第1讲-无穷积分
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第1讲 无穷限反常积分敛散性及审敛法则
讲授内容
在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往
往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题．
一、无穷限反常积分的定义
定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u
a
u =⎰+∞
→)(lim
则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dx x f J a
⎰+∞
=
)(，并称
dx x f a
⎰+∞
)(收敛．如果极限J dx x f u
a
u =⎰+∞
→)(lim
不存在，亦称dx x f a
⎰
+∞
)(发散．
类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim
)(dx x f dx x f b
u
u b
⎰⎰
-∞
→∞
-=
对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a
a
⎰
⎰⎰+∞
∞
-∞
-+∞
+
=
其
中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注： dx x f a
⎰
+∞)(收敛的几何意义是：
若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．
例1 讨论无穷积分.1)10
2
⎰
+∞
+x
dx ，.1)22
⎰∞
+∞
-+x dx ，.)30
2
⎰+∞
-dx xe
x
的收敛性．
例2 讨论下列无穷积分的收敛性：⎰
+∞
1
)1p
x
dx ， ;)
(ln )22
⎰
+∞
p
x x dx
解：1）因为⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--=-⎰.
1 ,ln 1 ),11(111
1
p u p u p x dx p u
p
， 因此无穷积分当p >1时收敛，其值为11-p ；而当1≤p 时发散于.∞+
2）令t x =ln ，就有.)
(ln 2ln 2
⎰⎰∞
+∞
+=
p p
t dt
x x dx 从例1）知道，该无穷积分当1>p
时收敛，当1≤p 时发散．
二、无穷积分的性质
由定义知道，无穷积分⎰
+∞
a
dx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=
)(u F ⎰
u
a
dx x f )(在+∞→u 时是否
存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分⎰+∞
a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有
ε<=
-
⎰
⎰
⎰
2
1
2
1
)()()(u u u a
u a
dx x f dx x f dx x f ．
此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．
性质1 若dx x f a
)(1⎰+∞与dx x f a
)(2⎰
+∞
都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f k a
⎰
+∞
+)()(2211也收敛，
且
[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k
a
a
a
)()()()(22112211
⎰
⎰
⎰+∞
+∞+∞
+=+．
性质2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，则⎰
+∞
a
dx x f )(亦必收敛，并有
⎰
⎰
+∞
+∞
≤
a
a
dx x f dx x f )()(．
证：⎰
+∞a
dx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有
⎰
⎰
≤
2
1
2
1
)()(u u u u dx x f dx x f . 利用定积分的绝对值不等式，又有
⎰
2
1
)(u u dx x f ≤
ε<⎰
2
1
)(u u dx x f .
再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞
a
dx x f )(收敛
又因
⎰
u
a
dx x f )(≤
⎰
u
a
dx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.
当⎰
+∞
a
dx x f )(收敛时，称⎰
+∞
a
dx x f )(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定
收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．
性质3 若f 在任何有限区间[u a ,]上可积，b a <，则⎰+∞a
dx x f )(与⎰
+∞
b
dx x f )(同敛态(即同时收敛或
同时发散)，且有⎰
+∞a
dx x f )(=⎰b a
dx x f )(+⎰
+∞
b
dx x f )(,