中考专题复习三角形全等的辅助线专题

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中考数学专题复习全等三角形之辅助线倍长中线法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线倍长中线法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，己知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是（）A ．2＜AD ＜8B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜5 D ．4≤AD ≤82．在ABC 中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围（）A ．212AB << B ．412AB <<C ．919AB <<D ．1019AB <<3．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52C ．5D ．34．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，若3,4AC AD ==．则AB 的长不可能．．．是（）A．5B．7C．8D．9评卷人得分二、填空题5．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，3AC=，5AD=，则AB的取值范围是________．6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，△FAD＝60°，AE平分△FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF ＝__．评卷人得分三、解答题7．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．8．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，△AOB+△COD＝180︒．（1）若△BOE＝△BAO，AB＝22，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．9．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，6AB=，10AC=，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使DE AD=，连接BE．根据______可以判定ADC≌△______，得出AC=______．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在ABE△中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在ABC中，90A∠=，D是BC边的中点，90EDF=∠，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：222BE CF EF+=．【问题拓展】（3）如图3，ABC中，90B=∠，3AB=，AD是ABC的中线，CE BC⊥，5CE=，且90ADE∠=．直接写出AE的长＝______．10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD 平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．11．如图，ABC中，BD DC AC==，E是DC的中点，求证：2AB AE=．12．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED△△ABD．△请证明△CED△△ABD；△中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，△ABM＝△NBC＝△90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．13．已知ABC 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD ∠=∠，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC 内部，且满足AD BC =，BAD DCB ∠=∠，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．14．如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．15．如图，AD 为ABC 中BC 边上的中线()AB AC >．（1）求证：2AB AC AD AB AC -<<+；（2）若8cm AB =，5cm AC =，求AD 的取值范围．16．（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．17．（1）如图1，△ABC 中，AD 为中线，求证：AB +AC ＞2AD ；（2）如图2，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE △DF 交AB 、AC 于E 、F ．求证：BE +CF ＞EF ．18．定义：如果三角形三边的长a 、b 、c 满足3a b cb ++=，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 交BC 于点D ，过点D 作DF △AC ，垂足为F ，交AB 的延长线于E ，求证：EF 是△O 的切线；（3）在（2）的条件下，若53BE CF =，判断AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．19．课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D 是ABC 边BC 的中点，5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作//BE AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE BD⊥于点E，过点A作AF AE⊥，且AF AE=，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG CG=．20．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），△延长AD到M，使得DM＝AD；△连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；△利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，△BAE＝△CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．21．如图，在△ABC中，△ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC△BC，求AB的长．22．如图，ABC∆中，3AB=，4AC=，AD为中线，求中线AD的取值范围．23．（1）方法呈现：如图△：在ABC中，若6AB=，4AC=，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE AD=，再连接BE，可证ACD EBD△≌△，从而把AB、AC，2AD集中在ABE△中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图△，在ABC中，点D是BC的中点，DE DF⊥于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE CF+与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图△，在四边形ABCD中，//AB CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF∠的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．24．在等腰Rt△ABC中△ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中△CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2 2，求BF的长．（2）如图2，连接BE、BD、EF，当△DBE＝45°时，求证：EF＝12ED．25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD是ABC∆的中线，7,5,AB AC==求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使DM AD=，连接BM，易证ADC MDB∆≅∆，所以BM AC=．接下来，在ABM∆中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是；（2）如图2，AD是ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点,F且AE EF=，求证：AC BF=；（3）如图3，在四边形ABCD中，//AD BC，点E是AB的中点，连接CE，ED且CE DE⊥，试猜想线段,,BC CD AD之间满足的数量关系，并予以证明．26．已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF AC⊥，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若2tan 2ACD ∠=． △求证：AF BF =；△连接BE ，求证：2CD BE =．（2）如图2，若2AF AB BF =⋅，求cos FDC ∠的值．27．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ，AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．经过讨论，同学们得到以下思路：如图△，添加辅助线后依据SAS 可证得△ADC △△GDB ，再利用AE ＝EF 可以进一步证得△G ＝△F AE ＝△AFE ＝△BFG ，从而证明结论．完成下面问题：（1）这一思路的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．28．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若△BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．29．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC △EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．30．在ABC ∆与CDE ∆中，90ACB CDE ∠=∠=︒，26AC BC ==，2CD ED ==，连接,AE BE ，点F 为AE 的中点，连接DF ，CDE ∆绕着点C 旋转．（1）如图1，当点D 落在AC 的延长线上时，DF 与BE 的数量关系是：__________；（2）如图2，当CDE ∆旋转到点D 落在BC 的延长线上时，DF 与BE 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；（3）旋转过程中，若当105BCD ∠=︒时，直接写出2DF 的值．参考答案：1．B 【解析】【分析】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，先证ABD ECD ≅，得AB CE =，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围．【详解】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ， AD 是△ABC 中BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD △与ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABD ECD ∴≅，5AB CE ∴==，在ACE 中，由三角形三边关系得：CE AC AE CE AC -<<+，3AC =，2AE AD DE AD AD AD =+=+=，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．C【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB =CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．【详解】解：如图，延长AD 至E ，使DE =AD ，△AD 是△ABC 的中线， △BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， △△ABD △△ECD （SAS ）， △AB =CE ， △AD =7， △AE =7+7=14， △14+5=19，14-5=9， △9＜CE ＜19，即9＜AB ＜19．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 3．C【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长．【详解】解：延长BE 交CD 延长线于P ， ∵AB ∥CD ， ∴∠EAB ＝∠ECP ，在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△CEP （ASA ） ∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5 又∵CD ＝3， ∴PD=2， △4BD =△2225BP DP BD =+= ∴BE ＝12BP ＝5．故选：C ．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP ． 4．A 【解析】延长AD 到E ，使AD =DE ，证明△ADC △△EDB ，然后利用三边关系即可得出结论．【详解】解：延长AD 到E ，使AD =DE =4，连接BE ，△D 是BC 的中点， △BD =CD 又△BDE =△CDA △△ADC △△EDB ， △BE =AC =3由三角形三边关系得，AE BE AB AE BE -<<+ 即：511AB << 故选：A 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．713AB << 【解析】【分析】延长AD 至点E ，使DE=AD ，证明ABD ECD ≅,由全等性质求出相关的线段长度，在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<，代入数值即可得到答案．【详解】解：延长AD 至点E ，使DE=AD ，如下图：△D 是BC 的中点 △BD =CD在ABD △和ECD 中：BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABD ECD ≅ △=AB EC △AD =5 △AE =10在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<得：713EC << 即：713AB << 故答案为：713AB << 【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键． 6．4 【解析】【分析】延长AE ，BC 交于点G ，判定△ADE△△GCE ，即可得出CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，再根据三线合一即可得到FE△AG ，进而得出Rt △AEF 中，EF ＝12AF ＝4．【详解】解：如图，延长AE ，BC 交于点G ，△点E 是CD 的中点，△DE ＝CE ，△平行四边形ABCD 中，AD△BC ，△△D ＝△ECG ，又△△AED ＝△GEC ，△△ADE△△GCE ，△CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，又△AE 平分△FAD ，AD△BC ，△△FAE ＝△DAE ＝△G ＝12△DAF ＝30°， △AF ＝GF ＝3+5＝8，又△E 是AG 的中点，△FE△AG ，在Rt △AEF 中，△FAE ＝30°，△EF ＝12AF ＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．7．(1)6a =，10b =(2)2<CD <8【解析】【分析】（1）把()()211x a x b -+-+展开，然后根据多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b的形式，可得2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB△△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：△()()211x a x b-+-+221x x ax a b=-++-+()221x a x a b=+-+-+，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b△2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，解得：610ab=⎧⎨=⎩；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，△CD是AB边上的中线，△BD=AD，在△CDB和△HDA中，△CD=DH，△CDB=△ADH，BD=DA，△△CDB△△HDA（SAS），△BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，△10-6<2CD<10+6，△2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．8．（1）2；（2）12OE CD=，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知条件△BOE＝△BAO，且公共角OBE ABO∠=∠，证明△OBE△△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得OB；（2）延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB，证明△AOF△△DOC，进而可得OF CD=，即12OE CD=【详解】（1）解：△△BOE＝△BAO，OBE ABO∠=∠，△△OBE△△ABO，△BE OBOB AB=，△AB＝22，E为AB的中点，△2BE=△222OBOB=，△2OB=（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：12OE CD=，理由如下，证明：如图，延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB.△AE BE=△四边形AFBO是平行四边形，△AF OB ∥，AF OB =，△180FAO AOB ∠+∠=︒，△△AOB +△COD ＝180︒，△FAO COD ∠=∠，△OB ＝OC ，△AF OC =，在△AOF 和△DOC 中， OA OD FAO COD AF OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOF △△ODC ，△OF CD =△12OE CD =. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键． 9．（1）SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）见解析；（3）7．【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；（2）延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，根据垂直平分线的性质得到EF GF =，然后利用SAS 证明BDE CDG ≌，得到BE CG =，B DCG ∠=∠，进而得到18090ACG A ∠=︒-∠=︒,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD 交EC 的延长线于点F ，根据ASA 证明ABD FCD ∆∆≌，然后根据垂直平分线的性质得到AE CF =，最后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）在ADC 和EDB △中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ADC EDB SAS ≌△△， △10AC BE ==．△6AB =，△<<BE AB AE BE AB -+，即106<<106AE -+，△4<<16AE ，△4<2<16AD ，解得：2<<8AD ；故答案为：SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）如图所示，延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，△90EDF =∠，△EF GF =，在BDE 和CDG 中， BD CD BDE CDG DE GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BDE CDG SAS ≌△△， △BE CG =，B DCG ∠=∠，△AB CG ∥，△18090ACG A ∠=︒-∠=︒，△在Rt FGC △中，222CG FC FG +=，△222BE CF EF +=；（3）如图所示，延长AD 交EC 的延长线于点F ，△,AB BC EF BC ⊥⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD FCD ASA ∴∆∆≌，△3CF AB ==，AD DF =，△90ADE ∠=，△AE EF =，△538EF CE AB =+=+=，△8AE =．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．10．[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x ＜4【解析】【分析】[探究与发现]由ASA 证明△ABC △△EDC 即可；[理解与应用]（1）延长AE 到F ，使EF =EA ，连接DF ，证△DEF △△CEA （SAS ），得AC =FD ，再证△ABD △△AFD （AAS ），得BD =FD ，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB =AF =2x ，再由三角形的三边关系得AD -BD ＜AB ＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【详解】解：[探究与发现]证明：△DE△AB，△△B=△D，又△BC=DC，△ACB=△ECD，△△ABC△△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，△点E是CD的中点，△ED=EC，在△DEF与△CEA中，EF EADEF CEAED EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△DEF△△CEA（SAS），△AC=FD，△△AFD=△CAE，△△CAE=△B，△△AFD=△B，△AD平分△BAE，△△BAD=△F AD，在△ABD与△AFD中，BAD FAD AD AD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△AFD （AAS ），△BD =FD ，△AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD △△AFD ，△AB =AF =2x ，△BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．见解析【解析】【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，△E 是DC 中点， △DE CE = ，△在DEF 和CEA 中，DEF CEA EF EA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△DEF CEA △≌△（SAS ），△DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，△DC AC =，△ADC CAD ∠=∠，又△ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，△ADF ADB ∠=∠，在ADB △和ADF 中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADB ADF △≌△（SAS ），△2AB AF AE == ．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．12．（1）△见解析；△19BD <<；（3）MN =2BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）△只需要利用SAS 证明△CED △△ABD 即可；△根据△CED △△ABD 可得AB =CE ，由三角形三边的关系可得CE BC BE CE BC -<<+即AB BC BE AB BC -<<+则218BE <<，再由2BE BD =，可得19BD <<；（2），延长BD 到E 使得DE =BD ，同（1）原理可证△ADE △△CDB ，得到△DAE =△DCB ，AE=CB，然后证明△BAE=△MBN，则可证△BAE△△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）△△BD是三角形ABC的中线，△AD=CD，又△△ABD=△CDE，BD=ED，△△CED△△ABD（SAS）；△△△CED△△ABD，△AB=CE，△CE BC BE CE BC-<<+，△AB BC BE AB BC-<<+即218BE<<，又△2BE BD DE BD=+=，△19BD<<；故答案为：19BD<<；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE△△CDB（SAS），△△DAE=△DCB，AE=CB，△BC=BN，△AE=BN，△△ABM=△NBC=90°，△△MBN+△ABC=360°-△ABM-△NBC=180°，△△ABC+△BAC+△ACB=180°，△△ABC+△BAC+△DAE=180°，△△BAE+△ABC=180°，△△BAE=△MBN，又△AB =BM ，△△BAE △△MBN （SAS ），△MN =BE ，△BE =BD +ED =2BD ，△MN =2BD ．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．13．（1）BF AC =；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）通过证明BEF CEA △≌△，即可求解；（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，通过≌ABF CAD 得到AF CD =，再通过AFE CDE ≌即可求解；（3）过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MG AD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，利用全等三角形的性质证明AB MT =、DM MT =，即可解决．【详解】证明：（1）BF AC =由题意可得：BE EC =在BEF 和CEA 中BE EC BEF CEA EF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BEF CEA SAS △≌△△BF AC =（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，如下图：由题意可得：CD BC ⊥，且∠=∠EAF ACD则AF BC ⊥又△AB AC =△AF 平分BAC ∠，△BAF EAF ACD ∠=∠=∠△在ABF 和CAD 中ABF DAC AB ACBAF ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABF CAD ASA ≌△AF CD =在AFE △和CDE △中 FAE DCE AEF CED AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()AFE CDE AAS △≌△△AE EC =（3）证明：过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MGAD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，如下图：△AB MT ∥△ABN T ∠=∠△ANB MNT ∠=∠，AN MN =△()ANB MNT AAS △≌△△BN NT =，AB MT =△MG AD△ADN MGN ∠=∠△,AND MNG AN NM ∠=∠=△()AND MNG AAS △≌△△,AD MG DN NG ==△BD GT =△,BAN AMT DAN GMN ∠=∠∠=∠△BAD GMT ∠=∠△BAD BCD ∠=∠△BCD GMK ∠=∠△,AD BC AD GM ==△BC GM =又△MK CD =△()BCD GMK SAS △≌△△,GK BD BDC MKG =∠=∠△,GK GT MDT GKT =∠=∠△GKT T ∠=∠△DM MT =△AB MT =△DM AB =【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14．（1）见解析；（2）21k k + 【解析】【分析】（1）延长CM 至点D ，使CM DM =，可证ACM BDM ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出AC BD =，根据题目已知，可证DCB NCB ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出BN BD =，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作CQ CP =，可证CPO CQO ∆≅∆，由全等三角形的性质相等角从而得出123∠=∠=∠，进而得出45∠=∠，故可证NOB NOQ ∆≅∆等量转化即可求出CP CM 的值．【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM 中，CM DM AMC BMD AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACM BDM ∴∆≅∆，AC BD ∴=，2CM CN =，CD CN ∴=，在DCB 与NCB △中，CD CN DCB NCB CB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, DCB NCB ∴∆≅∆，BN BD ∴=，AC BN ∴=；（2）如图所示，120AMC ∠=︒，60CMN ∴∠=︒，NP 平分MNC ∠，BCN BCM ∠=∠，1602PNC BCN AMC ∠+∠=∠=︒， 120CON ∴∠=︒，60COP ∠=︒，180CMN BOP ∴∠+∠=︒，作CQ CP =，在CPO △与CQO 中， CQ CP QCO PCO CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CPO CQO ∴∆≅∆，123∴∠=∠=∠，45∴∠=∠，在NOB 与NOQ 中，45BNO QNO NO NO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，NOB NOQ ∴∆≅∆，BN NQ ∴=，CN CP NB ∴=+，2CM CP AC∴=+，设AC a=，CP ka∴=，(1)2a kCM+=，21CP kCM k∴=+．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（1）2AB AC AD AB AC-<<+，（2）31322AD<<【解析】【分析】（1）延长AD至E，使AD DE=，连接BE，然后再证明ACD EBD△≌△，根据全等三角形的性质可得AC BE=，再根据三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE-<<+，利用等量代换可得2AB AC AD AB AC-<<+；（2）把8cmAB=，5cmAC=代入（1）的结论里，再解不等式即可．【详解】（1）证明：如图延长AD至E，使DE AD=，连接BE，△AD为ABC中BC边上的中线，△DC BD=，在ACD△和EBD△中：DC BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△(SAS)ACD EBD ≌△△，△AC BE =（全等三角形的对应边相等），在ABE △中，由三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE -<<+，即2AB AC AD AB AC -<<+；（2）解：△8cm AB =，5cm AC =，由（1）可得2AB AC AD AB AC -<<+，△85285AD -<<+，△31322AD <<．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，△AD是△ABC的中线，△D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，BD CDADB PDCAD PD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD△△PCD(SAS)，△AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，△2AB AC AD+>；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，△H为DE中点，D、E为BC三等分点，△DH=EH，BD=DE=CE，△DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH CHBHA CHQAH QH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABH△△QCH(SAS)，同理可得：△ADH△△QEH，△AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，△AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，△AC +CQ ＞AK +QK ，又△AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，△AK +QK ＞AE +QE ，△AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，△AB =CQ ，AD =EQ ，△AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ， △M 为DE 中点，△DM =EM ，△BD =CE ，△BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ △△ABM △△NCM (SAS )，同理可证△ADM △△NEM ，△AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，△AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，△AC +CN ＞AT +NT ，又△AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，△AT +NT ＞AE +NE ，△AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，△AB =NC ，AD =NE ，△AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 至点E ，使ED AD =．由AD 为中线可知BD CD =，即易证()ABD ECD SAS ≅，得出AB EC =．利用三角形三边关系可知AC EC AE +>，即可证明2AC AB AD +>．（2）延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG，EG ．由AD 为中线可知BD CD =．即易证()BDE CDG SAS ≅，得出BE CG =．由题意可得90EDF GDF ∠=∠=︒，即易证()EDF GDF SAS ≅，得出EF GF =．利用三角形三边关系可知CG CF FG +>，即可证明BE CF EF +>．【详解】（1）如图，延长AD 至点E ，使ED AD =．△AD 为中线，△BD CD =．△在ABD △和ECD 中，BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ABD ECD SAS ≅，△AB EC =．△在ACE 中，AC EC AE +>，△2AC AB AD +>．（2）如图，延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG ，EG ．△AD 为中线，△BD CD =．△在BDE 和CDG 中，BD CD BDE CDG ED GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()BDE CDG SAS ≅，△BE CG =．△DE DF ⊥，△90EDF GDF ∠=∠=︒， △在EDF 和GDF 中，90ED GD EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，△()EDF GDF SAS ≅，△EF GF =．△在CFG △中，CG CF FG +>，△BE CF EF +>．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．作出常用的辅助线是解答本题的关键．18．（1）5或8；（2）见解析；（3）AEF 是“匀称三角形”，见解析【解析】【分析】（1）设第三边长为x ，利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于3a b c b ++=等式中，4，6，x 均有可能为等式右边的“b ”，所以需要分三类讨论，最终确定下来的三边长必须满足“三角形两边之和大于第三边”，故最终答案为5或8；（2）要证明EF 为O 切线，连接OD ，由于OD 是O 半径，只需要证明OD EF ⊥，又由于DF AC ⊥，所以只需要证明//OD AC ，又由于O 为AB 中点，只需要证明D 为BC 的中点，因为AB 是O 直径，所以AD BD ⊥，又因为AB AC =，所以D 为BC 的中点，即可证明；（3）因为D 为BC 的中点，仿照“中线倍长”模型，过B 作BM EF ⊥于M ，如图2，或者在DE 上截取DM DF =，构造BMD CFD ≅，所以BM CF =，将53BE CF =转化成53BE BM =，因为//BM AC ，所以BEM AEF ∽，可以得到53AE BE AF BM ==，设5AE x =，则3AF x =，利用勾股定理求出4EF x =，满足定义，即可证明．【详解】解：（1）解：设第三边长为x ，△当4663x ++=时，解得8x =， △当463x x ++=是，解得5x =， △当4643x ++=时，解得2x =， 246+=，∴当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以△舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD ，AD ，AB是O直径，AD BC∴⊥，AB AC=，D∴为BC的中点，即BD CD=，O为AB中点，//OD AC∴，12OD AC=，DF AC⊥，90AFD∴∠=︒，//OD AC，90ODE AFD∴∠=∠=︒，OD EF⊥∴，OD是O半径，EF∴是O的切线；（3）解：AEF∆是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BM EF⊥于M，90BMD CFD ∴∠=∠=︒，在BMD 和CFD △中，BMD CFD BDM CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BMD CFD AAS ∴≅，BM CF ∴=，53BE CF =， ∴53BE BM =， 90BMD CFD ∠=∠=︒，EBM EAF ∴∽，∴53BE AE BM AF ==，设5AE x =，则3AF x =，∴224EF AE AF x =-=，54343x x x x ++=， ∴3AE EF AF EF ++=， AEF ∴是“匀称三角形”．【点睛】本题是一道圆的综合题，由新定义的结论，要注意分类讨论和根据三角形三边关系对答案进行取舍，在几何证明中，要注意利用相似转化线段比的思想，比如本题中“53BE BE AE FC BM AF ===”的转化． 19．（1）14AD <<；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知证明BDE ADC △≌△，进而求得AC BE =，根据三角形三边关系即可求得AD 的取值范围；（2）过点B 作//BM FC 交FE 的延长线于M ，证明ABE ACF ≌，得CF BE =，再证明BM CE =，进而证明BMG CFG △≌△，即可证明BG CG =【详解】（1）//BE ACE EAC∴∠=∠,BDE ADC BD CD∠=∠=∴BDE ADC△≌△3AC BE∴==AB BE AE AB BE-<<+，即228AD<<14AD∴<<（2）如图，过点B作//BM FC交FE的延长线于M，23∴∠=∠AF AE=,AF AE⊥,445AEF∴∠=∠=︒,1180180904545AEB AEF∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,,,90AB AC AE AF BAC EAF==∠=∠=︒BAC EAC EAF EAC∴∠-∠=∠-∠即BAE CAF∠=∠∴ABE ACF≌CF BE∴=，90AEB AFC∠=∠=︒390445∴∠=︒-∠=︒3445,AEF AE BD∠=∠=∠=︒⊥23145∴∠=∠=∠=︒BE BM∴=BM CF∴=又BGM CGF∠=∠,BMG CFG ∴△≌△BG CG ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．20．（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可求的；（2）由（1）知，△MDB ≌△ADC ，可知∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC ∥BM ；（3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDB ≌△ADC （SAS ），∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，。

专题全等三角形常见辅助线做法及典型例题

全等三角形辅助线做法总结图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..一、截长补短法和;差;倍;分截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相等截取----全等----等量代换补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长 ----全等----等量代换例如：1;已知;如图;在△ABC 中;∠C ＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..2;已知：如图;AC ∥BD;AE 和BE 分别平分∠CAB 和∠DBA;CD 过点E ．求证：1AE ⊥BE ； 2AB=AC+BD ．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行例如：已知：如图;AC 、BD 相交于O 点;且AB ＝DC;AC ＝BD;求证：∠A ＝∠D..三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC ＝BD;AD ⊥AC 于A ;BC ⊥BD 于B;求证：AD ＝BC四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等例如：已知;如图;AC 平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等例如：1如图;AD 为 △ABC 的中线;求证：AB ＋AC ＞2AD..三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半2;已知：AB=4;AC=2;D 是BC 中点;AD 是整数;求AD..3;如图;已知：AD 是△ABC 的中线;且CD=AB;AE 是△ABD 的中线;求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线;常作垂直平分线上一点到线段两端的连线可逆：遇到两组线段相等;可试着连接垂直平分线上的点例如：在△ABC 中;∠ACB=90;AC=BC;D 为△ABC 外一点;且AD=BD;DE ⊥AC 交AC 的延长线于E;求证：DE=AE+BC..七、遇到等腰三角形;可作底边上的高;或延长加倍法“三线合一”“对折”例如：如图;ΔABC 是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BD 平分∠ABC 交AC 于点D;CE 垂直于BD;交BD 的延长线于点E..求证：BD=2CE..八、遇到中点为端点的线段时;延长加倍次线段例如：如图2：AD 为△ABC 的中线;且∠1＝∠2;∠3＝∠4;求证：BE ＋CF ＞EF九、过图形上某点;作特定的平行线“平移”“翻转折叠” 例如：如图;ΔABC 中;AB=AC;E 是AB 上一点;F 是AC 延长线上一点;连EF 交BC 于D; 若EB=CF..求证：DE=DF.. AD BCD CB A 110 图OC A EB D。

全等三角形常见五种辅助线添法专训(学生版)

全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一倍长中线法辅助线添法二截长补短法辅助线添法三旋转法辅助线添法四作平行线法辅助线添法五作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】1(2023春·吉林·八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)探究得出AD的取值范围．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【变式训练】1(2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB= AC．2(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．3(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①，△ABC 中，AB =7，AC =5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明的解法如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =．又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ，而AB =EC =7，AC =5，∴<AE <．又∵AE =2AD ．∴<AD <．【探索应用】如图②，AB ∥CD ，AB =25，CD =8，点E 为BC 的中点，∠DFE =∠BAE ，求DF 的长为．(直接写答案)【应用拓展】如图③，∠BAC =60°，∠CDE =120°，AB =AC ，DC =DE ，连接BE ，P 为BE 的中点，求证：AP ⊥DP ．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)．【模型图示】(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE1(2023·江苏·八年级假期作业)把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，∠MDN两边分别交AC、BC于点M、N，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．(1)求∠AFC的度数；(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.3(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)，该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求证BM+CN=MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN1(2022秋·湖北孝感·八年级统考期中)已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF= 1∠BAD，此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．22(2021秋·天津和平·八年级校考期中)在△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E，(1)如图(1)所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE=；(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时，(BD<CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直AE绕点A旋转到图(3)的位置，(BD>CE)，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．3(2021秋·河南周口·八年级统考期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE的面积．【经典例题四作平行线法】2(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【变式训练】4(2022秋·江苏·八年级专题练习)P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA =CQ，连PQ交AC边于D．(1)证明：PD=DQ．(2)如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长．5(2022秋·八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB =CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.6(2023春·全国·七年级专题练习)已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图(1)，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图(2)，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图(3)，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上(点D不与A，B重合)，DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【经典例题五作垂直法】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC =AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式训练】1(2022秋·八年级课时练习)如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC =BC，延长CA到点E，使得AE=AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．(1)求证：△EAF≌△DAF；(2)如图2，连接CF，若EF=FC，求∠DCF的度数．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【重难点训练】4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；(2)若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．5(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．(2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．6(2023春·全国·七年级专题练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．7(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．8(2023·江苏·八年级假期作业)课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC，求证：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．9(2023春·江苏·八年级专题练习)如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10(2023·江苏·八年级假期作业)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．11(2023·全国·九年级专题练习)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；(不需要证明)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12(2023春·全国·七年级期末)(1)问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上)，∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．(2)知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD=2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．(3)实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB=∠DCE=60°，若DE=a，AD=b，AE=c，求BE的长．(用含a，b，c的式子表示)13(2022秋·八年级课时练习)如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．14(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．(1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．15(2023·全国·九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG =BE ，在△ABE 与△ADG 中，AB =AD∠B =∠ADG =90°BE =DG∴△ABE ≌△ADG 理由：(SAS )进而证出：△AFE ≌___________，理由：(__________)进而得EF =BE +DF ．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系________________时，仍有EF =BE +DF ．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB =AD ，∠BAD ≠90°，∠EAF ≠45°，但∠EAF =12∠BAD ，∠B =∠D =90°，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．。

全等三角形作辅助线专题一重点截长补短法可

D CBAED F CBA全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA中考应用：以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∆，90,BAD CAE∠=∠=︒连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）F E D C BA 21D CB A PQC BA 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证:AB ＝AD+BC3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

中考数学专题复习全等三角形之辅助线做垂线

中考数学专题复习全等三角形（辅助线做垂线）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH ⊥BC 于H ，HA 的延长线交DE 于G ，下列结论：⊥DG ＝EG ；⊥BC ＝2AG ；⊥AH ＝AG ；⊥ΔΔABC ADE S S =，其中正确的结论为（）A ．⊥⊥⊥B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥⊥评卷人得分二、填空题 2．如图，在Rt ⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点E 在AC 上，且AE ＝1，连接BE ，⊥BEF ＝90°，且BE ＝FE ，连接CF ，则CF 的长为____________3．如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．评卷人得分三、解答题4．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：⊥EAF⊥⊥DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求⊥DCF的度数．5．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，⊥BCD=α°，⊥ABC+⊥ADC＝180°，A C、BD 交于点E．将⊥CBA绕点C顺时针旋转α°得到⊥CDF．（1）求证：⊥CAB＝⊥CAD；（2）若⊥ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，⊥BCE的面积为S1，⊥CDE的面积为S2，求S1：S2的值．6．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且⊥BAE＝⊥CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；⊥如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．7．如图，AD是ABC∆的中线，BE AD⊥于E.CF AD⊥于F，（1）求证：2AB AC AD+>；（2）若3AF=，5AE=，求AD的长．8．如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，90ABD CBE∠=∠=︒，BA BD=，BC BE=，延长CB交DE于F.求证：EF DF=.9．如图，D是CB延长线上一点，且BD BC=，E是AB上一点，DE AC=，求证：BAC BED∠=∠.10．如图，已知⊥AOB＝60°，在⊥AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.11．如图，OC平分⊥MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：⊥OAC+⊥OBC＝180°．12．已知:⊥ABC中，CA=CB, ⊥ACB=90º，D为⊥ABC外一点，且满足⊥ADB=90º(1)如图所示，求证：DA+DB=2DC(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .13．如图，已知AD为⊥ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．14．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且⊥BAE=⊥CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．15．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．参考答案：1．B 【解析】【分析】⊥如图，过点,D E 分别作GH 的垂线交HG 及HG 的延长线于点,I F ，证明EAF ACH △≌△，DIA AHB △≌△，DIG EFG △≌△即可得结论；⊥延长BA 至D ，使AD BA '=，连接CD '证明DAE D AC '△≌△，取D C '的中点G '，连接AG '并延长至M ，使得AG G M ''=，可得ADG AD G ''=△△，证明AG D MG C '''△≌△，ABC CMA △≌△，则可得BC MA =2AG '=，即12AG BC '=，12AG BC =；⊥由⊥可知AH =AI ，故AG 不一定等于AH ；⊥，由⊥可知，DAE D AC '△≌△，则DAE D AC S S '=△△，由AB AD '=可得ABC AD C S S '=△△即可得=ABC ADE S S △△【详解】解：⊥如图，过点,D E 分别作GH 的垂线交HG 及HG 的延长线于点,I F ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH ⊥BC 90EFA EAC AHC ∴∠=∠=∠=︒ CAH ACH CAH EAF ∴∠+∠=∠+∠ ACH EAF ∴∠=∠EAF ACH ∴△≌△ 同理可得DIA AHB △≌△,DI AH EF AH ∴==DI EF ∴=,DI IG EF GF ⊥⊥ DIG EFG ∴∠=∠90=︒又DGI EGF ∠=∠DIG EFG ∴△≌△ DG EG ∴=故⊥正确⊥如图，延长BA 至D ，使AD BA '=，连接CD '90BAD CAE ∠=∠=180DAE BAC ∴∠+∠=︒180D AC BAC '∠+∠=︒ D AC DAE '∴∠=∠D A BA AD '==，AC AE =DAE D AC '∴△≌△如图，取D C '的中点G '，连接AG '并延长至M ，使得AG G M ''=，G是DE的中点，DAE D AC'△≌△11,,22ADG AD G AD AD DG DE D C D G''''''∴∠=∠====∴ADG AD G''=△△AG AG'∴=，,,AG G M D G CG AG D MG C'''''''==∠=∠AG D MG C'''∴△≌△AD MC'∴=，AD G MCG'''∠=∠BD MC'∴∥BAC MCA∴∠=∠AD AB'=ADMC ∴=又AC CA =ABC CMA ∴△≌△BC MA ∴=2AG '=12AG BC '∴=12AG BC ∴= ⊥如图，由⊥可知AH =AI ，故AG 不一定等于AH故⊥不正确⊥如图，由⊥可知，DAE D AC '△≌△DAE D AC S S '∴=△△AB AD '=ABC AD C S S '∴=△△=ABC ADE S S ∴△△故⊥正确综上所述，故正确的有⊥⊥⊥故选B【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 2．10.【解析】【分析】过点F 作FM ⊥AC 交AC 延长线于M ，根据⊥BEF =90°且BE =EF ，可以得到⊥EFM ⊥⊥BEC ，从而可以计算出CM 、FM 的长，再利用勾股定理即可得到CF 的长.【详解】解：⊥⊥ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，，AE ＝1⊥CE ＝3⊥FM ⊥AC ，⊥BEF ＝90°⊥⊥ACB ＝⊥BEF =⊥FME =90°⊥⊥FEM+⊥EFM=90°=⊥BEC+⊥FEM⊥⊥EFM=⊥BEC又⊥BE =FE⊥⊥EFM ⊥⊥BEC⊥BC ＝EM ＝4，CE ＝FM ＝3⊥CM =EM -EC =1⊥2210CF CM FM =+=故答案为：10.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3．（4，1）【解析】【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得⊥OAC=⊥DCB，利用AAS可证明⊥OAC⊥⊥DC B，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D，⊥A（0，3），C（1，0），⊥OA=3，OC=1，⊥⊥ACB=90°，⊥⊥OCA+⊥DCB=90°，⊥⊥OAC+⊥OCA=90°，⊥⊥OAC=⊥DCB，在⊥OAC和⊥DC B中，AOC CDBOAC DCB AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥OAC⊥⊥DC B，⊥BD=OC=1，CD=OA=3，⊥OD=OC+CD=4，⊥点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．4．（1）见解析；（2）⊥DCF ＝45°．【解析】【分析】（1）由垂直定义可得⊥CAD =⊥ACB =90°，再根据题意得⊥EAF =⊥DAF ，即可证得结论；（2）过点F 作FM ⊥F A 交AC 于点M ，由“AAS ”可证△AEF ⊥⊥MCF ，可得⊥AFE =⊥MFC ，EF =DF ，可证△CDF 是等腰直角三角形，可得⊥DCF =45°．【详解】证明：（1）⊥AD ⊥AC ，BC ⊥AC ，⊥⊥CAD ＝⊥ACB ＝90°，⊥AC ＝BC ，⊥⊥BAC ＝⊥B ＝45°，⊥⊥EAF ＝180°﹣⊥BAC ＝135°，⊥DAF ＝⊥CAD +⊥BAC ＝135°，⊥⊥EAF ＝⊥DAF ，在⊥EAF 和⊥DAF 中，AE AD EAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥EAF ⊥⊥DAF （SAS ）；（2）如图2，过点F 作FM ⊥F A 交AC 于点M ，⊥F A ⊥FM ，⊥F AM ＝45°，⊥⊥FMA ＝45°＝⊥F AM ，⊥F A ＝FM ，⊥FMC ＝⊥F AE ＝135°，⊥EF ＝FC ，⊥⊥FEM ＝⊥FCA ，在⊥AEF 和⊥MCF 中，FEA FCM EAF CMF AF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥MCF （AAS ），⊥⊥AFE ＝⊥MFC ，EF ＝DF ，⊥⊥EAF ⊥⊥DAF ，⊥⊥EF A ＝⊥DF A ，⊥⊥DF A ＝⊥MFC ，⊥⊥AFM ＝⊥DFC ＝90°，⊥DF ＝EF ＝CF ，⊥⊥CDF 是等腰直角三角形，⊥⊥DCF ＝45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（1）见解析；（2）35. 【解析】【分析】（1）由旋转旋转可得⊥CAB⊥⊥CFD，再根据全等三角形的性质和⊥ABC+⊥ADC=180°，即可得⊥CAB=⊥CAD；（2）根据⊥ABD=90°，AB=3，BD=4，可得AD的长，再根据勾股定理求出BE和DE的长，根据⊥BCE和⊥CDE同高，即可得S1：S2的值．【详解】解：（1）证明：由旋转旋转可知：⊥CAB⊥⊥CFD，⊥⊥CDF=⊥CBA，⊥F=⊥CAB，CA=CF，⊥⊥CBA+⊥CDA=180°，⊥⊥CDF+⊥CDA=180°，⊥A、D、F三点共线，⊥AC=CF，⊥⊥F=⊥CAD，⊥⊥CAB=⊥CAD；（2）过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N，⊥⊥ABE=⊥AME=90°，在⊥ABE和⊥AME中，EAB EAMABE AMEAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABE⊥⊥AME（AAS），⊥AM=AB=3，BE=ME，⊥⊥ABD=90°，AB=3，BD=4，⊥AD=22AB BD+=5，⊥DM=2，设BE=EM=x，则DE=4-x ⊥x2+22=（4-x）2，解得x=1.5，⊥BE=1.5，DE=2.5，⊥S1：S2=12BE•CN：12DE•CN=35．【点睛】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6．（1）⊥见解析；⊥见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，⊥BEF⊥⊥CED，⊥BAE＝⊥F，AB＝CD；⊥如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，⊥BEF⊥⊥CEG⊥BAF⊥⊥CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM⊥AB，交DE的延长线于点M，则⊥BAE＝⊥EMC，⊥BAE⊥⊥CFE（AAS），⊥F＝⊥EDC，CF＝CD，AB＝CD；【详解】（1）⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，⊥点E是BC的中点，⊥BE＝CE，在⊥BEF和⊥CED中，BE CE BEF CED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥⊥BEF ⊥⊥CED （SAS ），⊥BF ＝CD ，⊥F ＝⊥CDE ，⊥⊥BAE ＝⊥CDE ，⊥⊥BAE ＝⊥F ，⊥AB ＝BF ，⊥AB ＝CD ；⊥如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，⊥⊥F ＝⊥CGE ＝⊥CGD ＝90°，⊥点E 是BC 的中点，⊥BE ＝CE ，在⊥BEF 和⊥CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥⊥BEF ⊥⊥CEG （AAS ），⊥BF ＝CG ，在⊥BAF 和⊥CDG 中， 90BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，⊥⊥BAF ⊥⊥CDG （AAS ），⊥AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ⊥AB ，交DE 的延长线于点M ，则⊥BAE ＝⊥EMC ，⊥E 是BC 中点，⊥BE ＝CE ，在⊥BAE 和⊥CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAE ⊥⊥CFE （AAS ），⊥CF ＝AB ，⊥BAE ＝⊥F ，⊥⊥BAE ＝⊥EDC ，⊥⊥F ＝⊥EDC ，⊥CF ＝CD ，⊥AB ＝CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．7．（1）详见解析；（2）4=AD【解析】【分析】先证明DE=DF ；(1)在ABE ∆中，由垂线段最短可得AB AE >，即AB AD DE >+，⊥，在ACF ∆中，同理可得AC AF >，即AC AD DF >-，⊥，⊥+⊥整理后即可得结论；(2)AD AF DF =+， AD AE DE =-，可得2AD AE AF =+，继而可得答案.【详解】⊥BE⊥AD ，CF⊥AD ，⊥⊥BED=⊥CFD=90°，⊥AD 为⊥ABC 的中线，⊥BD=CD ，又⊥BDE ＝CDF⊥⊥BED⊥⊥CFD(AAS)，⊥DE=DF ；(1)在ABE ∆中，AB AE >，即AB AD DE >+，⊥在ACF ∆中，AC AF >，即AC AD DF >-，⊥⊥+⊥得，AB AC AD DE AD DF +>++-，即2AB AC AD +>；(2)AD AF DF =+，⊥，AD AE DE =-，⊥⊥+⊥得，28AD AE AF =+=，4AD ∴=【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.8．详见解析【解析】【分析】如图，过点D 作DG CF ⊥的延长线于点G ，易证ABC BDG ∆∆≌，再证BFE GFD ∆≌即可得答案.【详解】如图，过点D 作DG CF ⊥的延长线于点G ， 90ABC DBG ∠+∠=︒，90BDG DGB ∠+∠=︒，ABC BDG ∴∠=∠，又⊥⊥ACB=⊥BGD=90°，BA=BD ，⊥ABC BDG ∆∆≌，BC DG ∴=，又⊥BC=BE ，BE DG ∴=，又⊥⊥EBF=⊥DGF=90°，⊥EFB=⊥DFG，⊥BFE GFD∆≌△，⊥EF=DF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.9．详见解析【解析】【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建Rt DFE∆与t R CGA∆，证其全等即可求得答案.【详解】如图，过点C作CG AB⊥于点G，过点D作DF AB⊥的延长线于点F，则有⊥DFB=⊥CGB=⊥CGA=90°，又⊥⊥DBF=⊥CBG，BD=BC，⊥DBF CBG∆∆≌，⊥DF=CG，.又DE AC=，⊥Rt DFE∆⊥t R CGA∆，BAC BED∴∠=∠.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.10．（1）3OD OE OC+=；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立，3OD OE OC-=，见解析.【解析】【分析】（1）先判断出⊥OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD32=OC，同OE32=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG3=OC，再判断出⊥CFD⊥⊥CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】（1）⊥OM是⊥AOB的角平分线，⊥⊥AOC=⊥BOC12=⊥AOB=30°．⊥CD⊥OA，⊥⊥ODC=90°，⊥⊥OCD=60°，⊥⊥OCE=⊥DCE﹣⊥OCD=60°．在Rt⊥OCD中，OD=OC•cos30°32=OC，同理：OE32=OC，⊥OD+OE3=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，⊥⊥OFC=⊥OGC=90°．⊥⊥AOB=60°，⊥⊥FCG=120°，同（1）的方法得：OF32=OC，OG32=OC，⊥OF+OG3=OC．⊥CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是⊥AOB的平分线OM上一点，⊥CF=CG．⊥⊥DCE=120°，⊥FCG=120°，⊥⊥DCF=⊥ECG，⊥⊥CFD⊥⊥CGE，⊥DF=EG，⊥OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，⊥OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，⊥OD+OE3=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD3=OC，理由如下：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，⊥⊥OFC=⊥OGC=90°．⊥⊥AOB=60°，⊥⊥FCG=120°，同（1）的方法得：OF32=OC，OG32=OC，⊥OF+OG3=OC．⊥CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是⊥AOB的平分线OM上一点，⊥CF=CG．⊥⊥DCE=120°，⊥FCG=120°，⊥⊥DCF=⊥ECG，⊥⊥CFD⊥⊥CGE，⊥DF=EG，⊥OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，⊥OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，⊥OE﹣OD3OC．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．11．见解析.【解析】【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt⊥CF A⊥Rt⊥CEB，推出⊥ACF＝⊥ECB，推出⊥ACB＝⊥ECF，由⊥ECF+⊥MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得⊥ACB+⊥AOB＝180°，推出⊥OAC+⊥OBC＝180°．【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．⊥OC平分⊥MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．⊥CE＝CF，⊥AC＝BC，⊥CEB＝⊥CF A＝90°，⊥Rt⊥CF A⊥Rt⊥CEB（HL），⊥⊥ACF＝⊥ECB，⊥⊥ACB＝⊥ECF，⊥⊥ECF+⊥MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，⊥⊥ACB+⊥AOB＝180°，⊥⊥OAC+⊥OBC＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.12．（1）详见解析；（2）DA-DB=2DC；(3)32【解析】【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得⊥ACD=⊥QCB，⊥ADC=⊥Q，由“AAS”可证⊥ACD⊥⊥BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=2CD，即可得结论；（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证⊥ACQ⊥⊥BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且⊥QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证⊥ACD⊥⊥BCQ，可得AD=BQ，可证⊥DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点⊥⊥ACB=90°，CQ⊥CD，⊥ADB=90°⊥⊥ACD+⊥DCB=90°，⊥DCB+⊥QCB=90°，⊥ADC+⊥CDQ=90°，⊥CDQ+⊥Q=90°⊥⊥ACD=⊥QCB，⊥ADC=⊥Q，且AC=BC⊥⊥ACD⊥⊥BCQ（AAS）⊥CD=CQ，AD=BQ⊥DQ=DB+BQ=DB+AD⊥CD⊥CQ，⊥DCQ=90°⊥DQ=2CD⊥DB+AD=2CD（2）DA-DB=2CD理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，⊥CA=CB，⊥ACB=90°，⊥⊥ABC=⊥CAB=45°⊥⊥ACB=90°，QC⊥CD⊥⊥ACB=⊥ADB=90°，⊥点A，点B，点D，点C四点共圆，⊥⊥ADC=⊥ABC=45°⊥QC⊥CD⊥⊥CQD=⊥CDQ=45°⊥CQ=CD，且⊥QCD=90°⊥QD==2CD⊥⊥ACB=⊥DCQ=90°，⊥⊥ACQ=⊥DCB，且AC=BC，CQ=CD⊥⊥ACQ⊥⊥BCD（SAS）⊥AQ=BD⊥QD=2CD=DA-AQ=DA-BD，即：DA-DB=2DC（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，⊥⊥ACB=90°，QC⊥CD⊥⊥ACB=⊥ADB=90°，⊥点A，点B，点C，点D四点共圆，⊥⊥CDQ=⊥CAB=45°⊥QC⊥CD⊥⊥CQD =⊥CDQ =45°⊥CQ =CD ，且⊥QCD =90°⊥⊥DCQ 是等腰直角三角形，⊥⊥ACB =⊥DCQ =90°，⊥⊥ACD =⊥QCB ，且AC =BC ，CQ =CD⊥⊥ACD ⊥⊥BCQ （SAS ）⊥AD =BQ ，⊥DQ =DB -BQ =DB -AD =3⊥⊥DCQ 是等腰直角三角形，DQ =3，CH ⊥DB⊥CH =DH =HQ =12DQ =32．故答案为32．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．13．证明见解析【解析】【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，再根据AE ＝FE ，得到角的关系，从而证明BGF CHA ∆≅∆，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连接BG ，CG ，⊥DG ＝AD ，BD ＝DC ，⊥四边形ABGC 是平行四边形，⊥AC//BG ，⊥CAD ＝⊥BGD ，又⊥AE ＝FE ，⊥⊥CAD ＝⊥AFE ，⊥⊥BGD ＝⊥AFE ＝⊥BFG ，⊥BG ＝BF ，⊥BG ＝AC ，⊥BF ＝AC方法二：如图，分别过点B、C 作BG AD ⊥，CH AD ⊥，垂足为G 、H ，则90BGD CHD ∠=∠=︒.BD CD =，BDG CDH ∠=∠，BDG CDH ∴∆≅∆，BG CH ∴=.AE FE =，EAF EFA ∴∠=∠，BFG EFA ∠=∠，BFG CAH ∴∠=∠，又90BGF CHA ∠=∠=︒，BGF CHA ∴∆≅∆，BF AC ∴=.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.14．见解析【解析】【详解】试题分析：方法一：如图1中，作BF⊥DE 于点F ，CG⊥DE 于点G ，先证明⊥BFE⊥⊥CGE ，得BF=CG ，再证明⊥ABF⊥⊥DCG 即可．方法二如图2中，：作CF⊥AB，交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明⊥ABE⊥⊥FCE即可．证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．⊥⊥F=⊥CGE=90°，在⊥BFE和⊥CGE中，，⊥⊥BFE⊥⊥CGE．⊥BF=CG．在⊥ABF和⊥DCG中，，⊥⊥ABF⊥⊥DCG．⊥AB=CD．方法二如图2中，：作CF⊥AB，交DE的延长线于点F．⊥⊥F=⊥BAE．又⊥⊥ABE=⊥D，⊥⊥F=⊥D．⊥CF=CD．在⊥ABE和⊥FCE中，，⊥⊥ABE⊥⊥FCE．⊥AB=CF．⊥AB=CD．15．【解析】【详解】试题分析：方法一：作BF⊥DE 于点F ，CG⊥DE 于点G ，⊥⊥F=⊥CGE=90°．又⊥⊥BEF=⊥CEG ，BE=CE ，⊥⊥BFE⊥⊥CGE ．⊥BF=CG ．在⊥ABF 和⊥DCG 中，⊥⊥F=⊥DGC=90°，⊥BAE=⊥CDE ，BF=CG ，⊥⊥ABF⊥⊥DCG ．⊥AB=CD ．方法二：作CF⊥AB ，交DE 的延长线于点F ，⊥⊥F=⊥BAE ．又⊥⊥ABE=⊥D ，⊥⊥F=⊥D ．⊥CF=CD ．⊥⊥F=⊥BAE ，⊥AEB=⊥FEC ，BE=CE ，⊥⊥ABE⊥⊥FCE ．⊥AB=CF ．⊥AB=CD ．方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，又⊥BE=CE ，⊥BEF=⊥CED ，⊥⊥BEF⊥⊥CED ．⊥BF=CD ，⊥D=⊥F ．又⊥⊥BAE=⊥D ，⊥⊥BAE=⊥F ．⊥AB=BF ．⊥AB=CD ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．阅读理解．。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解20 全等三角形的辅助线问题(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题20全等三角形的辅助线问题【考点题型】考点题型一连接两点做辅助线典例1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC 交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【解析】试题分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．试题解析：HG=HB，证法1：连接AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B=∠G=90°，由题意知AG=AB，又AH=AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．变式1-1．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90°,D 为BC 中点 , ∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45°, ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形.变式1-2．如图，以O 为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt OAB 和Rt OCD △，且点C 在线段AB 上（A B 、除外），求证：222AC BC CD +=【答案】证明见解析【分析】连接BD ，证明△AOC ≌△BOD （SAS ），得到△CBD 为直角三角形，再由勾股定理即可证明．【详解】解：连接BD ，∵△AOB 与△COD 为等腰直角三角形，∴AO=BO ，CO=DO ，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD ，在△AOC 与△BOD 中，AO BO AOC BOD CO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD ，∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，∴在Rt △CBD 中，222BD BC CD +=即222AC BC CD +=．考点题型二全等三角形 -倍长中线模型典例2．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．②延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ≌BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ≌FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △≌Rt FAC △（HL ），即得出结论．【详解】（1）①∵90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒∴EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠∵90EAC BAE ∠+∠=︒∴ACD BAE ∠=∠又∵AEC B BAE ∠=∠+∠∴EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠∴45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，∵点D 为AB 的中点，∴BD AD =，又∵ADG BDE ∠=∠，∴ADG ≌BDE ，∴DGA DEB ∠=∠，∴//AG BC ，∴GAE AEC ∠=∠，又∵2AE DE =，∴AE EG =，∴DGA GAE ∠=∠，∴DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，∵AD BD =，ADF BDH ∠=∠，∴HDB ≌FDA △，∴BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，∵BF AC =．∴Rt HBF △≌Rt FAC △，∴2CF HF DF ==．变式2-1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发现）（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，证明：ACD EBD △≌△．（理解与应用）（2）如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，则x 的取值范围是________．（3）如图3，AD 是ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．【答案】（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPF PD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==，在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ -<<+，即53253x -<<+， x 的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>变式2-2．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．（应用举例）如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB =，在ACE ∆中，AC CE +>，2AB AC AD +>．（问题解决）（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_及位置关系_．【答案】,CE AE ；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD =，EF AD ⊥【应用举例】由全等的性质可得AB=EC ，由三角形三边关系可得AC+CE>AE ，即AB+AC>2AD ；故答案为EC ，AE ；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD ∆≅∆所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC ，∴有AF=EF ；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE ≌△CDG ，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，AB AEABG EAF BG AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ．考点题型三全等三角形–旋转模型典例3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．变式3-1．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE 为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，∴DC 2+BC 2=AC 2．变式3-2．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ，且AF 、EF 相交于点F .（1）求证：C BAD ∠=∠（2）求证：AC EF =【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C=∠BAD ；（2）由“ASA”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC=EF ．【详解】（1）如图∵AB AE =，∴ABE ∆是等腰三角形又∵D 为BE 的中点， ∴AD BE ⊥（等腰三角形三线合一）在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.另解：∵D 为BE 的中点， ∵BD ED =，又AB AE =，AD AD =， ∴ADB ADE ∆≅∆，∴ADB ADE ∠=∠，又180ADB ADE ∠+∠=︒， ∴90ADB ADE ∠=∠=︒ ∴AD BC ⊥，在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.（2）∵AF BC ，∴EAF AEB ∠=∠，∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠，∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF ∆≅∆，∴AC EF =.考点题型四全等三角形– 垂线模型典例4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中， CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．变式4-1．在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【答案】详见解析【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。

中考数学第四章三角形重难微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.
= ,
在△ACD和△AED中,ቐ ∠1 = ∠2,
= ,
∴△ACD≌△AED,
∴∠AED=∠C=90°,CD=ED.
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
例题
又AC=BC,∴∠B=45°,∴∠EDB=∠B=45°,
∴DE=BE,∴CD=BE.
∴∠DBE=60°,
1
∴BD= BE,
2
∴TF=2BD,即BF-AB=2BD.
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
突破点2 旋转
运用旋转的全等变换,可以把分散的条件集中到一个三角形中.
模型1
绕定点旋转60°,构造全等三角形
如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC内,将△ABP绕点A逆时针旋转
明剩下的线段等于另一条短线段.
补短法:延长短线段,使其延长部分等于另一条短线段,然后证明延长
后的线段等于长线段(或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,然
后证明延长部分等于另一条短线段).
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
例题
例1
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC,AD平分∠BAC交BC于点D.
60°,得到△ACP',则△ABP≌△ACP',且△APP'为等边三角形.
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
例题
例2
如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,则线段
AD,CD和BD之间的数量关系为 AD2+CD2=BD2 .
重难·微专项3 全等三角形中常用的辅助线技巧
∵BA=BT,∠ABT=60°,

中考数学专题复习全等三角形之辅助线补全图形法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线补全图形法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE∠AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于(,0) ,(0,)A aB b两点，且,a b满足2()|4|0a b a t，且0,t t>是常数，直线BD平分OBA∠，交x轴于点D．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于点N，求证：ON OD=；（2）如图2，过点A作AE BD⊥，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想．3．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE∠AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF是平行四边形（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论4．已知，如图ABC∆中，AB AC=，90A∠=︒，ACB∠的平分线CD交AB于点E，90BDC∠=︒，求证：2CE BD=.5．在∠ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC=100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．6．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．参考答案：1．（1）BE ＝12AD ，见解析；（2）BEG 是等腰直角三角形，见解析【解析】【分析】（1）延长BE 、AC 交于点H ，先证明△BAE ∠∠HAE ，得BE ＝HE ＝12BH ，再证明△BCH ∠∠ACD ，得BH ＝AD ，则BE ＝12AD ；（2）先证明CF 垂直平分AB ，则AG ＝BG ，再证明∠CAB ＝∠CBA ＝45°，则∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，于是∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，可证明△BEG 是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE ＝12AD ，理由如下：如图，延长BE 、AC 交于点H ，∠BE ∠AD ，∠∠AEB ＝∠AEH ＝90°，∠AD 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠HAE ，在△BAE 和△HAE 中，AEB AEH AE AEBAE HAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BAE ∠∠HAE （ASA ），∠BE ＝HE ＝12BH ，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCH ＝180°﹣∠ACB ＝90°＝∠ACD ，∠∠CBH ＝90°﹣∠H ＝∠CAD ，在△BCH 和△ACD 中，BCH ACD BC ACCBH CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCH ∠∠ACD （ASA ），∠BH ＝AD ，∠BE ＝12AD ．（2）△BEG 是等腰直角三角形，理由如下：∠AC ＝BC ，AF ＝BF ，∠CF ∠AB ，∠AG ＝BG ，∠∠GAB ＝∠GBA ，∠AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∠∠GAB ＝12∠CAB ＝22.5°，∠∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°， ∠∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，∠∠BEG ＝90°，∠∠EBG ＝∠EGB ＝45°，∠EG ＝EB ，∠∠BEG 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．2．（1）见解析；（2）2BD AE =,证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知条件可得AO BO =，进而得OBA OAB ∠=∠，由直线BD 平分OBA ∠及直角三角形斜边上中线的性质得BOM OAB ∠=∠，再由三角形的外角定理，分别求得,ODN OND ∠∠，根据角度的等量代换，即可得ODN OND ∠=∠，最后由等角对等边的性质即可得证；（2）如图，延长AE 交y 轴于点C ，先证明BCE BAE △≌△，得AE EC =，再证明DOB COA ∠≌△，即可得2BD AC AE ==．【详解】（1）2()|4|0a b a t ，4a b t ∴==，AO BO ∴=，∴OBA OAB ∠=∠，直线BD 平分OBA ∠，ABD OBD ∴∠=∠，M 为AB 的中点，∴12OM AB BM AM ===， BOM OBA ∴∠=∠，OBA OAB ∠=∠，BOM OAB ∴∠=∠，OND OBD BOM ∠=∠+∠，ODN OAB ABD ∠=∠+∠，OND ODN ∴∠=∠，ON OD ∴=．（2）2BD AE =，证明：如图，延长AE 交y 轴于点C ，直线BD 平分OBA ∠，AE BD ⊥，ABD OBD ∴∠=∠，AEB CEB ∠=∠，又BE BE =，∴BCE BAE △≌△（ASA ），∴AE CE =1=2AC ， AO BC ⊥，∴DOB COA ∠=∠，即90OAC OCA OCA CBE ∠+∠=∠+∠=︒， OAC OBD ∴∠=∠，又OB OA =，∴DOB COA ∠≌△（ASA ），2BD AC AE ∴==，即2BD AE =．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键．3．（1）见解析；（2）1()2BF AB AC =-，理由见解析【解析】【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明AEG∆≅AEC∆，得E为中点，通过中位线证明DE// AB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形（2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=12BG，再根据AEG∆≅AEC∆，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证1()2BF AB AC=-【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G∠AE⊥CE∠90AEG AEC︒∠=∠=在AEG∆和AEC∆GAE CAEAE AEAEG AEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠AEG∆≅AEC∆∠GE=EC∠BD=CD∠DE为CGB∆的中位线∠DE//AB∠DE=BF∠四边形BDEF是平行四边形（2）1()2BF AB AC=-理由如下：∠四边形BDEF是平行四边形∠BF=DE∠D，E分别是BC，GC的中点∠BF=DE=12BG∠AEG∆≅AEC∆∠AG=ACBF=12（AB-AG）=12（AB-AC）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．4．见解析.【解析】【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得∠ACE∠∠ABF，得出CE=BF；再证∠CBD∠∠CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．【详解】证明：如图，延长BD交CA的延长线于F，90BAC︒∠=90,90BAF BAC ACE AEC︒︒∴∠=∠=∠+∠=90BDC︒∠=90BDC FDC︒∴∠=∠=90ABF BED︒∴∠+∠=AEC BED∠=∠ACE ABF∴∠=∠AB AC=()ACE ABF ASA∴∆∆≌CE BF ∴=CD 平分ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠CD CD =()CBD CFD ASA ∴∆∆≌12BD FD BF ∴== 12BD CE ∴= 2CE BD ∴=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．5．（1）30°；（2）30°；（3）α为60︒或120m ︒-或240m ︒-．【解析】【分析】（1）由100BAC ∠=︒，AB AC =，可以确定40ABC ACB ∠=∠=︒，旋转角为α，60α=︒时ACD ∆是等边三角形，且AC AD AB CD ===，知道BAD ∠的度数，进而求得CBD ∠的大小；（2）由100BAC ∠=︒，AB AC =，可以确定40ABC ACB ∠=∠=︒，连接DF 、BF ．AF FC AC ==，60FAC AFC ∠=∠=︒，20ACD ∠=︒，由20DCB ∠=︒案．依次证明DCB FCB ∆≅∆，DAB DAF ∆≅∆．利用角度相等可以得到答案．（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，ACD ∆是等边三角形时，CD 在ABC ∆内部时，CD 在ABC ∆外部时，求得答案．【详解】解：（1）解（1）∠AB AC =，100BAC ∠=︒，∠40ABC ∠=︒，∠AC CD =，60ACD α=∠=︒，∠ACD △为等边三角形，∠40BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒．又∠AD AC AB ==，∠ABD △为等腰三角形，∠180702BAD ABD ︒-∠∠==︒， ∠30CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒．（2）方法1：如图作等边AFC △，连接DF 、BF ．AF FC AC ∴==，60FAC AFC ∠=∠=︒．100BAC ∠=︒，AB AC =，40ABC BCA ∴∠=∠=︒．20ACD ∠=︒，20DCB ∴∠=︒．20DCB FCB ∴∠=∠=︒．∠AC CD =，AC FC =，DC FC ∴=．∠ BC BC =，∠∴由∠∠∠，得DCB FCB ≅，DB BF ∴=，DBC FBC ∠=∠．100BAC ∠=︒，60FAC ∠=︒，40BAF ∴∠=︒．20ACD ∠=︒，AC CD =，80CAD ∴∠=︒．20DAF ∴∠=︒．20BAD FAD ∴∠=∠=︒．∠AB AC =，AC AF =，AB AF ∴=．∠AD AD =，∠∴由∠∠∠，得DAB DAF ≅．FD BD ∴=．FD BD FB ∴==．60DBF ∴∠=︒．30CBD ∴∠=︒．方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE ，连接CE ．∠在等腰三角形ACD 中，20ACD ∠=︒，∠80CAD CDA ∠=∠=︒，∠100BAC ∠=︒，∠20BAD ∠=︒．可证ACE DCE ≌．结合角度，可得20CAE CDE ∠=∠=︒，10ACE DCE ∠=∠=︒．在ADB △和ACE 中，20AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC ，∠10ABD ACE ∠=∠=︒．∠40ABC ∠=︒，∠30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒．方法3 如下图所示，平移CD 至AE ，连接ED ，EB ，则四边形ACDE 是平行四边形．∠AC DC =，∠四边形ACDE 是菱形，∠20AED ACD ∠=∠=︒，180EAC ACD ∠+∠=︒．∠160EAC ∠=︒，∠60EAB ∠=︒，∠ABE △是等边三角形，EBD △是等腰三角形，∠40BED ∠=︒，70EBD ∠=︒，∠10ABD ∠=︒．∠30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒．（3）由（1）知道，若100BAC ∠=︒，60α=︒时，则30CBD ∠=︒；∠由（1）可知，设60α∠=︒时可得60BAD m ∠=-︒，902m ABC ACB ∠=∠=︒-， 19012022m ABD BAD ∠=︒-∠=︒-， 30CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒．∠由（2）可知，翻折BDC ∆到△1BD C ，则此时130CBD ∠=︒，60302m BCD ACB ∠=︒-∠=-︒， 190(30)12022m m ACB BCD ACB BCD m α∠=∠-∠=∠-∠=︒---︒=︒-， ∠以C 为圆心CD 为半径画圆弧交BD 的延长线于点2D ，连接2CD ，2303022m m CDD CBD BCD ∠=∠+∠=︒+-︒=， 221802180DCD CDD m ∠=︒-∠=︒-260240DCD m α∠=︒+∠=︒-．综上所述，α为60︒或120m ︒-或240m ︒-时，30CBD ∠=︒．【点睛】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的． 6．（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【解析】【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC =+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ⊥于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，Rt ΔRt ΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔABD MBD ∴≌，A BMD ∴∠=∠，AD MD =．180BMD CMD ︒∠+∠=，180C A ︒∠+∠=．C CMD ∴∠=∠．DM DC ∴=，DA DC ∴=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD平分ABC∠，NBD CBD∴∠=∠．在ΔNBD和ΔCBD中，BD BDNBD CBDBN BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔNBD CBD∴≌．BND C∴∠=∠，ND CD=．180NAD BAD︒∠+∠=，180C BAD︒∠+∠=．BND NAD∴∠=∠，DN DA∴=，DA DC∴=．（2）AB、BC、BD之间的数量关系为：AB BC BD+=．（或者：BD CB AB-=，BD AB CB-=）．延长CB到点P，使BP BA=，连接AP，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC ︒∠=．ΔADC ∴为等边三角形．AC AD ∴=，60ADC ︒∠=．180BCD BAD ︒∠+∠=，36018060120ABC ︒︒︒︒∴∠=--=．18060PBA ABC ︒︒∴∠=-∠=．BP BA =，ΔABP ∴为等边三角形．60PAB ︒∴∠=，AB AP =．60DAC ︒∠=，PAB BAC DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即PAC BAD ∠=∠．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔPAC BAD ∴≌． PC BD ∴=， PC BP BC AB BC =+=+，AB BC BD ∴+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC⊥于F ，如图3所示．180BAD C ︒∠+∠=，180BAD FAD ︒∠+∠=．FAD C ∴∠=∠．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔDFA DEC ∴≌，DF DE ∴=，AF CE =．在Rt ΔBDF 和Rt ΔBDE 中，BD BD DF DE =⎧⎨=⎩， Rt ΔRt ΔBDF BDE ∴≌．BF BE ∴=，2BC BE CE BA AF CE BA CE ∴=+=++=+，2BC BA CE ∴-=．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．。

专题12.18 三角形全等作辅助线模型(三)-倍长中线(专项练习)(培优篇)

专题12.18 三角形全等作辅助线模型（三）-倍长中线（专项练习）（培优篇）一、解答题1．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；①连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．2．（1）阅读理解：如图1，在ABC 中，若10AB =，6AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连接BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把AB ，AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，140BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个70︒角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．3．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，①AD 是BC 边上的中线①BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①BDE CDA ∆∆≌（依据一）①BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）①2AB AC AD +>．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，3AB =，4AC =，则AD 的取值范围是_____________；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE ∆中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．4．已知：①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，点M 是BE 的中点，连接CM 、DM ．（1）当点D 在AB 上，点E 在AC 上时（如图一），求证：DM=CM ，DM①CM ；（2）当点D 在CA 延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；（3）当ED①AB 时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．5．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，8,6AB AC ==，求AD 的取值范围，我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM （如图2所示），这样就可以求出2AD 的取值范围，从而得解，请写出解题过程；（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．6．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，①ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到①ADC①①EDB 的理由是_____.A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL(2)求得AD 的取值范围是______.A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD≤7（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（问题解决）(3)如图2，AD 是①ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF.求证：AC ＝BF. 7．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥；（2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =．8．已知：如图，D 是①ABC 边BC 上一点，且CD ＝AB ，①BDA ＝①BAD ，AE 是①ABD 的中线．求证：AC ＝2AE ．9．如图, AB=CB, BD=BE, ①ABC=①DBE=α.(1)当α=60°, 如图则，①DPE 的度数______________(2)若①BDE 绕点B 旋转一定角度，如图所示，求①DPE （用α表示）(3)当α=90°，其他条件不变，F 为AD 的中点，求证：EC ① BF10．已知：在ABC ∆中，90ABC ACB ∠-∠=︒，点D 在BC 上，连接AD ，45ADB ∠=︒. （1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 为BC 的中点，过点E 作AD 的垂线分别交AD 的延长线，AB 的延长线，AC 于点F G H ，，，求证：BG CH =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E 分别作EM AG ⊥于点M EN AC ⊥，于点N ，若26AB AC +=，1203EM EN +=，求AFG ∆的面积.11．如图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 上两点，且BD CE =，求证：AB AC AD AE +>+.12．如图，AB AE =，AD AC =，180BAE DAC ∠+∠=︒，点F 为DE 的中点，求证：2BC AF =.参考答案1．（1）①45°；①见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．①延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ①BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ①FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △①Rt FAC △（HL ），即得出结论．【详解】（1）①①90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒①EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠①90EAC BAE ∠+∠=︒①ACD BAE ∠=∠又①AEC B BAE ∠=∠+∠①EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠①45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．①如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，①点D 为AB 的中点，①BD AD =，又①ADG BDE ∠=∠，①ADG ①BDE ，①DGA DEB ∠=∠，①//AG BC ，①GAE AEC ∠=∠，又①2AE DE =，①AE EG =，①DGA GAE ∠=∠，①DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，①AD BD =，ADF BDH ∠=∠，①HDB ①FDA △，①BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，①BF AC =．①Rt HBF △①Rt FAC △，①2CF HF DF ==．【点拨】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．2．（1）28AD <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +=，见解析【分析】（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，由SAS 证明①ACD①①EBD ，得出BE=AC=6，在①ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；（2）延长FD 至点M ，使DM=DF ，连接BM 、EM ，同（1）得①BMD①①CFD ，得出BM=CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF ，在①BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BM ＞EM 即可得出结论；（3）延长AB 至点N ，使BN=DF ，连接CN ，证出①NBC=①D ，由SAS 证明①NBC①①FDC ，得出CN=CF ，①NCB=①FCD ，证出①ECN=70°=①ECF ，再由SAS 证明①NCE①①FCE ，得出EN=EF ，即可得出结论．【详解】（1）解：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，如图①所示：①AD 是BC 边上的中线，①BD=CD ，在①BDE 和①CDA 中，BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①BDE①①CDA （SAS ），①BE=AC=6，在①ABE 中，由三角形的三边关系得：AB -BE ＜AE ＜AB+BE ，①10-6＜AE ＜10+6，即4＜AE ＜16，①2＜AD ＜8；故答案为：2＜AD ＜8；（2）证明：延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，如图所示同（1）得，()BMD CFD SAS ∆≅∆，BM CF ∴=DE DF ⊥，DM DF =，DE DE =()EDM EDF SAS ∴∆≅∆，EM EF ∴=在BME ∆中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，BE CF EF ∴+>（3）BE DF EF +=证明如下：延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，如图所示180ABC D ∠+∠=︒，180NBC ABC ∠+∠=︒NBC D ∴∠=∠在NBC ∆和FDC ∆中，BN DF NBC D BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NBC FDC SAS ∴∆≅∆CN CF ∴=，NCB FCD ∠=∠140BCD ∠=︒，70ECF ∠=︒70BCE FCD ∴∠+∠=︒，70ECN ECF ∴∠=︒=∠在NCE ∆和FCE ∆中，CM CF ECN ECF BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NCE FCE SAS ∴∆≅∆，EN EF ∴=．BE BN EN +=，BE DF EF ∴+=【点拨】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．3．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：1722AD ＜＜；任务三：EF=2AD ，见解析【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断；任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边．任务二：1722AD ＜＜任务三：EF=2AD ．理由如下：如图延长AD 至G ，使DG=AD ，①AD 是BC 边上的中线①BD=CD在①ABD 和①CGD 中BD CD BDA CDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABD①①CGD①AB=CG ，①ABD=①GCD又①AB=AE①AE=CG在①ABC 中，①ABC+①BAC+①ACB=180°，①①GCD+①BAC+①ACB=180°又①①BAE=90°，①CAF=90°①①EAF+①BAC=360°-（①BAE+①CAF ）=180°①①EAF=①GCD在①EAF 和①GCA 中AE CG EAF GCA AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①EAF①①GCA①EF=AG①EF=2AD ．【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．4．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图一中，延长DM 使得MN DM =，连接BN 、CN ，先证明DME NMB ∆≅∆，再证明ACD BCN ∆≅∆即可解决问题．（2）补充图形如图二所示，延长DM 交CB 的延长线于N ，只要证明DME NMB ∆≅∆，再证明CDN ∆是等腰直角三角形即可．（3）如图三中，如图一中，延长DM 使得MN DM =，连接BN 、CN ，CD ，先证明DME NMB ∆≅∆，再证明ACD BCN ∆≅∆即可．【详解】（1）证明：如图一中，延长DM 使得MN=DM ，连接BN 、CN ．在①DME 和①NMB 中，DM MN DME NMB ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DME①①NMB ，①DE=BN ，①MDE=①MNB ，①DE①NB ，①①ADE=①ABN=90°，①①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN ，AC=BC ，①A=①ABC=45°，①①CBN=45°=①A ，在①ACD 和①BCN 中，AC BC A CBN AD BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD①①BCN ，①DC=CN，①ACD=①BCN，①①DCN=①ACB=90°，①①DCN是等腰直角三角形，①DM=MN，①DM=CM．DM①CM（2）解：如图二所示延长DM交CB的延长线于N，①①ABC和①ADE都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN，AC=BC，①A=①ABC=45°，①①EDC+①DCN=180°，①DE①CN，①①EDM=①N在①DME和①NMB中，EDM NEMD NMB EM BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DME①①NMB，①DE=BN=AD，DM=MN，①CD=CN，①①CDN=①N=45°，CM=DM=MN，CM①DN，①DM=CM．DM①CM．（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．①DE①AB ，①①MBN=①MED ，在①DME 和①NMB 中，MBN MED BM EM BMN EMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①①DME①①NMB ，①DE=BN=AD ，DM=MN ，①①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN ，AC=BC ，①BAC=①ABC=45°，①①AED+①BAE=180°，①①BAE=135°，①①BAC=①EAD=45°，①①DAC=①CBN=45°在①ACD 和①BCN 中，AC BC DAC NBC AD BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD①①BCN ，①DC=CN ，①ACD=①BCN ，①①DCN=①ACB=90°，①①DCN 是等腰直角三角形，①DM=MN ，①DM=CM ．DM①CM【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，记住中线延长一倍是常用辅助线，属于中考常考题型． 5．（1）17AD <<；（2）见解析．【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，从而得BM AC =，根据三角形三边关系，可得214AM <<，进而即可求解；（2）先证ADC MDB ∆≅∆，结合AE EF =，可得BM BF =，结合BM AC =，即可得到结论．【详解】（1）AD DM BD CD ADC MDB ==∠=∠，，，ADC MDB ∴∆≅∆（SAS ）， ①BM AC =，①在ABM ∆中， 214AM <<，即：2214AD <<，①AD 的范围是：17AD <<；（2）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，由（1）知：ADC MDB ∆≅∆，M CAD BM AC ∴∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴=∠，MFB AFE ∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，三角形三边的关系，等腰三角形的性质和判定定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．6．(1)B ；(2)C ；(3)证明见解析.【分析】(1)根据AD ＝DE ，①ADC ＝①BDE ，BD ＝DC 推出①ADC 和①EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE ＝AC ＝6，AE ＝2AD ，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD ＜8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，根据SAS 证①ADC①①MDB ，推出BM ＝AC ，①CAD ＝①M ，根据AE ＝EF ，推出①CAD ＝①AFE ＝①BFD ，求出①BFD ＝①M ，根据等腰三角形的性质求出即可.【详解】（1）解：在①ADC 和①EDB 中AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADC①①EDB(SAS)，故选B ；（2）解：如图：①由(1)知：①ADC①①EDB ，①BE ＝AC ＝6，AE ＝2AD ，①在①ABE 中，AB ＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD ＜8+6，①1＜AD ＜7，故选C.（3）延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，①AD 是①ABC 中线，①CD ＝BD ，①在①ADC 和①MDB 中DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADC①①MDB ，①BM ＝AC ，①CAD ＝①M ，①AE ＝EF ，①①CAD ＝①AFE ，①①AFE ＝①BFD ，①①BFD ＝①CAD ＝①M ，①BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF.【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．7．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △①DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用①BAC 、①BAE 、①EAD 和①DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用①AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △①EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及①ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △①EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △①DAM △，即可得到EM DM =．【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，①AM 是EAD 中线，①EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DM EMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①EMF △①DMA △（SAS ）．①DAM F ∠=∠，EF AD =．①AD AC =，①EF AC =．①AE AB ⊥，DA AC ⊥，①360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ①180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-，①BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF AC BAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①ABC △①EAF △（SAS ）．①EAF B ∠=∠．①AE AB ⊥，①90EAF BAN ∠+∠=︒．①90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，①AN BC ⊥．（2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，①DA AC ⊥，①90DAM CAN ∠+∠=︒．①AN BC ⊥，①90CAN C ∠+∠=︒．①F DAM C ∠=∠=∠．①AE AB ⊥，DA AC ⊥，①360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ①180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠， ①BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEF F C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①ABC △①EAF △（AAS ）．①EF AC =．①AD AC =，①EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①EFM △①DAM △（AAS ）．①EM DM =．【点拨】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.8．见解析.【分析】延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF,，可证明①ABE①①FDE ，则①BAE=①EFD ，再由外角的性质得出①ADF=①ADC ，则①ADF①①ADC ，则AF=AC ，从而得出AC=2AE.【详解】证明：延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF①AE 是①ABD 的中线．①BE=ED在①ABE 和①FDE 中，BE DE AEB DEF AE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABE①①FDE （SAS ）①AB=DF ，①BAE=①EFD①①ADB 是①ADC 的外角①①DAC+①ACD=①ADB=①BAD①①BAE+①EAD=①BAD①BAE=①EFD①①EFD+①EAD=①DAC+①ACD①①ADF=①ADC①AB=DC①DF=DC在①ADF 和①ADC 中，AD AD ADF ADC FD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADF①①ADC （SAS ）①AF=AC①AF=AE+EF，AE=ED①AC=2AE【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，还涉及三角形中线定义、三角形外角定理等知识点，作出辅助线以及熟练掌握三角形全等的性质定理是解题关键.9．（1）60°；（2）α；（3）证明见解析．【分析】（1）由SAS证明①ABE①①CBD，得到①AEB=①CDB，再由对顶角相等及三角形内角和公式可得①EPD=①EBD即可；（2）与（1）同理可求①DPE=①DBE，即可得出结论；（3）延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．由SAS证明①AFB①①DFK，得到AB=KD，①ABF=①DKF，进而得到BC=KD，KD①AB，再证明①BDK=①4，得到①EBC①①BDK，由全等三角形对应角相等得到①1=①2，即可得出结论．【详解】（1）如图1，设BE和CD相交于M．①①ABC=①DBE，①①ABE=①CBD．在①ABE和①CBD中，①AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABE①①CBD（SAS），①①AEB=①CDB．在①PME和①BMD中，①①PME=①BMD，①AEB=①CDB，①①EPD=180°－①AEB－①PME=180°－①CDB－①BMD=①MBD=60°；（2）如图2，同理可求①DPE=①DBE=α；（3）如图3，延长BF 到K ，使FK =BF ，连接KD ，延长EC 交BK 于M ．①AF =DF ，①AFB =①DFK ，BF =KF ，①①AFB ①①DFK ，①AB =KD ，①ABF =①DKF ，①BC =KD ，KD ①AB ，①①BDK +①ABD =180°，①①BDK =180°－①ABD =180°－（①2+①3+①4+①5）=180°－[（90°－①4）+90°]=①4．在①EBC 和①BDK 中，①EB =BD ，①4=①BDK ，BC =DK ，①①EBC ①①BDK ，①①1=①2． ①①2+①EBK =90°，①①1+①EBK =90°，①①EMB =90°，①EC ①BF ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目往往求解思路相同，证明三角形全等是解题的关键．10．(1)见解析；（2）见解析；（3）30【解析】【分析】（1）设ACB α∠=，根据条件90ABC ACB ∠-∠=︒以及外角性质可得①ADB=①C+①CAD=45°，所以9090ABC ACB a ∠=∠+︒=+︒，45CAD ADB C α∠=∠-∠=︒-，由三角形内角和定理可得()18090902BAC ααα∠=︒-+︒-=︒-，从而求解；（2）过点B 作BT GH ⊥于点T ，过点C 作CR GH ⊥的延长线于点R ，可证G AHG CHR ==∠∠∠，利用AAS 证明BET CER ∆∆≌，得出BT CR =，再利用AAS证明BGT CHR ∆∆≌即可证明；（3）连接AE ，由ASA 易证AFG AFH ∆∆≌ ，所以AG AH =，26AB AC += ，因为()()26AG BG AH CH -++= ，所以13AG AH ==，又因为AGH AEG AEH S S S ∆∆∆=+ 所以()111313120131360222213AGH S EM EN EM EN ∆=⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯=，因为111222AGH AFG FG GH S GH AF S FG AF ∆∆==⨯⨯=⨯⨯，所以1302AFG AGH S S ∆∆== 【详解】（1）证明：如图1 令ACB α∠=，①90ABC ACB ∠-∠=︒，①ADB=①C+①CAD=45°，①9090ABC ACB a ∠=∠+︒=+︒，45CAD ADB C α∠=∠-∠=︒-在ABC ∆中 ①180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒①()18090902BAC ααα∠=︒-+︒-=︒-=2（45°-α ）①45BAD BAC CAD CAD α∠=∠-∠=︒-=∠（2）如图2 过点B 作BT GH ⊥于点T ，过点C 作CR GH ⊥的延长线于点R ①AF GH ⊥①90AFG AFH ∠=∠=︒①9090G FAG AHF FAH ∠+∠=∠+∠=︒︒①G AHG CHR ==∠∠∠在BET ∆和CER ∆中 90BET CER BTE CRE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①BET CER ∆∆≌①BT CR =由（1）得BAD CAD ∠=∠，①HG①AF ，①①BGT=①AHG=①CHR ，在BGT ∆和CHR ∆中 90BGT CHR BTG CRH BT CR ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①BGT CHR ∆∆≌①BG CH =（3）如图3 连接AE在AFG ∆和AFH ∆中 FAG FAH AF AFAFG AFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①AFG AFH ∆∆≌①AG AH =①26AB AC +=①()()26AG BG AH CH -++=①13AG AH ==①AGH AEG AEH S S S ∆∆∆=+ ①()111313120131360222213AGH S EM EN EM EN ∆=⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯= ①111222AGH AFG FG GH S GH AF S FG AF ∆∆==⨯⨯=⨯⨯ ①1302AFG AGH S S ∆∆==【点拨】本题考查角平分线的判定、全等三角形的证明与性质，三角形面积的计算，解题关键是恰当做出辅助线.11．详见解析【解析】【分析】如图，取DE 的中点O ，连结AO 并延长至点F ，使OF OA =，连结EF 、CF ，证明AOD FOE ∆∆≌，从而可得AD=EF ，同理可得AB=CF ，延长AE 交CF 于点G ，在ACG ∆中，根据三角形三边关系可得到AC CG AE EG +>+，在EFG ∆中，EG FG EF +>，继而通过推导即可得出答案.【详解】如图，取DE 的中点O ，连结AO 并延长至点F ，使OF OA =，连结EF 、CF ， AO FO =，DO EO =，AOD FOE ∠=∠，AOD FOE ∴∆∆≌，AD EF ∴=，同理可证：AB CF =，延长AE 交CF 于点G ，在ACG ∆中，AC CG AG +>，即AC CG AE EG +>+，①在EFG ∆中，EG FG EF +>，①①+①得，AC CG EG FG AE EG EF +++>++，即AC CF AE EF +>+，AB AC AD AE ∴+>+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.12．详见解析【分析】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，证明ADF GEF ∆∆≌，从而可得AD GE =，ADF GEF ∠=∠，继而得GEA BAC ∠=∠，再证明AEG ACB ∆∆≌，可得AG=BC ，继而可得结论.【详解】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，又DF EF =，AFD GFE ∠=∠，ADF GEF ∴∆∆≌，AD GE ∴=，ADF GEF ∠=∠.AD GE ∴，180GEA DAE ∴∠+∠=︒，180BAE DAC ∴∠+∠=︒，180DAE BAC ∴∠+∠=︒，GEA BAC ∴∠=∠，又AB AE =，AC AD =，AC GE ∴=，AEG ACB ∴∆∆≌，AG BC ∴=，即2BC AF =.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据倍长中线正确添加辅助线是解题的关键.。

专题12.17 三角形全等作辅助线模型(三)-倍长中线(专项练习)(巩固篇)

专题12.17 三角形全等作辅助线模型（三）-倍长中线（专项练习）（巩固篇）一、单选题1．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，若EF=AF ， BE=7.5， CF=6，则EF=( ).A ．2.5B ．2C ．1.5D ．12．在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝4，那么边AB 的取值范围为( )A ．1＜AB ＜9 B ．3＜AB ＜13C ．5＜AB ＜13D ．9＜AB ＜13 3．如图，在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是( )A ．1AB 29<<B ．4AB 24<<C ．5AB 19<<D ．9AB 19<<4．已知△ABC 中，AB=5，AC=7，则BC 边上的中线a 的取值范围是（） A ．1＜a ＜6 B ．5＜a ＜7 C ．2＜a ＜12 D ．10＜a ＜14 5．AD 是∆ABC 中 BC 边上的中线，若 AB = 3 ， AD = 4 ，则 AC 的取值范围是（） A ．1 < AC < 7B ．0.5 < AC < 3.5 C ．5 < AC < 11D ．2.5 < AC < 5.5二、填空题6．在△ABC 中，AC =8，中线AD =5，那么边AB 的取值范围为____．7．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．9．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．10．如图，△ABC 中，BC 边上的中线AD 将△BAC 分成了两角△BAD 、∠DAC 分别为70°和40°，若中线AD 长为2.4cm ，则AC 长为________cm.11．如图，在△ABC 中，△BAC ＝120°，点D 是BC 的中点，且AD △AC ，若AC ＝3，则AB 的长为________．12．AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边BC 的取值范围是_______________________；中线AD 的取值范围是__________________．三、解答题13．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．14．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发现）（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，证明：ACD EBD △≌△．（理解与应用）（2）如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，则x 的取值范围是________．（3）如图3，AD 是ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．15．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE△AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD 的距离．16．（1）如图1，在ABC 中，AB=4，AC=6，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE=AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE△DF ，求证：BE+CF ＞EF ；（3）如图3，在四边形ABCD 中，△A 为钝角，△C 为锐角，△B+△ADC=180°，DA=DC ，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且△EDF=12△ADC ，连接EF ，试探索线段AF ，EF ，CE 之间的数量关系，并加以证明．17．阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在ABC ∆中，2BC AB =，AD 是中线，点E 为BD 的中点，连接AE .求证：12AE AC =”张老师给出了如下简要分析：“要证12AE AC =，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找12AC ，故取AC 的中点F ，连接DF ，只要证AF AE =即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变12AE AC =为2AC AE =，因为需要找到2AE ，于是延长AE 至点G ，使EG AE =，只要证______即可.连接GD ，若证出______≌______则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明.18．如图，在△ABC 中，已知：点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE.（1）请你添加一个条件使△ACD△△EBD ，并给出证明.（2）若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围.19．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝5，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：△延长AD 到Q ，使得DQ ＝AD ；△再连接BQ ，把AB 、AC 、2AD 集中在△ABQ 中；△利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD 的取值范围是_____________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC 与BQ 的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD 是△ABC 的中线，AB ＝AE ，AC ＝AF ，△BAE ＝△FAC ＝90°．试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明．20．（1）（问题情境）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图△，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：△.由已知和作图能得到△ADC△△EDB，依据是________．A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA△.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）（学会运用）如图△，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, △BAC=△BCA, 求证：AE=2AD．，，，用记号21．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形分别为a b c()()a b c a b c ，，≤≤表示一个满足条件的三角形，如（2，4，4）表示边长分别为2，4，4个单位长度的一个三角形.（1）若这些三角形三边的长度为大于0且小于3的整数个单位长度，请用记号写出所有满足条件的三角形；（2）如图，AD 是ABC ∆的中线，线段AB AC ，的长度分别为2个，6个单位长度，且线段AD 的长度为整数个单位长度，过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E .△求AD 的长度；△请直接用记号表示ACE ∆.22．如图，已知AD 是ABC ∆的一条中线，延长AD 至E ，使得DEAD =，连接BE . 如果5,7AB AC ==，试求AD 的取值范围.23．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD ．求证：AE ＝12AC ．24．如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且△ACB=△ABC ．求证：CD=2CE ．25．先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，△ADB=△EDC，BD=CD，所以，△ABD△△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB△CE等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．参考答案1．C【分析】延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC△△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，△DAC=△G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长．【详解】解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG，△AD是△ABC的中线，△BD=CD，且DG=AD，△ADC=△BDG，△△ADC△△GDB（SAS），△AC=DG=CF+AF=6+AF，△DAC=△G，△EF=AF，△△DAC=△AEF，△△G=△AEF=△BEG，△BE=BG=7.5，△6+AF=BG=7.5，△AF=1.5=EF，故选择：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．B【解析】试题解析：延长AD至E，使DE=AD=4，连接BE．则AE=8，△AD是边BC上的中线，D是中点，△BD=CD；又△DE=AD，△BDE=△ADC，△△BDE△△ADC，△BE=AC=5；由三角形三边关系，得AE-BE＜AB＜AE+BE，即8-5＜AB＜8+5，△3＜AB＜13；故选B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．3．D【解析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△ADC和△EDB中AD=DE,△ADC=△BDE,CD=BD△△ADC△△EDB（SAS）△AC=BE（全等三角形的对应边相等）△AC=5，AD=7△BE=5，AE=14在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE△AB边的取值范围是：9＜AB＜19故选D4．A【详解】试题分析：延长AE到D，使AE=DE，连接BD．△AE是中线，△BE=CE，△AEC=△DEB，△△AEC△△DEB△（SAS），△BD=AC=7，又AE=a，△2＜2a＜12，△1＜a＜6．故选A．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形三边关系．5．C【解析】【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AC的取值范围即可．【详解】如图，延长AD到E，使DE=AD=4，△AD是BC边上的中线，△BD=CD,在△ABD和△ECD中，△BD CDADB EDC DE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD△△ECD(SAS)，△CE=AB=3，△AB=3，AD=4，△AE−CE<AC<AE+EC，即8−3<AC<11，△5<AC<11，故选C.【点拨】考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练作出辅助线是解题的关键.6．2＜AB＜18【分析】作出图形，延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，△AD 是△ABC 的中线，△BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△ECD （SAS ），△AB =CE ，△AD =5，△AE =5+5=10，△10+8=18，10-8=2，△2＜CE ＜18，即2＜AB ＜18．故答案为：2＜AB ＜18．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．7．1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，△AD 是△ABC 的中线，△BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△ECD (SAS )，△AB ＝CE ，△AD ＝4，△AE ＝4+4＝8，△AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，△9-8＜AC ＜8+9，△1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．8．16AD <<【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【详解】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【点拨】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．9．32；【分析】延长AD 至G 使AD DG =，连接BG ，得出ACD GBD ∆≅∆,得出AC BG BE ==，所以得出AEF ∆是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACD GBD ∆≅∆△,CAD G AC BG ∠=∠=△BE AC =△BE BG =△G BEG ∠=∠△BEG AEF ∠=∠△AEF EAF ∠=∠△EF AF =△AF CF BF EF +=-即69AF EF +=- △32AF = 【点拨】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 10．4.8【分析】延长AD 到E ，取DE=AE ，连接CE ，用边角边可证△ABD△△ECD ，可得△E=△BAD=70°，由△DAC=40°，可推出△ACE 为等腰三角形，则AC=AE.【详解】延长AD 到E ，取DE=AE ，连接CE ，如图所示，在△ABD 和△ECD 中，BD=CD BDA=CDE AD=ED ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△()ABD ECD SAS ≅△△E=△BAD=70°在△AEC 中，7040=71801800︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--ACE E DAC△△E=△ACE ，△AC=AE=2AD=4.8cm故答案为4.8【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键.11．6【解析】【分析】延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，由△BAC=120°，△DAC=90°，可得△BAE=30°，根据SAS 可证明△BED△△CAD ，从而可得△BED=△DAC=90°，BE=AC ，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB 的长.【详解】延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，△△BAC=120°，△DAC=90°，△△BAE=△BAC -△DAC=30°，在△BED 和△CAD 中，BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BED△△CAD （SAS ），△△BED=△DAC=90°，BE=AC=3，△AB=2BE=6，故答案为6.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键.12．4＜BC＜20 2＜AD＜10【详解】试题分析：BC边的取值范围可在△ABC中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD=DE，得出△ACD△△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．解：如图所示，在△ABC中，则AB﹣AC＜BC＜AB+AC，即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，延长AD至点E，使AD=DE，连接BE，△AD是△ABC的边BC上的中线，△BD=CD，又△ADC=△BDE，AD=DE△△ACD△△EBD，△BE=AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，△2＜AD＜10．故此题的答案为4＜BC＜20，2＜AD＜10．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．13．（1）16AD <<；（2）见解析；（3）CD BC AD =+，证明见解析【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，即可证明ADC MDB ∆≅∆，则可得BM AC =，在ABM ∆中，根据三角形三边关系即可得到AM 的取值范围，进而得到中线AD 的取值范围；（2）延长AD 到点,M 使DM AD =，连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，则可得M CAD BM AC ∠=∠=，，由AE EF =可知，CAD AFE ∠=∠，由角度关系即可推出BMF BFM ∠=∠，故BM BF =，即可得到AC BF =；（3）延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，即可证明AEF BEC ∆≅∆，则可得EAF B AF BC ∠=∠=，，由//AD BC ，以及角度关系即可证明点,,F A D 在一条直线上，通过证明Rt DEF △△DEC Rt △，即可得到FD CD =，进而通过线段的和差关系得到CD BC AD =+．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，△AD 是ABC ∆的中线，△DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，△ADC MDB ∆≅∆，△BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜，△7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，△16AD ＜＜；（2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，△M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥，△90DEF DEC ==︒∠∠，△在Rt DEF △和DEC Rt △中，EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，△Rt DEF △△DEC Rt △，FD CD ∴=，△FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．【点拨】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．14．（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPF PD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==，在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ -<<+，即53253x -<<+， x 的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．15．6【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅，再根据全等三角形的性质得到6BE CF ==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，△AD 是ABC 的中线，△BD CD =，△BE AD ⊥，CF AD ⊥，△90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()BDE CDF AAS ≅，△6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．16．（1）1＜AD ＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF ，见解析【分析】（1）证明△CDE△△BDA （SAS ），推出CE=AB=4，在△ACE 中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH=DE ，连接DH ，FH ．证明△BDE△△CDH （SAS ），推出BE=CH ，再证明EF=FH ，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF+EC=EF ．延长BC 到H ，使得CH=AF ．提供两次全等证明AF=CE ，EF=EH 即可解决问题．【详解】（1）△CD=BD ，AD=DE ，△CDE=△ADB ，△△CDE△△BDA （SAS ），△6﹣4＜AE＜6+4，△2＜2AD＜10，△1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．△BD=DC，△BDE=△CDH，DE=DH，△△BDE△△CDH（SAS），△BE=CH，△FD△EH，又DE=DH，△EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，△CH=BE，FH=EF，△BE+CF＞EF；（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．△△B+△ADC=180°，△△A+△BCD=180°，△△DCH+△BCD=180°，△AF=CH ，AD=CD ，△△AFD△△CHD （SAS ），△DF=DH ，△ADF=△CDH ，△△ADC=△FDH ， △△EDF=12△ADC ， △△EDF=12△FDH ， △△EDF=△EDH ，△DE=DE ，△△EDF△△EDH （SAS ），△EF=EH ，△EH=EC+CH=EC+AF ，△EF=AF+EC ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．转化；AF AE =；AG AC =,AGD △ ,ACD ；二证明过程见详解【分析】按照张老师的思路即可填出答案，利用全等三角形的判定及性质来证明AGD ACD ≅，从而有AG AC =，从而结论可证.所以思路二可以证明.【详解】转化；AF AE =；AG AC =,AGD △ ,ACD ；二证明：延长AE 至点G ，使EG AE =△点E 为BD 的中点△BE ED =在ABE △和DEG △中，BE ED BEA DEG AE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DEG SAS ∴≅,AB DG ABE EDG ∴=∠=∠△2BC AB =，AD 是中线12AB BC BD CD ∴=== ,BAD ADB DG DC ∴∠=∠=,ADG ADB BDG ADC BAD ABE ∠=∠+∠∠=∠+∠ADG ADC ∴∠=∠在ADG 和ADC 中，AD AD ADG ADC DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADG ADC SAS ∴≅△AG AC = △12AE AC = 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.18．添加AD=DE ，证明见解析；（2）1<AD<4.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理添加AD=DE ，利用SAS 即可证明△ACD△△EBD ；（2）延长AD 到E ，使AD=ED ，由（1）可得△ACD△△EBD ，可得BE=AC=3，在△ABE 中，根据三角形三边关系可得AE 的取值范围，进而可得答案.【详解】（1）可添加AD=DE ，理由如下：△点D 是BC 中点，△BD=DC ，在△ADC 和△EDB 中，AD DE AD DE CD BD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB （SAS ），（2）延长AD 到E ，使AD=ED ，由（1）得△ADC△△EDB ，△BE=AC ，在△ABE 中，AB -BE<AE<AB+BE ，即5-3<2AD<5+3，△1<AD<4，【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用及三角形三边关系，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.19．（1）2＜AD＜7；（2）AC△BQ，理由见解析；（3）EF＝2AD，AD△EF，理由见解析【分析】（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB△△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；（2）由（1）知，△QDB△△ADC（SAS），得出△BQD＝△CAD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出△BDQ△△CDA（SAS），则△DBQ＝△ACD，BQ＝AC，进而判断出△ABQ＝△EAF，进而判断出△ABQ△△EAF，得出AQ＝EF，△BAQ＝△AEF，即可得出结论．【详解】解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△QDB和△ADC中，BD CDBDQ CDA DQ DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△QDB△△ADC（SAS），△BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，△4＜AQ＜14，△2＜AD＜7，故答案为2＜AD＜7；（2）AC△BQ，理由：由（1）知，△QDB△△ADC，△△BQD＝△CAD，△AC△BQ；（3）EF＝2AD，AD△EF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ△△CDA（SAS），△△DBQ＝△ACD，BQ＝AC，△AC＝AF，△BQ＝AF，在△ABC中，△BAC+△ABC+△ACB＝180°，△△BAC+△ABC+△DBQ＝180°，△△BAC+ABQ＝180°，△△BAE＝△F AC＝90°，△△BAC+△EAF＝180°，△△ABQ＝△EAF，在△ABQ和△EAF中，AB EAABQ EAF BQ AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABQ△△EAF，△AQ＝EF，△BAQ＝△AEF，延长DA交EF于P，△△BAE＝90°，△△BAQ+△EAP＝90°，△△AEF+△EAP＝90°，△△APE＝90°，△AD△EF，△AD＝DQ，△AQ＝2AD，△AQ＝EF，△EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD△EF．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．20．（1）△.B；△. 1＜AD＜9；（2）证明见解析.【分析】（1）△.根据全等三角形的判定定理解答；△.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD△△MCD，进而得出MC＝AB，△B＝△MCD，即可得出△ACM＝△ACE，再证明△ACM△△ACE，即可证明结论．【详解】解：（1）△.在△ADC和△EDB中，BD CDBDE CDA DE AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADC△△EDB（SAS），故选：B；△.△△ADC△△EDB，△BE=AC，△AB−BE＜AE＜AB＋BE，△AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，△1＜AD＜9，故答案为：1＜AD＜9；（2）延长AD至M，使DM＝AD，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△ABD 和△MCD 中，BD CD ADB MDC AD DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△MCD （SAS ），△MC ＝AB ，△B ＝△MCD ，△AB ＝CE ，△CM ＝CE ，△△BAC ＝△BCA ，△△B ＋△BAC ＝△ACB ＋△MCD ，即△ACE ＝△ACM ，在△ACE 和△ACM 中，AC AC ACE ACM CM CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ACM△△ACE （SAS ），△AE ＝AM ，△AM ＝2AD ，△AE ＝2AD ．【点拨】本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．21．（1）（1，1，1），（1，2，2），（2，2，2）;（2）△3AD =;△（2，6，6）【解析】【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．（2）△根据题意，由AAS 可证明ABD ECD ∆∆≌，所以2AD DE CE AB ===，2AE AD =，再根据三角形三边关系可得AC CE AE AC CE -<<+，即62262AD -<<+，所以24AD << ，又因为AD 的长度为整数个单位长度，所以得3AD =.△由△得ACE ∆的三边分别是2,6,6,根据题意可得答案.【详解】解：（1）因为大于0且小于3的整数的整数有1、2，所以根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形有：（1，1，1），（1，2，2），（2，2，2）；（2）△如图 △CE AB ∥△ABD ECD BAD CED ∠=∠∠=∠在ABD ∆和ECD ∆中 ABD ECD BAD CED BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABD ECD ∆∆≌△2AD DE CE AB ===△2AE AD =在ACE ∆中 △AC CE AE AC CE -<<+△62262AD -<<+△24AD <<△AD 的长度为整数个单位长度△3AD =；△由△得，ACE ∆的三边分别是2,6,6,根据题意，用记号表示ACE ∆为（2，6，6）.【点拨】本题考查三角形的三边关系，三角形中线，解题关键是利用中线倍长法做辅助线.22．AD 的取值范围是16AD <<.【解析】【分析】先证明ADC EDB ∆∆≌得到7BE AC ==，然后根据三角形的三边关系得到AE 的取值范围，从而计算出AD 的取值范围。

(完整版)全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。

求证： CD=AD+BC。

思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。

初中数学证明三角形全等添加辅助线的6道精选经典考题

初中数学证明三角形全等添加辅助线的6道精选经典考题！第1题，连接AC和AD，构造两个全等三角形，对应边相等得到一个等
腰三角形。

根据等腰三角形的三线合一的性质，证明出结论。

第2题，
等腰直角三角形，斜边上的中点，一般连接斜边的中线，得到三条边相等，得几个45°角相等。

这是这一类题型的辅助线添加的方法。

第3题，这个辅助线的作法和倍长法有点类似，但若只是倍长，就找不到角相等。

那么做平行线，就有内错角相等，再根据题意的其他条件，得出两个三角形全等。

第4题，要求证明BD平分∠ABC，第一想到的是角平分线的性质的逆定理。

过点D做角两边的垂线，构造两个三角形全等，得到点到角两边的距离相等。

第5题，这类证明一条线段等于几条线段之和的题型，就是想办法添加辅助线，进行相等的线段进行代换，把几条线段放到一条线段上。

那么线段相等，一般就是需要构造三角形全等。

第6题，就是我们最常见的倍长中线法，构造三角形全等。

这个倍长中线的辅助线添加方法，在很多的题型中，都用得到。

【中考数学专题】08：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线

专题08：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线一、单选题1．在△ABC 中，AC ＝6，中线AD ＝5，则边AB 的取值范围是（）A ．1＜AB ＜11 B ．4＜AB ＜13C ．4＜AB ＜16D ．11＜AB ＜162．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒3．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠ C ．ED BC EB += D ．2DEBC EFB S S =四边形4．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD 是△ABC 的中线，则AD 的取值范围是（）A ．3<AD<13B ．1.5<AD<6.5C ．2.5<AD<7.5D ．10<AD<165．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：△DEF 是等腰直角三角形；△四边形CDFE 的面积保持不变；△AD BE DE +>．其中正确的是（）A ．△△△B ．△C ．△D ．△△二、填空题 6．如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于E ，点F 为边AB 中点，12AD CD =，40CEF ∠=︒，则AFE ∠=_________7．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．8．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：23，则△BCD＝_____．10．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，△CAD＝45°，则BC＝_____.三、解答题11．如图，已知AD是ABC的中线，过点B作BE△AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．12．在ABC中，△C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF△DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E 是线段AC 的中点时，AE ＝2，BF ＝1，求EF 的长；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．13．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至点E ，使 DE =AD ．在△ADC 和△EDB 中，AD =DE ，△ADC =△EDB ，BD =CD ，所以，△ACD △△EBD ，进一步可得到AC =BE ，AC //BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 为AD 上一点，且BF =AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE =EF ．14．如图1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，3AB =M 是BC 边的中点，MN BC ⊥交AC 于点N .将直角PMQ ∠绕顶点M 旋转，使得边MP 与线段BA 交于点P ，边MQ 与线段AC 交于点Q .（1）求证：PBM ∆与QNM ∆相似；（2）设BP 的长为x ，Rt APQ ∆的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）探究2BP 、2PQ 、2CQ 三者之间的数量关系，并说明理由.15．如图1，已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，F 是线段BC 上一点，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探究EG 与CG 的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰Rt BEF ∆绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD =，求2GE BF +的最小值．参考答案1．C【解析】【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】如图，延长AD至E，使DE＝AD，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，△ADB＝△EDC，AD＝DE，△△ABD△△ECD（SAS），△AB＝CE，△AD＝5，△AE＝5＋5＝10，△10＋6＝16，10−6＝4，△4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．2．D【解析】【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE △△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD △AB 于D ，△ADE ＝50°，即可求出△B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，△四边形ABCF 是平行四边形，△AB △CF ，AB ＝CF ，△△NAE ＝△F ，△点E 是的AF 中点，△AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FEAEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△NAE △△CFE （ASA ），△NE ＝CE ，NA ＝CF ，△AB ＝CF ，△NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，△BC ＝2AB ，△BC ＝BN ，△N ＝△NCB ，△CD △AB 于D ，即△NDC ＝90°且NE ＝CE ，△DE ＝12NC ＝NE ， △△N ＝△NDE ＝50°＝△NCB ，△△B ＝80°．故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．3．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠ 可以证得DFE CFP ≅，所以ED BC CP BC BP +=+=,由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅，所以BEP DEBC S S=四边形，由此可以判断D 选项；【详解】四边形ABCD 是平行四边形 ∴ 228CD AD BC ===∴ 4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴ CFB FBC ∠=∠DC AB ∥∴ CFB FBC FBA ∠=∠=∠∴ 2ABC ABF ∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴ D FCP ∠=∠∴ 在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ DFE CFP ≅∴ ED BC CP BC BP +=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP ≅∴ BEP DEBC S S =四边形F 为DC 的中点∴ 2BEP BEF DEBC S S S ==四边形故D 选项正确；故选：D.【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键. 4．B【解析】【分析】延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，证明△ADC△△EDB 就可以得出BE=AC ，根据三角形的三边关系就可以得出结论．【详解】解：延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ．△AD 是△ABC 的中线，△BD=CD ．在△ADC 和△EDB 中，CD BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB （SAS ），△AC=BE ．△AB -BE ＜AE ＜AB+BE ，△AB -AC ＜2AD ＜AB+AC ．△AB=8，AC=5，△1.5＜AD ＜6.5．故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．A【解析】【分析】连接CF ，利用SAS 可证ADF CEF ≌，从而得出,=∠=∠DF FE AFD CFE ，从而求出90EFD ∠=︒，即可判断△；根据全等三角形的性质可得=ADF CEF S S ，从而得出四边形CDFE 的面积为12ABC S ，从而判断△；延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ，证出AD BG =和DE EG =，最后根据三角形的三边关系即可判断△．【详解】解：如图，连接CF ．△AC BC =，F 为AB 的中点，△CF AB ⊥，12∠=∠=ACF BCF ACB ． △90ACB ∠=︒，△45∠=∠=∠=︒A ACF BCF ，△CF AF =．又△AD CE =，△ADF CEF ≌．△,=∠=∠DF FE AFD CFE ，△90AFD CFD ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒CFE CFD ，△90EFD ∠=︒，△DEF 是等腰直角三角形．△正确．△ADF CEF ≌，△=ADF CEF S S ，△四边形CDFE 的面积为12+=+==CDF CEF CDF MDF AFC ABC SS S S S S ． △11883222=⨯=⨯⨯=ABC S AC BC ， △四边形CDFE 的面积为16，为定值．△正确．延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ．△AF BF =，∠=∠AFD BFG ，DF FG =，△ADF BCF ≌△△，△AD BG =．△90EFD ∠=︒，△EF DF ⊥，△DE EG =．在EBG 中，△+>BG BE EG ，△AD BE DE +>．△正确．△△△均正确，故选A ．【点评】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．6．30【解析】【分析】延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，先依据全等的判定和性质得到FE FG =，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FC FE FG ==，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BF BC =，依据三角形等边对等角得到50FCG G ∠=∠=︒、50BFC FCG ∠=∠=︒，依据三角形内角和得到GFC ∠，通过作差即得所求.【详解】解：延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，△平行四边形ABCD 中，△//AD BC ，AB CD =,AD BC =,△A GBF ∠=∠，AFE BFG ∠=∠，90GCE CED ∠==︒,又△点F 为边AB 中点，得12A FB A BF ==, △AFE △△BFG (ASA)，0509C G EF ∠∠-==︒︒，△FE FG =，△FC FE FG ==，△50FCG G ∠=∠=︒,△18080GFC FCG G ∠=︒-∠-∠=︒, △12BF AB =,12AD CD =,AB CD =,AD BC =, △BF BC =,△50BFC FCG ∠=∠=︒,△30BFG GFC BFC ∠=∠-∠=︒,△30BFG AFE ∠∠==︒,故答案为：30.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.7．32；【解析】【分析】延长AD 至G 使AD DG =，连接BG ，得出ACD GBD ∆≅∆,得出AC BG BE ==，所以得出AEF ∆是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACD GBD ∆≅∆△,CAD G AC BG ∠=∠=△BE AC =△BE BG =△G BEG ∠=∠△BEG AEF ∠=∠△AEF EAF ∠=∠△EF AF =△AF CF BF EF +=-即69AF EF +=- △32AF = 【点评】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．85 【解析】【分析】延长BE 交CD 于点F ，证ABE DFE ≌，则BE=EF=12BF ，故再在直角三角形BCF 中运用勾股定理求出BF 长即可.【详解】解：延长BE 交CD 于点F,△AB 平行CD ，则△A=△EDC ，△ABE=△DFE ，又E 为AD 上的中点，△BE=EF,所以ABE DFE ≌.△1,12BE EF BF AB DF ==== △1CF =在直角三角形BCF 中，BF=2212+=5.△1522BE BF ==. 【点评】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.9．30°【解析】【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE ，过E 点作EF △BC ，垂足为F ，△D 是AB 的中点，△AD＝BD，又△△ADC＝△BDE，DE＝DC，△△ADC△△BDE（SAS），△AC＝BE，△CD：AC：BC＝1：2：23，设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE，△FC＝FB＝12BC＝3m，在Rt△CEF中，cos△FCE＝CFCE＝32mm＝32，△△FCE＝30°，即△BCD＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．10．237【解析】【分析】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF△AC于F，作CH△AD于H，如图，先证明△ADB△△EDC得到EC=AB=10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF2，则根据勾股定理可计算出CF2从而得到AC2，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．【详解】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF△AC于F，作CH△AD于H，如图，△AD是中线，△BD=CD．在△ADB 和△EDC 中，△AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△EDC （SAS ），△EC =AB =10．在Rt△AEF 中，△△DAC =45°，AE =14，△AF =EF 22=AE =72．在Rt△CEF 中，CF 2210(72)2=-=，△AC =AF ﹣CF =62．在Rt△ACH 中，△△HAC =45°，△AH =CH 22=AC =6，△DH =AD ﹣AH =1．在Rt△CDH 中，CD 221637=+=，△BC =2CD =237．故答案为237．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解答此题的关键．11．6【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅，再根据全等三角形的性质得到6BE CF ==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，△AD 是ABC 的中线，△BD CD =，△BE AD ⊥，CF AD ⊥，△90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()BDE CDF AAS ≅，△6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．12．（15（2）AE 2+BF 2＝EF 2，证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE△BC ，DE ＝12BC ，进而证明四边形CEDF 是矩形得DE ＝CF ，得出CF ，再根据勾股定理得结果；（2）过点B 作BM△AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，证明△ADE△△BDM 得AE ＝BM ，DE ＝DM ，由垂直平分线的判定定理得EF ＝MF ，进而根据勾股定理得结论．【详解】解：（1）△D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，△DE△BC ，DE ＝12BC ， △△ACB ＝90°，△△DEC＝90°，△DF△DE，△△EDF＝90°，△四边形CEDF是矩形，△DE＝CF＝12BC ，△CF＝BF＝1，△CE＝AE＝2，△EF＝2222125CF CE+=+=；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM△AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则△AED＝△BMD，△CBM＝△ACB＝90°，△D点是AB的中点，△AD＝BD，在△ADE和△BDM中，AED BMDADE BDM AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADE△△BDM（AAS），△AE＝BM，DE＝DM，△DF△DE，△EF＝MF，△BM2+BF2＝MF2，△AE2+BF2＝EF2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．13．详见解析【解析】【分析】延长AD 到M ，使DM=AD ，连接BM ，根据SAS 推出△BDM△△CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，△CAD=△M ，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出△BFM=△M ，求出△AFE=△EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD =，并连结BM ，△AD 是三角形的中线，△BD CD =，在MDB △和ADC △中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MDB ADC △≌△，△AC MB =，BMD CAD ∠=∠，△BF AC =，△BF BM =，△BMD BFD ∠=∠，△BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，△EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．14．（1）PBMQNM ∆∆；（2）206S x x =-+≤<（3）222BP CQ PQ += 【解析】【分析】（1）由同角的余角相等证得PMB QMN ∠=∠及PBM QNM ∠=∠即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出AC 、BC ，再由相似比求出NQ ，并进一步得出AQ ，最后由面积公式得出S 与x 的函数关系式；（3）利用M 是BC 边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究2BP 、2PQ 、2CQ 三者之间的数量关系.【详解】（1）PBM QNM ∆∆.证明：△MQ MP ⊥，MN BC ⊥，△90PMB PMN ∠+∠=︒，90QMN PMN ∠+∠=︒，△PMB QMN ∠=∠.△90PBM C ∠+∠=︒，90QNM C ∠+∠=︒，△PBM QNM ∠=∠，△PBM QNM ∆∆.（2）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB =△30C ∠=︒，BC =12AC =.△M是BC 边的中点，△BM CM ==.在Rt NMC ∆中，90NMC ∠=︒，30C ∠=︒，CM =△4MN =，8CN =，△4AN AC CN =-=.又△BP x =，△AP x =.由（1）得PBMQNM ∆∆；△BP BM NQ MN =，即4x NQ =，△3NQ x =，△43AN NQ A x Q +=+=，△()11422S AP AQ x x ⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭20x x =+≤<.（3）222BP CQ PQ +=.理由如下：如图2，延长PM ，使'P M PM =.△M 是BC 的中点，△BM CM =.△'PMB P MC ∠=∠，△'BMP CMP ∆≅∆，△'BP CP =，'B MCP ∠=∠.△90B ACB ∠+∠=︒，△'90MCP ACB ∠+∠=︒，△222''CP CQ P Q +=，则222'BP CQ P Q +=.△'P M PM =，QM PM ⊥，△'PQ P Q =，△222BP CQ PQ +=.【点评】本题以直角三角形为载体，以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识，渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想，检测探究、推理、运算等能力.15．（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2【解析】【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B 、E 、D 三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明=EG CG ，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC ∠=︒，从而证明EG CG ⊥；（2）延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ，首先通过SAS 证明HFG CDG △≌△，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明//HF CD ，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明BEC FEH △≌△，从而可证明结论仍然成立；（3）连接AH ，首先根据题意确定当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GE BF +有最小值就是AC 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）=EG CG 且EG CG ⊥．理由如下：如图1，连接BD ．△正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，△45EBF DBC ∠=∠=︒，△B 、E 、D 三点共线．△90DEF ∠=︒，G 为DF 的中点，90DCB ∠=︒， △12EG DF CG DG ===． △2EGF EDG ∠=∠，2CGF CDG ∠=∠．△290EGF CGF EDC ∠+∠=∠=︒，即90EGC ∠=︒，△EG CG ⊥．（2）仍然成立．理由如下：如图2，延长CG 至H ，使GH CG =，连接HF 交BC 于M ，连接EH 、EC ．△GF GD =，HGF CGD ∠=∠，HG CG =，△()HFG CDG SAS △≌△，△HF CD =，GHF GCD ∠=∠，△//HF CD ．△ABCD 是正方形，△HF BC =，⊥HF BC ．△BEF 是等腰直角三角形，△BE EF =，EBC HFE ∠=∠，△()BEC FEH SAS △≌△，△HE EC =，BEC FEH ∠=∠，△90BEF HEC ︒∠=∠=，△ECH ∆为等腰直角三角形．又△CG GH =，△=EG CG 且EG CG ⊥．（3）如下图，连接AH ，当A 、H 、G ，C 在同一直线上时，2GE BF +有最小值，此时BE 在BC 上，△//FH AB ，//AC BF ，△四边形ABFH 是平行四边形，△AH BF =，由（2）知CG GH =，△2GE BF CH AH AC +=+=，即2GE BF +有最小值，就是AC 的长，由勾股定理得22222AC =+=【点评】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．。

辅助线专题之倍长中线与截长补短法含练习及参考答案

三角形全等之倍长中线（讲义）➢ 课前预习1. 填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2. 想一想，证一证已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点．（1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ；（2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ．➢ 知识过关1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线延长AD 到E ，使DE =AD ，延长MD 到E ，使DE =MD ，连接BE 连接CE ②平行夹中点D CBAMAB CD OBC DA延长FE 交BC 的延长线于点G➢ 典型题型1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ．（2）求证：△ACD ≌△EBD ．（3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CAF EDCBA DCB AF EDCADA的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中GFE DCAGFE DCAGF EDCBA FE DCB AAO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ）（2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 典型题型1. 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ）（3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+321EDCBA 21BCDA∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM321MABCD EFG 321MA BCDEF∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG=5-2.7 =2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________．思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（），证全等转移边：______=_______；④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（作业）G FEAD BC➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ）A B D CE FA B DCE FGGFECDBA FE CD B A∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°．求证：EF =2AD ．D CBAF E DAFED CB AA BDC EFG4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =ACG FE BAFEDBCA21ECDB A CDBA方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．【参考答案】➢ 巩固练习 1. 2DC21ECDB A2. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） ➢ 思考小结 1. 倍长中线 SASAAS角2. 证明略三角形全等之截长补短（讲义）➢ 课前预习1. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：（1）已知线段a ，b （），作一条线段，使它等于a +b ．（2）已知线段a ，b （），作一条线段，使它等于a -b ．2. 想一想，证一证已知：如图，射线B M 平分∠A B C ，点P 为射线B M 上一点， PD ⊥BC 于点D ，BD =AB +CD ，过点P 作PE ⊥BA 于点E ．求证：△P AE ≌△PCD ．➢ 知识过关a b >ba ab >ba MP E B CD A截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．➢ 典型题型1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ．求证：CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．21D A 21D CB A 21D A E DCA4.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：AC=AE+CD．5.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE12BD．【参考答案】➢课前预习1.略2.证明：如图∵BM平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥BA∴PE=PD，∠PEB=∠PDB=∠PDC=90°OEDCBAEDCAFEDCBAFE D CB AFA BD12在Rt △PBE 和Rt △PBD 中，PE PDPB PB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △PBE ≌Rt △PBD （HL ） ∴BE =BD ∵BE =AB +AE BD =AB +CD ∴AE =CD在△P AE 和△PCD 中AE CD PEA PDC PE PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△P AE ≌△PCD （SAS ） ➢ 知识过关线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． ➢ 典型题型 1. 补短法：证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． ∴∠E =∠3∵∠ABC 是△BDE 的一个外角 ∴∠ABC =∠E +∠3 ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC =2∠C ∴∠E =∠C在△ADE 和△ADC 中12E C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB +BE=AB +BD 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ．在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC∴AC =AF +FC=AB +BD2. 证明：如图，在DC 上截取DF =DA ，连接EF ．∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△ADE 和△FDE 中12AD FD DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△FDE （SAS ） ∴∠A =∠DFE ∵∠A =∠B =90°∴∠DFE =∠CFE =∠B =90° 在△CFE 和△CBE 中34CFE B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEF ≌△CBE （AAS ） ∴CF =CB∴CD =DF +FC =AD +BC3. 证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ．∵∠ABC =∠D =90°E∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB AD ABG D BG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴∠3=∠2，AG =AE∵∠BAD =∠1+∠2+∠EAF =90° ∠EAF =45° ∴∠1+∠2=45° ∴∠1+∠3=45°即：∠GAF =∠EAF =45° 在△EAF 和△GAF 中AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF∴EF =BG +BF =BF +DE4. 证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．∵AD ，CE 分别是△ABC 的角平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEO 和△AFO 中12AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEO ≌△AFO （SAS ） ∴∠5=∠6在△ABC 中，∠B =60° ∴∠1+∠2+∠3+∠4=120︒ ∴∠2+∠3=60︒∵∠5是△AOC 的一个外角 ∴∠5=∠2+∠3=60︒ ∴∠8=∠5=60︒ ∠6=∠5=60° ∠7=180°-∠5-∠6=60° ∴∠7=∠8在△CFO 和△CDO 中3478CO CO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CFO ≌△CDO （ASA ） ∴CD =CF ∴AC =AF +CF =AE +CD5. 证明：如图，延长CE 交BA 的延长线于F ．∵CE ⊥BD∴∠BEC =∠BEF =90° ∵BD 平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∴∠F =∠BCE ∴BC =BF∴EF =EC=12CF∵∠BAC =90°，∠BEC =90° ∴∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90° ∵∠4=∠5 ∴∠1=∠3 ∵∠BAC =90°∴∠BAD =∠CAF =90° 在△BAD 和△CAF 中13AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△CAF （ASA ） ∴BD =CF∵CE =12CF∴CE =12BD三角形全等之截长补短（实战演练）6. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，BD 平分∠ABC 交AC 于54321××FABD E点D ．求证：BC =AB +AD ．方法一：截长方法二：补短【参考答案】1. 截长补短；过程书写：方法一：截长证明：如图，在BC 上截取BE =AB ，连接DE ． ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD =∠EBD在△ABD 和△EBD 中，AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△EBD （SAS ） ∴AD =ED∠BAD =∠BED ∵∠BAD =90° ∴∠BED =90°∵∠BED 是△DEC 的一个外角 ∴∠BED =∠EDC+∠C ∵∠C =45° ∴∠EDC=90°-45° =45° ∴∠EDC=∠C ∴EC=ED= AD ∴BC =BE +EC =AB +ADDCADAB方法二：补短证明：如图，延长BA 到点E ，使AE =AD ，连接DE ． ∵AE =AD∴∠E=∠ADE∵∠BAD 是△EAD 的一个外角 ∴∠BAD =∠E+∠ADE =2∠E ∵∠BAD =90°∴∠E=12∠BAD=45°∵∠C =45° ∴∠E=∠C∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD =∠CBD在△BED 和△BCD 中，C E C ABD BD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BED ≌△BCD （AAS ） ∴BE =BC ∵BE =A B +A E =AB +AD ∴BC =AB +AD三角形全等之截长补短（作业）➢ 例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥CD 且BD =CD ，∠DBC =45°．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短．① 考虑截长的方法，如图所示：FED C BA在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ，只需证明AF =HF 即可．结合题目条件，先证明△A B D ≌△H C D ，再证明△A D F ≌ △HDF ，从而得到AF =HF ，证明成立． ② 考虑补短的方法，如图所示：延长BA 交CD 的延长线于点H ，只需证明BH =CF ，AH =AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF ≌△BDH ，再证明△ADF ≌△ADH ，从而得到BH =CF ，AH =AF ，证明成立．【过程书写】（截长的方法）在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ．∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ∴∠BEF =∠FDC =90° ∴∠EBF +∠EFB =90° ∠FCD +∠DFC =90° ∵∠EFB =∠DFC ∴∠EBF =∠FCD 在△ABD 和△HCD 中，A BCDEFHFEDCBA HA BCDEFHAB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△HCD （SAS ） ∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC ∵AD ∥BC∴∠ADB =∠DBC =45° ∴∠HDC =45°∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45° ∴∠ADB =∠HDF 在△ADF 和△HDF 中，AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△HDF （SAS ） ∴AF =HF∴CF =CH +HF =AB +AF➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．AB CD AB CD CD BAEC D E3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．求证：BE+DF=AE．➢思考小结1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．常见构造辅助线的方法：①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC12AB．BEADCBEADCFEDCBA30°A【参考答案】➢巩固练习1.证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，再证明CE=DE；方法二：延长AB到E，使BE=BD，连接DE，证明△ADE≌△ADC．2.证明略提示：在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CF A，再证明BE=FE．3.证明略提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC．4.证明略提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，再证明AE=GE即可．➢思考小结1.倍长中线，截长补短2.证明略提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根据三线合一，可得BC=12BD，所以BC=12AB．。

6.中考数学专题03 全等三角形中的辅助线构造(举一反三)(原卷版)

专题03 全等三角形中的辅助线构造【举一反三】【苏科版】【考点1 角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例1】如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．【变式1-1】（2019秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是．（2）请你证明（1）得出的结论．【变式1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【变式1-3】（2019秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【考点2 截取法构全等】【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；【例2】（2019秋•黄浦区校级期中）已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC．【变式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【变式2-2】（2019秋•邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB＝AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB＝AC+CD（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数．【变式2-3】（2019•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【考点3 延长垂线段构全等】【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；【例3】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【变式3-2】（2019秋•通州区期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．【变式3-3】（2019•成都校级期中）如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：（1）ED∥BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【考点4 倍长中线法构全等】【方法点拨】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.【例4】（2019秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【变式4-1】（2019秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，D是BC边上点，且DE＝CE，点F在AE上，联结DF，满足DF＝AC，求证：DF∥AB．【变式4-2】（2019春•富阳市校级期中）如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．【变式4-3】（2019秋•启东市校级月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【考点5 作平行线构全等】【方法点拨】有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补（不是直角），则这两个三角形为友好三角形．如图1，点D在AB边上，CD＝CB，则△ABC和△ACD就是友好三角形．（1）两个友好三角形全等．（从下面选择一个正确的填入）A．一定B．不一定C．一定不（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD≠BF，若△BDF和△CEF是友好三角形，求证：DF＝EF．（3）如图3，CE是△ABC的中线，点D在AC上，BD与CE交于点F，CF＝AE，DF＝DC，图中与△ACE 成友好三角形的是．【变式5-1】（2019秋•建湖县期末）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．【变式5-2】（2019春•河口区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC 交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．【变式5-3】△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法）【考点6 旋转法构全等】【方法点拨】对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

2024年中考数学复习拓展全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)(原卷+答案解析)

拓展全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)【类型一】利用角平分线构造全等1如图，在△ABC中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且∠AED+∠AFD=180°．(1)求证：∠AFD=∠CED；(2)求证：DE=DF．2如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于D，过D作DE⊥BA于点E，点F 在AC上，且BD=DF．(1)求证：AC=AE；(2)求证：∠BAC+∠FDB=180°；(3)若AB=9.5，AF=1.5，求线段BE的长，3如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．4已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：(1)AD=AE=EC．(2)BA+BC=2BF．【类型二】倍长中线5如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE．6如图，已知ΔABC中，点M是BC边长的中点，过M作∠BAC的角平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F，求证：(1)AE=AF.(2)BE=CF.7在△ABC中，∠ABC=45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，点D在线段AM上，且DM=CM．求证：△BDM≌△ACM；(2)如图2，在(1)的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．8规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．【类型三】截长补短9如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC=AB+CD．10如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．11在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：AD+DE=BD．12(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【类型四】直接连接13如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC中点，过点D作DM⊥DN，分别交BA，AC延长线于点M、N，求证：DM=DN．14△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．15如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF=CG．16如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平分∠ACB交AB于D点，过A作AE⊥CD交CD延长线于E点，交CB延长线于F点，取FC中点G，连接DG，过C作CH⊥AC交DG延长线于H，(1)求证：AF=CD；(2)求证：AC=CH+2BD.【类型五】延长交于一点17如图，△ABC中，CD平分∠ACB，过点A作AD⊥CD于点D，点E是AB的中点，连接DE，若AC=20，BC=14，求DE的长．18已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=12 BE．19如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D，交∠ABC的角平分线于E，过点E作EF⊥AE，交AC于点F，求证：AF+BD=AB．20如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，点D为AC中点，AE⊥BD交BC于点E，交BD于点F．求证：(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【类型六】半角模型21如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC+∠BDC=180°．(1)求证：AD为∠BDC的平分线；∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系．(2)若∠DAE=1222(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为．(只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．23问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．24【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接CG．先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ECF= 1∠BCD，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．2【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE，EF，FD之间存在的等量关系是．拓展全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)【类型一】利用角平分线构造全等1如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，E ，F 分别为AC ，AB 上的点，且∠AED +∠AFD =180°．(1)求证：∠AFD =∠CED ；(2)求证：DE =DF．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据同角的补角相等即可得解；(2)过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角平分线性质求出DM =DN ，由(1)知∠MFD =∠DEN ，证出△FMD ≌△END 即可．【详解】(1)证明：∵∠AED +∠AFD =180°，∠AED +∠CED =180°，∴∠AFD =∠CED ；(2)证明：过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵AD 平分∠BAC ，∴DM =DN ，∠FMD =∠END =90°，∵∠AED +∠AFD =180°，∠AED +∠DEN =180°，∴∠MFD =∠DEN ，在△FMD 和△END 中，∠MFD =∠DEN∠FMD =∠END DM =DN，∴△FMD ≌△END (AAS )，∴DE =DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解题关键是利用AAS 推出△FMD ≌△END ．2如图，在ΔABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的角平分线交BC 于D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD =DF．(1)求证：AC =AE ；(2)求证：∠BAC +∠FDB =180°；(3)若AB =9.5，AF =1.5，求线段BE 的长，【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BE 的长为4．【分析】(1)根据已知条件，利用AAS 证明△ACD ≌△AED 即可；(2)设∠1=∠2=α，在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证明△FAD ≌△MAD ，进而证明Rt ΔMDE ≌Rt ΔBDE ，再证明ΔCFD ≌ΔEBD ，根据∠FDB +∠BAC 即可求证；(3)由(2)可得EB =EM ,AF =AM ,根据BE =AB -AM -ME 即可求得BE 的长．【详解】证明：(1)∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在ΔACD 和ΔAED 中，∠DCA =∠DEA∠1=∠2AD =AD，∴ΔACD ≌ΔAED (AAS )，∴AC =AE ，(2)设∠1=∠2=α，∵∠C =∠DEA =90°，在ΔADC 中，∠ADC =90°-α，在ΔADE 中，∠ADE =90°-α，∵∠FDB =∠FCD +∠CFD =90°+∠CFD ，在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在ΔFAD 和ΔMAD 中，FA =MA∠1=∠2AD =AD∴ΔFAD ≌ΔMAD (SAS )，∴FD =MD ，∠5=∠6，∵BD =DF ，∴BD =MD ，在Rt ΔMDE 和Rt ΔBDE 中，MD =BDDE =DE∴Rt ΔMDE ≌Rt ΔBDE (HL )，∴∠3=∠4，设∠5=∠6=β，∵∠1=∠2=α，∴∠1+∠5=∠2+∠6=α+β，在ΔFAD 中，∠1+∠5=∠DFC在ΔAMD 中，∠2+∠6=∠3，∴∠DFC =∠3，∴∠DFC =∠4，在ΔCFD 和ΔEBD 中，∠DCF =∠DEB ∠CFD =∠EBD FD =BD，∴ΔCFD ≌ΔEBD (AAS )，∴∠CFD =∠4，∵∠C =90°，在ΔABC 中，∠4=90°-2α，∴∠CFD =90°-2α，∴∠FDB =90°+90°-2α=180°-2α，∵∠BAC =∠1+∠2=2α，∴∠FDB +∠BAC =180°-2α+2α=180°，(3)∵AF =AM ，且AF =1.5，∴AM =1.5，∵AB =9.5，∴MB =AB -AM =9.5-1.5=8，∵MB =BE ，且ME +BE =BM ，∴BE =12BM =4【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．3如图，AD 是△ABC 的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD =BD ．(1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B +2∠DGA =180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)AG =AH +HD ，证明见解析【分析】(1)在AB 上取一点M ，使得AM =AH ，连接DM ，则利用SAS 可得出ΔAHD ≌ΔAMD ，从而得出HD =MD =DB ，即有∠DMB =∠B ，通过这样的转化可证明∠B 与∠AHD 互补．(2)由(1)的结论中得出的∠AHD =∠AMD ，结合三角形的外角可得∠DGM =∠GDM ，可将HD 转化为MG ，从而在线段AG 上可解决问题．【详解】证明：(1)在AB 上取一点M ，使得AM =AH ，连接DM∵AH =AM∠CAD =∠BADAD =AD∴ΔAHD ≌ΔAMD ∴HD =MD ，∠AHD =∠AMD∵HD =DB∴DB =MD∴∠DMB =∠B∵∠AMD +∠DMB =180°∴∠AHD +∠B =180°即∠B 与∠AHD 互补．(2)由(1)∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°，∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA∴∠AMD=2∠DGM又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM即∠DGM=∠GDM∴MD=MG∴HD=MG∵AG=AM+MG∴AG=AH+HD．【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法．4已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：(1)AD=AE=EC．(2)BA+BC=2BF．【答案】证明详见解析【详解】分析：(1)根据角平分线的性质，得到∠ABD=∠CBD，然后根据SAS证得△ABD≌△EBC，然后根据全等三角形的性质和三角形的外角得到等腰△ACE，由此可证；(2)过点E作EG⊥BC于点G，根据三角形全等的判定“HL”证得Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AFE，然后根据全等三角形的对应边相等，等量代换求解.详解：证明：(1)∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD=BC∠ABD=∠CBD BE=BA，∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴∠BCE=∠BDA，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=EC=AE．(2)过点E作EG⊥BC于点G，∵E是BD上的点，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG，∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE=BE EF=EG，∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，∴BG=BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，EF=EG AE=CE，Rt△CEG≌Rt△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG，=BF+BG=∠BF，∴BA+BC=2BF．点睛：此题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．【类型二】倍长中线5如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE．【答案】见解析.【分析】延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，易证△AEC≌△FEB(SAS)，得到BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，可得∠ABF=∠DCA，然后通过SAS证明△ABF≌△△DCA即可.【详解】证明：延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，∵∠BEF=∠CEA，BE=CE，∴△AEC≌△FEB(SAS)，∴BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=∠DCA，在△ABF和△DCA中，AB=CD∠ABF=∠DCA BF=AC，∴△ABF≌△△DCA(SAS)，∴AD=FA=2AE.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，一般的中线辅助线都是用的倍长中线.6如图，已知ΔABC中，点M是BC边长的中点，过M作∠BAC的角平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F，求证：(1)AE=AF.(2)BE=CF.【答案】见详解.【分析】(1)要证AE=AF，利用等角对等边只需证出∠AFE=∠AEF，利用平行不难发现这两个角和角平分线分成的两角是内错角和同位角；(2)利用倍长中线法构造出全等三角形即可.【详解】证明：(1)∵MF∥DA∴∠AFE=∠CAD，∠AEF=∠DAE又∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠DAE∴∠AFE=∠AEF∴AE=AF(2)将FM延长至N使FM=MN，连接BN.∵M 为CB 中点∴CM =MB在△FMC 和△NMB 中CM =MB∠FMC =∠NMBFM =MN∴△FMC ≌△NMB (SAS )∴CF =BN ，∠F =∠N又∵∠AFE =∠AEF ，∠AEF =∠BEN∴∠N =∠BEN∴BE =BN∴BE =CF【点睛】此题考查的(1)平行线的性质和等角对等边；(2)倍长中线法构造全等三角形.7在△ABC 中，∠ABC =45°，AM ⊥MB ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．(1)如图1，点D 在线段AM 上，且DM =CM ．求证：△BDM ≌△ACM ；(2)如图2，在(1)的条件下，点E 是△ABC 外一点，且满足EC =AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且F 为线段BC 的中点，求证：∠BDF =∠CEF．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)根据已知条件，利用(SAS )即可证明三角形全等；(2)延长EF 至点G ，使FG =EF ，由上题中△BDM ≌△ACM ，得出AC =BD ，再证△BFG ≌△CFE ，可得BG =CE ，∠G =∠CEF ，从而得BD =CE =BG ，即可得∠BDF =∠G =∠CEF ．【详解】解：(1)如图，∵∠ABC =45°，AM ⊥MB∴BM =AM在△BMD 和△AMC 中∵DM =CM ∠BDM =∠AMC BM =AM∴△BDM ≌△ACM (SAS )．(2)如图，延长EF 至点G ，使FG =EF ，连接BG∵△BDM ≌△ACM∴BD =AC又∵CE =AC∴BD =CE在△BFG 和△CFE 中∵BF =FC ∠BFG =∠EFC FG =FE∴△BFG ≌△CFE (SAS )∴BG =CE ，∠G =∠CEF∴BD =CE =BG∴∠BDF =∠G =∠CEF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC 和△OBD 是兄弟三角形．(2)取BD 的中点P ，连接OP ，请证明AC =2OP ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据OA =OB ，OC =OD ，∠AOC +∠BOD =180°即可证明；(2)延长OP 至E ，使PE =OP ，先证△BPE ≌△DPO ，推出BE =OD ，∠E =∠DOP ，进而推出BE ∥OD ，再证△EBO ≌△COA ，即可推出OE =AC ，由此可证AC =2OP ．【详解】(1)证明：∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOC +∠BOD =360°-∠AOB -∠COD =360°-90°-90°=180°，又∵AO =OB ，OC =OD ，∴△OAC 和△OBD 是兄弟三角形．(2)证明：延长OP 至E ，使PE =OP，∵P 为BD 的中点，∴BP =PD ，∵在△BPE 和△DPO 中，PE =PO∠BPE =∠DPO BP =DP，∴△BPE ≌△DPO SAS ，∴BE =OD ，∠E =∠DOP ，∴BE ∥OD ，∴∠EBO +∠BOD =180°，又∵∠BOD +∠AOC =180°，∴∠EBO =∠AOC ，∵BE =OD ，OD =OC ，∴BE =OC ，在△EBO 和△COA 中，OB =AO∠EBO =∠AOCBE =OC∴△EBO ≌△COA SAS ，∴OE =AC ，又∵OE =2OP ，∴AC =2OP ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．【类型三】截长补短9如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，试说明：BC =AB +CD．【答案】见解析【分析】在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ．则只需证明CD =CE 即可．结合角度证明∠CDE =∠CED ．【详解】解：证明：在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE =BA∠ABD =∠EBD BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ．(SAS )∴∠BED =∠A =108°，∠ADB =∠EDB ．又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=12×(180°-108°)=36°，∴∠ABD=∠EBD=18°．∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°．∴∠CDE=∠DEC．∴CD=CE．∴BC=BE+EC=AB+CD．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，综合性较强．10如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．【答案】证明见解析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，连接OF，分别证明△AOE≌△AOF SAS，△COD≌△COF ASA，得到CD=CF，即可证明结论．【详解】证明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°，∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC，∠OCA=∠OCB=12∠ACB，∴∠OAC+∠OCA=12∠BAC+12∠ACB=12∠BAC+∠ACB=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°，如图，在AC上截取AF=AE，连接OF，在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF AO=AO，∴△AOE≌△AOF SAS，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，∵∠COD=60°，∴∠COD=∠COF，在△COD和△COF中，∠OCD=∠OCF CO=CO∠COD=∠COF，∴△COD≌△COF ASA，∴CD=CF，∵AF=AE，∴AF+CF=AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．11在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：AD+DE=BD．【答案】(1)60°；(2)见解析【分析】(1)由AB=BE，∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，由∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∠AED=∠C，可证∠CDE=∠AEB=60°(2)延长DA至F，使AF=DE，连接FB，由∠BED=60°+∠AED，∠BAF=60°+∠C，且∠C=∠AED，可证△FBA≌△DBE(SAS)由DB=FB，可证△FBD为等边三角形，可得BD=FD，可推出结论，【详解】解：(1)∵AB=BE，∠ABC=60°，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，∵∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∵∠AED=∠C，∴∠CDE=∠AEB=60°(2)如图，延长DA至F，使AF=DE，连接FB，由(1)得△ABE为等边三角形，∴∠AEB=∠ABE=60°，∵∠BED=∠AEB+∠AED=60°+∠AED，又∵∠BAF=∠ABE+∠C=60°+∠C，且∠C=∠AED，∴∠BED=∠BAF，在△FBA与△DBE中，AB=BE∠BAF=∠BED AF=DE∴△FBA≌△DBE(SAS)∴DB=FB，∠DBE=∠FBA∴∠DBE+∠ABD=∠FBA+∠ABD，∴∠ABE=∠FBD=60°又∵DB=FB，∴△FBD为等边三角形∴BD=FD，又∵FD=AF+AD，且AF=DE，∴FD=DE+AD=BD，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．12(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13【分析】(1)由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；(3)在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理(2)可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：(1)∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA=OB，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴AD=BD．(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC=AC+AD．(3)在AE 上分别截取AF =AB =9，EG =ED =1，连接CF 、CG ，如图所示：同理(1)(2)可得：△ABC ≌△AFC ，△CDE ≌△CGE ，∴∠ACB =∠ACF ，∠DCE =∠GCE ，BC =CF ，CD =CG ，DE =GE =1，∵C 为BD 边中点，∴BC =CD =CF =CG =3，∵∠ACE =120°，∴∠ACB +∠DCE =60°，∴∠ACF +∠GCE =60°，∴∠FCG =60°，∴△CFG 是等边三角形，∴FG =CF =CG =3，∴AE =AF +FG +GE =9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．【类型四】直接连接13如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠A =90°，点D 为BC 中点，过点D 作DM ⊥DN ，分别交BA ，AC 延长线于点M 、N ，求证：DM =DN．【答案】见解析【分析】连接AD ，可得∠ADM =∠CDN ，可证△AMD ≌△CND ，可得DM =DN ．【详解】解：连接AD ，∵D 为BC 中点，∴AD =BD ，∠BAD =∠C ，∵∠ADM +∠MDC =90°，∠MDC +∠CDN =90°，∴∠ADM =∠CDN ，∵∠MAD =MAC +DAC =135°，∠NCD =180°-∠ACD =135°在ΔAMD 和ΔCND 中，∠ADM =∠CDNAD =CD ∠MAD =∠NCD，∴ΔAMD ≅ΔCND (ASA )，∴DM =DN ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD ≌△CND 是解题的关键．14△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．【答案】DE =DF ，理由见解析【分析】连接AD ，则有AD =CD ，∠DAF =∠C =45°，且AD ⊥CD ，可得∠CDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA =90°，所以∠CDE =∠ADF ，可证△CDE ≌△ADF ，可得结论．【详解】DE =DF ，理由如下：连接AD ，因为∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 中点，∴CD =AD ，∠C =∠DAF =45°，AD ⊥CD ，∴∠CDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA =90°，∴∠CDE =∠ADF ，在△CDE 和△ADF 中，∠C =∠DAFCD =AD ∠CDE =∠ADF，∴△CDE ≌△ADF (ASA )，∴DE =DF ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC ，交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 交AC 延长线于点G ．求证：BF =CG．【答案】见解析．【分析】连接EB 、EC ，利用已知条件证明Rt △BEF ≌Rt △CEG ，即可得到BF =CG ．【详解】证明：连接BE 、EC ，∵ED ⊥BC ，D 为BC 中点，∴BE =EC ，∵EF ⊥AB ，EG ⊥AG ，且AE 平分∠FAG ，∴FE =EG，在Rt △BEF 和Rt △CEG 中，BE =CE EF =EG ，∴Rt △BEF ≌Rt △CEG (HL )，∴BF =CG ．【点评】本题考查了全等三角形的判定：解题的关键是全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16如图，在ΔABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D 点，过A 作AE ⊥CD 交CD 延长线于E 点，交CB 延长线于F 点，取FC 中点G ，连接DG ，过C 作CH ⊥AC 交DG 延长线于H ，(1)求证：AF =CD ；(2)求证：AC =CH +2BD.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据垂直推出∠ABF =∠ABC =90°与∠FAB =∠BCD ，则可证明ΔABF ≌ΔCBD ，即可有AF =CD ；(2)连接FD 根据CE ⊥AF ，AB ⊥CF ，推出FD ⊥AC ，即可证明CH ⎳FD ，可有∠HCG =∠DFG ，然后证明ΔFGD ≌ΔCGH 推出CH =FD ，根据已知条件即可有AD =DF ，由(1)知FB =BD ，即可证明AC =CH +2BD .【详解】证：(1)∵∠ABC =90°，CE ⊥AF∴∠ABF =∠ABC =90°∴∠AFB +∠FAB =90°，∠EFC +∠BCD =90°∴∠FAB =∠BCD在ΔABF 与ΔCBD 中，∠ABF =∠CBDAB =CB∠FAB =∠DCB∴ΔABF ≌ΔCBD∴AF =CD (2)连接FD∵CE ⊥AF ，AB ⊥CF∴FD ⊥AC∵CH ⊥AC∴CH ⎳FD∴∠HCG =∠DFG∵G 是FC 中点∴FG =CG在ΔFGD 与ΔCGH 中，∠DFG =∠HCGFG =CG∠FGD =∠CGH∴ΔFGD ≌ΔCGH∴CH =FD ∵CE ⊥AF ，CE 平分∠FCA∴AC =CF∴AD =DF由(1)可知ΔABF ≌ΔCBD∴FB =BD∴CF =CB +BF =AB +BF =AD +DB +BF =CH +2DB即AC =CH +2BD【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，在(1)中找出条件证明ΔABF ≌ΔCBD 是关键，在(2)中作出辅助线是解题的关键.【类型五】延长交于一点17如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，过点A 作AD ⊥CD 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE ，若AC =20，BC =14，求DE的长．【答案】DE 的长为3．【分析】先添加辅助线，构造全等三角形，利用性质求出AD =DF ，最后用中位线定理即可求解．【详解】解：如图，延长AD ，CB 交于点F ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠FCD ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =∠FDC =90°，在△ACD 和△FCD 中，∠ACD =∠FCDCD =CD ∠ADC =∠FDC，∴△ACD ≌△FCD ASA ，∴AD =DF ，AC =CF =20，∴BF =CF -BC =20-14=6，∵点D 为AF 中点，点E 为AB 中点，∴DE 为△ABF 的中位线，∴DF =12BF =3，答：DE 的长为3．【点睛】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是延长CB 交AD 延长线于F ，证明DE 是△ABF 的中位线．18已知，Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，∠ABC 的角平分线交AC 于E ，AD ⊥BE 于D ，求证：AD =12BE ．【答案】见解析【详解】试题分析：延长AD 和BC 交于F ，求出∠CBE =∠CAF ，AC =BC ，证△EBC ≌△FAC ，△ABD ≌△FBD ，推出BE =AF ，AD =DF ，即可得出答案．解：如图延长AD 和BC 交于F ，∵Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =45°，∴∠ABC =45°=∠BAC ，∴AC =BC ，∵∠ACB =90°，∴∠BCE =∠ACF =90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBC ，∵BD ⊥AD ，∴∠BCE =∠ADE =90°，∵∠BEC =∠AED ，∴根据三角形内角和定理得：∠DAE =∠CBE ，在△BCE 和△ACF 中，∠FAC =∠CBE AC =BC ∠ACF =∠BCE，∴△BCE ≌△ACF (SAS )，∴BE =AF ，在△ABD 和△FBD 中，∠ABD =∠FDN BD =BD ∠ADB =∠FDB，∴△ABD≌△FBD (ASA )，∴AD =DF ，即AF =2AD ，∴AD =12AF ，∴AD =12BE ．考点：全等三角形的判定与性质．19如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，交∠ABC 的角平分线于E ，过点E 作EF ⊥AE ，交AC 于点F ，求证：AF +BD =AB．【答案】见解析【分析】延长EF ，BC 相交于点M ，分别证明△AEB ≌△MEB 和△AEF ≌△MED 即可得解．【详解】证明：延长EF ，BC 相交于点M ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵AE 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，∴∠EAB +∠EBA =45°，∴∠AEB =180°-45°=135°，∴∠DEB =180°-135°=45°，∵AE ⊥EF ，∴∠MEB =∠MED +∠DEB =90°+45°=135°=∠AEB ，在△AEB 和△MEB 中，∠AEB =∠MEBEB =EB ∠ABE =∠MBE，∴△AEB ≌△MEB ASA ，∴∠EAB =∠M ，AE =ME ，AB =MB ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE =∠EAB ，∴∠FAE =∠M ，在△AEF 和△MED 中，∠FAE =∠MAE =ME ∠AEF =∠MED =90°，∴△AEF ≌△MED ASA ，∴AF =MD ，∴AF +BD =MD +BD =MB =AB ．【点睛】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．20如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =45°，点D 为AC 中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，交BD 于点F．求证：(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据三角形的内角和定理得出∠BAC=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求证；(2)过点C作CA的垂线交AE延长线于点M，先证明△ACM≌△BAD ASA，得出AD=CM，BD= AM，则CM=CD，再证明△MCE≌△DCE SAS，得出EM=ED，即可求证．【详解】(1)证明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．(2)证明：过点C作CA的垂线交AE延长线于点M∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD AB=AC∠MCA=∠CAB∴△ACM≌△BAD ASA，∴AD=CM，∵D为AC中点，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB CE=CE，∴△MCE≌△DCE SAS∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，直角三角形两锐角互余，以及正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明．【类型六】半角模型21如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC+∠BDC=180°．(1)求证：AD为∠BDC的平分线；(2)若∠DAE=12∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系．【答案】(1)见解析；(2)DE=B E+DC.【分析】(1)过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；(2)过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.【详解】证明:(1)如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中,∠AGB=∠F=90°∠BAG=∠CAF AB=AC∴△BAG≌△CAF(AAS)，∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，(2)BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE=B E+DC，理由如下：如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，∵∠DAE=12∠BAC，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中,∠EAD=∠HAD AD=AD∠ADE=∠ADH ，∴△EAD≌△HAD(ASA)，∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中,AB=AC∠BAE=∠CAH AE=AH，∴△EAB≌△HAC(SAS)，∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．22(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为．(只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【答案】(1)BE+DF=EF；(2)EF+DF=BE．理由见解析．【分析】(1)线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF．如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可．(2)结论：EF+DF=BE．如图中，在BE上截取BM=DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF SAS，推出AM=AF，∠BAM=∠DAF，再证明△AEM≌△AEF SAS，可得结论．【详解】(1)解：线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF．如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，∵∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠1=180°，即：∠ABC+∠D=180°，∴∠1=∠D，在△ABM 和△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF SAS ，∴AM =AF ，∠3=∠2，∵∠EAF =12∠BAD ，∠EAF +∠2+∠4=∠BAD ，∴∠2+∠4=∠EAF ，∴∠EAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM =AF∠MAE =∠FAE AE =AE，∴△MAE ≌△FAE SAS ，∴EF =EM ，∵EM =BM +BE =BE +DF ，∴EF =BE +FD ；故答案为：BE +DF =EF ．(2)结论：EF +DF =BE ．理由：在BE 上截取BM =DF ，连接AM ，∵∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADE =180°，∴∠B =∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中，BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF SAS ，∴AM =AF ，∠BAM =∠DAF ，则∠BAM +∠MAD =∠DAF +∠MAD ，∴∠BAD =∠MAF∵∠EAF =12∠BAD ，∠EAF +∠EAM =∠MAF ，∴∠EAF =∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中，AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF SAS ，∴EM =EF ，即BE -BM =EF ，即BE -DF =EF ，∴EF +DF =BE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ．∠BAD =120°．∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ．CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．【分析】(1)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可；(2)延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出AF= AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE(SAS)，由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论；(3)在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF(SAS)．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF(SAS)，由全等三角形的性质得出结论．【详解】(1)解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；(2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC +∠D =180°，∠1+∠ABC =180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 与△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF (SAS )．∴AF =AM ，∠2=∠3．∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=12∠BAD =∠EAF ．∴∠3+∠4=∠EAF ，即∠MAE =∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM =AF∠MAE =∠EAF AE =AE，∴△AME ≌△AFE (SAS )．∴EF =ME ，即EF =BE +BM ，∴EF =BE +DF ；(3)解：结论EF =BE +FD 不成立，结论：EF =BE -FD ．证明：如图③中，在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．在△ABG 与△ADF 中，AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF (SAS )，∴EG =EF ，∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．24【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD 中，CB =CD ，∠B =∠ADC =90°，∠BCD =120°．E ，F 分别是AB ，AD 上的点．且∠ECF =60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接CG ．先证明△CBE ≌△CDG ，再证明△CEF ≌△CGF ．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD 中，CB =CD ，∠ABC +∠ADC =180°，∠ECF =。

第十二讲全等三角形的常用辅助线作法---完美版(备用版)

第十二讲全等三角形的常用辅助线作法【知识梳理】：1、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

2、三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

3、常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

【专题精讲】：例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：BD=2CE。

思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

中考数学——全等三角形的常见辅助线.doc

中考数学——全等三角形的常见辅助线知识点:三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定
大纲要求1.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念，理解三角形，三角形的顶点，边，内角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等概念
2.全等三角形是初二数学的重点章节，对于较为复杂的全等证明往往需要结合已知条件，添加合适的辅助线来构造全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．在众多已知条件中有一些非常重要、高频出现的，如角的平分线、三角形的中线、等腰三角形等，遇到这些条件的时候，往往解体方法和辅助线具有一定的规律性。

专题：三角形全等常用辅助线及模型(答案)

专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。