第8章正交试验设计

结论：A2B1C1D2是较优组合，又是5号处理，故 不必做验证试验。
A B
B1
B2
A1
A1B1＝9.2+3.6 =12.8
A1B2＝3.8+8.6 =12.4
A2
A2B1＝12.0+9.4 =21.4
A2B2＝6.9+4.2 =11.1
A2B1→A1B1→A1B2→A2B2
A C
C1
C2
A1
A1C1＝9.2+3.8 =13.0
二、无交互作用的正交试验
1、确定试验指标
面块含油率％――单指标试验（要求：含油率低）
2、确定试验的因素与水平
面块的油面高度A、油炸温度B、油炸时间C。
3、选用正交表
L F＝3，l＝3：选正交表
34 9
因素 水平
A(油面高度cm)
B(油炸温度℃) C(油炸时间s)
1
2.5
160
60
2
4.0
165
68
1
1
1）试验产生指标值(展开)：
2
1
y1= yA1+ yB1+ yC1+ ε1 ①
3
1
y2= yA1+ yB2+ yC2+ε2
②
4
2
y3= yA1+ yB3+ yC3+ε3
③
y4= yA2+ yB1+ yC2+ε4
④
y5= yA2+ yB2+ yC3+ε5
⑤
y6= yA2+ yB3+ yC1+ε6
⑥
首先要知道：因素（F），水平（l） 例：练习找正交表
因素、水平 F＝3，l＝2 F＝7，l＝2 F＝4，l＝3 F＝15，l＝2
全面试验 t＝23＝8 t＝27＝128 t＝34＝81 t＝215＝32768
正交试验 t＝4 t＝8 t＝9 t＝16
L23 4
L27 8
L34 9
L21 5 16
结论：正交试验可以大大减少试验数据处理量； 问题：是否能代替全面试验？
2）选表－要求f表≥6
选用L4(23)，f表=3，自由度不够， 选用L8(27)， f表=7，满足要求。
a b ab c ac bc abc 名 1 2 3 4 5 6 7 号名 (1) 3 2 5 4 7 6 1 a
(2) 1 6 7 4 5 2 b
(3) 7 6 5 4 3 ab
3）上列－右上表
用的配方及铁水温度为2水平，考察因素
FA B
C
D
及交互作用AB、AC、BC的效应。
t (C%) (Ni%) (Cr%) (℃ )
1) 排因素水平表(右上)
1 0.12 2.5 0 1620 2 0.07 4.0 3.5 1560
2) 确定试验指标: 试样的延伸率
3) 选用正交表: L8(27)
① ∑f因=4×(2－1)=4
）+ε3+ε5+ε7
εi是随机误差，且∑εk～(0,σ2) ，从等式中去除不影响对比。
三、正交试验特点
3）计算各水平的平均效应（ ∑εk→0
kA1=KA1/3=yA1+ (yB1+yB2+yB3+yC1+yC2+yC3)/3 kA2=KA2/3=yA2+ (yB1+yB2+yB3+yC1+yC2+yC3)/3 kA3=KA3/3=yA3+ (yB1+yB2+yB3+yC1+yC2+yC3)/3 可见：kA1、kA2、kA3三者的唯一差异是yA1、yA2、yA3； 同理：kB1、kB2、kB3三者的唯一差异是yB1、yB2、yB3；
3
5.0
150
75
二、无交互作用的正交试验
4、将因素水平上列
F T
A
B
C
D
含油率 yi ％
每个因素上1列；
1
1
1
1 1 27.5
列数>=因素个数； 得到9个试验处理
2
1
2
2 2 24.9
3
1
3
3 3 24.9
5、安排试验（ Fisher准则）
4
2
1
2 3 25.3
设置区组：试验环境相同。
(4) 1 2 3 4 c
4）上列依据―正交表的交互作用列表
(5) 3 2 5 ac (6) 1 6 bc
(7) 7 abc
•若第1列A，第2列B，则交互作用AB必须在第3列，C和D只能排入4，5，6，7中的任意两列。
四、考虑交互作用的正交试验设计
2、有交互作用的正交试验（举例）
例：为消除Cr，Ni2合金铸铁叶片的脆性，采 因素水平表
y7= yA3+ yB1+ yC3+ε7
⑦
y8= yA3+ yB2+ yC1+ε8
⑧
5
2
6
2
7
3
8
3
9
3
y9= yA3+ yB3+ yC2+ε9
⑨
B C D Yi
1
1 1 y1
2
2 2 y2
3
3 3 y3
1
2 3 y4
2
3 1 y5
3
1 2 y6
1
3 2 y7
2
1 3 y8
3
2 1 y9
三、正交试验特点
表头设计
② ∑f交=fAB+fAC+fBC=3 ③ f表≥∑f因＋∑f交=4+3=7 4) 设计表头
1 2 3 4 5 6 7 指标值
5)
A B AB C AC BC D 延伸率
① 试验处理由1,2,4,7列因素水平组成；
② 交互作用仅在结果分析时用到;
③ 进行试验时应随机进行。
四、考虑交互作用的正交试验设计
第8章 正交试验设计
一、正交表
1．作用 正交表：是根据组合数学的原理排列而成，安排正交试验
的因素和水平，决定试验的组合处理的一种特殊表格。
2．形式
F
L：正交表 源于拉丁方(Latin square) t：试验处理数（Thing）即：正交表的行数；
l l：因素的水平数（Level）
Lt F：可安排的因素数（Factor）即：正交表的列数
为何通过极差能区分因素主次？
B1 B2
B3 C1
② 为何比较各水平均值k能得出较优 组合？
假设： 1）暂不考虑因素间的交互作用； 2）试验误差为随机误差， ∑ εi～(0,σ2)
C2
C3
三、正交试验特点
试验指标观察值为：
yk=相关因素水平效应之和＋随机误差
F t
A
＝∑yij＋εk
(i=因素，j＝水平，k＝处理)
KB2=②+⑤+⑧=3yB2+（ 同上
）+ε2+ε5+ε8
KB3=③+⑥+⑨=3yB3+（ 同上 ）+ε3+ε6+ε9
KC1=①+⑥+⑧=3yC1+（yA1+yA2+yA3+yB1+yB2+yB3）+ε1+ε6+ε8
KC2=②+④+⑨=3yC2+（ 同上
）+ε2+ε4+ε9
KC3=③+⑤+⑦=3yC3+（ 同上
6) 试验结果分析
列号
A C% B Ni% AB C Cr% AC BC
D℃
指标值
1
2
3
45
6
7
延伸率％
1
1
1
1
11
1
1
9.2
2
1
1
1
22
2
2
3.6
3
1
2
2
11
2
2
3.8
4
1
2
2
22
1
1
8.6
5
2
1
2
12
1
2
12.0
6
2
1
2
2
1
2
1
9.4
7
2
2
1
1
2
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
6.9
8
2
2
1
2
1
1
2
4.2
K1
25.2 34.2 23.9 31.9 26.6 34.0 23.6
=1/2|(6.4+5.55)-(6.2+10.7)|=2.47
同样：
RBC=1/2|(A1C1+A2C2)-(A1C2+A2C1)|=2.57
RAC=1/2(B1C1+B2C2)-(B1C2+B2C1)|=1.13 公式计算与极差相等，极值可以判断交互作用大小； 交互作用对指标影响较大，但AB,AC,BC各有四种组合 方式（右表） ；
1）计算自由度：
方案1 A B AB D AD
C
∑f因=fA+fB+fC+fD=(2-1)×4=4
方案2 A AB B D AD C
∑f交＝fAB＋fAD=fA×fB＋fA×fD
方案3 D A AD B C AB
=(2-1)(2-1)×2=2
方案4 AB A B C D
AD
f表≥∑f因＋∑f交＝4＋2＝6
2）计算KA、KB、KC
KA1=①+②+③=3yA1+（yB1+yB2+yB3+yC1+yC2+yC3）+ε1+ε2+ε3
KA2=④+⑤+⑥=3yA2+（ 同上 ）+ε4+ε5+ε6
KA3=⑦+⑧+⑨=3yA3+（ 同上 ）+ε7+ε8+ε9
KB1=①+④+⑦=3yB1+（yA1+yA2+yA3+yC1+yC2+yC3）+ε1+ε4+ε7
② 结果显示A2B2C2 组合为24.2%，优于 现有结果。
t F A油高 B温度 C时间 D
含油率 yi ％
1
1 1(160) 1(68) 1 27.5
2
1 2(165) 2(60) 2 24.9
3 1(2.5) 3(150) 3(75) 3 24.9
4
2
1
2
3
25.3
5
2
2
3
1
26.0
6 2(3.5)
kC1、kC2、kC3三者的唯一差异是yC1、yC2、yC3； 结论：
① 水平的效应值是由唯一差异引起，可进行比较，推断最佳组合。 ② 因素之间的横向比较，可通过极差得出因素的主次：
RA＝yAmax-yAmin， RB＝yBmax-yBmin， RC＝yCmax-yCmin，
（极差↑说明该因素水平的变化对处理的效应显著）。
四、考虑交互作用的正交试验设计
无交互作用的试验：仅考虑各因素单独对试验指标作用的试验。 交互作用：几个因素组合，联合对指标产生影响。
1、正交表的选表原则
交互作用的表头设计，因素列和交互列必须按一定次序排列。
① 每个试验因素占用正交表上的一列； ② 因素的交互作用应安排在相应的交互作用列上； ③
要求：必须选择列数足够的正交表 引出因素自由度和正交表选择依据。 自由度：正交表上允许安排试验因素或交互作用多少的程度。 正交表的选择依据：因素的自由度＋交互作用的自由度
因素主次
D → B → BC→AB→A→C→AC
展望组合
A2B1C1D2
四、考虑交互作用的正交试验设计
7
由表可见交互作用的极差分别为：
RAB=2.47；RBC=2.57；RAC＝1.13
若按交互作用公式计算（第1章内容）：
A1B1=(9.2+3.6)/2=6.4； A1B2＝(3.8+8.6)/2=6.2； A2B1＝(12.0+9.4)/2＝10.7； A2B2＝(6.9+4.2)/2=5.55。 RAB=1/2|(A1B1+A2B2)-(A1B2+A2B1)|
含油率 小好
主次： B→C→A ； 可能最优 A2B2C2
三、正交试验特点
1、正交表的分散性与代表性
A3 正交试验：减少试验次数，经济。
问题：部分试验能否代表全面试验?
右图所示：
A2
① 每个面均布3个点（处理）；
② 每条线有1个试验点；
A1
正交试验的特点：
① ②
2、可比性
①
分布均匀分散 得到的较优组合，具有代表性。
5
2
2
3 1 26.0
随机化处理：顺序随机化，消 除系统误差。
重复试验：将重复试验的均值 填入表中yi栏。
6
2
3
1 2 25.9
7
3
1
3 2 26.6
8
3
2
1 3 25.1
9
3
3
2 1 25.8
二、无交互作用的正交试验
6、计算分析（极差分析法）
① 计算K值：（各因素水平对指标的总影响）
KA1，KB1，KC1；KA2，KB2，KC2；KA3，KB3，KC3。
（包括交互作用列）
一、正交表
例如：
L 二水平正交表： 23 4
L27 8
L21 1 12
L21 5 16
...
L 三水平正交表： 34 9
L313 ... 27
混合型正交表：
Ll1F1 l2 F2 t
l1：F1个因素的水平个数； l2：F2个因素的水平个数；
L3243 94 一、正交表
3．查正交表的原始数据
① 因素自由度：f因=因素水平数－1 ② 交互作用自由度：f交＝fAB＝fA×fB （对应因素自由度的乘积）
正交表的自由度： f表≥∑f因＋∑f交
四、考虑交互作用的正交试验设计
例：将A,B,C,D 4因素 2水平，交互作用为： 列 1 2 3 4 5 6 7
AB、AD的正交试验表设计表头。
Factor a b ab c ac bc abc
3
1
2
25.9
7
3
1
3 2 26.6
8
3
2
1 3 25.1
9 3(5.0) 3
2 1 25.8
K1 77.3 79.4 78.5 K2 77.2 76.0 76.0 K3 77.5 76.6 77.5 k1 25.77 26.47 26.17 k2 25.73 25.32 25.33 k3 25.83 25.53 25.83 R 0.10 1.15 0.84
K2
32.5 23.5 33.8 25.8 31.1 23.7 34.1 延伸率
k1
6.30 8.55 5.98 7.98 6.65 8.50 5.85 越长越好
k2
8.13 5.88 8.45 6.45 7.78 5.93 8.53
极差R 1.83 2.67 2.47 1.53 1.13 2.57 2.68
KA1＝27.5+24.9+24.9=77.3 ② 求k 值（各因素水平的平均影响）：
kA1= KA1/3，… ③ 求极差R= k max- k min ④ 根据极差判断因素（影响）主次 ⑤ 找出最优组合（展望）A2B2C2
7、试验验证
① 对A2B2C2组合进行验证试验，并和直 观分析最佳处理对比；
A1C2＝3.6+8.6 =12.2
A2
A2C1＝12.0+6.9 =18.9
A2C2＝9.4+4.2 =13.6