材料设计—14-一维单原子链振动
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
一维单原子链晶格振动解析步骤
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
一维原子链的晶格振动方程
一维原子链的晶格振动方程晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构，其内部的原子或分子通过振动相互作用，从而产生晶格振动。
晶格振动方程描述了一维原子链中原子的振动行为，对研究固体物理和材料科学具有重要意义。
一维原子链的晶格振动方程可以通过简化模型来描述。
我们假设原子链中的原子质量相同，且原子间的相互作用力为弹簧力。
在平衡位置附近，原子的位移可以用小量近似表示，即位移量远小于原子间距。
此时，可以利用胡克定律，将原子间的相互作用力近似为线性弹簧力。
根据胡克定律，弹簧的力与其伸长（或缩短）的长度成正比，且方向与伸长（或缩短）的方向相反。
对于一维原子链中相邻两个原子，其相互作用力可以表示为：F = -k(x - a) - k(x + a)其中，F为相互作用力，k为弹簧常数，x为原子的位移量，a为原子间距。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
在一维原子链中，每个原子的加速度与相邻原子的相互作用力有关，可以表示为：m(d^2x/dt^2) = -k(x - a) - k(x + a)其中，m为原子的质量，d^2x/dt^2为原子的加速度，t为时间。
将上述方程进行简化，可得：d^2x/dt^2 = -k/m * (2x - a - a)化简后得到：d^2x/dt^2 = -2k/m * (x - a/2)这就是一维原子链的晶格振动方程。
从中可以看出，原子的加速度与位移量成正比，且与原子间距和弹簧常数有关。
当原子受到外力作用时，晶格振动方程可以进一步进行修正。
一维原子链的晶格振动方程可以通过求解微分方程得到解析解，也可以通过数值模拟方法进行计算。
对于周期性边界条件下的一维原子链，可以采用傅里叶变换的方法，将晶格振动分解为一系列特定频率的波动模式。
晶格振动在固体物理和材料科学中具有广泛的应用。
通过研究晶格振动，可以揭示物质的热力学性质、电子结构和传热传电等基本行为。
此外，晶格振动还与声学性质、热导率、热膨胀和热容等宏观性质密切相关，对于材料的设计和优化具有重要意义。
一维单原子的振动
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶 格振动的基本特点。
1. 一维单原子点阵的振动
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为M。
第s-2个原子 第s-1个原子 第s个原子 第s+1个原子 第s+2个原子
= −ω 2 Ae −i(ωt − sak )
过
M xn = − M Aω e2 −i(ωt − sak )
程
{ } = C Ae −i ⎡⎣ωt −(s −1)ak ⎤⎦ + Ae −i ⎡⎣ωt −(s+1)ak ⎤⎦ − 2 Ae −i(wt − sak )
M ω 2 = C(2 − e−iaq − eiaq )
a
us-2
us-1
us
us+1
us+2
简谐近似 描述1: 力的角度
这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。 这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓 简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种 振动的位移与力之间是满足线性关系的。
F=-cx
简谐近似 描述2：能量角度
从能量的角度来看，认为原子间有了相对位 移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能 展开成级数：
p
只考虑最近邻原子的作用，设其力常数为C，则
F = Mu = C（us+1 + us+1 − 2us）
给出试探解 us = Ae−（i ωt−ska）
原子都以同一频率ω，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差
为k·a。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
一维单原子链
起的位移为 nj aj sin( jt _ naqj j ) ， j 为任意个
相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量 为kT，具体计算每个原子的平方平均位移(P580,3-1)。
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 实数形式的简正坐标 令
T 1 [a2(q) b2(q)]
2 q0
U
1 2
2 q
[a2
(q)
q0
b2 (q)]
哈密顿量
H
1 [a&2(q) b&2(q)] 2 q0
1 2
q2[a2(q) b2(q)]
q0
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
能量本征值 本征态函数
a
a
j
波矢的取值范围，第一布里渊区
aa
—— 只研究清楚第一布里渊区 的晶格振动问题
—— 其它区域不能提供新的物 2
O
理内容
a
q
2
a
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
7. 玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 目标：求出q=?
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的 每个原子的振动形式都一样
t 2
x 2
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动Leabharlann 晶体的热学性质波动方程的通解：
• 它是一个简谐波，q=2π/λ是波矢。从物理上讲，视为 “连续”，要求波长λ>>原子间距;
•如果 λ～a，――不连续。必须直接求解方程
m
d 2n
dt 2
一维单原子链的频率分布
一维单原子链的频率分布一维单原子链是指由相同类型的原子按照一定的规则排列成的链状结构。
频率分布是指在单原子链中各个振动模式的频率出现的分布情况。
本文将从单原子链的基本特征、频率的计算方法以及频率分布的特点三个方面来详细探讨一维单原子链的频率分布。
一、单原子链的基本特征一维单原子链是凝聚态物理中常见的模型系统，它具有以下基本特征：1. 原子之间的相互作用力：在单原子链中，相邻原子之间存在着弹性力和相互作用力，这些力决定了原子在链中的振动行为。
2. 间距和质量的均匀性：单原子链中的原子间距相等，原子质量也相等，这使得单原子链具有均质性，便于分析和计算。
3. 边界条件：单原子链的两端通常会施加边界条件，如固定边界条件或周期性边界条件，以模拟实际情况中的约束条件。
二、频率的计算方法在一维单原子链中，原子的振动可以通过离散化简化为谐振子模型，通过求解谐振子的本征值问题可以得到振动频率。
对于一维单原子链，振动频率的计算方法如下：1. 利用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律，可以得到原子的运动方程。
通过求解运动方程可以得到振动频率。
2. 应用弹性势能：利用弹性势能的定义，可以将原子的振动视为在势能函数中寻找最小值的过程。
通过求解势能函数的最小值问题，可以得到振动频率。
3. 应用量子力学：在一维单原子链中，可以将原子的振动量子化，利用量子力学的方法求解振动频率。
具体的计算方法可以通过哈密顿算符的对角化来实现。
三、频率分布的特点在一维单原子链中，频率分布具有以下特点：1. 频率的离散性：由于单原子链的离散结构，振动频率呈现出离散的特点。
频率分布通常由一系列离散的振动模式组成，每个模式对应一个特定的频率。
2. 频率的对称性：对于一维周期性边界条件的单原子链，频率分布具有对称性。
即频率分布在频率为零的点处对称，且对称轴上的频率相等。
3. 频率的分布范围：频率分布的范围取决于原子之间的相互作用力和边界条件。
不同的相互作用力和边界条件将导致不同的频率分布范围。
一维单原子链和双原子链晶格振动色散关系的联系
图 ３双原 子链 Ｍ＝ ｍ 时 色散 关 系 图 进一 步 讨论 ： １ ． 当 ｋ为 偶 数 时
（ ａ ） 单 原子 链
图 １一 维 晶 格 模 型 色散 关 系 图 如 图 ２所 示 。
ｍ
●
将（ ５ ） 带 回方 程组 （ １ ） 可得 ： ２ ［ ３ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ａ ＋ Ｂ ） 。 ０ １ ２ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） ｆ Ｂ ＋ Ａ １ ＝ Ｏ Ｊ 此时 ２ １ ３ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） 不 恒为 零 ， 即只 能 Ｂ ＋ Ａ ＝ ０ 。 所 以 有 Ａ＝ － Ｂ（ 恒成立） ， 与振 幅 Ａ 、 Ｂ 必 须 同 时 不 小 于零 相 矛盾 ， 故‘ Ｉ ） ＋ 表 示 的 曲线 当舍去 。
【 关键词 】 一维 晶格振动 色散关系 【 基金 项 目】 电子 科技 大 学教 学改 革 重点 项 目资 助 。 【 中图分类号】 Ｇ６ ４ 【 文献标识码 】 Ａ
一
【 文章编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — ０ ２ ４ １ — ０ ２
２ ． 当 ｋ为 奇 数 时
ｍ‘
●
将（ ６ ） 带 回方 程 组（ １ ） 可得 ： ２ １ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ａ ＋ Ｂ ） ０ １ ， ２ ｌ ￣ ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） （ Ｂ ＋ Ａ ） ＝ Ｏ Ｊ 、 ／ 同理 ， ２ ｌ ？ ， ｃ ｏ ｓ （ ｑ ａ ） ￣ 恒 为零 ， Ａ＝ － Ｂ （ 恒成立） ， 与振 幅 Ａ 、 Ｂ必 须 同时不 小 于零相 矛盾 。 ∞ 一 表 示 的 曲线 当舍去 。 （ ａ ） 单原 子链 （ ｂ） 双 原 子链 综 上 可得 ， 在 中央布 区和偶 数 布 区里 的 光 学 支部 分 当舍 去 。 图 ２一 维 晶 格 色散 关 系 图 奇数 布 区里 的声 学 支部 分 当舍去 。 方面 ， 双 原 子链 中 当 Ｍ＝ ｍ 时应 满足 图 ２中的 （ ａ ） ； 另一 方 画 出讨 论后 的 ‘ １ ） ￣ ｑ关 系图如 图 ４ 。其 中虚 线表 示舍 去 的 不 面 如 果 Ｍ 不 断趋 近 于 ｍ ， 图２ （ ｂ ） 中光 学 支不 断接 近 声 学 支 ， Ｍ＝ 满足 题 意的部 分 曲线 。 ｍ 时两支相接 ， 其 色散 关 系就 存 在 两条 曲 线 ， 显然与 图 ２ （ ａ ） 不 同。这 也 是 学生 学 习 中不 易理 解 的难 点 。
hezm
连续介质波： Ae
Aei ( t qx)
格波：
n Aei ( t naq)
晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有的原子同时振动，振动频率为
格波描述的是所以原子的集体运动，不是某一个原子的运动 相邻原子间的位相差 aq 格波的波长：
n1,n n n1
第（n+1)个原子与第n个原子的相对位移：
n1,n n1 n
三、原子间的相互作用力
1. 势能：
（只考虑最近邻原子间的相互作用）
1）. 假设在平衡位置时，两个原子间的相互 作用势能是 v( a ) 2）. 产生相对位移 后，相互作用势能变 为 v( a )
九、色散关系
2
4 aq sin 2 m 2
由于频率是波数的偶函数，所以有
2
aq sin m 2
(6)
q 0,
min 0
q
a
,
max 2
m
图5 一维单原子链 的 ω-q 函数关系
当0 q
a
， 与其相应频率的变化范围： 0 2
一维单原子链晶格振动
一、知识点回顾
1. 格点：原子的平衡位置 2. 晶格振动：原子在格点附近的振动 3. 格波：晶格具有周期性，因而，晶格振动模 具有波的形式，称为格波 一维单原子链是学习格波的典型例子！ ▲关于格波的研究：先计算原子之间的相互作用力， 再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程， 最后求解方程。
2 q
2 格波的波矢： q n
七、格波波矢的取值和布里渊区
一维单原子链
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。
3.1一维晶格振动 固体物理研究生课程讲义
A 2 cos aq B 2 m 2
对于声学支格波:
A 2 cos(aq)
BA
2
m
2 A
π q π
2a
2a
cos( aq ) 0, A
2
M
, 所以2
m
2 A
0,
A 0 BA
声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。
q 0, cosaq 1； 0 A B A
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相 同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了 原胞质心的运动。
2
2 sin aq
m
2
2.色散关系
当
q ,aຫໍສະໝຸດ max2; m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:
2 cos aq m 2 2
M 2 2 0 2 cos aq
2 {(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq }
mM
2 o
mM
m M
m 2 M 2 2mM
cos
2aq
1 2
2 A
mM
m M
m 2 M 2 2mM
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
m
..
xn
xn
xn1
xn
x n1
xn Ae i t naq
高二物理竞赛一维单原子链的振动课件
C
Si
Ge
W计算 （eV/atom） 7.58
4.67
4.02
W实验 （eV/atom） 7.37
4.63
3.85
第n个原子的运动方程：
mm&&n b mn 1 mn 1 2mn
试解
mn Aei w t naq
—— 格波方程
mw2Aei wt naq b Aei wt n 1 aq Aei wt n 1 aq 2Aei wt naq
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§1、一维单原子链的振动
m分m子&轨&道n 由原子b的m2sn 、12px 、m2npy和1 2pz轨2m道n的线性组 合组成，称为sp3 杂化轨道。
12
n
N N+2
N+n
fqn ——b 简m约n 区 mn 1
b mn mn 1
b mn 1 mn 1 2mn
一、运动方程及其解 晶L＝体N中a 所—有—原晶子体共链同的参长与度的同一频率的简谐振动称为
线a 性变换a系数正交条件：
只考虑最近邻原子间的相互作用：
fn
b mn mn 1 b mn mn 1 b mn 1 mn 1 2mn
1、杂化轨道 轨道杂化：在成键过程中，由几个能量接近的原子
轨道重新组合成成键能力更强的新分子轨道的现象。
以金刚石为例:
C原子的基态为：1s22s22p2
1s
1s
+4 eV
12
n
N N+2 N+n
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
e iNaq 1
m m 周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
§2-3 一维原子链的振动 长波近似
dt
( n 1 n 1 2 n ) ( n 1, 2, 3, N )
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
方程解和振动频率
设方程组的解 naq — 第n个原子振动位相因子
得到
2
4 m
s in (
2
aq 2
)
格波方程 n Ae 格波的波速
q 2 Na h
—— h为整数
波矢的取值范围
N 2
h
N 2
波矢 q
2 Na
h
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 —— 第一布里渊区包含N个状态
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q
第一布里渊区的线度
2 a
2 Na
第一布里渊区状态数
2 / a 2 / Na
N
重要结论
1、格波的数目，等于原胞的数目。 2、在波矢空间，一维双原子复式格子的每一个可能 的q所占据的线度为π/Na.这里，对应于每个q值有 两个不同的ω，一个是光学波角频率，另一个是 声学波角频率。因此对于一维双原子的复式格子， 角频率数为2N,既然每一角频率对应于一个格波， 格波数必为2N。 3、在一维双原子复式格子中，每个原胞有两个原子， 晶体的自由度是2N,因此得到这样的结论： 晶格振动波矢的数目= 晶体原胞数； 晶格振动频率的数目= 晶体的自由度数。
§2.1一维原子链的振动 一、一维单原子链的振动
—— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究
—— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
一维单原子链振动
2
绝热近似
讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置 上固定不动的，但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我 们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。
它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。
一维单原子链运动
只考虑最近邻原子间的相互作用:
第n个原子受力
n-2 n-1
n
n+1 n+2
fn n1 n1 2n
第n个原子的运动方程
aa
n-2
n-1
n
n+1
n+2
m
2un t 2
n1 n1 2n
：力常数
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律 能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 1 mol晶体的E 定 3容N比kBT热 但实际上，低温下比热随温度CV的,m降 低3N而kB降低3N。0kB
a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态
例如 波长
q1
2a
2 1
, q2
5
2a
2 2
, q2
q1
2
a
1
4a, 2
4 5
3.1一维晶格振动
注意：晶格振动波矢只能取分立的值
由于
π π q a a 2 h 即 a Na a N N 所以 h 2 2
结论：由 N 个原胞组成的一维单原子链，波矢 q 可以取 N 个
不同的值，每个q对应一个格波，共有N个不同的格波。 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目 每个q对应一种频率，即对应于一种振动模，即由N个原胞 组成的一维单原子链具有 N 种振动模 , 对应着该晶体中的自 由度数。
N个原子有限链 玻恩---卡门周期性边界条件
(2)波矢q的取值 考虑到链的循环性，晶体中任一个原子，当其原胞标数增 加N（N为晶体中原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由玻 恩---卡门周期性边界条件，在由N个原胞组成的单原子链中：
n n N A exp[i(t naq)] A exp{ i[t (n N )aq]} exp(iNaq) 1 cos Naq i sin Naq 1 Naq 2h （h为任意整数）
2
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结
为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
则有
1 u (r ) u (a) 2 2
在上述近似下，相邻原子间的相互作用力:
du du f dr d
β被称为弹性恢复力系数或力常数。弹性恢复力系数
下面考察第n个原子的经典运动方程,它受到左右两个近邻 原子对它的作用力： 左边第n-1个原子与它的相对位移和作用力：
第9讲晶格振动一维单原子链
第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。
只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。
由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。
通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。
将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。
可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。
一维单原子链振动能与热容的研究
一维单原子链振动能与热容的研究刘凤智【摘要】对于一维晶格可以严格求出振动能和热容，将它们与爱因斯坦模型和德拜模型的结果进行比较，可以找出两种模型的成功与不足，如此可以加深对模型的理解，也有助于模型的完善.【期刊名称】河南科学【年(卷),期】2012(030)009【总页数】5【关键词】单原子链；振动能；热容；爱因斯坦模型；德拜模型晶格振动理论是晶体的重要理论，从晶格振动理论可以推出晶体的物理性质，特别是晶格热容的计算.对于一维晶格振动，因为模型简单，常常可以得出严格解，而受到人们的重视，一维单原子链也是晶格振动理论的入门知识，在固体物理教学中占有重要的地位.晶格振动理论就是起源于对晶格热学性质的研究，而能量和热容是热学性质中很有代表性的物理量.对晶格热容和振动能的具体求解是一个比较复杂的问题，在一般的讨论中常采用爱因斯坦和德拜两个简化模型.因为一维单原子可以做严格意义上的理论研究，为了深刻理解模型的实质，可以对一维晶格进行对比研究，找出爱因斯坦和德拜模型的成功与不足，有利于对实际三维晶格的认识[1].本文首先从理论上将三种处理方法应用到一维单原子链，得出相应的振动能与热容，并得出极端情况下的极限值，随后用一个实际例子做了讨论，得出一些有意义的结论.1 由爱因斯坦模型计算晶格振动能和等容摩尔热容对于一维单原子链，假设原子数为N，晶格常数为a，晶格的力常数为β，原子质量为m，只考虑最近邻原子的作用，可以得出晶格振动的色散关系[2]：其中：ωm为晶格振动的截止频率；q为波矢，可以将它限制在第一布里渊区，即-π/a<q≤π/a.进一步假设晶体为绝缘体（不考虑电子运动的贡献），则一维晶格振动能为：如果采用爱因斯坦模型，即假设所有原子都以统一的频率ωE（称为爱因斯坦特征频率）振动，则一摩尔晶格振动能为：其中为了方便可以引入一个特征温度，称为爱因斯坦温度：爱因斯坦温度θE，一般由实验确定.上述晶格振动能的极限情况：由摩尔热容的定义可以从（3）式求出晶格的等容摩尔热容：等容摩尔热容的极限情况：2 由德拜模型计算晶格振动能和等容摩尔热容将德拜方法用到一维晶格振动，首先考虑长波近似下的色散关系[3]：此时可以求出频谱密度为：还可以求出德拜截止频率：由德拜模型可以求出一维晶格的摩尔振动能为：其中称为德拜温度，一般需要由实验来确定：对于德拜模型的一维晶格振动能的极限情况：由德拜模型求出晶格的等容摩尔热容：对于德拜模型一维晶格等容摩尔热容的极限情况：3 由严格解法求晶格振动能和等容热容对于一维晶格可以求出严格的频谱密度：由（16）式和振动能公式可以得出一维晶格摩尔振动能：其中为了方便还可以定义一个特征温度由严格频谱密度求出晶格摩尔振动能的极限情况[4]：由（17）式还可以求出相应的等容摩尔热容：等容摩尔热容的极限情况：4 讨论4.1 三种振动能的比较假设一维单原子链中振动截止频率为ωm=4.479×1013（rad/s），可分别计算出德拜模型的特征温度θD=535.3 K，严格计算中的特征温度θm=340.8 K.下面根据室温下，由爱因斯坦模型中的振动能（3）式和严格解法的振动能（17）式，二者能量应该相等，即有：将θm=340.8 K和T=300 K，代入（21）式中，通过数值计算，可得下面的方程：从（22）式可解得爱因斯坦温度：θE=232.4 K.知道了特征温度，通过数值计算可以分别求出各自的振动能，其振动能随温度的变化曲线如图1所示.由三条能量曲线看，在温度较高时，能量与温度基本成线性增长，随着温度的增长，三条能量曲线趋于重合，与经典能均分定理的结论一致，量子效应消失，这也说明在高温区，三种模型都能很好地描述晶格振动能.由图1所示，在低温区，三条曲线差异较大.由爱因斯坦模型得出的能量在75 K以下的低温区偏离严格解法所得能量，在20 K左右就基本接近零点能了，不过二者的零点能相差只有7%左右.对于德拜模型与严格解法二者的曲线在低温区差异较大，特别是在零点能，二者差距达到23%之多，这是由于德拜近似将截止频率抬高了的缘故，由于德拜近似主要用来计算晶格比热，对于振动能不太关注，但有时在计算结合能时，会用它来计算零点振动能，此时会有较大误差，应该引起重视.顺便提及，由数值计算得出的零点能与各个低温极限所给出的结果完全相符，这也说明各个极限公式是正确的.4 .2 三种等容摩尔热容的比较确定了各自的特征温度，也可以通过数值计算来研究等容摩尔热容与温度的关系.计算所得等容摩尔热容随温度变化的曲线如图2所示.我们依然将严格解法所得的结果作为准确值，用它来比较爱因斯坦和德拜模型.如图2所示，在高温区，德拜模型与爱因斯坦模型都与严格解相同，说明在高温情况下，二种模型都能给出正确的晶格热容，也与经典物理理论相符.在低温区，爱因斯坦模型与严格解相差较大，在100 K左右开始偏离，在20 K左右就基本下降为零了，下降速度远快于温度的一次方.这与爱因斯坦模型过于简单有关，爱因斯坦模型认为所有振动都以一个单一频率ωE进行，没有考虑频率的分布.在温度很低时德拜模型与严格解法都得出等容摩尔热容与温度呈线性下降，这段温区很小，从表1可以看出，较严格的线性关系在10 K左右（误差在0.5%以内），这与文献［5］的说法相符（从一维的结论来推知三维的实际晶体，在低温时热容与温度的3次方下降的规律可能只在很小的一个温区成立），大约为θD/50的量级.从比热随温度变化的数据曲线上来看，虽然高温极限与低温极限德拜模型都与严格解相符，但在中低温区，二者有较大的差异，这也可能是在实际晶体中德拜模型计算热容相差较大的原因.在高温区爱因斯坦等容摩尔热容曲线是在德拜等容摩尔热容曲线的上方，这一点与文献［5］的说法不同.5 结论我们从一维单原子为研究对象，将爱因斯坦模型和德拜模型与严格解进行了比较，清晰地指出了两种常见模型的成功与缺陷，主要得出以下几个结论：1）可以用能量相等的方法来确定爱因斯坦温度.2）用德拜模型来求零点能会产生较大的误差.3）对于一维单原子链，晶格热容随温度线性下降的温区比预料的要小得多. 4）在高温区，爱因斯坦热容曲线在德拜曲线的上方，在低温区则在下方.5）尽管德拜热容曲线在极低温与高温区与严格解相符，但在中温区曲线下移，这有可能是导致与实际热容偏差的原因.参考文献:［1］张海峰，徐文兰.几种一维原子链晶格振动特性比较研究［J］.中国科学院研究生院学报，1995，12（1）：86－90.［2］方俊鑫，陆栋.固体物理学：上册［M］.上海：上海科学技术出版社，1981.［3］胡安，章维益.固体物理学［M］.北京：高等教育出版社，2005.［4］刘丹.基于德拜模型讨论晶格比热［J］.湖北教育学院学报，2007，24（8）：10－12.［5］（美）德克尔A J.固体物理学［M］.高联佩，译.北京：科学出版社，1965.（编辑张继学）基金项目:辽宁石油化工大学科研基金项目（80040067）。
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所以：
最后的频率与n无关，即无穷多个联立方程归结为同一解。 也就是满足一定ω与q关系的格波解。
在长波近似（即q->0）下，qa很小，所以
这个结论与连续介质波动方程的解一致： 所以一维单原子链中的声速为： 长波极限下，波长很长，很显然原子的不连续性在这种长 波下已经不明显。晶体就类似于一个连续介质。
这是格波和连续波的区别，连续波中的q是没什么限制的。
由于晶体的不连续性，波的振幅只在分立的格点 上才有意义，两个波矢相差一个倒格矢的波，虽 然波长不一样，但他们描述格点上的原子的运动 情况是完全相同的。 要描述一个晶格常数为a的原子链的振动，只要考 虑波长大于2a的那些波就可。
考虑两个q
虚线
实线
我们可以看到，两个波的周期和振动方式完全不同，但如 果只考虑格点的运动，则两者是一样的。
在BZ区边界q=π/a，则
是一个驻波，相邻原子的振动完全相反，群速度是0。
格波特点
频谱成带结构，一个单原子链，相当于弹性 波的低通滤波器。 本征频率必须限制在一个有限值范围内，不 存在超过该最高频的本征频率。这种波不能 在系统中传播。
§3.2 一维单原子链振动
一、运动方程及其解
考虑一个最简单的晶格模型
原子质量M，间距a，原子沿着链的方向振动， 其偏离平衡位置的位移为un：
类似于胡克定理，相互作用力与原子位移差成正 比，则第n个原子受到合力为：
根据牛顿力学，第n个原子的运动方程是
只考虑最近邻近似：
这里已经考虑了平移对称性
考虑格波解：
三、波恩-卡曼(Born-Karman)边界条件
波矢和波矢密度
原则上前面讨论的一维原子链应该是无穷长的。 但实际晶体总是有限的，对于有限长度的原子链 ，上面的解原则上不适用。因为有限原子链两端 的原子的振动方程与内部原子不一致。
虽然只是少数几个方程不同，但由于所有方程必 须联立求解，使得问题变得很复杂。
当 时，频率取最小值： 0
一个确定的q和ω(q)确定系统的一个简正模。 任意两个相隔na的原子振动有确定的相位关系。
它具有格波的位形，通常取：
来表示系统的一个简正模。
q和q + Kh代表同一振动模，q属于1BZ（第 一布里渊区）
将所有独立的振动模式限制在一个倒格子元胞内。通常取第 一布里渊区（1BZ）。
就是简正坐标
这个在前面已经证明了。
既然Qq(t)是简正坐标，它应该能使得系统的哈密顿 对角化。在原子位移坐标下，系统的哈密顿为：
引入坐标变换
un为实位移：
在简正坐标下，系统哈密顿的动能项：
势能项
最后系统哈密顿为：
所以在简正坐标下，哈密顿已经对角化了。
二、一维单原子链格波特性
色散关系
把频率ω和波矢q联系起来，称为格波的色散关系。 格波的群速度定义为：
它是介质中能量传输的速度。
同时ω是倒空间的周期函数：
我们以倒空间的波矢q为横坐标，而把每个q对应 的频率ω为纵坐标，画出一维简单晶格的色散关系 ：
当
时，频率取最大值
系统的最大频率只和β和M有关，是系统内禀性质。
所以 h为整数，上式就是波恩-卡曼边界条件 根据波恩-卡曼边界条件，波矢q只能取分立值：
波矢q在第一布里渊区均匀分布，且只能取N个值。
N是元胞数，通常很大。所以其实波矢q的数目也是很 大的，近似上是连续的。
定义单位q空间的波矢数为波矢密度：
独立波矢数 = N （元胞数） 波矢密度=
波恩-卡曼条件下，所有的独立模式构成 正交、完备集:
证明第一个公式： 令
则
所以
同理可以证明第二个式子。
四、简正坐标
晶格振动的本征解：
它表示一个波矢q，频率为ω(q)的格波（系统的一 个简正模）所描述的晶格中原子的位移。 而原子的实际运动是所有格波的叠加：
其中
把上式稍微改写一下：
Байду номын сангаас
1. 2.
晶格的一般振动是所有独立模式 简正坐标定义
的线性组合
所以这里的 而变换矩阵的矩阵元就是： 只不过这里用n,q替代了以前的i,j。 这里的矩阵元也满足正交完备条件：
虽然晶体是有限的，但其中的原子数目仍然是非 常大的，可以认为是无穷多。为此波恩-卡曼提出 了周期性边界条件，来避免两端原子与中间原子 的区别。
设想把含有N个元胞的原子链，将它首尾相连，构 成一个环。如果N足够大，则这个环的半径非常大 ，波在这个环中的传播，等价于波在一个无限长 原子链中传播。
第1个元胞与第N个元胞相连接，避免了实际中第1 个和第N个元胞处在边界上这个难处理的情况。 这要求原子指标n增加到n+N时，振动完全复原。 数学上要求系统的振动满足：