高中物理的数学方法

高中物理的数学方法

人们常说，数理不分家。学好数学知识是解决物理问题的重要基础，这一点在高中物理中显得尤为突出。现行高考《物理考试大纲》中对学生的能力考核有五个方面，其中第四种能力为应用数学处理问题的能力，要求能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。由此可见，数学知识在物理解题中的重要性。

近年来，由于高考命题多为大学教师为主，而大学物理教材基本上都是通过数学来表达和处理的。另一方面，高考命题又负担着为高校选拔人才的使命，所以在物理学科命题时加大数学知识，拉开档次，更有利于理科方面人才的选拔。故用数学方法处理物理问题的能力在近年的高考中表现得日益突出。

多年的教学发现，在中学阶段，多数考生往往不是数学学得不好，而缺乏的是运用数学思想（数学方法）处理物理问题的意识。其实，任何一个物理公式就是一个函数，只要将物理公式中的自变量、因变量、常量与数学函数相应的解析式对应，分析起来自然很清楚，问题也能很容易得到正确解决，但学生很难有这种转换思维。这就要求教师在对学生的平时训练中引导学生树立函数思想，遇到一些较为复杂的物理问题要敢于和善于转换为函数或函数图像来

解决。本文就是想通过一些典型例题，起到“抛砖引玉”的作用，期望对学生的物理学习有所指引和帮助。

那么，在高中物理解题中，常运用的数学方法有哪些呢？它包括函数图像法、均值不等式法、极值法、几何图形法等。

一、三角函数极值法

例：如图所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成θ角的斜向右上方的拉力f的作用下沿水平地面运动，物体与地面间的动摩擦系数为μ，求：当物体以恒定加速度a向右做匀加速直线运动时，拉力f的最小值。

解析：物体受力如图所示，根据正交分解法，列方程有

fcosθ-f=ma；fsinθ+n=mg；f=μn

得：fm（a+μg）cosθ+μsinθ=m（a+μg）1+μ2sin（θ+φ）显然，当θ+φ=90°时，即sin（θ+φ）=1时，f有最小值

即：fi=m（a+μg）1+μ2

二、函数图像法

例：如图所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右做匀速直线运动，经过半径为r，磁感强度为b的圆形匀强外场区域，导体棒中的感应电动势e与棒的位置x的关系图像是（）

解析：当导体棒运动到位置坐标为x时，感应电动势

e=blv=bv2r2-（r-x）1 平方得： e2=4b2v2[r2-（r-x）2] 令：4b2v2=k 得：e2k+（r-x）2=r2

显然：e随x的变化满足椭圆方程，故选a。

三、均值不等式法

例：某人站在水平地面上，手握不可伸长的软绳一端，绳的另

一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。若改变绳长l（且l小于d），绳的最大承受力为3mg（不变），保持手的位置不动，当绳在球运动到最低点时恰好断掉，要使球飞行的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

解析：设小球在最低点时速度为v，绳的最大拉力为t，据牛顿第二定律：

t-mg=mv2l；t=3mg，则v=2gl

因绳断后，小球做平抛运动，则d-l=12gt2；x=vt；x=2l（d-l）据均值法，要使x最大，应有：l=d-l；l=d2 故xm=2l

四、待定系数法

例：如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨mn、pq平行固定在倾角为θ=37°的绝缘斜面上，两导轨间距l=1m，导轨的电阻可以忽略不计。m、p两点间接有阻值为r的电阻。一根质量m=1kg、电阻r=0.2 的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度b=0.5t的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为f=0.5v+2（式中v为杆ab运动的速度，力f的单位为n）、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻r的电流随时间均匀增大。（g取10m/s2，sin37°=0.6）

（1）试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，并请写出推

理过程。

（2）求电阻r的阻值。

解析：（1）因为通过r的电流随时间均匀增大，而i=blvr+r 说明v随时间均匀增大，故导体棒做初速为零的匀加速直线运动。

（2）根据牛顿第二定律：f+mgsinθ-f安=ma

又f安 =bil 将f代入整理得：（0.5-b2l2r+r）v+mgsinθ+2=ma

显然， a是v的一次函数，要使a恒定不变，必有（0.5-b2l2r+r）=0 代入数据解得 r = 0.3 。

从以上实例可以看出，利用数学知识解决物理问题会经常出现在一些综合题中。所以，只有加强对学生的综合训练，逐步树立数理思维，才能提高学生解题能力，使学生在高考中取得好的成绩。