(完整版)定积分知识点汇总
数学分析知识点总结(定积分)
第一篇 分析基础 1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有ε<-a x n那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件N n z y x n n n ∈∀≤≤,如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有a y n =lim定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价（1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得,1,2,.n n x a a n =+=（收敛序列性质）定理4：收敛序列}{n x 是有界的。
定理5：（1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。
（2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。
（3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。
（4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则ax n 11lim=。
（5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim limlim n n n n y y b x x a==。
（收敛序列与不等式）定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有n n x y <定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足0,,n n x y n N ≤∀>那么lim lim n n x y ≤1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（１）若实数序列}{n x 满足1,,n n x x n N +≤∀∈则称}{n x 是递增的或者单调上升的，记为{}.n x ↑（２）若实数序列{}n y 满足1,,n n y y n N +≥∀∈则称{}n y 是递减的或者单调下降的，记为{}n y ↓（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
数学定积分知识总结
定积分1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为:01()lim ()nbk k a k f x dx f x λξ→==∆∑⎰, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b =介于之间与x 轴所围的面积的代数和;3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()ba f x dx ⎰是x 在区间[],ab 中的该经济总量．4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到.（1）()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰;（2）[]()()()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰;（3）()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰; （4）()()()bcbaac f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰;（5）00()2()aaaf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数时（）（）为偶函数时.1．公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则()()()baf x dx F b F a =-⎰.2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ϕ=在[],c d 上有连续的导数'()t ϕ, 且()t ϕ单调, 则有()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰．3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有()()()()()()bbaabu x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰.1.=⎰__42a π_____； 2. 定积分112121x e dx x⎰ = ___e e -_____；3. 若广义积分2011k dx x +∞=+⎰ ， 其中k 为常数，则k = __π2_____；4. 定积分1321sin x xdx -=⎰__0____ ； 5.1211xdx x -=+⎰___0___； 6. 30(sin )xt t dt '=⎰__3sin x x _____ ；7. 广义积分211dx x +∞=⎰__1_____ ； 8. ()bad f x dx dx =⎰ __0______； 9. 设 )(x f 在 [,]a b 上连续，则()()bbaaf x dx f t dt -=⎰⎰ __0_____ ；10. 若函数 )(x f 在 [,]a b 上连续，)(x h 可导，则()()h x ad f t dt dx=⎰_)()]([x h x h f '⋅_____ ；11. 当 =x _0___ 时，⎰-=xt dt te x F 02)( 有极值；12. 设 0()xt f x te dt =⎰ ，则 (0)f ''= __1_______ ；13. 若2kxedx +∞-=⎰ ，则 k = ___21_______ ；14.21(ln )edx x x +∞=⎰_1_______ ； 15. 2131x x e dx -=⎰__0_________ ；二1.arctan xxdx =⎰ ( B )(A)1112-+x(B) 21arctan ln(1)2x x x -+ (C) 1112++x (D) 211x + 2. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 ( A )(A)53201x dx x +⎰(B)1-⎰ (C)4322(5)xdx x -⎰ (D)11ln eedx x x ⎰ 3. 设 )(x f 为连续函数，则()xaf t dt ⎰为 ( C )(A) ()f t 的一个原函数 (B) ()f t 的所有原函数 (C) )(x f 的一个原函数 (D) )(x f 的所有原函数4.11()()22xf t dt f x =-⎰，且 (0)1f =，则 ()f x = ( A ) (A) 2x e (B)12x e (C) 2x e (D) 212x e 5.1211dx x -=⎰ ( D ) (A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散三、1．求下列各函数的导数:（1）211()1xF x dt t =+⎰解：.1111)(212x dt t dx d x F x +=+='⎰ （2）02()cos xF x t tdt =⋅⎰ 求'()F π解：.cos )('.cos cos )cos (cos )(222020202ππππ-===-=-=='⎰⎰⎰F x x tdt t dx d tdt t dx d tdt t dx d x F x x x （3）22()1tx xte F x dt t =+⎰解：⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=x tx t x t x t x x t dt tte dx d dt t te dx d dt t te dt t te dx d dt t te dx d x F 020********)11(1)('222 2223222221)(121)()(122x xe x e x x xe x dx d x e x xx x x +-+=+-⋅+= 2．求下列各极限: （1）203sin limxx tdt x →⎰解：).(3lim 3sin lim )()sin (limsin lim312202203020320上代换倒数第二步用等价无穷===''=→→→→⎰⎰xx x x x tdt xtdt x x xx xx （2）02(2)limxt t x e e dtx-→+-⎰解：.02lim )2()2(lim 22lim )())2((lim)2(lim0002002=-=''-+=-+=''-+=-+-→-→-→-→-→⎰⎰xx x x x x x x x xt t x xt t x e e x e e x e e x dt e e xdte e 3．求下列各定积分:（1）1(1)x dx -⎰10221|)(x x -= （2）120(3)x x dx +⎰103313ln 1|)3(x x+=（3）20cos 2xdx π⎰2021|2sin πx = （4）1310x e dx -⎰=10331103|)(x x e e dx e e =⎰ （5）212x dx -⎰⎰⎰+-=-200122xdx xdx （6）0cos x dx π⎰⎰⎰-=πππ22cos cos 0xdx xdx（7）2adx ⎰a ax x a ax dx x x a a 0221340|)()2(2321+-=+-=⎰（8）21201x dx x +⎰⎰+-=102)111(dx x （9）4⎰ 解：令t =x 2,则d t =2x d x ,当t =0时,x =0;当t =4时,x =2.于是.|))1ln((2)111(2121120202040x x dx x dx x x dt t +-=+-=+=+⎰⎰⎰（10）20ax ⎰解：令x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =2π.于是.|)4sin ()4cos 1(24cos 1)2(sin )2sin ()cos (sin cos sin cos sin sin 16041880402402214242242222202224242424242222πππππππππa a a a a at t dt t dt tdt t dt t a dtt t a tdt t a tdta t a a t a dx x a x =-=-=-=====⋅-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（11）101dx x+⎰解：令x =t 2,则d x =2t d t ,当x =0时,t =0;当x =1时,t =1.于是).1(2|)arctan (2)111(212211410102102210210π-=-=+-=+=⋅+=+⎰⎰⎰⎰t t dt tdtt t tdt t tdx x x（12）21dx x⎰解：令x =sec t ,则d x =tan t sect t d t ,当x =1时,t =0;当x =2时,t =3π.于是.|)(tan )1(sec tan sec tan sec 1sec 133330121212212ππππt t dt t tdt tdtt tt dx xx -=-==⋅-=-⎰⎰⎰⎰（13）2210x e dx -⎰20122121221|)12(--=-=⎰x x e x d e （14）0cos3xdx π⎰ππ031031|3sin )3(3cos x x xd ==⎰（15）20cos 2xdx π⎰ππ0210)sin (2cos 1x x dx x +=+=⎰ （16）212ln e xdx x+⎰=⎰⎰+=2200ln 2e e dx x x dx x22220221000|)(ln |ln 2)(ln ln 12e e e e x x x xd dx x +=+=⎰⎰. （17）210x xe dx ⎰101221|22x x e dx e ==⎰（18）120x ⎰⎰-=133311dx x.|)1()1()1(110394103331133312321x x d x dx x --=---=-=⎰⎰（19）1201x xe dx e +⎰ .|)arctan()(1110102x x x e de e =+=⎰ （20）12⎰⎰-=2121)(arcsin )(arcsin 2x d x2121|)(arcsin 331-=x四、解答题1．求0()(4)xF x t t dt =-⎰在区间[]1,5-上的最大值与最小值;解:)4()(-='x x x F ,令0)(='x F ,得x =0,x =4.由此可得在),4[]0,(+∞-∞ 上F(x)单调增加,在[0,4]单调减少. 由此可知,在[-1,5]中,F(x)在x =0处取极大值,极大值为F(0)=0;在x =4处取极小值,极小值为F(4)=.|)2()4()4(332402331424-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t又F(-1)=.|)2()4()4(371023311240-=-=-=---⎰⎰t t dt t t dt t tF(5)=.|)2()4()4(325502331525-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t故在[-1,5]上的最大值为F(0)=0,最小值为F(4)=.332- 2．设20()(1)xf t dt x x =+⎰, 求(0),'(0)f f ;解:两边求导得26)(,23)1(2))1(()(222+='+=++='+=x x f x x x x x x x x f ,故.2)0(,0)0(='=f f。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的计算知识点总结
定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。
1. 概念。
- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。
在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。
2. 几何意义。
- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质。
1. 线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
2. 区间可加性。
- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。
3. 比较性质。
- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。
- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。
定积分知识点总结专科
定积分知识点总结专科一、定积分的基本概念1. 定积分的引入定积分是对曲线下面积的求解方法。
在平面直角坐标系中，给定曲线的函数关系y=f(x)，我们希望计算在区间[a, b]上曲线与x轴之间的面积。
为了简化计算，我们将区间[a, b]分成无穷小的小区间，然后计算每个小区间中与x轴之间的面积，再把所有小区间的面积相加起来，就得到了曲线在区间[a, b]上的面积。
这种方法就是定积分的基本思想。
2. 定积分的定义设函数y=f(x)在区间[a, b]上有定义，且区间[a, b]上的分割为[a=x0, x1, x2, ..., xn-1, xn=b]，则对应的小区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]，每个小区间的长度为Δxi=xi-xi-1。
在每个小区间上取任意点ξi，用函数值f(ξi)乘以小区间长度Δxi，再把所有小区间的面积相加，得到Σf(ξi)Δxi。
当Δxi→0时，如果极限存在，就称曲线在区间[a, b]上的面积为定积分，用符号∫abf(x)dx表示，即∫abf(x)dx=lim(Δxi→0)Σf(ξi)Δxi。
其中f(x)是被积函数，x是积分变量，a、b是积分上下限，ξi是小区间[i-1, i]上的任意点。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与x轴之间的面积，例如，对于非负函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分∫abf(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所包围的平面图形的面积。
4. 定积分的物理意义定积分的物理意义通常是表示物体的质量、体积或者其它物理量，例如，对于密度为ρ(x)的连续介质在区间[a, b]上的定积分∫abρ(x)dx表示介质在区间[a, b]上的质量。
5. 定积分的符号定积分的符号是∫，这个符号来源于拉丁字母"summa"的缩写，表示对函数在一定区间内的求和。
6. 定积分的性质- 定积分的存在性只有当函数y=f(x)在区间[a, b]上是有界的（即不是无穷大）时，定积分才有意义。
(完整版)定积分知识点汇总
(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。
我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。
一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。
1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。
2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。
三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。
对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。
2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。
常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。
分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。
5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。
1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。
利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总关键信息项：1、定积分的定义2、定积分的几何意义3、定积分的基本性质4、定积分的计算方法5、定积分的应用1、定积分的定义11 定积分的概念定积分是微积分的重要概念之一。
如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，用分点 a ＝ x₀＜ x₁＜ x₂＜＜ xₙ ＝ b 将区间 a, b 分成 n 个小区间，在每个小区间 xᵢ₋₁, xᵢ上任取一点ξᵢ（i ＝ 1, 2,， n），作和式∑f(ξᵢ)Δxᵢ，当 n 无限增大且Δxᵢ的最大值趋于零时，如果和式的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分，记作∫ₐᵇf(x)dx 。
12 定积分的几何定义如果在区间 a, b 上函数 f(x) 连续且非负，那么定积分∫ₐᵇf(x)dx 表示由曲线 y ＝ f(x) 、直线 x ＝ a 、 x ＝ b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。
如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续且有正有负，那么定积分∫ₐᵇf(x)dx 表示介于 x 轴上方和下方的面积的代数和。
2、定积分的几何意义21 以 x 轴上方的面积为正，x 轴下方的面积为负当函数图像在 x 轴上方时，对应的定积分值为正，表示该部分区域的面积；当函数图像在 x 轴下方时，对应的定积分值为负，表示该部分区域面积的相反数。
22 定积分表示曲线围成的面积对于一般的连续函数，定积分的值等于曲线与 x 轴之间所围成的有向面积。
3、定积分的基本性质31 线性性质若函数 f(x) 和 g(x) 在区间 a, b 上可积，k 为常数，则∫ₐᵇkf(x)dx ＝k∫ₐᵇf(x)dx ，∫ₐᵇf(x) ± g(x)dx ＝∫ₐᵇf(x)dx ±∫ₐᵇg(x)dx 。
32 区间可加性若函数 f(x) 在区间 a, c 和 c, b 上都可积，其中 a ＜ c ＜ b ，则∫ₐᵇf(x)dx ＝∫ₐᶜf(x)dx ＋∫ᶜᵇf(x)dx 。
定积分知识总结(总9页)
定积分知识总结(总9页)1. 定积分的定义定积分是数学中的一个概念，它表示将一个函数沿着一条给定的路径积累起来的总和。
在数学上，定积分是描述函数在一定区间上的面积、体积、虚功等概念的一种工具。
（1）可加性：若f(x)在[a,b]、[b,c]上可积，则：∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx∫(a,b)f(x)dx≥03. 函数可积的充分条件Riemann可积的充分条件有：（1）区间[a,b]上f(x)存在上下积分，且上下积分相等；（2）对任意ϵ>0，可找到划分P及加细之后的划分P1，使得S(P1,f)-s(P1,f)<ϵ，其中S(P1,f)表示P1的上和式，s(P1,f)表示P1的下和式。
4. 定积分的计算方法定积分可以通过换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼茨公式等数学方法进行计算。
（1）求曲线下面的面积；（2）求曲线绕x轴或y轴旋转的体积；（3）求物理问题中的虚功；（4）求平均值、方差等统计量。
6. 常用定积分公式$\int x^ndx={x^{n+1}}/{n+1}+C$$\int\sin xdx=-\cos x+C$7. 例题（1）计算定积分: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$解：$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=\left . -\cos x \right |\begin{matrix} 0\\\frac{\pi}{2} \end{matrix} =1$8. 求导与积分的对应关系如果函数f(x)在区间[a,b]上可导，则：$\int_{a}^{b}f'(x)dx = f(b)-f(a)$微积分是数学的一个分支，其中包括微分和积分两个部分。
微积分对象是函数的导数和原函数。
定积分是微积分中的积分部分，用于计算函数在一定区间内的积累量。
因此，微积分中的求导和积分是密不可分的，两者相辅相成，是微积分学中的核心概念。
定积分知识点,DOC
定积分知识点1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()ba S f x dx =⎰，其中-⎰积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰,而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰;（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义恒有()0f x ≥，那从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义。
说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。
手写定积分知识点总结
手写定积分知识点总结一、定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的平均值的概念的延伸，也可以看作是求曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫a^b f(x)dx，其中f(x)是被积函数，a和b是积分区间。
定积分的结果是一个数值，表示函数f(x)在区间[a, b]上的平均值或者曲线下的面积。
定积分可以用于求解面积、体积、质心等数学问题，也可以用于解决物理、经济、生物等实际问题。
二、定积分的计算1. 定积分的计算方法有很多种，其中最基本的方法包括：用矩形法求定积分、用梯形法求定积分、用辛普森法则求定积分、用复化梯形公式求定积分等。
这些方法都是通过将函数的积分区间分割成若干小区间，然后分别计算每个小区间上函数值的和，最后将各个小区间的和相加得到最终结果。
2. 定积分的计算方法还包括不定积分的逆运算方法。
即通过求解函数的不定积分来得到函数的原函数，然后再根据牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的结果。
这种方法适用于可以求出函数原函数的情况，通常用于对一些特殊函数的定积分计算。
3. 定积分的计算还可以通过数值积分来实现。
数值积分是通过数值方法近似计算定积分的结果，包括梯形公式、辛普森公式、高斯公式等。
这些方法适用于无法通过解析方法求出定积分的情况，通常用于计算复杂函数的定积分。
三、定积分的应用1. 定积分在几何学中的应用。
通过定积分可以求解平面图形和空间图形的面积、表面积、体积等问题，主要用于计算平面图形和立体图形的几何特征。
2. 定积分在物理学中的应用。
通过定积分可以求解物理系统的位置、速度、加速度、能量、功、动量等问题，主要用于计算物理系统的动力学特征。
3. 定积分在工程学中的应用。
通过定积分可以求解工程系统的质心、惯性矩、弹性势能、功率等问题，主要用于计算工程系统的能量转换特征。
4. 定积分在经济学中的应用。
通过定积分可以求解经济系统的生产函数、效用函数、需求函数、供给函数等问题，主要用于计算经济系统的优化特征。
高考定积分知识点总结
高考定积分知识点总结定积分是高等数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中常见的题型。
本文将对高考中常见的定积分知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地准备考试。
一、定积分的基本概念定积分是对一个区间上的函数进行求和的过程。
区间可以是有限区间，也可以是无限区间。
定积分的计算可以看作是曲线下的面积，也可以理解为函数的反导数。
二、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。
这些性质在定积分的计算和性质分析中起到了重要作用。
三、定积分的计算方法在高考中，求定积分通常通过几种基本的计算方法来完成，包括换元法、分部积分法、定积分的性质等。
不同的计算方法适用于不同的函数和题目类型，需要根据具体情况选择合适的方法。
四、定积分的应用定积分在数学中有广泛的应用。
在高考中，常见的应用包括计算面积、求曲线的弧长、求平均值等。
理解和掌握这些应用可以帮助我们更好地解决与定积分相关的题目。
五、典型题目解析以下是一些高考中常见的定积分题目及其解析，供同学们参考和练习：例题一：计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) = 1/3例题二：计算不定积分∫(2 to 5) (2x+1) dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(2 to 5) (2x+1) dx = [x^2+x] (2 to 5) = (5^2+5) - (2^2+2) = 24例题三：求函数f(x)=2x在区间[0，3]上的平均值。
解析：函数的平均值可以通过定积分来计算，平均值=1/(b-a) * ∫(a to b) f(x) dx = 1/(3-0) * ∫(0 to 3) 2x d x = 1/3 * [x^2] (0 to 3) = 1/3 * (3^2-0^2) = 3通过以上例题解析，我们可以看到定积分的计算方法和应用的具体过程，希望同学们通过练习更加熟练掌握这些知识点。
定积分计算知识点总结
定积分计算知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的定义定积分是在微积分学中给定一个连续函数$f(x)$，对它在区间$[a, b]$上的积分值的确定。
具体地，定积分可以定义为：$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum _{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})\Delta x $$其中，$\Delta x = (b-a)/n$，$x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数$y=f(x)$在区间$[a, b]$上的曲边梯形的面积，可以用积分来表示。
当积分区间的$[a, b]$上的函数是非负值函数时，它的定积分可以表示该函数与$x$轴所夹的曲边梯形的面积。
1.3 定积分的基本性质① 定积分与积分区间的顺序无关，即$\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$。
② 定积分的线性性：$\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$。
③ 定积分的加法性：$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx$。
1.4 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括：几何意义法、切割法、定积分的性质、换元积分法、分部积分法等。
这些方法在不同的情况下都有其适用范围，学习者需要根据具体问题进行选择和灵活运用。
二、定积分的计算2.1 几何意义法几何意义法是通过将定积分代表的曲边梯形进行适当的分割和逼近，最终得到定积分的值。
这种方法适用于简单的函数和几何形状，容易理解和操作。
2.2 切割法切割法是将定积分的积分区间进行适当的分割，然后对每个小区间内的函数求积分，最后将所得的和加起来。
定积分知识总结
定积分知识总结一、基本概念和性质(1）定义[]()[]())()(lim )()()(,,,,0max ...,)()(limlim )(11111111011-=∞→-=----∞→∞→=∞→-⋅-⋅=-⋅≈=→-∞→==-⋅=⋅∑∑∑∑⎰i i ni i n i i ni i i i i i i i i i i i i i i i i n i nn in ni iban x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a xx f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：，上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义：[]dxx g dx x f dx x g x f ab babababa⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅-=⎰⎰⎰⎰)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质（)()()(=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰aaabb a dx x f dxx f dx x f()））（定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dxx f dx x f dx x f bccaba,,,()()()(∈⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰[][][][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅≥≡=⋅≥⋅≥⋅≥≥⋅≥babababab abadxx g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dxx g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0:0)(00:0)(0)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0)(0)(,)(＞则：不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][])()()(,,)()()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dxx f dx x f b a x f bababa ba-⋅=⋅∈-≤⋅≤-∈≤≤⋅≤⋅⎰⎰⎰⎰ξξ，使得：点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理）均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则在⑦若二、微积分基本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,对于任意],[b a x ∈,)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰xadt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φxadt t f x )()(,],[b a x ∈。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。
当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。
二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。
2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。
3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。
三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
定积分知识点总结
定积分知识点总结一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解曲线下面积的一种方法。
当我们要计算一个曲线在两个点之间的面积时，可以使用定积分来求解。
定积分通常由一个区间上的函数来定义，它表示这个函数在这个区间上的面积。
二、定积分的符号表示定积分通常用符号∫关于x代表积分，下限和上限之间的函数表示要积分的函数，dx表示积分变量。
即∫ab f(x)dx表示在区间[a, b]上的函数f(x)的定积分。
三、定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)是[a, b]上的可积函数，k1和k2是常数，则有∫ab(k1f(x)+k2g(x))dx=k1∫abf(x)dx+k2∫abg(x)dx。
2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上都可积，则有∫ac f(x)dx=∫ab f(x)dx+∫bc f(x)dx。
3. 积分的保号性：若在[a, b]上有f(x)≥0，则∫ab f(x)dx≥0。
4. 积分的单调性：若在[a, b]上有f(x)≥g(x)，则∫ab f(x)dx≥∫ab g(x)dx。
五、定积分的计算方法1. 几何法：通过几何图形的面积来计算定积分，通常使用在能够用几何图形表示的函数上，例如多项式函数。
2. 积分表法：通过积分表中的已知积分公式，来计算定积分，通常用于一些常见函数。
3. 定积分的换元积分法：通过变量替换的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定变量替换后才能计算的函数。
4. 定积分的分部积分法：通过分部积分的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定的分部积分后才能计算的函数。
六、定积分的应用定积分在数学和物理学中有着极其重要的应用，例如计算曲线下面积、求解函数的平均值、求解体积、求解质量、质心和弧长等。
在数学中，定积分是微积分的基础，它还被广泛应用于概率统计、微分方程、傅立叶变换等领域。
在物理学中，定积分被用来求解各种场和力的功、能量、质心等问题。
(完整版)定积分知识点总结,推荐文档
多加了 k 个新分店，则
S( , f ) S( ', f ) S( , f ) k || ||, S( , f ) S( ', f ) S( , f ) k || ||,
这里 M m, M , m 分别为 f 在[a,b]上的上、下确界.
推论 2 设 f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割 , ' ，有
定理 对于 f(x)在[a,b]上的有界函数，则有
lim S( , f ) I , lim S( , f ) I.
|| ||0
|| ||0
3.函数可积分条件 设 f(x)在[a,b]上有界，下列命题等价：
(1)f(x)在[a,b]可积；
(2) I I;
n
(3)对于[a,b]上的任何一个分割
n
n
S ( , f ) M i (xi xi1), S ( , f ) mi (xi xi1)
i 1
i 1
S( , f ) 称为 f(x)相应于分割 π 的达布上和， S( , f ) 称为 f(x)相应于分割 π 的达布下
和
特别地，当 f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最
原函数，则上述公式化为
b f (x)dx f ( )(b a), (a,b) a
这一类公式称之为积分中值公式，它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行
表达和估算.
上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设 f(x)是[a,b]上的正值连续函数，则 公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等，而矩形的高 f ( ) 正是 f(x) 在
b
1 定积分中变量替换公式 设要计算积分 f (x)dx ，这里 f(x)是在区间[a,b]内连续的.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分
一．定积分的几何意义
①
()0f x >时，()b
a
f x dx S =⎰
()0f x <时，
()b
a
f x dx S =-⎰
()f x 有正有负时，
1(),
b
a
f x dx S =⎰2(),
c
b
f x dx S =-⎰
3()d
c
f x dx S =⎰
面积和123()()()b
c
d
a
b
c
S S S f x dx f x dx f x dx ++=-+⎰
⎰⎰
[()()]b
a
f x
g x dx S -=⎰
二．定积分基本性质 ①当a b =时，()0b
a
f x dx =⎰
.
②()()b
b a
a
kf x dx k f x dx =⎰
⎰
③1212[()()()]()()()b
b b b
n n a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx
±±⋅⋅⋅±=±±÷⋅⋅±⎰
⎰⎰⎰
④
12
1
()()()()n
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++⋅⋅⋅+⎰
⎰⎰⎰
⑤若奇函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则()0a
a f x dx -=⎰
⑥若偶函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则0()2()a
a
a
f x dx f x dx -=⎰
⎰
123()()()().d b
c d a a
b
c
f x dx f x dx f x dx f x dx S S S =++=-+⎰
⎰
⎰⎰
微分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且'()()F x f x =，则 ()()
()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-⎰
（牛顿—莱布尼兹公式）
1.直线0,,0x x y π===与曲线sin y x =所围成图形的面积用定积分表示为
2.用定积分表示抛物线2
23y x x =-+与直线3y x =+所围成图形的面积为
3.曲线2
1,2,0,0y x x x y =-===围成的阴影部分的面积用定积分表示为
4.由曲线24,4,0,0y x x x y =-===和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
4
2
.(4)A x dx -⎰ 4
20
.|(4)|B x dx -⎰
420
.|4|C x dx -⎰ 24
2202
.(4)(4)D x dx x dx -+-⎰⎰
5.计算下列定积分 （1）3
23
9x dx --⎰
（2）1
21
44x dx --⎰
（3）2
1
1
(1)
dx x x +⎰
（4）10(2)x x e dx +⎰
（5）2
cos 2
x
dx π
⎰
（6）91(1)x x dx +⎰
6.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2
y x
=上，如图，若将一质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是
7.已知函数2
y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分的面积是4
,3
则k =
8.求曲线2
4y x =与直线24y x =-围成的图形面积
9.已知函数3
2
()f x x ax bx =++的图象如图所示，它与直线0y =在原点处相切，此切线与函数图象所围区域的面积是27
,4
求a .。