第七章限制性三体问题
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日-地-月系统为一个三体问题（研究月球运动问题） 地-月-探测器为一个限制性三体问题（研究月球探测）
1.2 限制性三体问题的动力学方程
m
m2 r
s
m1
& r&Grm 31rGm2
sr sr3
ss3
1.2 限制性三体问题的动力学方程
Body-Body-Rotation，BBR
iz
G(m1r132 m2)iz
r132iz
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为
得到 π2月球质量与地月质量的比值0.01215
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d2r d2r 2ω dr ω & rω ω r
)
2
r23
(x
1r12 )
&y& 2x&2 y 1 y 2 y
&
r13
r23
&z&
1
r13
z
2
r23
z
限制性三体动力学方程， 没有一般的解析解！
1.3 拉格朗日解
平衡点：状态变量时间变化率为0的点。
2x
1
r13
(x
2r12 )
2
r23
(x
1r12 )
2 y
1
r13
y
2
r23
y
0
1
r13
第七章 限制性三体问题
主讲教师：杏建军 2020年4月27日
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
1.1 三体问题的定义
天体力学术语 二体问题：研究两个天体相互吸引下的相对运动。 N体问题：研究N个天体相互吸引下的相互运动。 三体问题：研究三个天体相互吸引下的相互运动。 限制性三体问题：当其中一个天体质量相对其他两个天体 为小量，不会对其他两个天体运动造成影响的三体问题。
动能
旋转 势能
势能
机械能
1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2C
2.2 零速度面
2(x2y2)2122+2Cv20
r1 r2
地月系统
2.2 零速度面
2.2 零速度面
2.3 算例
探测器在地月连线， 距离地面200 km的 高度加速
1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2C
dt2 dt2
I
R
dtR
叉乘求积时，先写出各分量，运
d2r
dr
F
dt2
2ω dt
R
ωωr
R
m
算即得。
w=【0；0；w】 r=【x；y；z】
m FGr1m31r1 Grm 232 r2
dr/dt=[dx/dt;dy/dt;dz/dt]
1.2 限制性三体问题的动力学方程
&x&
2y&2x
1
r13
(x
2r12
2.1 雅可比积分
x&&x&x&2y&x&2x
1
r13
x&(x 2r12)
2
r23
x&(x1r12)
y&&y& &
y&2x& y&2y
1
r13
y&y
2
r23
y&y
z&&z&1 zz& 2 zz&
r13
r23
x& & x& y& & y& & z& & z& 2xx& yy& r131(xx& y& yzz& 2r12x& )
r232(xx& y& yzz& 1r12x& )
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
d dt 1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2 0
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
z
2
r23
z来自百度文库
z=0，平衡点在 天体运动平面内
1.3 拉格朗日解
2x
1
r13
(x2r12)
2
r23
(x1r12)
2
y
1
r13
y
2
r23
y
G(m1m2)
r132
r132
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
1.3 拉格朗日解 地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
1.3 拉格朗日解 地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
3 /2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d2r
dr
F
dt2
2ω dt
R
ωωr
R
m
向心加 速度
引力加 速度
ωωr F m
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
请批评指正！
1.2 限制性三体问题的动力学方程
m
m2 r
s
m1
& r&Grm 31rGm2
sr sr3
ss3
1.2 限制性三体问题的动力学方程
Body-Body-Rotation，BBR
iz
G(m1r132 m2)iz
r132iz
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为
得到 π2月球质量与地月质量的比值0.01215
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d2r d2r 2ω dr ω & rω ω r
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2
r23
(x
1r12 )
&y& 2x&2 y 1 y 2 y
&
r13
r23
&z&
1
r13
z
2
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限制性三体动力学方程， 没有一般的解析解！
1.3 拉格朗日解
平衡点：状态变量时间变化率为0的点。
2x
1
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(x
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2
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(x
1r12 )
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1
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第七章 限制性三体问题
主讲教师：杏建军 2020年4月27日
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
1.1 三体问题的定义
天体力学术语 二体问题：研究两个天体相互吸引下的相对运动。 N体问题：研究N个天体相互吸引下的相互运动。 三体问题：研究三个天体相互吸引下的相互运动。 限制性三体问题：当其中一个天体质量相对其他两个天体 为小量，不会对其他两个天体运动造成影响的三体问题。
动能
旋转 势能
势能
机械能
1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2C
2.2 零速度面
2(x2y2)2122+2Cv20
r1 r2
地月系统
2.2 零速度面
2.2 零速度面
2.3 算例
探测器在地月连线， 距离地面200 km的 高度加速
1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2C
dt2 dt2
I
R
dtR
叉乘求积时，先写出各分量，运
d2r
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F
dt2
2ω dt
R
ωωr
R
m
算即得。
w=【0；0；w】 r=【x；y；z】
m FGr1m31r1 Grm 232 r2
dr/dt=[dx/dt;dy/dt;dz/dt]
1.2 限制性三体问题的动力学方程
&x&
2y&2x
1
r13
(x
2r12
2.1 雅可比积分
x&&x&x&2y&x&2x
1
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x&(x 2r12)
2
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x&(x1r12)
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1
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x& & x& y& & y& & z& & z& 2xx& yy& r131(xx& y& yzz& 2r12x& )
r232(xx& y& yzz& 1r12x& )
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
d dt 1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2 0
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
z
2
r23
z来自百度文库
z=0，平衡点在 天体运动平面内
1.3 拉格朗日解
2x
1
r13
(x2r12)
2
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(x1r12)
2
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1
r13
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2
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y
G(m1m2)
r132
r132
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
1.3 拉格朗日解 地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
1.3 拉格朗日解 地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
3 /2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d2r
dr
F
dt2
2ω dt
R
ωωr
R
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向心加 速度
引力加 速度
ωωr F m
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
请批评指正！