第四章 基本概率理论
概率的计算--知识讲解
概率的计算--知识讲解概率是数学中的一个重要概念，用来描述事件发生的可能性大小。
在日常生活中，我们经常会面临需要估计一些事件发生的概率的情况，比如天气预报是否准确、购彩中奖的概率等等。
因此，掌握概率的计算方法对我们进行合理决策和判断具有重要意义。
1.基本概率原理基本概率原理是概率计算的基石，它指出任何事件的概率均在[0,1]这个闭区间内。
具体地说，事件A发生的概率应满足以下两个条件：(1)非负性：P(A)≥0(2)规范性：P(S)=1，其中S表示样本空间。
2.经典概型经典概型是指在有限样本空间中，所有基本事件发生的概率相等的情况。
例如，投掷一枚均匀硬币，正反面都是基本事件，且它们发生的概率相等为1/2、在经典概型中，我们可以通过计数来确定事件发生的概率。
3.条件概率条件概率指的是事件B在事件A已经发生的条件下发生的概率，记为P(B，A)。
条件概率可以通过以下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)4.独立事件如果事件A和事件B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B发生的概率，那么称事件A和事件B是独立事件。
对于独立事件来说，我们有以下公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)5.全概率公式当我们面临多个互不相容的事件时，我们可以使用全概率公式来计算一些事件的概率。
设事件B_1，B_2，...，B_n是一个样本空间的一个划分，即它们两两互斥且并起来等于样本空间。
那么对于任意事件A，我们有：P(A)=P(A∩B_1)+P(A∩B_2)+...+P(A∩B_n)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)，其中Σ表示求和运算。
6.贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中很重要的推理工具，它将条件概率和全概率公式结合起来，可以用于推理过程中的反向求解。
设B_1，B_2，...，B_n 是一个样本空间的一个划分，且P(A)>0，那么对于任意的i，我们有：P(B_i，A)=P(A，B_i)*P(B_i)/[ΣP(A，B_j)*P(B_j)]，其中Σ表示求和运算。
第4章概率论基础
随机现象似乎是杂乱无章、没什么规律的。但实践证 明，若同类随机现象大量重复出现，其总体就呈现出 一定的规律性(称为统计规律性)，且这种规律性随着 观察次数的增多而越加明显。
5
生日的巧合
根据数学中的“抽屉定理”，我们可以预言，366人 中，一定有两个人的生日相同。但依据概率计算， 在k个人群中，至少有2个人生日一样的概率为：
P(A1,A2 ,...,An-1) 0
则：
P(A1 ,A 2 ,...,A n ) =P( A1 )P(A 2 | A1 )P(A n | A1,A 2 ,...,A n1 )
k 10
206
k 40
50 60
概率 0.891
0.970 0.994
6
二．随机试验
为找出随机现象的数量规律性，需要在相同的条件 下，对不确定现象进行重复的观察或试验。
虽然每次试验的结果事先无法确定，但是在足够多 次的试验后，试验的结果就会呈现出一定的规律性。
20
2.概率的统计定义 频率并非是一个稳定的值，用它来刻画事件发生的可 能性大小有缺陷。 但随着重复试验次数的增多，事件A发生的频率fn(A)就 逐渐稳定地趋于某个常数P(A) 附近，这一客观存在的 常数P(A) 就称为事件A的概率。 试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 次数 4040 12000 24000 正面向上次数 2048 6019 12012 频率 0.5069 0.5016 0.5005
概率就是通常所说的事情发生的可能性大小。事 件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间 有着非常密切的关系。
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1.频率 随机事件A，在一次试验中无法预言它是否会发生， 但是在相同条件下的重复试验的次数n充分大以后， 可以发现事件A发生的次数nA与试验次数n之比将在 某个确定值附近波动，这一比值就称为事件A发生的 频率，记为fn(A)。 频率具有以下性质： (1) 0≤fn(A)≤1 (2) fn(S)=1； fn(Φ)=0 (3) 若AB=Φ，则 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)
《概率论基础》PPT课件
销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用 反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。 销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采 用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上 市后销售状况之间的统计数据，见表1
表1 销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况 试用结果
滞销
5
销售部经理的建议
为使对该新产品项目的投资决策更具科学性，总经理 召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人参加的 会议。会上销售部经理建议，为减小决策风险，应在决 定是否投资生产前先利用原有设备进行少量试生产（100 台），并将试生产的洗衣机免费赠送给不同地区的一些 用户进行为期3个月的试用，以取得用户的反馈信息。为 此，销售部经理还设计了用户试用后的信息反馈表，包 括功能、使用效果、方便程度、外观、可靠性五大类共 25个指标，每项指标都由用户按1～5分打分，加权平均 后的满分为100分。根据用户试用后反馈结果的总平均分， 可 将 用 户 对 该 洗 衣 机 的 评 价 分 为 ” 不 满 意 ” （ 低 于 60 分）、”尚可”（60～90分）和”满意”（高于90分） 三种可能结果。
C，… 表示。 3．样本空间——由试验E所有基本事件组成的集合，称为
E的样本空间，常用字母S表示。 4．必然事件——每次试验中必然发生的事件；样本空间S
是必然事件。 5．不可能事件——试验中不可能发生的事件；不含任何
基本事件的空集是不可能事件；记为φ。
11
【例1】掷一枚骰子，观察出现的点数.
利用概率论的知识，可以帮助决策者进行风险型决策分析， 利用所能获得的各种信息，还可以大大降低决策的风险程度， 尽可能避免重大的经济损失，并为企业带来可观的经济效益 和良好的发展机遇。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
第四章 基本概率理论
第三节 蒙特卡罗模拟
r 1 r 1
第三节 蒙特卡罗模拟
（一）蒙特卡罗模拟的基本思想
单位圆与单位正方形的关系： 一个边长为1的正方形恰好包住一个半径为 1 的1/4圆（阴影部分）。
投米粒实验圆周率π的模型
第三节 蒙特卡罗模拟
（一）蒙特卡罗模拟的基本思想
第三节 蒙特卡罗模拟
（一）蒙特卡罗模拟的基本思想
Y
第二节 概率分布
（二）随机变量的均数和方差
例6 投资方案选择 某投行现有甲乙两个备选项目投资，随机变量X表示 甲项目的盈利，随机变量Y表示乙项目的盈利，其具体分布如下表所示， 分别计算它们的均数和方差以及总的均数和方差，并以此提出两个项目 同时投资的建议。
甲项目
概率
0
乙项目
概率
300
第二节 概率分布
第一节 概率
第一节 概率
（一）机会与不确定性
1. 机会 可被用于描述我们对不确定性事物的看法。 比如投掷一枚均匀对称的硬币，观察硬币出现正面的机会。 （1）投掷结果为正面的机会为1/2。
（2）投掷结果为正面的机会要么是1要么是0。
2. 随机性 机会常称为随机性，用于刻画事件的不确定性。
第一节 概率
第一节 概率
（三）随机事件的概率运算
4. 条件概率与树状图
由图可知有三条路径可以到达事件C， 即通过加法法则可以计算事件C的概率 为三条路径代表的互斥事件之和：
Pr(C) Pr(C 和 A1)+Pr(C和A 2)+Pr(C和A3) Pr(A1)Pr(C | A1)+Pr(A 2)Pr(C | A 2)+Pr(A3)Pr(C | A 3) ＝0.1363 0.0987 0.0168 0.2518
概率论基础第四章ppt
P{ X k}
k
e
k 0,1, 2, , 0
X 的数学期望为 x ab E ( X ) xf ( x)dx dx ba 2 a
b
即数学期望是区间[a, b]的中点. 例4.5已知随机变量 X ~ e( ) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 e x x 0 f ( x) x0 0
概率论
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量间的协方差与相关系数 熵与信息 随机变量的特征函数 小结与练习
二、数学期望的定义 离散型随机变量 Def 设离散型随机变量的概率分布为
P( X xi ) pi
b
例4.11已知随机变量 X ~ N ( , 2 )。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
xR
易知数学期望为 E ( X ) 所以，随机变量X 的方差为
D( X ) ( x )
t x 2 1 e 2 ( x )2 2 2
k! X 的数学期望为 k e k 1 E( X ) k e e e k! k 0 k 1 ( k 1)! 即 E( X ) 例4.4已知随机变量 X ~ U (a, b) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它
k!
k e
k!
k! k! k 0 k e k (k 1) 2e e 2 k! k 2 而已知 E( X ) 所以，X 的方差为 D( X ) E ( X 2 ) -[ E ( X )]2
概率理论知识点总结
概率理论知识点总结概率论的重要概念和知识点主要包括：1. 样本空间和事件概率论的研究对象是随机现象，通过样本空间和事件来描述随机现象。
样本空间是指随机试验的所有可能的结果构成的集合，事件则是样本空间的子集，即样本空间中的一个或多个元素组成的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，事件可以是“出现正面”或“出现反面”。
2. 概率概率是用来衡量事件发生的可能性大小的一种数学工具。
常见的概率包括古典概率、几何概率、条件概率和概率的运算规则，如加法法则、乘法法则和全概率公式等。
概率的计算通常通过频率和理论两种方法，频率是通过实验的结果进行统计得出的概率值，理论概率则是通过对随机试验的样本空间和事件进行分析计算得出的概率值。
3. 随机变量和概率分布随机变量是概率论中的一个重要概念，它是样本空间到实数集的映射。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量两种，离散随机变量的取值是有限个或可数个，连续随机变量的取值是一个区间内的任意值。
随机变量的概率分布描述了随机变量取各个值的概率，包括概率质量函数和概率密度函数两种描述方式。
常见的概率分布包括离散分布(如二项分布、泊松分布)和连续分布(如正态分布、指数分布)等。
4. 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们揭示了随机现象中规律性和统计规律性。
大数定律指出，随机现象的大量重复试验中，随机变量的均值会以极大的概率趋近于理论值。
中心极限定理则说明，大量独立同分布的随机变量之和的分布在一定条件下会近似服从正态分布，这为统计推断提供了重要的基础。
总的来说，概率论是一门研究随机现象概率规律和统计规律的数学理论。
它在各个学科和领域都有着广泛的应用，包括统计学、金融工程、生物学、物理学、工程学等。
通过对概率论的理解和运用，可以更好地理解和分析随机现象，并进行概率推断和预测，从而为科学研究和实际问题的解决提供重要的数学支持。
概率论第4章
ò ò
+¥ +¥
- ¥ - ¥
（设该积分绝对收敛） g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy ．
性质 1 设 c 是常数，则有 E ( c ) = c ． 性质 2 设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E (cX ) = cE ( X ) ． 性质 3 设 X ，Y 是随机变量，则有 E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) ． （该性质可推广到有限个随机变量 之和的情况） 性质 4 设 X ， Y 是相互独立的随机变量，则有 E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) ． （该性质可推广到有限 个随机变量之积的情况） 2. 方差 （1）定义 设 X 是随机变量 ， E{[ X - E ( X )] } 存在，就称其为 X 的方 差 ，记为 D ( X ) ( 或 Var ( X ) ) ，即
å x p
k =1
k
发散，则称随机变量 X 的数学期望不存在．
（2）连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f ( x ) ，若积分 学期望或均值．记为 E ( X ) ， E ( X ) = 不存在。 （3）随机变量的函数的数学期望 定理 设 Y 为随机变量 X 的函数： Y = g ( X ) (g 是连续函数) ① X 是离散型随机变量，分布律为 p ( X = x k = 1 , 2 , L ；若级数 k = P k ),
r XY = í
， a > 0 ì1 ， a < 0 î-1
性质 4 r XY = 1 的充要条件是，存在常数 a, b 使 P {Y = aX + b } = 1 ． 事实上相关系数只是随机变量间线性关系其强弱的一个度量， 当 r XY = 1 表明随机变量 X 与 Y 具有线 性关系， r = 1 时为正线性相关， r = -1 时为负线性相关，当 r XY < 1 时，这种线性相关程度就随着 r XY 的减小而减弱，当 r XY = 0 时，就意味着随机变量 X 与 Y 是不相关的． （4）X 与 Y 不相关的充要条件 只要满足以下四个条件之一就可以 ①
概理论知识点总结
概理论知识点总结一、概率基本概念1. 随机试验与样本空间随机试验是具有随机性的试验，例如掷硬币、抛骰子等都属于随机试验。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合，用Ω表示。
2. 事件与概率事件是样本空间的子集，表示某个随机试验的结果。
概率是事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示事件A发生的概率，0≤P(A)≤1。
3. 概率的性质概率具有以下性质：（1）非负性：对任意事件A，有P(A)≥0；（2）规范性：对样本空间Ω，有P(Ω)=1；（3）可列可加性：对任意两两互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)；4. 条件概率对事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，通常记为P(A|B)。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立性如果事件A和事件B的发生是彼此独立的，那么P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)。
即事件A 的发生并不影响事件B的发生，反之亦然。
二、随机变量与概率分布1. 随机变量随机变量是对随机试验结果的数值化表达，通常用大写字母X、Y等表示。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
2. 离散随机变量的分布函数离散随机变量X的分布函数F(x)定义为F(x)=P{X≤x}，可以表示为随机变量小于等于x的概率。
离散随机变量的概率质量函数p(x)=P{X=x}表示X取某个特定值的概率。
3. 连续随机变量的密度函数连续随机变量X的密度函数f(x)定义为在区间(a,b)内，事件{a≤X≤b}的概率为∫[a,b]f(x)dx。
密度函数f(x)满足非负性、规范性和可积性。
4. 随机变量的数学期望随机变量X的数学期望E(X)表示X的平均取值，对于离散随机变量，E(X)=∑xip(x)，对于连续随机变量，E(X)=∫xf(x)dx。
5. 随机变量的方差随机变量X的方差Var(X)表示X取值的离散程度，Var(X)=E[(X-E(X))^2]，方差越大表示随机变量的离散程度越大。
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
李贤平-概率论基础-Chap4
例4.1.1 一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为 他的队员，甲还是乙的成绩更好？
成绩(环数) 甲的概率 乙的概率
8 0.1 0.2
9 0.3 0.5
10 0.6 0.3
解. 以 ξ、η 分别表示甲、乙射击一次的结果， ξ 的数学期望(甲射击一次的平均成绩)是 Eξ = 8×0.1 + 9×0.3 + 10×0.6 = 9.5 (环)， 同理，乙射击一次的平均成绩是 Eη = 8×0.2 + 9×0.5 + 10×0.3 = 9.1 (环)。
解. 以 ξ 记这个项目 的投资利润。 利润 5 0 - 10 概率 0.3 0.6 0.1 平均利润为： Eξ = 5×0.3 + 0×0.6 + (- 10)×0.1 = 0.5， 而同期银行的利息是 10×0.02 = 0.2 ， 因此从期望收益的角度应该投资这个项目。
例4.1.4 假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有 3 张 假币的 10 张 100 元纸币中随机地抽出 4 张。如果全是真
四.一般场合：适合一切随机变量的数学期望的定义 若随机变量的分布函数为F(x)，类似于连续型的场合 ，作很密的分割 x0 x1 xn ，则 落在 [ xi , xi 1 ) 中的 概率等于 F ( xi1 ) F ( xi ) ，因此 与以概率 F ( xi1 ) F ( xi ) 取值 xi 的离散型随机变量近似 ，而后者的数学期望为
因而，期望所得为
Eg ( )
k 0
n 1
k
k e [ka b(n k )] e na k! k n k !
(a b)
k 0
n2
k
概率论与数理统计 第四章
50 1 1 1 ( ) 49 2 100 2
数理统计
28
②
骣n 1 2 2 E (S ) = E 琪 X i - nX 琪 å 琪 n - 1 桫= 1 i
= 1 n- 1 n n 1
2
1 n 2 2 EX i nEX n 1 i 1
2
(n E X
若总体X是连续型随机变量，其概率密度为
f ( x ),
则样本的联合概率密度为
f ( x1 , x 2 , , x n ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
对于离散型总体，有相似的结论。
数理统计 17
例 设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是取自正态总体 N ( , 2 ) 的 样本，求样本的概率分布。 解 总体X的密度函数为
数理统计
30
X EX 1 P DX
X 1 P 1 10
0 .0 2 E X DX
E(X ) 0 D(X ) 1 100
显然
X ( 1 ) m in X i ,
1 i n
X (n) m ax X i ,
1 i n
两者也分别称为最小次序统计量和最大次序统计量. 称
R X ( n ) X ( 1 ) 为样本极差
X n1 ( 2 ) Md 1 (X n X n ( ) (1 ) 2 2 2 n 为奇数 （4 - 15） n 为偶数
总体 样本
随机变量 X 随机向量
( X 1 , X 2 , , X n )
数理统计
15
在一次试验中，样本的具体观测值 称为样本值。记为 ( x 1 , x 2 , , x n ) . 有时候样本与样本值使用同一符号， 但含义不同。 简单随机样本 若 X 1 , X 2 , X n 是相互独立的并与总体
概率与统计的基本理论与应用知识点总结
概率与统计的基本理论与应用知识点总结概率与统计是一门应用广泛的数学学科，它的基本理论与应用知识点对于许多领域的研究和实践具有重要意义。
本文将从概率和统计两个方面入手，总结概率与统计的基本理论和应用知识点。
一、概率的基本理论1. 随机试验与样本空间随机试验是指在相同条件下进行的具有随机性质的实验，样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合。
例如，抛掷一枚硬币的结果可以是正面或反面，样本空间为{s, r}，其中s表示正面，r表示反面。
2. 事件与概率事件是样本空间的子集，概率是事件发生的可能性大小的度量。
通常用P(A)表示事件A的概率。
例如，抛掷一枚硬币正面朝上的概率可以表示为P(s)。
3. 概率的基本性质概率具有以下基本性质：非负性、规范性、可列可加性和互斥事件的加法原理。
4. 条件概率与独立事件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
独立事件是指两个事件A和B的发生与否相互独立，即P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)。
条件概率和独立事件的概念在实际问题中有重要应用。
二、统计的基本理论1. 总体与样本总体是指研究对象的全体，样本是指从总体中随机选取的一部分个体。
通过对样本的研究和分析来推断总体的特征和规律。
2. 随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可以取不同值的变量，概率分布是指随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有伯努利分布、二项分布、正态分布等。
3. 统计量与抽样分布统计量是样本数据的函数，用来描述总体的特征。
抽样分布是指统计量的取值分布情况。
常见的抽样分布有t分布、F分布和卡方分布等。
4. 置信区间与假设检验置信区间是对总体参数的估计范围，假设检验是通过样本数据来判断总体参数是否满足某种假设。
三、概率与统计的应用知识点1. 风险与控制概率与统计可通过分析事件发生的概率及其影响程度，帮助评估和控制风险。
例如，在金融领域，可以利用概率模型对股票价格和利率进行风险评估，并采取相应的措施进行风险控制。
概率论基础知识
对立事件概率 “至少一个的”对立事件是该事件没有发生 “至少一个”的计算过程 设A为至少一个事件发生 求事件A没有发生的概率 至少一个事件发生的概率=1-事件没有发生的概率
条件概率 一个事件的条件概率是指通过其他时间发生的额外信息所得概率 假设事件A发生了，计算事件B发生的概率 A和B同时发生的概率/A发生的概率
概率论基础知识
概率
概率的基本概念 基本定义 事件是一个过程的结果或结果的任意集合 对立事件：事件未发生的所有结果组成 简单事件时不能进一步拆分的结果或事件 一个过程的样本空间由所有可能得简单事件组成 计算事件概率的三种方法 相对频数法 事件概率=事件发生的次数/重复该过程的次数 经典计算法 如果一个过程由N个等可能性的不同简单事件，且事件A有S种不同的发生 方式 事件概率=事件A可能发生的次数/不同简单事件的个数 主观估计法 根据相关情况估计事件发生的概率
贝叶斯定理 贝叶斯定理的重要性和实用性在于可以利用连续事件，由此可以通过后续事件中 的新信息修正初始事件的概率 先验概率：在未获得额外信息情况下的初始概率 后验概率：在获得额外信息情况下的修正概率
计数法则
乘法计数法则 对于一个事件序列，第一个事件可以有n1种发生方式，第二个事件可以有n2种 发生方式，第三个时间可以有n3种发生方式，以此类推，事件结果总数为 n1*n2*n3
阶乘法则 有n种不同的方式可以从所有元素中选出第一个元素，有n-1种不同的方式可以 从n-1个元素中选出第二个元素，以此类推 阶乘法则：n个不同元素的排列方式总数n！等于所有小于或等于该数的正整数 乘积
排列法则(元素相异) 从n个元素中无放回地任取r个元素排成一列，并考虑他们之间的先后次序，其排 列数为n!/(n-r)!
概率论与数理统计第四章第四节 大数定理与中心极限定理
第四节 大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.教学目标：了解大数定理与中心极限定理。
教学重点：大数定理与中心定理。
教学难点：中心定理。
教学内容：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性.定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理 定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式, 但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理） 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1(讲义例1)在每次试验中, 事件A发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?中心极限定理例2(讲义例2) 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g标准差是10g, 一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.例3 (讲义例3)计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。
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1. 蒙特卡罗模拟的基本思想
蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟方法也称为计算机随机模拟方法，是 一种基于“随机数”的计算方法。 蒙特卡罗模拟实验是通过某种“实验”的方法，得出A事件出现 的频率，以此估计出A事件出现的概率方法。 蒙特卡罗模拟中非常关键的一个环节就是模拟抽样给定分布的随 机数。
第一节 概率
第一节 概率
（一）机会与不确定性
1. 机会 可被用于描述我们对不确定性事物的看法。 比如投掷一枚均匀对称的硬币，观察硬币出现正面的机会。 （1）投掷结果为正面的机会为1/2。
（2）投掷结果为正面的机会要么是1要么是0。
2. 随机性 机会常称为随机性，用于刻画事件的不确定性。
第一节 概率
第三节 蒙特卡罗模拟
（二）常见分布的模拟抽样
1. 正态分布随机数的模拟抽样
第三节 蒙特卡罗模拟
（二）常见分布的模拟抽样
2. 二项分布随机数的模拟抽样
第三节 蒙特卡罗模拟
（三）蒙特卡罗模拟步骤
3. 蒙特卡罗模拟的主要步骤和应用
（ 1 ）整体规划 ：根据需要制定解决问题的步骤，包括确定目标及将不具
第二节 概率分布
（五）正态分布
第二节 概率分布
（五）正态分布
（6）正态分布的重要性
①正态分布能够很好地描述一些实际数据的分布。 ②正态分布可以很好地近似许多随机事件的结果。 ③利用正态分布制定“医学参考值范围”。 ④根据68-95-99.7法则，可以制定相应的质量控制线和警戒线。 ⑤建立在正态分布基础上的很多统计推断过程也适用于其它近似对称分布。
第三节 蒙特卡罗模拟
r 1 r 1
第三节 蒙特卡罗模拟
（一）蒙特卡罗模拟的基本思想
单位圆与单位正方形的关系： 一个边长为1的正方形恰好包住一个半径为 1 的1/4圆（阴影部分）。
投米粒实验圆周率π的模型
第三节 蒙特卡罗模拟
（一）蒙特卡罗模拟的基本思想
第三节 蒙特卡罗模拟
（一）蒙特卡罗模拟的基本思想
（五）正态分布
第二节 概率分布
（五）正态分布
第二节 概率分布
（五）正态分布
例8 不同省份的考题难易程度不一，很难直接用分数高低来比 较不同学生的成绩优劣。某年高考中，甲省A考生考了580分， 乙省B考生考了525分。那么他们在各省的排名到底谁高谁低。 假定已知A省的分数大致服从均数为500，标准差为80的正态分 布，乙省的分数大致服从均数为450，标准差为50的正态分布。 那么谁考得比较好呢？
（二）随机变量的均数和方差
根据离散型随机变量的均数和方差计算公式，甲项目的均数和方差分别为：
乙项目的均数和方差分别为：
由于甲项目的赢利情况与乙项目的盈利情况没有任何关系，所以可看作满足相互独立 的条件，根据均数和方差的加法法则，甲项目和乙项目盈利之和的均数与方差分别为：
第二节 概率分布
（三）二项分布
Y
第二节 概率分布
（二）随机变量的均数和方差
例6 投资方案选择 某投行现有甲乙两个备选项目投资，随机变量X表示 甲项目的盈利，随机变量Y表示乙项目的盈利，其具体分布如下表所示， 分别计算它们的均数和方差以及总的均数和方差，并以此提出两个项目 同时投资的建议。
甲项目
概率
0
乙项目
概率
300
第二节 概率分布
（2）多个随机事件和的概率：如果有事件A，事件B和事件C及更多事
件 是 互 斥 的 ， 那 么 有 其 之 和 的 概 率 Pr(A 或 B 或 C 或 …)= Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)。
第一节 概率
（三）随机事件的概率运算
2. 条件概率
（1）独立事件 (independence event)：事件A是否发生对事件 B发生
3. 乘法法则
（1）两随机事件积的概率：事件A与事件B的积是指事件A、B同时发
生。假设Pr(B|A)是事件A发生时B发生的条件概率，那么事件A和事件
B的积的概率 Pr(A和B)=Pr(A)Pr(B|A)。 （2）多个随机事件积的概率：将乘法法则扩展到多个事件同时发生的
概率的计算，例如有事件 A ，事件 B ，事件 C 的积的概率为 Pr(A 、 B 和
概率密度曲线与直方图关系的示意图
第二节 概率分布
（二）随机变量的均数和方差
1. 随机变量的均数
（1）定义：指随机变量所有可能值的平均，即把每个取值都按照它的概
率来加权之后的平均，每个可能取值的权重就是取这个值的概率。
①概率分布的均数描述的是长期大量重复实验后的平均值，常用符号是希 腊字母 ，也称为期望值。
（二）概率的定义和基本性质
1. 概率的定义
例1 每轮实验投掷一枚均匀硬币5000次，下图展示了两轮实验的结果。
①实验A正面的比例开始时低，而 实验B的比例高。 ②实验 A 、 B 正面的比例开始时差 异较大，当投掷次数增多，比例均 趋近于0.5并保持稳定。
重复两轮实验投掷硬币5000次结果出现正面的比例
的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
（ 2 ）条件概率 (conditional probability) ：符号 Pr(A|B) 表示条件概率， 它指在知道另一个事件 B 发生的情况下，某一事件 A 发生的概率，
符号“|”可理解为“考虑到”或“在什么条件下”。
第一节 概率
（三）随机事件定义和基本性质
1. 概率的定义
（1）随机现象(random phenomenon)：指在个别实验中结果不能预
测但在大量重复实验后结果展现出一定规律的现象。
（2）随机事件(random event)：是随机现象中所有可能结果的一个 子集，如投掷硬币实验中出现正面就是一个随机事件。
（3）概率（probability）：度量事件发生可能性大小的数量指标，
就叫做概率。随机现象中的概率可被定义为随机实验无限重复中某 随机事件所占的比例。
第一节 概率
（二）概率的定义和基本性质
2. 概率的基本性质
（1）任何概率取值为0~1。
（2）所有可能的结局加起来的概率必须等于1。
（3）如两个事件互斥(没有共同可能的结局)，两个事件至少一个发 生的概率就是两个事件单独发生的概率之和，即概率的加法原则。 （4）一个事件不会发生的概率等于1减去这个事件会发生的概率。
不同年龄段手机用户微信聊天的条件概率与树状图
第二节 概率分布
X x 2 1 1 2
3 3 2 1 2 1
第二节 概率分布
（一）随机变量及其概率分布
概率
X
第二节 概率分布
（一）随机变量及其概率分布
例3 一所大学对英语课程的成绩分布进行研究。在最近一学期的英 语课程中，成绩分布如下：得A的占31％，B占40％，C占20％，D 占4％，E占5％。随机选择一名学生，所谓“随机选择”是指每个 学生都有相同的机会被选到。将选到的学生的成绩记为随机变量 ， 那么随机变量X的概率分布是怎样的？ 根据题意，随机变量X 的概率分布如下：
第一节 概率
（三）随机事件的概率运算
4. 条件概率与树状图
由图可知有三条路径可以到达事件C， 即通过加法法则可以计算事件C的概率 为三条路径代表的互斥事件之和：
Pr(C) Pr(C 和 A1)+Pr(C和A 2)+Pr(C和A3) Pr(A1)Pr(C | A1)+Pr(A 2)Pr(C | A 2)+Pr(A3)Pr(C | A 3) ＝0.1363 0.0987 0.0168 0.2518
A B C D E
概率
0.31 0.40
0.20
0.04
0.05
第二节 概率分布
（一）随机变量及其概率分布
3. 连续型随机变量
（1）定义：连续型随机变量X是取值范围充满某一数值 区间的变量，即连续型随机变量在忽略测量精度的条件 下可以取到该区间中的任意一个值。 （2）概率密度曲线(probability density curve)：概率密度 曲线是位于横轴上方用于描述概率分布的曲线，该曲线 下面积为1，对应概率为1。某事件在概率密度曲线下对 应某一区间的面积即为该事件的概率。
有随机性质的问题构造为具有随机性质的问题。
（2）描述概率过程：对具有随机性质或构造的具有随机性质的问题进行正
确描述其概率过程。
（3）实现从已知概率分布抽样：根据已构建的概率模型后产生已知概率分布
的随机变量。
（4）重复多次并综合结果估计：大量重复实验后，将其结果作为需要解决问
题的近似答案。
小结
卫生统计学
第四章 基本概率理论
李晓松
高 培
四川大学
北京大学
目录
01 02 03 4
第一节：概率
第二节：概率分布
第三节：蒙特卡罗模拟
重点难点
※ 概率的定义、基本性质和运算 ※ 随机变量均数、方差的含义及其计算方法 ※ 二项分布的性质、特征及其适用条件 ※ 正态分布的性质、特征及其应用
※ 蒙特卡罗模拟的思想及实现步骤
第二节 概率分布
（五）正态分布
第二节 概率分布
（五）正态分布
给定区间时标准正态分布的概率计算示意图
正态曲线下的面积对称规律
第二节 概率分布
（五）正态分布
正态分布的68-95-99.7法则
第二节 概率分布
（五）正态分布
第二节 概率分布
（五）正态分布
第二节 概率分布
（五）正态分布
第二节 概率分布
②随机变量的均数是概率分布特征的一个参数，是一个客观存在的固定数
值，并不会随着抽样样本的不同而发生改变。
第二节 概率分布
（二）随机变量的均数和方差