高中数学第四章典型统计案例4.3列联表独立性分析案例课件

解 根据题目所给数据得到如下列联表：
秃顶与患心脏病列联表 患心脏病 秃 顶 不秃顶 214 451 患其他病 175 597 总 计 389 1 048
总 计
665
772
1 437
根据列联表中的数据，得到
2 1 437 × 214 × 597 － 175 × 451 χ2＝ ≈16.373>6.635. 389×1 048×665×772
答案 A
2．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，则其 两个变量间有关系的可能性为 ( )．
A．99%
C．90% 解析
B．95%
D．无关系
因为 χ2 ＝ 13.097,13.097>6.635 ，所以两个变量间有
关系的可能性为99%. 答案 A
3．用χ2统计量进行独立性检验时，使用的表称为________， 要求表中的四个数据均大于________．
否拒绝原来的统计假设H0.如果算出的χ2值较大，就拒 绝H0，也就是拒绝“事件A与B无关”，从而就认为它 们是有关的了．
经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值： 3．841与6.635.当根据具体的数据算出的 χ2>3.841时，有95% 的把握说事件 A 与 B有关；当 χ2>6.635 时 ，有 99% 的把握说事
答案 2×2列联表 5
4．下面是一个2×2列联表：
y1 x1 x2 总 计 a 6 b
y2 25 32 57
总计 45 38
则表中a、b处的值分别为______、______. 解析 a＋25＝45，∴a＝20，又a＋6＝b，∴b＝26. 答案 20 26
名师点睛 1．两个事件A与B独立的含义 如果事件A与B的发生彼此互不影响，或者影响可以忽略 不计，就可以认为它们是独立的．如果把事件A，B同时 发生记作AB，那么就有P(AB)＝P(A)P(B)，此时还有P( A B)＝P( A )P(B)，P(A B )＝P(A)P( B )，P( A P( A )P( B )． B )＝
所以，有99%的把握认为语文、数学、英语、综合科目上线 与总分上线有关系，数学上线与总分上线关系最大．
方法点评
在掌握了独立性检验的基本思想后我们一般通过
计算 χ2 的值，然后比较 χ2 值与临界值的大小来较精确地给出
“两个分类变量”的可靠程度．
【训练2】 某校高三年级在一次全年级的大型考试中 ，数学
95% 的 把 2．当根据具体的数据算出的χ2>3.841时，有 99% 握说事件A与B 有关 ；当χ2>6.635时，有 的把握说事 有关χ2≤3.841时，认为事件A与B是 件A与B ，当 的． 无关
自主探究 什么是独立性检验的基本思想？ 提示 独立性检验的基本思想类似于反证法， 要确认“两个 分类变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设该结论
[错因分析] 提出统计假设H0：种子是否经过处理与是否生
2 407 × 32 × 213 － 101 × 61 病无关．χ2＝ ≈0.164<3.841，所 133×274×93×314
以种子是否经过处理与是否生病无关．
[正解] B
纠错心得
本题是利用 χ2 公式求出 χ2 的值，再利用与临界值
4.3 列联表独立性分析案例
【课标要求】 1．通过典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联 表)的基本思想、方法及其简单应用．
2 ．本节的重点和难点是独立性检验的思想、方法及其初步
应用．
自学导引 1．在 2× 2 列联表中，χ2 统计量的计算公式为 nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d 2 χ＝ ， n＝ a＋b＋c＋d .
件A与B有关；当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．
3．反证法原理与独立性检验原理的比较
反证法原理—— 在假设 H0 下，如果推出一个矛盾 ，就证明
了H0不成立． 独立性检验原理 —— 在假设H0 下，如果出现一个与 H0 相矛 盾的小概率事件 ， 就推断 H0 不成立 ， 且该推断犯错误的 概率不超过小概率．
一般地，如果事件A1、A2、…，An相互独立，那么这n个事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积，即
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．χ2(读作“卡方”)统计量 统计学中有一个非常有用的χ2统计量，它的表达式是：
2 n ad － bc χ2＝ ，用它的大小可以决定是 a＋bc＋da＋cb＋d
2 244 × 174 × 13 － 27 × 30 语文：χ2 ≈7.294>6.635， 1＝ 201×43×204×40
2 244 × 178 × 20 － 23 × 23 数学：χ2 ≈30.008>6.635， 2＝ 201×43×201×43 2 244 × 176 × 19 － 25 × 24 英语：χ2 ≈24.155>6.635， 3＝ 201×43×200×44 2 244 × 175 × 17 － 26 × 26 综合科目：χ 2 ≈17.264>6.635， 4＝ 201×43×201×43
典例剖析 题型一 两个事件的独立性检验 【例1】 某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传“在
服用该药品的105人中有100人未患A疾病”．经调查发现，
在不服用该药品的 418 人中仅有 18 人患 A 疾病 ， 请用所学 知识分析该药品对患A疾病是否有效？
解 将问题中的数据写成2×2列联表：
患A疾病 服用该药品 不服用该药品 合计 5 18 23 不患A疾病 100 400 500 合计 105 418 523
不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该
假设下构建的随机变量χ2应该很小．如果由观测数据计算得 到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．
预习测评 1．若事件 A 与事件 B 相互独立，则下列各式不正确的是 ( A．P( A B )＝P( A )＋P( B ) B．P( A B)＝P( A )P(B) C．P(A B )＝P(A)P( B ) D．P(AB)＝P(A)P(B) )．
176
25
175
26
续表
总分不上 线43人 总计
来自百度文库
30
204
13
40
23
201
20
43
24
200
19
44
26
201
17
43
试求各科上线与总分上线之间的关系，并求出哪一科目与总 分上线关系最大？
解
2 对于上述四个科目，分别构造四个随机变量χ 2 1 ，χ 2 ，
2 χ2 ， χ 3 4.
由表中数据可以得到
的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与
计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断．
所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”．
题型二 独立性检验的综合应用
【例2】 某市对该市一重点中学2010年高考上线情况进行统 计，随机抽查244名学生，得到如下表格：
语文 上线 总分 上线 201人 不上 线
数学
英语 不上 线
综合科目 上 线 不 上 线
上线 不上线 上线
174
27
178
23
①根据样本数据制成2×2列联表；
②根据公式，计算χ2的值； ③比较χ2与临界值3.841与6.635的大小，作统计推断．
【训练1】 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人 中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住 院的男性病人中有175人秃顶．请用独立性检验方法判 断秃顶与患心脏病是否有关系？
将表中数据代入公式计算得χ2≈240.611. 由上面分析可知，数学成绩优秀与物理、化学优秀都有关系， 由计算χ2的值都大于 6.635，可以说明都有 99%的把握认为数 学优秀与物理、化学优秀有关系，但与物理关系最大，化学
其次．
误区警示 不能准确理解两个变量相关的统计
含义导致错误 【例3】 考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到 如下数据：
2 n ad － bc 将上述数据代入公式χ2＝ 中，计算 a＋bc＋da＋cb＋d
可得χ2≈0.041 4，因为0.0414<3.841，故没有充分理由认为 该保健药品对预防A疾病有效．
方法点评
(1)利用独立性假设可以帮助我们定量分析两个分
类变量之间是否有关系，因此利用它可以帮助我们理性地看 待广告中的某些数字，从而不被某些虚假广告所蒙骗． (2)独立性检验的一般步骤：
成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学也为优秀的人 数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学也优秀哪 个关系较大？
物理 数学优秀 数学非优秀 228 143
化学 225 156
注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有 360人，非优秀
的有880人．
解 (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：
物理优秀 数学优秀 228
种子经过处理 种子未经过处理
生病 不生病 合计 32 61 93 101 213 314
合计
133 274 407
根据以上数据可以判断
A．种子是否经过处理跟是否生病有关 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理决定是否生病 D．以上都是错误的
(
)．
[错解]
因为种子经过处理后，生病的可能性会变小，故选A.
物理非优秀 132
合计 360
数学非优秀 合计
143 371
737 869
880 1 240
将表中数据代入公式χ2得χ2≈270.114.
(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：
化学优秀 数学优秀 数学非优秀 合计 225 156 381 化学非优秀 135 724 859 合计 360 880 1 240