(完整版)韦达定理及其应用

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认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？

**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。

韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。

二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。

对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。

具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。

2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。

通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。

三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。

通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。

2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。

例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。

3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。

例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。

韦达定理在一次函数的应用

韦达定理在一次函数的应用一次函数是数学中最简单的函数之一，它的解析式为y = kx + b。

在实际应用中，一次函数经常被用来表示线性关系，如物体的匀速运动、人口增长等。

在一次函数的应用中，韦达定理是一个重要的定理。

下面，就韦达定理在一次函数中的应用进行详细阐述。

一、韦达定理的定义韦达定理是数学中的一个重要定理，它是由法国数学家韦达提出的。

韦达定理可以用来描述一次函数中两点之间的关系，其定义如下：对于一次函数y=kx+b，若一点(x1,y1)和另一点(x2,y2)在同一直线上，则有：(y2-y1)/(x2-x1) = k这就是韦达定理的定义。

二、韦达定理在实际应用中的例子在实际应用中，一次函数经常被用来描述线性关系，如某家商场的日销售额与顾客数量之间的关系。

假设该商场的日销售额与顾客数量存在如下的关系：销售额(y) = 15x + 500其中x为顾客数量。

现在有两个数据点，分别是(10,650)和(50,1250)。

这时，我们就可以利用韦达定理来解决这个问题。

根据韦达定理，我们可以得到：(1250-650)/(50-10) = 15因此，该商场的销售额与顾客数量之间的关系符合一次函数的形式。

这个例子展示了韦达定理在实际应用中的具体例子。

三、注意事项韦达定理有一些注意事项需要注意。

首先，韦达定理只适用于一次函数。

如果函数是高阶函数或非线性函数，则韦达定理不适用。

其次，韦达定理只适用于同一条直线上的两个点。

如果两个点不在同一条直线上，则不适用韦达定理。

最后，韦达定理的应用需要注意数据的准确性和有效性。

如果数据存在误差或无效数据，则会影响对一次函数的判断和应用。

因此，在应用韦达定理时，需要认真核对数据，以确保应用的准确性和有效性。

总之，一次函数在实际应用中非常重要，而韦达定理是一次函数应用中重要的定理之一。

只有深入理解和应用韦达定理，才能更好地解决实际问题，促进数学知识和实际应用的有机结合。

韦达定理的原理应用是什么

韦达定理的原理应用是什么1. 韦达定理简介韦达定理（Vieta’s theorem）是一个用于解二次方程的定理，它通过多项式的系数与根之间的关系，揭示了根与系数之间的重要特征。

这个定理是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的，他在16世纪首次提出了这个定理。

2. 韦达定理的表述如果我们有一个二次方程：ax2+bx+c=0其中a、b、c是实数，x是未知数。

韦达定理给出了与这个二次方程相关的根之间的关系：如果r1和r2是方程的两个实数根，那么他们满足以下关系：r1 + r2 = -b / ar1 * r2 = c / a这些关系将帮助我们解决二次方程并找到其根的值。

3. 韦达定理的应用韦达定理有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景：3.1. 求二次方程的根韦达定理为我们提供了一个实用的方法来求解二次方程的根。

我们只需要根据方程的系数，计算出和与积的值，然后利用韦达定理的关系式即可得到方程的两个根。

例如，对于方程 2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以使用韦达定理计算出： - 和的值：-3 / 2 - 积的值：-5 / 2这样我们就得到了方程的两个根。

3.2. 寻找根与系数之间的关系韦达定理不仅仅是一个用于解二次方程的工具，它还揭示了根与系数之间的重要关系。

通过韦达定理，我们可以发现以下一些有趣的规律：•和的值与一次项系数的相反数成比例：根的和与一次项系数的相反数成正比。

即 r1 + r2 = -b / a•积的值与常数项成比例：根的积与常数项成正比。

即 r1 * r2 = c / a这些规律对于我们研究多项式方程的性质以及根的特性都非常有用。

3.3. 解决实际问题韦达定理可以应用于解决一些实际的问题。

例如，假设我们正在研究一个投掷物体的运动，我们希望知道在什么时候物体落地。

我们可以将物体的运动模型建立为二次方程，然后通过韦达定理求解出方程的根。

韦达定理适用范围

韦达定理适用范围摘要：一、韦达定理简介1.韦达定理的定义2.韦达定理的发现者二、韦达定理的适用范围1.多项式的系数2.复数域上的韦达定理3.实数域上的韦达定理三、韦达定理的应用1.代数中的应用2.几何中的应用3.三角函数中的应用四、韦达定理与其他定理的关系1.笛卡尔定理与韦达定理的关系2.完全平方公式与韦达定理的关系正文：韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FranoisViète）提出的。

这个定理在代数学中有着广泛的应用，它为我们解决代数问题提供了一个强有力的工具。

首先，让我们来了解一下韦达定理的基本概念。

韦达定理是一个关于多项式系数的定理，它告诉我们，如果多项式方程的根已知，那么我们可以通过根与系数之间的关系，求得多项式的系数。

这个定理的表达式为：若ax^2 + bx + c = 0的两根为α、β，则有α + β = -b/a，αβ = c/a。

韦达定理不仅适用于实数域，还适用于复数域。

在复数域上，韦达定理的形式略有不同，但本质相同。

复数域上的韦达定理可以推广到更高次的方程，例如三次方程和四次方程。

韦达定理在代数学中有广泛的应用，例如求解线性方程组、二次方程、三次方程等。

此外，韦达定理还可以帮助我们理解几何图形，例如在求解椭圆、双曲线和抛物线的性质时，韦达定理可以发挥重要作用。

在三角函数中，韦达定理也有应用，例如求解正弦函数和余弦函数的性质。

韦达定理与其他一些著名定理也有密切关系。

例如，笛卡尔定理与韦达定理在某些情况下可以相互转化。

另外，韦达定理与完全平方公式也有联系，通过完全平方公式，我们可以将韦达定理推广到更高次的方程。

总之，韦达定理在代数学中具有重要地位，它的适用范围广泛，既可以应用于实数域，也可以应用于复数域。

韦达定理在解决代数问题和几何问题中都发挥着重要作用，同时它与其他一些著名定理也有着密切关系。

韦达定理应用(资料)

韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。

解：设另一个根为x1，则相加，得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：∵又∴代入得，∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为∴，。

∴以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。

又a，b为方程两根。

∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S.例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不存在这样的情况。

③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。

6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。

7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。

【试题答案】1. －12. 4，13. A4. a=1或135. －3≤a≤－2 提示：分a=－3以及a≠－3讨论求解6. 13例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1、x2－1均为整数，所以例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．(’97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。

韦达定理应用复习

如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)(x1 2)(x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证明.
韦达定理及其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
m-2=0；当m
时，有两
个互为相反数的实根；当m
时，有一种根为零.
6.若有关x的方程x2+(2k+1)x+k2-
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差为√6,则m= .

(完整版)韦达定理的应用

模块一根的判别式1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=注：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．练习：运用判别式，判定方程实数根的个数【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）20ax bx +=（0a ≠）【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定根的判别式与韦达定理【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：（1）22340x x +-=；（2）232x +=；（321x x +=；（4）22(21)220m x mx +-+=；（5）2210x ax a ++-=；（6220+=；（7）4(1)30x x +-=；（8）2(1)(2)x x m --=【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【例4】关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【巩固】关于x 的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（）【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定通过判别式，证明与方程相关的代数问题【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++= 必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．模块二韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12bx x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +--，求两根之和与两根之积【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值（1）12(3)(3)x x --；（2）211211x xx x +++；（3）12x x -【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x （1）12x x += ；（2）12_______x x ⋅=；（3）1211_______x x +=；（4）2212_______x x += 【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=的值．利用韦达定理求参数的值【例10】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【例11】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于，p 等于【巩固】关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是，______b =【巩固】方程2380x x m -+=的两个根之比为3:1，则_______m =【巩固】已知2240x x k -+=的一个根，求另一个根和k 的值【例12】已知方程240x x m ++=的两个根的平方和是10，求m 的值。

韦达定理在实际问题中的应用

韦达定理在实际问题中的应用韦达定理是一个非常有用的几何定理，它被广泛应用于各种实际问题中，包括工程学、物理学和金融学等领域。

本文将讨论韦达定理的定义、证明和一些实际应用。

一、韦达定理的定义韦达定理是一个三角形内部的一个重要定理，它阐述了三角形内任意一点到三边的距离之积等于这个点到三边的三条距离之积。

图1：韦达定理示意图设三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，三角形内任意一点P到三条边的距离分别为d1、d2和d3，则根据韦达定理有：AB × PC × d1= BC × PA × d2= AC × PB × d3二、韦达定理的证明韦达定理的证明可以使用相似三角形和割线定理来完成。

首先，我们利用相似三角形证明了韦达定理在三角形底边上的一个特殊情况。

例如，在图1中，我们可以通过相似三角形证明： PB/AB = PC/AC令 d1 = h1、d2 = h2，则 h1/h2 = PB/PC因此，韦达定理的底边情况成立。

接下来，我们可以使用割线定理继续证明韦达定理。

在图1中，我们从点P引一条平行于AB的直线，它与BC和AC的交点分别为Q和R。

根据割线定理，有：PB/PC = BQ/CR又因为三角形PAB和PCQ相似，三角形PAR和PRB相似，因此有以下等式成立：PA/PC = AB/BQRA/RB = AP/PB将上述等式代入割线定理公式中得：PB/PC = AB/BQ = AP/CR = RA/RB = h3/h4因此，有以下等式成立：AB × PC × d1 = BC × PA × d2 = AC × PB × d3 = h1 × h2 × h3/h4由此可知，韦达定理成立。

三、韦达定理在许多实际问题中都有广泛的应用。

以下是一些例子。

1.测量塔的高度韦达定理可以用于测量一座塔的高度，方法是测量一个与塔底线平行的直线段和它到塔顶的距离，以及一个与塔底线垂直的直线段和它到塔顶的距离。

韦达定理及其应用

韦达定理及其应用内容综述设一元二次方程有二实数根,则, ;这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系,称之为韦达定理;其逆命题也成立;韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用;本讲重点介绍它在五个方面的应用;要点讲解1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值;★★例1若a,b为实数,且,,求的值;思路注意a,b为方程的二实根；隐含;说明此题易漏解a=b的情况;根的对称多项式,,等都可以用方程的系数表达出来;一般地,设,为方程的二根,,则有递推关系;其中n为自然数;由此关系可解一批竞赛题;附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a,b值进而求出所求多项式值,但计算量较大;★★★例2若,且,试求代数式的值;思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解,也可以借助于代数变形来完成;2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程;★★★★例3设一元二次方程的二实根为和;1试求以和为根的一元二次方程；2若以和为根的一元二次方程仍为;求所有这样的一元二次方程;3．证明等式或不等式根据韦达定理或逆定理及判别式,可以证明某些恒等式或不等式;★★★例4已知a,b,c为实数,且满足条件：,,求证a=b;说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧;另外在求得c=0后,由恒等式可得,即a=b;此方法较第一种烦琐,且需一定的跳跃性思维;4．研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合,可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等;关于方程的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根,ab<0,ac>0；⑵方程有二负根,ab>0,ac>0；⑶方程有异号二根,ac<0；⑷方程两根均为“0”,b=c=0,；★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件,试求实数a的范围;⑴二根均大于1；⑵一根大于1,另一根小于1;思路设方程二根分别为,,则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1,另一根小于是等价于和异号;说明此例属于二次方程实根的分布问题,注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法,请参照后继相关内容;此例若用二次函数知识求解,则解题过程极为简便;5．求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着许多巧妙的应用;★★★例6解方程;强化训练A 级★★1.若k为正整数,且方程有两个不等的正整数根,则k 的值为________________;★★2.若,,则_______________;★★★3 .已知和是方程的二实根,则_____________;★★★4.已知方程m为整数有两个不等的正整数根,求m的值;Ｂ级★★★★5.已知：和为方程及方程的实根,其中n为正奇数,且;求证：,是方程的实根;★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足,试求k 的值;。

韦达定理及运用

韦达定理及运用韦达定理是法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理应用中的一个技巧在解有关一元二次方程整数根问题时，若将韦达定理与分解式αβ±(α＋β)＋1＝(α±1)(β±1)结合起来，往往解法新颖、巧妙、别具一格．例说如下．例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1、x2－1均为整数，所以例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．(97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．。

韦达定理详解

韦达定理详解韦达定理是解决几何中求未知量问题的重要工具之一。

它可以用来求平面上的三角形中各边平方和、角度数等问题。

本文将详细介绍韦达定理的原理、使用方法以及实例计算。

一、韦达定理的原理韦达定理是指：对于一个三角形ABC，它的三个内角所对应的边分别为a、b、c，则有以下公式成立：a²=b²+c²-2bc*cosA其中，cosA、cosB和cosC是表示对应角度余弦值的函数。

该公式由法国数学家韦达在1821年提出。

二、韦达定理的使用方法使用韦达定理时，首先需要明确已知的量和未知的量。

根据已知与未知，可以选择使用上述公式中的哪个。

一般情况下，需要根据题目条件，先确定一个角对应的两条边，再使用韦达公式求出未知边或角。

三、韦达定理的实例计算下面通过几个实例来演示韦达定理的计算方法。

1.已知三角形的三边长分别为3、4、5，求其内角度数。

解：将a=3，b=4，c=5带入公式，得到9=41-40×cosA所以∠A=cos⁻¹0.8≈36.87°，同理可得∠B≈53.13°，∠C=90°。

2.已知一个直角三角形，其中直角边为5，斜边为13，求另一条直角边长。

解：由题目条件可知a=5，c=13。

将这两个数带入公式：5²=b²+13²-2×b×13×cos90°25=b²+169b²=144∴b=12所以，另外一条直角边长为12。

解：将b=12，c=16，角A=120°代入公式：a²=144+256-384×(-0.5)a²=400∴a=20所以，第三边的长度为20。

总之，韦达定理是解决几何问题的常见方法。

通过运用韦达公式，可以求出三角形中的各边长度、角度大小等未知量，帮助我们更好地理解和掌握几何知识。

韦达定理及其应用

韦达定理及其应用
韦达定理是一种基本的数学定理，它描述了一个三角形中两条边的长度与第三边的夹
角之间的关系。

它可以用来求解一个三角形的性质，甚至解决更复杂的几何问题。

韦达定理由法国数学家查尔斯·韦达提出，于1806年于科学期刊《乌拉法叶斯特》
上发表。

它首先被用来证明三角形的直角性质，然后被扩展用来证明更多其它的相关性质。

韦达定理可以用下面的公式表示：
a^2+b^2=c^2-2*c*a*cos(B)
其中a,b,c分别表示三角形ABC的3条边的长度，B表示边AC与BC之间的夹角。

由于韦达定理可以用来求解三角形的特性，因此它可以用来解决几何问题。

例如，如
果我们有一个三角形ABC，我们想求解它的外角A、边BC的长度和边AB的长度，则可以
用韦达定理：
假设a=3,c=4,B°=30°，根据韦达定理，
即 b^2= 16-24*cos(30°)=16-24*3^(1/2)/2
所以b=√5
另外，由余弦定理可以求出A°=60°
因此，三角形ABC的三角形性质为a=3,b=√5,c=4,A=60°,B=30°。

此外，韦达定理还有许多额外的应用。

例如，它可以用来求解由全等三角形的边来确
定的三角形的外角的性质，用来解决椭圆的几何上的直角形之间的关系等等。

它的应用非常广泛，几乎每一门数学和几何课程中都会涉及到它。

韦达定理不但可以
帮助我们在解决几何问题中取得关键性的进展，而且还多次提供了无穷多有用的解法。

韦达定理适用范围

韦达定理适用范围（实用版）目录1.韦达定理的概述2.韦达定理的适用范围3.韦达定理的实际应用案例4.韦达定理的局限性正文【1.韦达定理的概述】韦达定理，又称 Vieta 定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达于 16 世纪提出的一个数学定理。

该定理主要阐述了多项式方程的根与系数之间的关系。

简单来说，韦达定理描述了如何通过多项式方程的系数来求解方程的根。

这一定理在数学领域具有重要的地位，被广泛应用于代数、解析几何等数学分支。

【2.韦达定理的适用范围】韦达定理主要适用于以下情况：a.给定一个 n 次多项式方程，其中 n≥3；b.该多项式方程的系数不全为零；c.该多项式方程有实数根或复数根。

在这些条件下，韦达定理可以给出方程根的一些性质，例如根的和、根的积等。

【3.韦达定理的实际应用案例】韦达定理在数学中有许多实际应用，以下是一个简单的例子：已知三次多项式方程 x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0，求解该方程的根。

根据韦达定理，该方程的三个根之和等于系数 x^2 的相反数除以 x，即 -(-3)/1 = 3。

同时，三个根的积等于常数项 -1 除以最高次项系数 1，即 -1/1 = -1。

根据这些信息，我们可以求得方程的三个根为 1, 1, -2。

【4.韦达定理的局限性】虽然韦达定理在许多情况下非常有用，但它也存在一定的局限性。

对于一次和二次多项式方程，韦达定理不适用。

此外，当多项式方程的系数为零时，韦达定理也无法给出方程根的性质。

总之，韦达定理是数学领域中一个重要的定理，对于解决多项式方程的根与系数之间的关系问题具有重要意义。

然而，它也存在局限性，不适用于所有情况。

韦达定理及其综合应用

韦达定理及其综合应用
青田二中
何跃伟
请同学们谈谈对韦达定理的认识！请同学们谈谈对韦达定理的认识！
韦达定理的应用：韦达定理的应用：
1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 x 方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 x (x 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c ax a(x- )(x= a(x- x1)(x- x2)
Байду номын сангаас
题 2：已知:等腰三角形的两条边是方程已知等腰三角形的两条边a,b是方程等腰三角形的两条边 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根另的两个实数根,另（）的两个实数根一条边c=1，，一条边的值。求:k的值。的值
已知关于x的一元二次方程x +3x+1题3：已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0 （1）请为m选取一个你喜爱的数值，使方程请为m选取一个你喜爱的数值，有两个不相等的实数根。有两个不相等的实数根。（2）设x1,x2是（1）中方程的两个根，不解方程））中方程的两个根，不解方程求：①（x1-2）（ 2 –2））（x ）（） ② （ x1 - x2 ) 2 选取的m 因式分解：（3）请用（1）中所选取的m值，因式分解：x2+3x+1-m ）请用（）中所选取的的值。（4）若已知 12+ x22=10，求此时的值。）若已知x ，求此时m的值是否存在符合条件的m，使得x （5）问：是否存在符合条件的，使得 12+ x22=4？）？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。若存在，求出，若不存在，请说明理由。

韦达定理的应用及推广

韦达定理的应用及推广一、韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。

法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。

在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。

韦达定理：在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当∆≥b 2−4ac 时，则原方程的两根满足以下规律{x 1+x 2=−bax 1x 2=ca 韦达定理的逆定理：如果x 1，x 2满足{x 1+x 2=−ba x 1x 2=c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根二、韦达定理的证明 1.求根公式法：根据将ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到的x 1,2=−b±√b 2−4ac2a可得x 1+x 2=−b +√b 2−4ac 2a +−b −√b 2−4ac 2a =−2b 2a =−bax 1×x 2=(−b +√b 2−4ac 2a ×−b −√b 2−4ac 2a )=b 2−（b 2−4ac)4a 2=4ac 4a 2=ca2. 同解方程法：若ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，那么知道ax 2+bx+c=a(x −x 1)(x −x 2)左边=ax 2−ax ×x 1−ax ×x 2+ax 1x 2=ax 2−a(x 1+x 2)x +ax 1x 2 比较系数知：−a (x 1+x 2)=b ax 1x 2=c ⟹ x 1+ x 2=−ba ，x 1×x 2=c a与韦达定理有关的推论：|x 1−x 2|=√b 2−4ac |a|三、韦达定理的应用1. 已知A 、B 为一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根A ≠B (1)求A 2+B 2，A 3+B 3，1A2+1B 2，A −B（2）求以1A、1B 为根的方程和以(A 2+A +1)、(B 2+B +1)为根的方程解(1)：由韦达定理知{A +B =−b aA ×B =c a∴A 2+B 2=(A +B)2−2AB =b 2a2−2c a=b 2−2ac a 2A ３+B ３=(A +B)3−3AB (A +B )=−b 3a 3+3bc a 2=−b 3+3abca 31A 2+1B 2=A 2+B 2A 2B 2=b 2−2ac a 2÷c 2a 2=b 2−2acc 2A −B =|√(A −B )2|=|√A 2+B 2−2AB|=|√b 2−2ac a 2−2ca|=√b 2−4ac a 2=√b 2−4ac|a |解(2)：由韦达定理知{A +B =−ba A ×B =c a⟹ A 2+A +1+B 2+B +1=b 2−2ac a 2−ba+2=b 2−2ac−ab+2a 2a 2(A 2+A +1)(B 2+B +1)=c 2a 2+ac −bc a 2−b a +1+b 2−2ac a 2=a 2+b 2+c 2−ab −bc −caa 2∴此方程为a 2x 2−(b 2+2a 2−2ac −ab )x +(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca)=02. 证明恒等式：x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 2n )−x 1x 2(x 1n−1+x 2n−2) 证明：设x 1+x 2=A x 1x 2=B ,则x 1、x 2为方程x 2+Ax+B=0的两根∴{x 12=Ax 1−B x 22=Ax 2−B ⟹{x 1n+1=Ax 1n −Bx 1n−1x 2n+1=Ax 2n −Bx 2n−1⟹x 1n+1+x 2n+1=A (x 1n +x 1n)−B(x 1n−1+x 2n−1) ⟹x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 1n)− x 1x 2(x 1n−1+x 2n−1)3. 已知A 、B 是方程4ax 2−4ax +a +4=0的两个实数根○1适当选取实数a 的值，问能否使(A −2B)(B −2A)的值等于54 ○2求使A 2B2+B 2A 2的值为整数的整数a解○1:此必为一元二次方程，那么a ≠0 △=16a 2-16a(a+4)=-64a ≥0⟹a ≤0由韦达定理知{A +B =−1A ×B =a+44a 若(A −2B )(B −2A )= 54 ⟹ 9AB −2(A +B )2=54⟹9×a+44a−2=54⟹ 52a =36a +36⟹ a =9∵a ≤0又∵a =9>0∴无满足条件的a解○2 原式=(A+B )3−3AB (A+B )AB=1a+44a−3=4a a+4−3a+12a+4=1−16a+4所以a+4被16整除所以a+4=±1、±2、±4、±8、±16且a ≤0所以满足条件的a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-204. 求证：不存在整数a 、b 、c 使得方程ax 2+bx +c =0与方程(a +1)x 2+(b +1)x +(c +1)=0都有两个整数根。

韦达定理适用范围

韦达定理适用范围韦达定理，也被称为韦达方程或韦达公式，是一种用于求解三角形内角大小的公式。

它最初由法国数学家泰勒澄·韦达于19世纪提出，被广泛应用于数学、物理以及工程等领域。

韦达定理适用于任何三角形，不论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

它可以用于解决以下几种问题：1.已知三角形边长，求三个内角的值：当已知三角形的三边长度分别为a、b、c时，可以利用韦达定理求解三个内角的大小。

根据韦达定理，我们可以得到如下公式：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)其中A、B、C为三角形的内角，a、b、c分别为三边的长度。

2.已知一个角和两条边的长度，求另外两个角的值：当已知两条边的长度a和b以及它们夹角C时，可以利用韦达定理求解剩余两个角的大小。

同样根据韦达定理，我们可以得到如下公式：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)其中A、B为剩余两个角的大小，a、b、c分别为两边的长度。

3.已知三个角的度数，求其余两边的长度：当已知三角形的三个内角A、B、C的度数时，可以利用韦达定理求解其余两边的长度。

韦达定理可以重写为以下形式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC其中A、B、C为三角形的内角的度数，a、b、c分别为三边的长度。

总结来说，韦达定理适用于任何三角形，无论是已知边长求角度或已知角度求边长，都可以通过韦达定理进行求解。

初中数学韦达定理

初中数学韦达定理韦达定理是初中数学中的重要内容之一，它被广泛应用于代数求解和几何问题中。

韦达定理又称为韦达三角法则，它的基本思想是通过构造一个带有重心的三角形，利用各边与重心的连线之间的比例关系来求解未知量。

本文将详细介绍韦达定理的定义、原理以及应用实例。

一、定义和原理韦达定理是指在一个三角形中，确定三个顶点所对应边的长度和重心之间的关系。

其中，重心是指三角形三条中线的交点，它将全部三条中线按照长度等分。

韦达定理表示如下：设在一个三角形ABC中，AD为三角形的一条中线，将其分为两条相等的线段，由D可以构造三条平行于三边的线段BE、CF和AG，那么有以下关系成立：AB + AC = 2ADBC + BA = 2BECA + CB = 2CF二、韦达定理的证明我们来证明一下韦达定理。

设三角形ABC的重心为G，连接GD，并且延长至与AB相交于E，与AC相交于F。

由于G是三条中线的交点，所以AG=2GD。

同样的，通过类似的角度对应关系可以得到BE=2AB、CF=2AC。

根据平行线原理，我们知道三角形AGB与三角形GCF是相似的，所以可以写出一个比例等式：AB/AG = GC/CF将AG和CF的值代入后，我们得到：AB/2GD = GC/2AC通过移项可以得到：AC/GD = GC/AB同理，可以得到：AB/GD = GB/AC将这两个等式相加，我们得到：AC/GD + AB/GD = GC/AB + GB/AC化简后得到：(AB + AC)/GD = (GC + GB)/AB再次移项可得：AB + AC = 2GD同样的方法可以得到BC + AB = 2BE和CA + CB = 2CF，证明韦达定理成立。

三、韦达定理的应用实例韦达定理在代数求解和几何问题中具有广泛的应用。

下面给出几个具体的应用实例。

1. 已知三边长求重心若已知一个三角形的三条边的长度为a、b、c，可以利用韦达定理求解重心的坐标。

设重心的坐标为(x, y)，我们可以得到以下关系：x = (ax1 + bx2 + cx3)/(a + b + c)y = (ay1 + by2 + cy3)/(a + b + c)其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是三个顶点的坐标。

韦达定理所有公式

韦达定理所有公式韦达定理是解决三角形中任意三边与其对应的角之间的关系的重要定理。

在本文档中，我们将讨论韦达定理的各种公式及其应用。

一、韦达定理的基本形式韦达定理的一个基本形式是：在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. a² = b² + c² - 2bc·cosA2. b² = a² + c² - 2ac·cosB3. c² = a² + b² - 2ab·cosC这三个公式是韦达定理的基本形式，可以用来计算三角形中的任意一边的长度。

二、角的余弦定理韦达定理还可以通过角的余弦定理进行推导。

角的余弦定理是说，在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)2. cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)3. cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)将上述公式代入韦达定理的基本形式，可以得到：1. a² = b² + c² - 2bc·[(b² + c² - a²) / (2bc)]2. b² = a² + c² - 2ac·[(a² + c² - b²) / (2ac)]3. c² = a² + b² - 2ab·[(a² + b² - c²) / (2ab)]经过简化，得到了韦达定理的基本形式。

三、韦达定理的特殊情况1. 直角三角形在一个直角三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，其中角C为直角，则有以下公式成立：1. a² = b² + c²2. b² = a² + c²3. c² = a² + b²这是因为在直角三角形中，余弦函数的值为0，所以角的余弦定理可以简化为上述形式。

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