高中数学 解三角形 课件
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
高中数学解三角形PPT课件
22
7.关于三角形面积问题
23
用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方 向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测 角仪的高度是b，求气球的高度.
6
7
考点2: 三角形中的三角变换
8
9
10
考点3 与三角形的面积相关的题
11
题型2:已知面积求线段长或角
12
13
2020/1/15
14
C
15
16
17
18
19
20
解三角形应用举例
1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理 求a、b
2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定 理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理 求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要 注意解可能有多种情况．
4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π， 求角C．
21
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南， 北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
第四章 解三角形
正弦定理和余弦定理 内角和定理：
1
面积公式: 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
2024高中数学解三角形ppt课件
目录•三角形基本概念与性质•正弦定理及其应用•余弦定理及其应用•三角形面积公式及其应用•解三角形综合应用举例三角形基本概念与性质三角形的分类按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形的定义与分类三角形内角和定理01三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。
02证明方法通过平行线的性质或者撕拼法等方法进行证明。
三角形外角性质三角形外角的定义三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形外角的性质三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形边与角关系01正弦定理在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
02余弦定理在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
03三角形的面积公式S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹角。
正弦定理及其应用正弦定理的推导与证明推导过程通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
证明方法利用三角形的面积公式和正弦函数的性质，证明正弦定理的正确性。
利用正弦定理求解三角形已知两边及夹角求第三边通过正弦定理计算出已知两边夹角对应的第三边的长度。
已知两角及夹边求其他元素利用正弦定理和三角形内角和定理，求出三角形的其他元素。
解决三角形中的角度问题通过正弦定理计算出三角形中的未知角度。
解决三角形中的边长问题利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
解决力学问题在力学中，正弦定理可用于解决涉及三角形的问题，如力的合成与分解等。
解决光学问题在光学中，正弦定理可用于解决涉及光的反射和折射等问题。
余弦定理及其应用余弦定理的推导与证明向量法推导余弦定理通过向量的数量积和模长关系，推导余弦定理的表达式。
几何法证明余弦定理利用三角形的面积公式和正弦定理，结合相似三角形的性质，证明余弦定理。
高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5
中,
sin
=
sin
=
.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析
《高中数学课件-解三角形》
如何利用三角函数求解三角形边长？
1
余弦定理
2
可以用已知角度的余弦值、已知角度、
另一条边，计算第三边。
3
正弦定理
可以用已知角度的正弦值、已知角度、 另一条边，计算第三边。
正切定理
可以用已知角度的正切值、已知角度、 另一条边，计算第三边。
如何应用海伦公式求解三角形面积？
公式
海伦公式：$\sqrt{s(s-a)(sb)(s-c)}$
如何解三角形在平面几何中的 应用？
可以用来计算各种图形的面积、周长、角度大小等，是很多数学问题的基础 和工具。
如何应用三角函数求解解决实 际问题？
可以用来求解各种实际问题，如测量高度、距离、角度大小、速度等。
含义
s是半周长，a、b、c是三 角形的三条边长。
优点不需要知道高或者角度，来自适用面较广。如何应用正弦定理、余弦定理判定三角 形形状？
正弦定理
三角形是锐角；两个边长和对应角度的正弦值 成正比。
余弦定理
三角形是直角、钝角；其中直角三角形满足勾 股定理；余角大小决定了所求角度，等于对应 锐角角度的补角。
如何利用三角函数公式求解各种角度和 边长？
1
正弦函数公式
${\sin x} = \frac{\text{对边}}{\text{斜
余弦函数公式
2
边}}$
${\cos x} = \frac{\text{邻边}}{\text{斜
边}}$
3
正切函数公式
${\tan x} = \frac{\text{对边}}{\text{邻 边}}$
如何求解等腰三角形的各个角 度和边长？
可以直接应用角度和及等腰三角形的性质求解。
如何求解等边三角形的各个角度和边长？
高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
课标阐释 1.掌握正弦定理及 其变形. 2.了解正弦定理的 证明方法. 3.能运用正弦定理 解决相关问题.
思维脉络
正弦定理 正弦定理的变形 正弦定理 正弦定理的应用 解三角形
判断三角形的形状
一二三
一、正弦定理
【问题思考】 1.已知△ABC,设其三个内角分别为 A,B,C,角 A,B,C 所对的边分
答案(1)4 (2)45°
一二三
二、正弦定理的变形 【问题思考】 1.正弦定理揭示了三角形中边与角的数量关系,那么根据正弦定理, 怎样由边转化为角?怎样由角转化为边?
提示通过对正弦定理 ������
sin������
=
������ sin������
=
si���n��� ������=2R
进行不同的变形,可以实
以 ������
sin������
=
������ sin������
=
si���n��� ������成立.
(2)成立,不妨设 C=90°,则 sin A=������������,sin B=������������,sin C=1=������������,所以
������ sin������
=
现由边到角、由角到边的转化.
2.填空: 正弦定理的变形(R 为△ABC 外接圆的半径) (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)sin A=2������������,sin B=2������������,sin C=2������������;
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5
1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得
sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形
“高中数学选修4-解三角形课件”
探讨海龙公式的应用
学习使用海龙公式解决特殊情况下的三角形问题。
1 海龙公式
s =(a +b +c) / 2
解决一个三角形不唯一的情况的方法
探讨当一个三角形不唯一时，如何确定其特殊属性和解决问题的方法。
1
等腰三角形
了解等腰三角形的特点和解决方法。
直角三角形
2
讲解如何确定直角三角形以及解题
技巧。
3
其他特殊情况
余弦定理公式
c²= a²+ b ² - 2ab *co sC
应用技巧
学习使用余弦定理解决复杂 问题的技巧。
实例演示
通过例题演示如何使用余弦 定理求解。
使用正切定理求解的方法
详细讲解如何运用正切定理解决三角形问题。
1
解决步骤
2
说明使用正切定理求解的步骤。
3
正切定理公式
a/b = tanA
实战演练
通过实例演示如何应用正切定理。
正弦函数
绘制正弦函数的图像和周期 特性。
余弦函数
绘制余弦函数的图像和周期 特性。
正切函数
绘制正切函数的图像和周期 特性。
使用三角函数解决三角形问题
演示如何应用三角函数解决各种实际三角形问题。
1 角度问题
通过角度信息和三角函数求 解缺失的边长。
2 边长问题
通过边长和三角函数求解未 知的角度。
3 应用实例
介绍其他特殊情况下的处理方式。
三角函数的概念和基本性质
详细介绍三角函数的概念、定义和基本性质。
正弦函数
解释正弦函数的定义和性质。
余弦函数
介绍余弦函数的特点和性质。
正切函数
讨论正切函数的定义和特性。
解直角三角形ppt课件
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
解三角形完整版课件
1 2
c.
（1）求角 B 的大小；
B
3
.
（3）若 b 3 ，求△ABC 面积的最大值．
深度探究
四、横向拓展，发散思维
【例 2】在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ，
且
b
cos C
a
1 2
c.
（1）求角 B 的大小；
B
3
.
（4）若 b 3 ，求△ABC 周长的最大值．
c.
（1）求角 B 的大小；
二、边角转化，学会分析
【例 2】在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、
c，且 bcosC a 1 c.
2
（1）求角 B 的大小；
【解析一】(角化边)由余弦定理，有 b
a2
b2 c2 2ab
a
1 c. 2
化简得 a2 c2 b2 ac.
a2 c2 b2 1
2
sin B cosC sin B C 1 sinC
2
sin B cosC cos B sinC 1 sinC. 2
即 cos BsinC 1 sinC ，又 C 0, ，所以 sinC 0,1 ，
2
于是 cos B 1 . 又因为 B 0, ，所以 B .
2
3
三、纵向引申、深度感知
一、尝试探究，初悟高考
【例 1】如图，在 ABC 中, B 45 , D 是
BC 边上一点, AD 5, AC 7, DC 3,
则 AB
.
？5 7
45°
3
一、尝试探究，初悟高考
【例 1】如图，在 ABC 中, B 45 ,D 是 BC 边上一点, AD 5, AC 7, DC 3,则 AB
高中数学必修5《解三角形》PPT课件
解 (1)在△ABC 中，由题意知，sin A＝ 1－cos2A
＝
33，因为
π B＝A＋ 2 ，
所以
sin
B＝sinA＋π2 ＝cos
A＝
6 3.
由正弦定理，得 b＝assiinnAB＝3×336＝3 2. 3
(1)a＝2Rsin A，b＝_2_R__s_in__B_，c
常
＝__2_R_s_in__C_； (2)sin A＝2aR，sin
b B＝__2_R__，
见 变
sin C＝2cR；
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___；
c2＋a2－b2 cos B＝____2_a_c___；
形 (3)a∶b∶c＝____s_in__A_∶__s_in__B_∶___ _s_i_n_C__； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin
又 A＋B＋C＝π，所以原等式可化为 sinC＝2sinA，
因此ssiinn CA ＝2.
(2)由sinC＝2 得 c＝2a. sinA
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB 及 cosB＝1，b＝2， 4
得 4＝a2＋4a2－4a2×1，解得 a＝1，从而 c＝2. 4
又因为 cosB＝1，且 0<B<π.所以 sinB＝ 15.
(2)由
π B＝A＋ 2 ，得
cos
B＝cosA＋π2 ＝－sin
A＝－
33.
由 A＋B＋C＝π，得 C＝π－(A＋B)．
所以 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
解三角形课件
（3）a 18, b 20, A 150
解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③
c
C
b=22
A
B
DA
a=11 B
c
b=20 A
解法二：(1)2 2 2 3 2 6 ABC有两解 2
(2)11 22 1 AB解C三有角形一课件解! (3)A 150 ABC无解 2
例5. ABC中，已知A 60,b 4 3,为使此三角形只有
2sin B sinC 1 - cos（B C） ①
又cos(B C ) cos B cosC sin B sinC ②
由 ① 、 ② 得cos B cosC sin B sinC 1
即cos(B C ) 1 B C ABC是 等 腰 三角 形 解三角形课件!
已知边与角之间的关系
2
则当为多少时OAB的面积最 大值？
解 ：SOBC SOCMD ( SOAC SOBD SABM )
SOCED
1
SOAC
1 cos 2
SOBD
1 2
sin
Y
D(0,1)
O
B(sin ,1) M
A(1,cos ) X
C(1,0)
SABM
1 2
(1
cos
)(1
sin
)
SABM
1（1- sin 2
cos
sin
cos）
SOAC
SOBD SABM
1 1 sin cos 22
SOBC
1 2
(1 sin
cos )
1 2
(1
1 sin2 2
)
当 时 2
S
OBC
达
到
《高二数学解三角形》课件
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
高中数学精品课件解三角形.pptx
2020-5-11
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＝
，
sin ∠C B D sin ∠B C D
2
800×
C D ·sin ∠B C D
2
BD＝
sin ∠C B D
＝
2
2
3 2
1 －
2
＝800( 3＋1)m ，
又∠A D B ＝45°，A B ＝B D .
∴A B ＝800( 3＋1)m .
即山的高度为 800( 3＋1) m .
2020-5-11
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2
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
2020-5-11
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3
01 学习目标
1 ．基线的概念与选择原则 (1 )定义 在测量上，根据测量需要适当确定的 线段 叫做基线． (2 )性质 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说， 基线越长，测量的精确度越 高．
2020-5-11
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4
01 学习目标
思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可 及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
提示：利用正弦定理和余弦定理．
2020-5-11
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5
高中数学必修5《解三角形》课件
∵30°<C<150°，∴C＝90°，
从而A＝180°－(B＋C)＝60°，
a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴A＝180°－(B＋C) ＝180°－(75°＋45°)＝60°. 又∵sina A＝sinb B， ∴a＝bssiinn AB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6， 同理，c＝ssiinn CBb＝ssiinn 7455°°×2＝ 3＋1.
4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°； (2)a＝10，b＝20，A＝80°； (3)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
解析： (1)∵a＝7，b＝8，∴a<b， 又∵A＝105°>90°，∴本题无解． (2)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∵bsin A＝20·sin 80°>20·sin 60°＝10 3， ∴a<b·sin A，∴本题无解．
【正解】 由正弦定理sina A＝sinb B得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
已知两边及一边的对角解三角形
已知△ABC中，a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，求B，C 及c.
• [思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理 求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．
[规范解答] a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
[提示] ∠C＝90°，∠B＝30°，a＝2 3，b＝2.
解三角形(正弦定理余弦定理三角形面积公式)课件
当光线遇到平面镜时，会产生反射现象。通过解三角形的方法可以计算入射角和反射角的关系，从而解释反射现 象。
建筑学中的角度计算
确定建筑物的角度
在建筑设计中，需要计算建筑物与水平面之间的角度，以确保建筑物的稳定性。利用解三角形的方法 可以计算出建筑物所需的倾斜角度。
测量建筑物的高度
通过观测建筑物与水平面之间的角度，利用解三角形的方法可以计算出建筑物的高度。
将三角形的三边长度转化为面积的表 达式，便于计算。
面积公式的应用
01
解决实际问题
利用三角形面积公式解决实际 问题，如土地测量、建筑规划
等。
02
数学竞赛解题
在数学竞赛中，三角形面积公 式是解决几何问题的重要工具
之一。
03
数学建模
在数学建模中，三角形面积公 式可以用于描述和解决现实生 活中的问题，如最优分割等。
详细描述
其中一种常见的证明方法是利用三角形的外接圆性质，通过相似三角形和勾股定 理进行推导。此外，还可以利用三角函数的加法定理、三角形的面积公式等其他 方法进行证明。掌握多种证明方法有助于加深对正弦定理的理解和应用。
02
余弦定理
定义与性质
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的 定理，它描述了三角形各边与其 所对的角之间的关系。
应用场景
01
总结词
02
详细描述
正弦定理在解决三角形问题时非常有用，特别是在已知两边及夹角、 已知两角及夹边等情况下求解第三边。
通过正弦定理，我们可以解决各种与三角形相关的问题，如计算三角 形的面积、判断三角形的形状、解决几何作图问题等。它是三角函数 和几何学中非常重要的定理之一。
证明方法
总结词
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解三角形亲爱的同学，太阳每天都是新的，你是否每天都在努力。
（数学5必修）第一章：解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
4．在△ABC 中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值。
（数学5必修）第一章：解三角形[综合训练B 一、选择题1．在△ABC 中，A ．1:2:3 B 2．在△ABC A ．大于零 B 3．在△ABC A ．A b sin 2 B 4．在△ABC A ．直角三角形 5．在△ABC A ．090 B ．6．在△ABC A ．51- B ．-7．在△ABC A ．直角三角形 二、填空题1．若在△ABC 2．若,A B 3．在△ABC 4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。
6．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。
三、解答题1． 在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==，求c b ,。
2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A 。
3． 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos4sin sin sin C B A C B A =++。
4． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a 。
5．在△ABC[提高训练C 一、选择题1．A 为△ABC A ．)2,2( B 2．在△ABC A ．2cos 2B A + 3．在△ABC A ．12 B ．221 4．在△ABC 中，∠A ．sin cos A A >5．在△ABC A ．090 B ．6．在△ABC 2tan b B A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形二、填空题1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。
3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+==则z y x ,,的大小关系是___________________________。
4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+-+C A C A C A sin sin 31cos cos cos cos ______。
5．在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。
6．在△ABC 中，若ac b =2，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。
三、解答题1．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。
2． 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=-求△ABC 的面积的最大值。
3． 已知△ABC4． 在△ABC ,,A B C 的大小与边,,a b c（数学5必修）第一章 [基础训练A 组]一、选择题1.C 00tan 30,tan 302b b a c b c b a=====-=2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,,22A A B A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<> 4.D 作出图形 5.D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或01506.B 1.12 2.01203.6-4. 1205. 4 1. 所以△ABC 是直角三角形。
2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bca cb A 2cos 222-+=代入右边 得右边2222222222()222a c b b c a a b c abc abc ab+-+--=-= 22a b a b ab b a-==-=左边， ∴)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222A C A CB B +-=，∴1sin cos 2224B A C -==，而0,22B π<<∴cos 24B =，∴sin 2sin cos 2B B B ===391.CA 2.A A3.D4.D5.B (a b6.C 2c7.D 所以A B =或2A B += 二、填空题1.3392 211sin 4,13,222ABC S bc A c c a a ∆==⨯==== sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++2.> ,22A B A B ππ+>>-，即sin()2tan tan()2cos()2B A B B πππ->-=- cos 1sin tan B B B ==，1tan ,tan tan 1tan A A B B>> 3. 2 sin sin tan tan cos cos B C B C B C+=+ sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2B C B C B C A B C A A +++=== 4. 锐角三角形5. 060 cos A =6． 三、解答题1.解：12ABC S ∆=22a b =+所以,1=b 2. 证明：∵△ ∴sin A ∴sin A ∴tan A 3. 证明：∵sin2sin 2222=2sin (cos cos )222A B A B A B +-+=+2cos 2cos cos 222C A B =⋅ 4cos cos cos 222A B C = ∴2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++4．证明：要证1=+++ca b c b a ，只要证2221a ac b bc ab bc ac c +++=+++， 即222a b c ab +-=而∵0120,A B +=∴060C =2222220cos ,2cos 602a b c C a b c ab ab ab+-=+-== ∴原式成立。
5．证明：∵223cos cos 222C A b a c += ∴1cos 1cos 3sin sin sin C A B A C ++⋅+⋅= ABC S =cos B = B << 二、填空题1. 对 ,sin sin B A >则22a b a b A B R R >⇒>⇒> 2. 直角三角形 21(1cos 21cos 2)cos ()1,2A B A B +++++= 21(cos 2cos 2)cos ()0,2A B A B +++= 2cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++=cos cos cos 0A B C =3. z y x << ,,sin cos ,sin cos ,22A B A B A B B A y z ππ+<<-<<< ,sin sin sin ,,c a b C A B x y x y z <+<+<<<4．1 sin sin 2sin ,2sin cos 4sin cos 2222A C A C A C A C A CB +-+++== cos 2cos ,cos cos 3sin sin 222222A C A C A C A C -+== 则221sin sin 4sin sin 322A C A C = 1cos cos cos cos sin sin A C A C A C +-+5. 3[π6．1 1.2. 解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ⋅-⋅=-222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-2222220,cos ,4522a b c a b c C C ab +-+-====2222,2sin ,2,sin c R c R C a b R C===+-= 222222,R a b ab ab +=+≥≤21sin 244S ab C ab ==≤2max 212R S +=另法：1sin 2sin 2sin 244S ab C R A R B ===⨯22sin 2sin sin sin 4R A R B A B =⨯⨯=21[cos()cos()]2A B A B =⨯⨯--+21[cos()22A B =⨯⨯-+≤3. 解：a 4. 解：( 得tan tan ⎧⎪⎨⎪⎩ 当0075,45A C ==时，1),8bc a ==== 当0045,75A C ==时，1),8sin b c a A==== ∴当00075,60,45A B C ===时，8,1),a b c ===当00045,60,75A B C ===时，8,1)a b c ===。