2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

函数的奇偶性与周期性

【考点梳理】

1．函数的奇偶性

(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

【考点突破】

考点一、函数奇偶性的判断

【例1】判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝x 3－2x ；

(2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋x ，x ＞0，

x 2－x ，x ＜0. [解析] (1)定义域为R ，关于原点对称，

又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )．

∴该函数为奇函数.

(2)由1－x

1＋x

≥0可得函数的定义域为(－1,1]．

∵函数定义域不关于原点对称，

∴函数为非奇非偶函数.

(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，

则当x＜0时，－x＞0，

故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，

故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.

【类题通法】

1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．

【对点训练】

1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下

列结论中正确的是( )

A ．f (x )g (x )是偶函数

B ．|f (x )|g (x )是奇函数

C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数

[答案] C

[解析] A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．

B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．

C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．

D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，

∴h (x )是偶函数，D 错．

2．判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．

[解析] 由⎩⎨⎧

3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，

从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.

因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，

∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.

考点二、函数奇偶性的应用

【例2】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.

(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.

[答案] (1)1 (2)⎩⎨⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，

－x 2－4x ，x ＜0

[解析] (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，

∴－x ln(－x ＋

a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.

(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.

又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，

∴f (－x )＝－f (x )，

即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，

∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，

－x 2－4x ，x ＜0.

【类题通法】 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；

2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．

【对点训练】

1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

[答案] A

[解析] 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.

2．函数y ＝log 21＋x 1－x

的图象( ) A ．关于原点对称

B ．关于直线y ＝－x 对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A

[解析] 由1＋x 1－x

＞0得－1＜x ＜1， 即函数定义域为(－1,1)，

又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x 1－x ＝－f (x )，