 3������ + 3
题型一 题型二 题型三
用数学归纳法证明数列型不等式
【例 1】
已知数列{an}满足
a1
=
3 2
,
且an=
3������������������-1 2������������-1+������-1
(n≥2,n∈
N*).
伯努利不等式直观证明
伯努利不等式直观证明伯努利不等式是中的重要不等式之一，它具有广泛的应用领域。
我们将通过直观证明的方式来解释伯努利不等式，并展示它的应用和意义。
我们来回顾一下伯努利不等式的表达形式：对于实数（大于-1）和正实数，有：1+)^ ≥ 1+这个不等式告诉我们，当大于-1时，1+)^的值至少不小于1+。
换句话说，当我们把一个实数加到1上的次方时，结果至少不小于1加上乘以。
现在，让我们看一下为什么这个不等式成立。
我们先考虑一个最的情况，即=0。
在这种情况下，不等式变为：1^ ≥ 1+0显然，对于任何正实数，1的任何次方都等于1。
这个情况下不等式成立。
接下来，我们考虑当大于0时的情况。
在这种情况下，我们可以使用归纳法来证明不等式的成立。
假设当=时，不等式成立，即1+)^ ≥ 1+。
现在我们来看一下=+1时的情况。
我们有：1++1)^ = 1+)1+1)^根据归纳假设，1+1)^ ≥ 1+。
将这个结果代入上面的等式中，我们得到：1+)1+1)^ ≥ 1+)1+)展开得：1+)1+) = 1+++由于和都是正数，所以这个等式成立。
当=+1时，不等式也成立。
通过这个归纳法的证明，我们可以得出结论：伯努利不等式对于大于0的情况成立。
我们来考虑小于-1的情况。
在这种情况下，我们可以用一个例子来直观地证明不等式的成立。
假设=-2，=2，根据不等式的表达形式，我们有：1+-2))^2 = -1)^2 = 1而1+-2)2 = -3显然，1大于-3，所以不等式也成立。
通过以上的直观证明，我们可以看到伯努利不等式的应用和意义。
它告诉我们，在一些特定的条件下，将一个数加到1上的次方会得到一个至少不小于1加上这个数乘以的结果。
这个不等式在、物理和经济等领域都有广泛的应用，例如在概率论中的贝叶斯估计和利率计算中的复利公式等。
伯努利不等式是一个重要的工具，具有广泛的应用。
通过本文的直观证明，我们可以更好地理解不等式的含义和应用，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
贝努利不等式的证明与应用
n n n n
n
n
m
证： （1）略
1 m （2）当 n 6 ， m n 时；由（1）知 1 >0 1 n3 n 3
n mn n m 1 1 1 < n , m 1, 2,3, ……， n 3 2 m
x R ， 0< <1 有 1 x 1 x, x> 1
3） n N , n >1, t >0 ；则有 t 1 n t 1
n
4）设 a, >0, n N , n >1 ，则 a n
n
n 1
a n 1 n 当且仅当 a 时取到“=”
n
2
3
n
n 2 n 1 3 …… <1 n 3 n 3 n 3
即 3 4 …… n 2 < n 3 ，即当 n 6 时不存在满足该等式的正整数 n，故只需
n n n n
n
n
n n n 1
x n 2 y …… xy n 2 y n 1
n n 1 n 2 1 x 1n x 1 x 1 x …… 1
当 x >0 时， 1 x >1
k
x 1 x
n
n
讨论 n 1, 2,3, 4,5 的情况，经检验，可求 n 只有 n 2,3
2
推论 1） x R ， x > 1 且 x 0 1
伯努利不等式题
伯努利不等式题伯努利不等式是数学中的一个重要不等式，它提供了一个在概率论和统计学中广泛应用的工具。
本文将介绍伯努利不等式的形式、证明、应用场景、推广和扩展，以及与其他不等式的关系和数值计算方法等。
一、伯努利不等式的形式和证明伯努利不等式的形式如下：对于任意实数p和n，有(1+p)^n≥1+np。
证明方法可以使用数学归纳法。
假设n=1时，不等式成立。
假设当n=k时，不等式成立，那么当n=k+1时，有(1+p)^(k+1) = (1+p)(1+pk)≥1+p(1+pk)=1+p+p^2k≥1+p+p^2(k+1)，因此当n=k+1时，不等式也成立。
二、伯努利不等式的应用场景伯努利不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
例如，在二项分布中，可以利用伯努利不等式估计事件的概率；在统计推断中，可以利用伯努利不等式进行区间估计和假设检验；在机器学习中，可以利用伯努利不等式进行样本选择和模型训练。
三、伯努利不等式的推广和扩展伯努利不等式可以推广到更复杂的情况。
例如，对于任意实数p和n，有(a+b)^n≥a^n+nb^n；对于任意正整数n和p>0，有(p+1)^n≥p^n+np；对于任意正整数n和q>0，有(1+q)^n≥1+(n-1)q。
四、伯努利不等式与其他不等式的关系伯努利不等式与AM-GM不等式有着密切的关系。
AM-GM不等式给出了凸函数的最大值和最小值之间的一个关系，而伯努利不等式给出了二项分布的期望值的一个上界。
此外，Cauchy-Schwarz不等式、Holder不等式等也与伯努利不等式有着密切的联系。
五、伯努利不等式的数值计算方法在实际情况中，我们通常需要对伯努利不等式的值进行计算。
对于一些简单的情况，可以直接使用数学公式进行计算。
例如，当p=2，n=3时，(1+2)^3≥1+3×2^2=17。
而对于更复杂的情况，可能需要使用数值计算方法进行求解。
例如，可以使用蒙特卡洛方法来估计伯努利不等式的值。
关于伯努利方程的解法探讨
伯努利方程是一个常见的概率问题，它可以用来衡量两个事件之间的相关性。
它有三种不同的解法：
1. 枚举法：这是最基本也是最常用的方法。
通过枚举所有可能出现的情况，然后根据已知条件计算出对应情况出现的概率。
2. 蒙特卡洛方法：该方法使用随机数生成器来生成大量随机数字，然后根据已知条件求得伯努利方程中事件A和B之间关联性强弱的参数。
3. 最大似然法: 这是一个在处理复杂问题时更常用到的方法。
它将所要考察事件A和B 之间关联性强弱看作一个变量θ, 然后根据已得到数据去优化θ, 使得θ尽可能地逼近真实情况。
数学归纳法与贝努利不等式(选修4-5)
数学归纳法与贝努利不等式一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！目标认知：●借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．●理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式．●了解贝努利不等式，会利用数学归纳法明贝努利不等式．重点：●用数学归纳法证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．●运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．难点：●学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；●运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．学习策略：●数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．在学习过程中，要特别注意数学归纳法的适用范围和证题步骤．用数学归纳法证明数学问题，关键在于两个步骤缺一不可．“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．贝努利不等式是用数学归纳法证明的重要不等式之一，在数值的近似估计和证明不等式中有很大的作用．二、学习与应用知识点一：归纳法（一）归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为归纳法和归纳法．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
课堂笔记或者其它补充填在右栏。
预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#tbjx6#210909“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
（二）不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的 后得到一般结论的推理方法．基本特点：由事物 得出的结论，这个结论一般为 ，因此不完全归纳法所得到的命题 是成立（填一定或者不一定）．但这种方法易于操作，是一种非常重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段． 用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径． （三）完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的 后得出的一般结论的推理方法，又叫 ．基本特点：由事物的 得出的结论，因此这个结论是 ．通常在事物包含的特殊情况不多时，采用 ．知识点二：数学归纳法数学归纳法是一种完全归纳法，是证明与自然数相关的命题的重要方法． （一）数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用以下三个步骤完成：（1）（归纳奠基） ； （2）（归纳递推） ； （3）下结论： ． 上述证明方法叫做数学归纳法． 注意：（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤 ； 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；（2）在第二步中，在递推之前，n k =时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对n k =的正确性可以传递到1n k =+时的情况．有了这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对01n +也成立，进而再由第二步可知0(1)1n n =++即02n n =+也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于0n 的正整数都成立．在这一步中，n k =时命题成立，可以作为条件加以运用，而1n k =+时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将1n k =+代入命题． （二）数学归纳法的适用范围：数学归纳法一般适用于 有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数n 有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的命题，常常用数学归纳法来证明它的正确性．知识点三：贝努利不等式定理（贝努利（Bernoulli ）不等式）：设任何实数1,0,x x n >-≠且为大于1的自然数，则(1)1n x nx +>+．用数学归纳法证明：．例212122n n n n n+-=+++-++（总结升华： ． 举一反三：【变式1】用数学归纳法证明：1123234(1)(2)(1)(2)(3)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++=+++．【变式2】用数学归纳法证明：1111111234(21)212n n n n n n+++=+++⋅⋅-⋅+++．【变式3】证明：33332123(12)n n ++++=+++．类型二：利用数学归纳法证明不等式例2．求证：1(1)n n n+<(n ≥3,n ∈N )． 证明：总结升华： ． 举一反三：【变式1】设n N +∈且n >1，求证：111(1)(1)(1)3521n +++>-．【变式2】已知：x >-1，且x ≠0, n ∈N ,且n ≥2，求证：(1+x )n >1+nx ．【变式3】设a ，b 为正数，n 为自然数，证明：()22n n na b a b ++≥ ．类型三：分析法证明不等式利用数学归纳法证明整除性例3．用数学归纳法证明(31)71n n +-能被9整除． 证明：总结升华： ． 举一反三：【变式】用数学归纳法证明422135n n +++(n ∈N )能被14整除．类型四：利用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证这n 条直线把平面分成22()2n n f n ++=个部分．证明：总结升华： ． 举一反三：【变式】平面上有n 个圆，每两圆交于两点，每三圆不交于同一点，求证n 个圆把平面分成f (n )=n 2 -n +2部分．类型五：利用数学归纳法证明递推关系给出的数列问题例5．对于数列{}n a ，若11(0a a a a=+>且1)a ≠，111n n a a a +=-．（1）求234,,,a a a 并猜想{}n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 解析：总结升华： ． 举一反三：【变式1】已知数列{a n }满足a 1=a ，112n na a +=-． （1）求a 2，a 3，a 4；（2）推测通项a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
伯努利不等式直观证明
伯努利不等式直观证明伯努利不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来描述指数函数在一定条件下的增长速度。
伯努利不等式的直观证明可以基于增长率的分析，下面我将用简体中文为您解释。
首先，我们来回顾一下指数函数的性质。
指数函数是一个以底数为正实数的函数，它的特点是随着自变量的增加，函数值呈现出指数级的增长。
例如，指数函数f(x) = a^x （a > 1）具有随着x的增加，f(x)的值也会呈指数级增长。
现在，我们来想象一个简化的情景，假设我们有两个正实数a和b，并且a > 1，我们想要比较a^b和a的b次方之间的大小关系。
根据指数函数的性质，我们知道a^b的值在a^0（即1）和a的b次方之间。
利用这个性质，我们可以考虑将b分解成整数部分和小数部分，即b = n + r，其中n是b的整数部分，r是b的小数部分。
现在，我们来看看a^b和a的b次方之间的关系。
首先，我们可以写出a和a^r之间的关系：a^r = a^(n + r) /a^n。
我们知道a^r的值在1和a之间，所以可以将不等式a^r ≥ 1变形为a^(n + r) / a^n ≥ 1，即a^(n + r) ≥ a^n。
接下来，我们来看看a^(n + r)和a的b次方之间的关系。
根据指数函数的性质，我们知道a^(n + r)的值在a^n和a^(n + 1)之间。
因此，我们可以得到不等式a^n ≤ a^(n + r) ≤ a^(n + 1)。
将这个不等式代入之前的a^(n + r) ≥ a^n不等式中，得到a^n ≤ a^(n + r) ≥ a^n。
现在，我们来把a^b和a的b次方之间的关系放在一起。
我们知道a^n ≤ a^(n + r) ≥ a^n，所以可以得到不等式a^n ≤ a^b ≤a^(n + 1)。
同时，由于a > 1，我们可以得到不等式a^(n + 1) >a^n，即a^(n + 1) / a^n > 1。
将这个不等式代入之前的a^n ≤ a^b ≤ a^(n + 1)不等式中，得到a^n ≤ a^b ≤ a^(n + 1) < a^(n + 1) / a^n。
贝努利不等式的几个推论及应用
a 贝努利不等式的几个推论及应用《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）将“不等式选讲”作为选修系列4 的第5 专题，而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式．《标准》所指的贝努利不等式是：(1+x)n ≥1+nx（x＞-1，n为正整数）．（1）当n 为大于1 的实数时贝努利不等式也成立．为拓宽贝努利不等式的应用，本文给出了贝努利不等式的几个推论，并通过一些典型例题探讨了贝努利不等式及其推论的应用．推论 1 设n ∈N +，n＞1，t＞0，则有t n≥nt -n +1，（2）或t n≥1+n (t -1)，（2'）当且仅当t =1时，（2）和（2'）取等号．（2）的证明可由恒等式t n-nt +n -1 =(t-1)2⎡⎣t n-2+2t n-3+3t n-4+ +(n-2)t+n-1⎤⎦直接推出．易见，当且仅当t = 1时，（2）和（2'）取等号，因此，当且仅当x = 0时，（1）取等号．在（1）中令x +1 =t，则（1）可变为（2）或（2'）．因此，不等式（1）与（2）或（2'）是等价的．因此，不等式（1）与（2）或（2'）都可以称为贝努利不等式．推论 2 设a，＞0，n ∈N +，n＞1，则a n≥n n-1a -(n -1)n，（3）当且仅当a =时，（3）取等号．证明由（2）得，⎛a ⎫n ⎛ a ⎫a n=n ⎪≥n n ⋅-n +1⎪=n n-1a -(n -1)n，⎝⎭⎝⎭由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当a =时（3）取等号．推论 3 设a，b＞0，n ∈N +，n＞1，则nb n-1≥na -(n -1)b，（4）b n-1 a n ≥n-n -1a b，（5）⎝ ⎭ b b a ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ n + 3 2 当且仅当 a = b 时（4）和（5）取等号．证明 由（2）得，a n⎛ a ⎫n⎛ a ⎫ b n -1= b b ⎪ ≥ b n ⋅ - n +1⎪≥ na - (n -1)b ， ⎝ ⎭b n -11 ⎛ b ⎫n1 ⎛ b ⎫ n n -1n= ⎪ a ⎝ ⎭ ≥ b n ⋅ a- n +1⎪≥ a - b ， 由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a = b 时（4）和（5）取等号．推论 4 设 a ， b ＞0， n ∈ N +， n ＞1，则1 n -1 ≤ a +， （6）n n当且仅当 a = 1时（6）取等号．证明 由（2），得a = (na )n≥ n n a - n +1，所以 n a ≤ 1 a + n -1．n n由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a = 1时（6）取等号．不等式（1）～（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快地解决一些数学问题，请看下面几例．例 1 已知 m ， n 为正整数．（Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x > -1时， (1+ x )m≥1+ mx ；（ Ⅱ ） 对 于m = 1, 2, , n ；n ≥ 6， 已 知 1- ⎪ <， 求 证 ：m1- ，（Ⅲ）求出满足等式3n + 4n + + (n + 2)n = (n + 3)n的所有正整数 n ． 解：（Ⅰ）证明从略．⎛1 ⎫mm （Ⅱ）证明：当 n ≥ 6， m ≤ n 时，由（1）得 1- n + 3 ⎪ ≥1-> 0，于是 n + 3⎛ m ⎫n ⎛1 ⎫mn ⎡⎛ 1 ⎫n ⎤m ⎛ 1 ⎫m1- n + 3 ⎪ ≤ 1- n + 3 ⎪ = ⎢ 1- ⎪ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎥⎦< ⎪ ⎝ ⎭ ， m = 1, 2, , n ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当 n ≥ 6时，⎛ 1 ⎫n ⎛ 2 ⎫n ⎛ n ⎫n1- n + 3 ⎪ + 1-n + 3 ⎪ + + 1- n + 3 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭na ⎛1 ⎫n 1 ⎛m ⎫n ⎛ 1 ⎫ ⎝ n + 3 ⎭ 2⎝ n + 3 ⎪ < 2 ⎪ ⎭ ⎝ ⎭a 2 a 1 a 2 a 1 k +11 2 1 2 1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫n1 ＜2 + 2 ⎪ + + 2 ⎪ = 1- < 1， 2n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ n + 2 ⎫n⎛ n +1 ⎫n ⎛ 3 ⎫n所以 n + 3 ⎪ +n + 3 ⎪ + + n + 3 ⎪ < 1，⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭即3n + 4n + + (n + 2)n＜ (n + 3)n，即当 n ≥ 6时，不存在满足该等式的正整数 n ．故只需要讨论 n = 1, 2, 3, 4, 5的情形． 逐一检验 n = 1, 2, 3, 4, 5可得， 所求的 n 只有n = 2, 3．例 2 （算术—几何平均值不等式）设 a ， a ， ，a 均为正数， n ∈ N +， n ＞1，则a 1 + a 2 + + a n ≥ n a a a12 n． （7）n1 2n证明 下面用数学归纳法证明（7）： 当 n = 2时，（2）变为 x 2≥ 2x -1，从而⎛ ⎫2⎛ ⎫a + a = a + a ⎪ ≥ a + a 2 ⋅ -1⎪ = 2 a a ，1 2 1 1 ⎝ ⎭ 所以（7）成立．1 1 12 ⎝ ⎭假设 a 1 + a 2 + + a k k k a 1a 2 a k n = k +1时，由（3）知(k +1a k +1≥ (k +1)k +1a k (k +1)a a a )k-k(k (k 1)a a a k +1，即 a k +1≥ (k +1)k +1 a 1a 2 a k a k +1 从而a 1 + a 2 + + a k + a k +1-k k a 1a 2 a k ，≥ k k a 1a 2 a k ≥ k k a 1a 2 a k +a k +1+ (k +1)k +1 a 1a 2 a k a k +1-k k a 1a 2 a k= (k +1)k +1 a 1a 2 a k +1，这表明，当 n = k +1时（7）也成立．故对一切 n ∈ N +， n ＞1，（7）都成立．由例 2 的证明可以看出，贝努利不等式是算术—几何平均值不等式的一个充分条件，也就是说，凡是能用算术—几何平均值不等式解决的问题都可以利用贝努利不等式予以解决， 因此，贝努利不等式的应用是极为广泛的．k +1kkxy ⎝⎭ i i i i ⎛ 1 ⎫3⎛ 1 ⎫3125例 3 设 x ， y ＞0， x + y = 1，求证： x + x ⎪ + y + y ⎪≥ 4．证明 由1 + 1≥ 2≥x y4 x + y⎝ ⎭ ⎝ ⎭ = 4，并在（3）中取= 5得 2⎛ 1 ⎫3⎛ 1 ⎫3x + x ⎪ + y + y ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭≥ 3⋅ ⎝⎭=75 (x + y ) +75 ⎛ 1 + 1 ⎫ - 125 44x y ⎪ 2 ≥75 + 75 ⨯ 4 - 125 = 125．4 4 2 4+例 4 （权方和不等式）设 a i , b i > 0, i = 1, 2,⋅⋅⋅, n , k ∈ N ，则a k +1 a k +1a k +1(a + a + ⋅⋅⋅ + a )k +11+ 2 + ⋅⋅⋅ + n≥ 1 2 n ． b k b k b k (b + b + ⋅⋅⋅ + b )k12 n 1 2 n证 明 令 s = (a + a + ⋅⋅⋅ + a )-1， t = (b + b + ⋅⋅⋅ + b )-1，则原不等式等价于∑ i =1 (sa )k +1(tb )k1 2 n ≥1． 1 2 n由（2），有(sa )k +1⎛ sa ⎫k +1 ⎡⎛ sa ⎫⎤ i = tb ⋅ i ⎪≥ tb ⎢1+ (k +1) i -1⎪⎥(tb )k= ⎡ isa i ⎝ tb i ⎭⎣⎤ ⎝ tb i⎭⎦tb i ⎢(k +1) tb - k ⎥= (k +1)sa i - ktb i ．⎣ i ⎦则n(sa )k +1n∑i ≥∑[(k +1)sa- ktb ] = (k +1) - k = 1，i =1(tb )kiii =1a k +1a k +1a k +1(a + a + ⋅⋅⋅ + a )k +1此即 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n ≥ 1 2n ． b k b k b k(b + b + ⋅⋅⋅ + b )k 1 2 n 1 2 n注：权方和不等式的应用极广，已有多篇文章探讨．例 5 （第 36 届 IMO 试题）设 a , b , c 为正数，且满足 abc = 1．试证in 25 ⎛1 ⎫ 125 25 ⎛ 1 ⎫ 1254 x + x⎪ - 2 ⋅ + 3⋅ y + ⎪ - 2 ⋅ 8 4 ⎝ y ⎭ 8( ) ( )11 a 3(b + c ) + b 3 (c + a ) + 1 c 3(a + b ) 3 ≥ ． （8） 2证明 由 abc = 1知，（8）等价于(2bc )22ca 2++(2ab )2≥ 6． （9）ab+ ca bc + ab ca + b c由（4）及 abc = 1，得(2bc )22ca 2++ (2ab )2ab + ca bc + ab ca + b c≥ 2 ⋅ 2bc - ab - ca + 2 ⋅ 2ca - bc - ab + 2 ⋅ 2ab - ca - bc= 2 (ab + bc + ca )≥ 6，所以（9）成立，故（8）成立．例 6设 a 1， a 2， ， a n ， a ， b ， s 均 为 正 数 ， a 1 + a 2 + + a k = s ，kn , k ∈ N +， n , k ＞1，求证： )． i =证明 由（6），及 a 1 + a 2 + + a k = s ，得ki =k ⎡ 1 k (aa i + b ) n -1⎤ ∑ ⎢ n ⋅ as + b k + n ⎥ i =1 ⎣ ⎦ =由于贝努利不等式的形式简单、内涵丰富、应用广泛，加之高中课改实验区的大多数老 师对选修系列 4 第 5 专题比较熟悉，愿意讲授“不等式选讲”．因此，应重视对贝努利不等式的探究．ki =。
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当ｘ ０ １ ｘ １ ＞ 时，＋ ＞ ， 因 １ ｘ“ 一 ＞ ， ‘ ＞． ） ， １ ０则ｆ （） ０ 此（＋ 一 二
表明ｆｘ在（， ０ 是增函数 ． ０ 十 ） （） 因此函数ｆ） ｘ在ｘ ０ （ 二 处有极小值也即最小值．
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目 我国正在颁布实施新课标， 前， 并在部分省
市进行教材改革， 我省的新教材中加进了有关伯努
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力不等式的相关知识， 笔者就此抛砖引玉， 以供读
者参考 ．
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ｘ ０则１ ｘ １ 由 笋 ， ＋ 务 ． 等比 数列求和公式得
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３ 构造数列结合放缩法 证明 由已知当 ｎ １ ｘ ０时， 二 或 二 不等式显然
当ｎ ２ 有（ ＋ ）＝ ＋ ｘ ｘ〕１ Ｚ 不 二 时， １ ｘ２ １ Ｚ ＋ Ｚ ＋ ｘ
等式成立 ．
假设当ｎ 时， ｋ 不等式成立， 二
成立， ） 时， 当ｎ ２
下面分别就 Ｅ（ １０ ｘ 一 ， 和 ｘ ０ 十０） ） 二（ ， ０ 进行
证明 ．
即（ ＋ ） １ 际 ） ＋ ． １ ｘ‘ 那么当ｎ ＋ 时， ｋ １ ＝ 左边（＋ “ ＝ １ ｘ介 ＋ ） ） ’ （ ＋ ） １ ｘ． １ｘ （
ｘ １则 １ ｘ ０ ＞一 ， ＋ ＞ ， 又由归纳假设有
求证｛。为递减数列． ａ｝
分析 此数列的通项底数和指数均与正整数
・岁卜 二 ‘ ・岁 ・
＋
一Ｚ ｎ
变量有关， 平时很少见到， 一般方法也较难解决， 因
而由其指数特征想到伯努力不等式求解 ．
＝ （ 岁・舟 ）＞＋兴 十 二岁 ・ 。（ 兴 ・… 一气 订 １ 丈 ） 六
＝（ 专合 。合 ・－ ＋一
＋： ・ 欺， （ 年 “ ’ ２ 第期 ７ ０
・复 习 参 考 ・
有关伯努力不等式的几种证明方法及其简单应用
４３２ 湖北省江汉油田 ３ ４ １ 广华中学 张希杰
伯努力是瑞士著名数学家和物理学家， 他发现
的伯努力不等式在不等式知识的运用上起着十分 重要的作用 ．０ 年湖北省高考数学卷的最后一道 ２０ ７ 题正是利用伯努力不等式解决有关中等数学问题 的一道好题 ． 笔者由试题得到启发， 整理探讨了应 用高中阶段的相关知识， 证明伯努力不等式的几种
例 ２ 已知 ｎ 是不小于２的正整数， ： 求证
门＋ ）＋ １ 六 ） ・ ＋） ＋ ＋ 典 ， （十 ３ ‘ ‘ “ ＺＪ’ （奋…
・。 李－ 舟 ） ＞ ＋ ｎ＋１
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因此（＋ “ 一 ＜ ， ’ ＜ ） ’ １ ０则ｆ （） ０ ｌ 二一 ｘ ．
表明ｆｘ在（ １ 一 ， 上是减函数． （） ） ０
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重要方法及伯努力不等式的简单应用， 以飨读者．
１＋献 ，
伯努 式： Ｅ ＋ ＞一 ， 力不等 若ｎ Ｎ 且二 １
则（ ＋ ） ＋ 〕１ ｎ． １ ｘ” ｘ
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（ 收稿日 ２ ７ １） 期： ０ ６ ） Ｘ （ ７
万方数据
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即（ ＋ ） ）１ 。 成立 ． １ ｘｎ ＋ 下面仅就两例探讨伯努力不等式的简单应用
十；粤・ （ ） ＋
例 已 歹。通 ａ（专‘ 数 ，的项。‘ ）， ， 知 “‘ 二 ＋ ” ａ ’
下面用四种方法给予证明
１ 数学归纳法
即（ ＋ ））１ 二， １ ｘ” ＋
仅 上竺 当丝 二
ｎ ｎ
， 二 时取“ ” 即ｘ ０ ＝．
证明 当ｎ １ 有（ ＋ ＝ 时， １ ｘ 二 ＋ 不等式成 ） １ｘ
立．
综 所 对。 Ｎ ， 一 ， Ｅ ＋ ＞ １ 上 述， ：
故 卫１＞ 有上 ０。 ＋
＝１即 ａ ＞ 。１ ， 。 ａ， ・
ｆ（） ｎ１ 二 一 ｎ ” 一 ‘ 二 （＋ ） ’ ｘ ＝ 仁１ ｘ” 一 」 ｎ（＋ ） ’ １． 一
当一 ＜ ＜ 时０ １ ｘ １ ０ ＜ ＋ ＜ ， １：
｝。为递减数列． ａ｝
由伯努力不等式
且（ ＋ ） ＞ ＋ ” １ ｎ． ｐ１ ｘ ｘ
综上所述， 总有（ 十 ｎ ＋ 成立， １ ｘ 〕１ 。 ） 仅当 ｎ ＝ 或ｘ ０ １ 二 时取“ ” ＝．
４ 构造函数导数法
［ 只 二〕 １（ １ｎ＋１） １ 一，＋ 十 又 ＋ｎ＋ １） 。 卜共万 欠
证明 设ｆ） （ ＋ 一 １（ ＞一 ｘ 二 １ 劝” 。一 ．ｘ １ （ ）
即ｎ ｋ １ 不等式也成立 二 ＋ 时，
卜牛毛 二 典典＝ 牛 于
一 １一 又１＋ｘ）
ｘ
，
当一 ＜ ＜ 时，＜ ＋ ＜ ， １ｘ０ ０ １ｘ １
ｎ １ （＋ ） （＋ ） Ｔ二 ＋ １ ｘ ＋ １ ｘ’ ． 十１ｘ 一 ＋ ． ＋ ｎ ＋二 （＋ ” ＜１ ＋二 二 ） ’ ｌ ｌ ．
综合可知， 不等式对ｎ Ｎ 且二 １ 二 ＋ ＞一 时，
１ ：十 ｎ＋１ 。：
即—
。 （ ＋ ） 一１ 。 １ ｘ”
＞ｎ ， 义
＞［ ’一 又 １＋万 一 了 」 一 一丁 万 月甲 Ｌ ｎ＋１ 一 ） ｎ＋乙
（ ＋ ）一 ＞ ． １ ｘ” １ ｎ ｘ
（ ＋ ）＞ ． １ ｘ” ０
当ｘ ０ 兀＝ ＋ １ ｘ ＋ ＞ 时， １ （ ＋ ） …
当１ 二感 时， ０ 不等式显然成立． ＋
＋ １ ｘ” ＞ ＋ …＋ 二 ． （ ＋ ）一 １ １ １ ｎ ’
万方数据
・复 习 参 考
・
＋了 ・ 滋啥
（０７ ２ 年第 ８ ） （ 期）
分析 本题用其它的方法也很难解决此题， 由 其指数的特点想到伯努力不等式去寻求思路 ．
证明 由伯努力不等式
（ ＋ ）〕１ 二（ ＞一 ） ＋ ｘ １ １ ｘ”
可 （ 共，１。 ＝＋ ， 知１ ） 十火 １共则有 ＋ ，
（ ＋ ）＋ １ 去 ）＋ １ 去 ） １ 去 ２ （＋ ， （＋
总有（ ＋ ）１ 二 ” ＋ 成立 ．且仅当 ｎ二１ １ｘ ） 或
ｘ ０时取“ ” 二 二．
即 竺鱼 。 塑 些 卫、， 立
则（ ＋ ）一 ＞ ・ １ ｘ” １ ｎ ｘ 即（ ＋ ）＞ ＋ １ ｘ” １ 似・
Ｘ
２ 均值不等式法
证明 丫 ＞一 ， ＋ ０ ｘ １则 １ ｘ＞ ，